精品解析：江西省九江市修水县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

修水县24年秋季期中考试试题卷北师大版·数学（二） 说明： 1．范围：第一章~第四章第5节． 2．满分：120分，时间：120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故本选项符合题意； C、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对边相等 D. 对角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质．熟练掌握菱形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质，平行四边形的性质判断作答即可． 【详解】解：由题意知，菱形的对角线互相平分，对角线互相垂直，对边相等，对角相等； 平行四边形的对角线互相平分，对边相等，对角相等； ∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线互相垂直， 故选：B． 3. 南昌市某区为了了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表：根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数n 体质健康合格的学生数与n的比值 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查用频数估计概率；熟练掌握利用频数估计概率是解题的关键． 根据频数估计概率可直接进行求解． 【详解】由表格可知，经过大量重复试验，体质健康合格的学生数与抽测的学生数的比值稳定在附近，所以该区初中生体质健康合格的概率为． 故选A． 4. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了一元二次方程的根．先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：C． 5. 如图，点F在平行四边形的对角线上，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，掌握性质及定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质，得，利用对应边对应成比例得，根据已知条件，即可得解． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故选D． 6. 如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，相似多边形对应边的比叫做相似比．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴新新正方形与原正方形的相似比， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，，，是成比例线段，且，，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了成比例线段，根据成比例线段得到比例式是解题的关键． 根据成比例线段的定义得到，代入数值求解即可． 【详解】解：，，，是成比例线段， ， ，，， ， 解得． 故答案为： 8. 若关于x的方程的一根为1，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和解一元二次方程等知识点，将代入方程中，求出a的值，再代入原方程，解方程即可得解，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴， 解得：， ∴原方程为：， 解方程得，， 故方程的另一个根是4， 故答案为4． 9. 在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有_______个 ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 设袋中红球有x个，根据题意用黄球数除以红球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出答案． 【详解】解：设袋中红球有x个，根据题意，得： ， 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 所以袋中红球有4个． 故答案为∶4． 10. 若m，n是方程的解，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握根与系数的关系成为解题的关键． 根据方程的解以及根与系数的关系可得，，代入计算即可求解． 【详解】解：由已知得，，则． 故答案为： 11. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，先根据菱形的面积等于对角线乘积除以2求出，再根据直角三角形的性质得出答案. 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，点O是的中点， ∴． 故答案为：6． 12. 如图，这是一张矩形纸片，其中，，E是边上的一点，且，点P以的速度从点A开始沿的方向运动一周停止，当是以为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为______s． 【答案】或3或6 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出点P运动的时间即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 如图1，当时， 所以． 如图2，当时，过点E作于点F， ∵， ∴四边形为长方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 所以． 如图3，当时，此时点与点C重合， 所以点运动的距离， 所以． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为或或． 故答案为：或3或6． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，点C是的黄金分割点，且，，求的长． 【答案】（1），，（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，黄金分割： （1）十字相乘法进行因式分解，再进行求解即可； （2）根据黄金分割点的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）将原方程化为， ∴原方程的解为，． （2）∵点C是的黄金分割点，且，， ，即：． ∴． 14. 张师傅今年初开了一家药店，二月份开始盈利，二月份的盈利是6000元，四月份的盈利达到8640元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计今年五月份的盈利能达到多少元？ 【答案】（1）每月盈利的平均增长率为20%；（2）按照这个平均增长率，预计今年五月份这家商店的盈利将达到10368元． 【解析】 【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：二月份盈利额×（1+增长率）2＝四月份的盈利额列出方程求解即可． （2）五月份盈利＝四月份盈利×（1+增长率）． 【详解】解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：6000（1+x）2＝8640． 解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意，舍去）， 答：每月盈利的平均增长率为20%； （2）8640（1+20%）＝10368（元）， 答：按照这个平均增长率，预计今年五月份这家商店的盈利将达到10368元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，解题关键是明确增长率问题的一般公式为原来的量×（1±x）2＝后来的量，其中增长用+，减少用﹣． 15. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为． （1）直接写出袋中黄球的个数； （2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率． 【答案】（1）袋中黄球的个数1个 （2）“取出至少一个红球”的概率为 【解析】 【分析】本题考查了概率的实际应用，掌握概率公式以及树状图或列表法是解题关键． （1）设袋中的黄球个数为x个，根据任意摸出一个球是蓝球的概率为，即可建立方程求解； （2）画出树状图，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：设袋中的黄球个数为x个， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴袋中黄球的个数1个； 【小问2详解】 解：画树状图得： 一共有种等可能的情况数，其中“取出至少一个红球”的有种， 则“取出至少一个红球”概率是． 16. 如图，四边形为正方形，点在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）在图中，在上找一点F，使； （2）在图中，在上找一点G，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接即可完成作图； （2）连接即可完成作图． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求 【小问2详解】 解：如图2，即为所求． 【点睛】本题考查几何作图，考查了正方形的对称性．掌握正方形的性质是关键． 17. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见继续 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再由两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根． （2）若方程的两个实数根，满足，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根，则，，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）计算根的判别式的值，得，根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，，再把变形为，所以，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 证明：， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2详解】 根据题意得，，， ， ， ， 整理得，， 解得． 19. 如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，点D为边的中点，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在中，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线、含30度角的直角三角形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和旋转的性质是解题关键． （1）先根据直角三角形斜边上的中线和直角三角形的性质可得，，从而可得是等边三角形，再根据旋转的性质可得，从而可得是等边三角形，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理和线段中点的定义可求出，，再根据等边三角形的性质可得，，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 则在中，． 20. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天的销售量是20件，据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件． （1）若该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，求该款童装每件应降价多少元？ （2）在（1）的基础上，在获利不变的情况下，为尽可能减少库存，扩大销售量，该专卖店销售该款童装时应按原售价的几折出售？ 【答案】（1）该款童装每件应降价6元或24元 （2）该专卖店销售该款童装时应按原售价的八折出售 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该款童装每件应降价x元，则每天可销售件，每件盈利元，根据该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，列出方程，解方程即可； （2）根据要尽可能减少库存，扩大销售量，得出该款童装每件应降价24元，求出售价，然后列式算出答案即可． 【小问1详解】 解：设该款童装每件应降价x元，则每天可销售件，每件盈利元， 根据题意可得：， 解得：，， 答：该款童装每件应降价6元或24元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，该款童装每件可降价6元或24元， 因为要尽可能减少库存，扩大销售量，所以该款童装每件应降价24元， 此时，售价为：（元），． 答：该专卖店销售该款童装时应按原售价的八折出售． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（随机摸出记下颜色后放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 200 250 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 a （1）求a的值，并根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率； （2）估计袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，用画树状图或列表的方法求出他两次都摸出白球的概率． 【答案】（1），估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25 （2）估计袋中白球的个数为3 （3）P（两次都摸出白球） 【解析】 【分析】本题考查频率与概率，概率公式，画树状图或列表法求概率： （1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）利用概率公式列出方程求解即可； （3）用画树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：， 观察表格得，通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 【小问2详解】 解：设袋中白球的个数为x，根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴估计袋中白球的个数为3； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的情况，两次都摸出白球的情况有9种， ∴P（两次都摸出白球）． 22. 如图，已知在菱形中，对角线与交于点，延长到点，使，延长到点，使，顺次连接点，，，，且，． （1）求菱形的面积； （2）求证：四边形是矩形； （3）求四边形的周长及面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3）四边形的周长为；四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）直接由菱形的面积公式求解即可； （2）先证四边形是平行四边形，再证对角线相等，即可得出结论； （3）由三角形中位线定理得出的长，再由矩形的性质得， ，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴菱形的面积为； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形的周长， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，矩形的对角线、相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：； （3）若，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）由已知可证得，，根据相似三角形的对应边成比例即可得到； （3）由已知可得到，的长，又因为，从而求得的长，则根据就得到了线段的长度． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，， 延长到点，使， ，， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：是矩形，且， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：四边形为平行四边形，，相交点， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 修水县24年秋季期中考试试题卷北师大版·数学（二） 说明： 1．范围：第一章~第四章第5节． 2．满分：120分，时间：120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对边相等 D. 对角相等 3. 南昌市某区为了了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表：根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数n 体质健康合格的学生数与n的比值 A. B. C. D. 4. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 5. 如图，点F在平行四边形的对角线上，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，，，是成比例线段，且，，，那么______． 8. 若关于x的方程的一根为1，则方程的另一个根为______． 9. 在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有_______个 ． 10. 若m，n是方程的解，则的值为_____． 11. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为______． 12. 如图，这是一张矩形纸片，其中，，E是边上的一点，且，点P以的速度从点A开始沿的方向运动一周停止，当是以为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为______s． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，点C是的黄金分割点，且，，求的长． 14. 张师傅今年初开了一家药店，二月份开始盈利，二月份的盈利是6000元，四月份的盈利达到8640元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计今年五月份的盈利能达到多少元？ 15. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为． （1）直接写出袋中黄球的个数； （2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率． 16. 如图，四边形为正方形，点在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）在图中，在上找一点F，使； （2）在图中，在上找一点G，使． 17. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根． （2）若方程的两个实数根，满足，求m的值． 19. 如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，点D为边的中点，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天的销售量是20件，据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件． （1）若该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，求该款童装每件应降价多少元？ （2）在（1）的基础上，在获利不变的情况下，为尽可能减少库存，扩大销售量，该专卖店销售该款童装时应按原售价的几折出售？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（随机摸出记下颜色后放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 200 250 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 a （1）求a的值，并根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率； （2）估计袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，用画树状图或列表的方法求出他两次都摸出白球的概率． 22. 如图，已知在菱形中，对角线与交于点，延长到点，使，延长到点，使，顺次连接点，，，，且，． （1）求菱形的面积； （2）求证：四边形是矩形； （3）求四边形的周长及面积． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，矩形的对角线、相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：； （3）若，，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $