专项练习一 长方体和正方体考点汇编（九大考点＋知识梳理）-2024-2025学年六年级数学上学期期末题型汇总(苏教版）

专项一 长方体和正方体-知识梳理考点汇编 【知识点梳理】 1、长方体正方体的特征： ①长方体有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。 ②正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有12条棱，每条的棱的长度都相等。 2、长方体和正方体的棱长和： 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 正方体的棱长总和=棱长×12 3、长方体和正方体的表面积： 长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 侧面积=底面周长×高 4、物体所占空间的大小叫做物体的体积： 长方体的体积=长×宽×高 长方体体积=底面积×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。 体积单位换算：高级单位×进率 低级单位 低级单位÷进率 高级单位 进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升 考点一 有关棱长的应用 考点二 展开图相关应用 考点三 体积单位间的进率与换算 考点四 组合图形的表面积和体积 考点五 不规则图形求体积 考点六 体积的等积变形 考点七 表面积和体积的实际应用 考点八 立体图形的切拼 考点九 表面涂色的正方体 考点一 多位数除法试商 考点二 商的位数问题 考点三 除法的意义 考点四 除法运算解决最大问题 考点五 除法运算中的连除问题 考点六 归一归总问题 考点七 商不变的性质及变化规律 考点八 小马虎“将错就错” 考点九 除法解决实际应用 考点十 周期问题 考点一 有关棱长的应用 1、小刚给奶奶买了一份礼物。营业员用一个长35厘米，宽20厘米，高8厘米的长方体盒子装好并用彩绳进行包扎，打结处需用40厘米，像这样包扎共用彩绳多少厘米？ 2、李叔叔要邮寄一箱水果。包装箱是一个长方体，长是5分米，宽是3分米，高是2分米。包装箱使用编制绳在三个方向上加固（如图）。每圈用一根编织绳。接头处重叠0.5分米进行封圈和加固。打包这样一箱水果需要编织绳多少分米？ 3、一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，求原来长方体的棱长总和是多少厘米？ 4、食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 考点二 展开图相关应用 1、底面是正方形的长方体，侧面展开是周长16分米的正方形，它的表面积是( )平方分米。 2、一个长方体纸箱的底面周长是20分米的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形。做这个长方体纸箱至少需要( )平方分米的硬纸板，体积是( )立方分米。 3、如图是在长8厘米，宽4厘米的长方形纸上剪出来的图形，它能折叠成一个高为1厘米的长方体（接头处忽略不计），请在图中画出折痕，折出的长方体体积是（   ）立方厘米。 4、如图是一个长方体包装盒展开图，请根据图中的信息求出这个长方体的体积。（单位：厘米） 5、根据下面长方体的表面展开图，长方体的表面积是( )平方厘米。 6、如图1是边长为30厘米的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体纸盒。已知该长方体的宽是高的2倍，则它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 7、张师傅和李师傅准备要把一块长36厘米、宽20厘米的铁皮锻造成一个无盖铁皮箱。 张师傅：我把铁皮的4个角各切掉一个边长5厘米的正方形后做成无盖铁皮箱。（图1） 李师傅：我是这样切割材料的，一点铁皮都不浪费，也可以做成无盖铁皮箱。（图2） 用哪种方法做成的无盖铁皮箱容积大？请计算说明理由。 考点三 体积单位间的进率与换算 1、在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7080毫升( )70.8立方分米      3.4立方分米( )34立方厘米 9.2立方分米( )9200立方厘米    4.6立方分米( )4.06升 2、在括号里填上适当的数。 0.36立方分米＝( )立方厘米    980立方分米＝( )立方米 4.07立方米＝( )立方米( )立方分米  5.38立方分米＝( )升( )毫升 30立方米＝( )立方分米＝( )毫升  42升＝( )立方米＝( )立方厘米 3、单位换算。 1.05平方米＝( )平方分米   0.03立方米＝( )立方分米＝( )立方厘米 3.16升＝( )毫升       700毫升＝( )升＝( )立方分米 4、有一个长方体玻璃鱼缸（如图）。现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面积会不断发生变化。第一次有一组相对的面出现正方形时，正方形的边长是( )厘米，鱼缸内有( )升的水。 5、李叔叔打算在网上订购下面的种植箱（厚度忽略不计）和营养土。若要留出3厘米高的浇水空间，李叔叔至少要买几袋这样的营养土？ 考点四 组合图形的表面积和体积 1、计算下面图形的表面积和体积。 2、下面是用棱长为1厘米的小正方体摆成的立体图形。 表面积是6平方厘米，体积是1立方厘米。 (1)表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米； (2)表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米； (3)当放置到5层时，这个立体图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 3、如图，有一个两层水箱。 (1)这个水箱下一层的容积是( )立方米，上一层的容积是( )立方米。 (2)注满下一层需要9.6分钟，照这样的流速，注满整个水箱需要( )分钟。 (3)从水箱底部注水，在注满整个水箱的过程中，注水的高度随着时间的延长而增加，下面( )号图表示正确的注水情况。 4、下图是用棱长为1厘米的小正方体拼成的。 （1）从前面、上面和右面看这个物体分别是什么形状，并画出这些形状。 （2）这个物体的表面积是（    ）平方厘米。 （3）至少在摆上（    ）个小正方体就能拼成一个大的正方体。 5、有一个两层的水箱，如下图所示。（单位：分米） （1）第二层水箱容积是多少升？ （2）如果注满第一层需要7.5分钟，照这样的流速，注满整个水箱需要多少分钟？ 考点五 不规则图形求体积 1、小东做测量石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了2厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是多少？ 2、一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3.5分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.4分米，鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 3、下图中所有大球的体积相同，所有小球的体积也相同，长方体容器的底面是边长6厘米的正方形。每个大球的体积是( )立方厘米，每个小球的体积是( )立方厘米。 4、在学过“排水法测量体积”之后，聪聪想测量家中一个土豆的体积。他拿出一个长方体玻璃容器，并注入水，如下图。可这时水面高度只有3厘米，无法淹没土豆。聪聪灵机一动，把容器盖上盖子竖了起来，并确定没有漏水。 （1）玻璃容器原来盛了多少升水？ （2）该土豆的体积是多少立方分米？ 5、如图，一个底面是正方形的长方体被截去一段，已知底面正方形的边长是5厘米，求这个图形的体积。 6、电影院的大门前有5级台阶（如图）。 （1）5级台阶一共占地多少平方米？ （2）给这些台阶铺上地毯，至少需要多少平方米的地毯？ 考点六 体积的等积变形 1、学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长6厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长3厘米、宽2.5厘米的长方体模具，制作成蜡烛。 （1）实验发现：在制作蜡烛的过程中，蜡块仅仅是（  ）发生了变化，没有产生（  ）。 （2）求制作成的蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 考点七 表面积和体积的实际应用 1、一盒标有净含量为500毫升的长方体盒装酸奶，外包装长10厘米、宽4厘米、高12厘米。你认为标注的净含量可能是（  ）。 A．真的 B．假的 C．无法确定 2、如图，张师傅在一个长方体中挖掉一个小长方体，则现在的表面积（  ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．和原来相同 D．无法确定 3、如图所示，明明在一个长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体。由此可知，这个玻璃容器的容积是（   ）立方厘米。 A．72 B．84 C．90 D．95 4、用铁丝围成一个长方体框架，长10厘米，宽8厘米，高6厘米，铁丝长( )厘米；如果给它各个面蒙上彩纸，至少要( )平方分米的彩纸；这个长方体所占的空间是( )立方厘米。 5、用一根长72cm的铁丝既可以制作成一个长8cm，宽3cm，高( )cm的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )cm的正方体框架，如果给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是( )cm2。 6、利民广场有一个花坛，底面是边长1.4米的正方形。四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.4米，中间填满了288立方分米的泥土。这个花坛所占的空间是( )立方分米。 7、如下图，在一块平坦的地面上，实践社团的同学们在工人师傅的帮助下，用砖围了一个长方体水池，池壁厚10（底面利用原有的水泥地）。这个水池的容积是( )。 8、正方体的棱长扩大到原来的6倍，它的棱长之和与表面积也扩大到原来的6倍。( ) 9、如图，在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器按图倾斜放置在桌面上，流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长度是多少厘米？ 10、下图是一个密封的长方体容器，长35厘米，宽10厘米，高20厘米，里面水深18厘米。（容器的厚度忽略不计） （1）容器中水的体积是多少升？ （2）水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 11、一个花坛（如图），高0.9米，底面是边长1.2米的正方形，四周用木条围成。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？（木条的厚度忽略不计） （3）做这样一个花坛，四周大约需要木条多少平方米？ 12、一个近似的长方体油箱，从里面量长8分米、宽6分米、高5分米，油箱的油离油箱上面0.5分米即为加满油。    （1）这个油箱加满可以装多少升汽油？ （2）这个油箱如果加满92号汽油，需要多少元？    13、一个横截面是边长为3分米的长方体管道，如图所示（前、后开口）。 （1）做这样的一节管道需要铁皮多少平方分米？ （2）如果管道里水的流速是每秒2分米，这个管道1分钟能流出多少升的水？ 14、小林有一块长方体积木，表面积是208平方厘米，底面积是48平方厘米，底面周长是28厘米。这块长方体积木的体积是多少立方厘米？ 15、青少年活动中心修建了一个长20米、宽10米、深2米的游泳池。在这个游泳池的底部和四周铺上边长2分米的正方形瓷砖，共需多少块这样的瓷砖？ 16、爸爸买回一个长12分米、宽5分米、高8分米的鱼缸，往鱼缸里倒入360升水，水面距离缸口多少分米？此时水和鱼缸的接触面积是多少平方分米？（玻璃厚度忽略不计） 17、一个长方体游泳池的底面长50米，宽20米，游泳池深2.5米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）若在游泳池的四壁离地面0.5米处画一圈红色的警戒线，警戒线长多少米？ （3）如果池水高度不超过警戒线，这个游泳池最多可以放多少立方米水？ 18、数学课上，小明准备了一个长方体无盖玻璃缸和一些水做实验。 第一步：测量出这个长方体无盖玻璃缸的长、宽、高分别是30厘米、20厘米、20厘米，并往玻璃缸里倒入9升水（如图1）； 第二步：将玻璃缸倾斜，慢慢倒出水，直到AB边和CD边正好在同一水平面上（如图2）； 第三步：将玻璃缸放正，在水面处做标记EF（如图3）； 第四步：继续倒出一些水后，再将玻璃缸倾斜，发现AB边和EF边正好在同一水平面上（如图4）。 （1）制作这个玻璃缸需要多少平方分米的玻璃？ （2）图1的玻璃缸中水深多少分米？ （3）图4的玻璃缸中还剩多少升水？ 考点八 立体图形的切拼 1、一个正方体的棱长和是48厘米，这个正方体的棱长是( )厘米，体积是( )立方厘米；如果把这个正方体切成两个完全一样的长方体，表面积将增加( )平方厘米。 2、把长1.5米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加2.4平方分米，原来这根木料的体积是 立方分米。 3、一个长方体，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，求原来长方体的体积是( )立方厘米。 4、把一根 2.5米长的长方体木料垂直于长锯成4段，表面积增加48平方分米。原来这根木料的体积是( )立方分米。 5、贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和减少了160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 6、一个长方体，如果宽增加2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来增加32平方厘米。原来长方体的表面积是( )平方厘米。 7、一个长方体木块的长是8分米、宽是6分米、高是5分米，把这个长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是( )平方分米；剩余的体积是( )立方分米。 8、把表面积是48平方厘米的正方体切分成两个不同的长方体，如果第一个长方体的表面积是20平方厘米，第二个长方体的表面积是( )平方厘米。 9、一个长方体的木块，正好截成两个完全相同的正方体。表面积比原来增加了200平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 10、如图，一根方钢的表面积是80平方分米，它的横截面是边长1分米的正方形，工人师傅每次都割下一个棱长1分米的小正方体钢块。 （1）填表。 割下方钢的个数 1 2 3 … 剩下方钢的表面积（平方分米） … （2）当割下8个小方钢时，剩下方钢的表面积是（    ）平方分米。 （3）当剩下方钢的表面积是20平方分米时，共割下（    ）个小正方体钢块。 （4）当割下n个小方钢时，剩下方钢的表面积是（    ）。 考点九 表面涂色的正方体 1、把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有 个，1个面涂红色的小正方体有 个。 2、魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智类玩具。通常意义下的魔方是指狭义的三阶魔方（即6个面，每个面三行三列），形状通常是正方体，后来又发展出了更多类型的魔方，如有一个正方体魔方，表面涂有颜色，如果其中两面涂色的小方块有36个，则这个正方体魔方是( )阶魔方，这个魔方一面涂色的有( )个。 3、玩具厂的工人用棱长为1厘米的小正方体组成了一个魔方，他们把这个魔方的6个面都涂色，其中2面涂色的小正方体有12个，这个魔方的体积是( )立方厘米，1面涂色的小正方体有( )个。 4、把一个棱长为5厘米的正方体表面涂色，然后切成棱长是1厘米的小正方体，可以切成( )个小正方体，切成的正方体中，两面涂色的小正方体有( )个。 5、把一个表面涂上颜色的正方体，每条棱平均分成若干份，切成64个相等的小正方体。在这些小正方体中，3面涂色的有( )个，1面涂色的有( )个。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项一 长方体和正方体-知识梳理考点汇编参考答案和解析 【知识点梳理】 1、长方体正方体的特征： ①长方体有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。 ②正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有12条棱，每条的棱的长度都相等。 2、长方体和正方体的棱长和： 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 正方体的棱长总和=棱长×12 3、长方体和正方体的表面积： 长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 侧面积=底面周长×高 4、物体所占空间的大小叫做物体的体积： 长方体的体积=长×宽×高 长方体体积=底面积×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。 体积单位换算：高级单位×进率 低级单位 低级单位÷进率 高级单位 进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升 考点一 有关棱长的应用 考点二 展开图相关应用 考点三 体积单位间的进率与换算 考点四 组合图形的表面积和体积 考点五 不规则图形求体积 考点六 体积的等积变形 考点七 表面积和体积的实际应用 考点八 立体图形的切拼 考点九 表面涂色的正方体 考点一 多位数除法试商 考点二 商的位数问题 考点三 除法的意义 考点四 除法运算解决最大问题 考点五 除法运算中的连除问题 考点六 归一归总问题 考点七 商不变的性质及变化规律 考点八 小马虎“将错就错” 考点九 除法解决实际应用 考点十 周期问题 考点一 有关棱长的应用 1、小刚给奶奶买了一份礼物。营业员用一个长35厘米，宽20厘米，高8厘米的长方体盒子装好并用彩绳进行包扎，打结处需用40厘米，像这样包扎共用彩绳多少厘米？ 【答案】238厘米 【分析】根据题意和图形可知，所需彩绳的长度等于2条长＋4条宽＋6条高＋打结处用的40厘米，由此列式解答即可。 【详解】35×2＋20×4＋8×6＋40 ＝70＋80＋48＋40 ＝238（厘米） 2、李叔叔要邮寄一箱水果。包装箱是一个长方体，长是5分米，宽是3分米，高是2分米。包装箱使用编制绳在三个方向上加固（如图）。每圈用一根编织绳。接头处重叠0.5分米进行封圈和加固。打包这样一箱水果需要编织绳多少分米？ 【答案】 41.5分米 【分析】由题意可知，编织绳有三圈，每一圈就有一个接头，即有3个接头，因此需要编织绳的长度就是这个长方形的棱长总和加3个0.5分米，根据，代入数据计算即可。 【详解】（分米） 3、一个长方体木块正好能截成5个完全相同的正方体，这5个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了320厘米，求原来长方体的棱长总和是多少厘米？ 【答案】280厘米 【详解】（5－1）×2×4 ＝4×2×4 ＝32（条） 正方体的棱长：320÷32＝10（厘米） 5个正方体的棱长之和：10×12×5＝600（厘米） 原来长方体的棱长总和：600－320＝280（厘米） 4、食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 【答案】5盒 【分析】按图中月饼盒的摆放，先用计算装入正方体中，第一层能放多少盒，用45除以30；再看能放多少层，用45除以长方体的高，再用长、宽、高所放的盒数相乘，得到正放有几盒。因为正方体纸盒还有空余，刚好是15厘米，月饼盒的高也是15厘米，而空余处的另外两条边是45厘米，足够存月饼盒的另外两条边。以月饼盒“15cm，30cm”的侧面为底，还分别可放2个1盒，所以用正放的盒数加上侧放的盒数，即可得解。 【详解】45÷30＝1（盒）……15（cm） 45÷15＝3（盒）    （盒） （盒） 考点二 展开图相关应用 1、底面是正方形的长方体，侧面展开是周长16分米的正方形，它的表面积是( )平方分米。 【答案】18 【分析】底面是正方形的长方体，侧面展开是周长16分米的正方形，由此可知，周长16分米的正方形的边长等于底面正方形的周长、等于原长方体的高，由正方形的周长＝边长×4，用16÷4求出原长方体的高，再用原长方体的高除以4求出底面正方形的边长，该长方体的表面积＝侧面积＋底面正方形面积的2倍，侧面积＝边长是16÷4＝4（分米）的正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长解答。 【详解】16÷4÷4 ＝4÷4 ＝1（分米） 1×1×2＋（16÷4）×（16÷4） ＝2＋4×4 ＝2＋16 ＝18（平方分米） 2、一个长方体纸箱的底面周长是20分米的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形。做这个长方体纸箱至少需要( )平方分米的硬纸板，体积是( )立方分米。 【答案】 450 500 【分析】 如图，这个长方体上下两个面是正方形，前后左右4个面是完全一样的长方形，这个长方体的高＝底面周长，底面周长÷4＝底面边长，这个长方体的表面积＝底面边长×底面边长×2＋底面边长×高×4；体积＝底面边长×底面边长×高，据此列式计算。 【详解】20÷4＝5（分米） 5×5×2＋5×20×4＝50＋400 ＝450（平方分米） 5×5×20＝500（立方分米） 3、如图是在长8厘米，宽4厘米的长方形纸上剪出来的图形，它能折叠成一个高为1厘米的长方体（接头处忽略不计），请在图中画出折痕，折出的长方体体积是（   ）立方厘米。 【答案】作图见详解；6 【分析】长方体有6个面，相对的面完全一样，先确定底面，再通过左边的面确定右边的面，据此画出折痕。折出的长方体的长＝（长方形的长－长方体的高×2）÷2，长方体的宽＝长方形的宽－高×2，根据长方体体积＝长×宽×高，求出体积。 【详解】 （8－1×2）÷2 ＝（8－2）÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 4－1×2 ＝4－2 ＝2（厘米） 3×2×1＝6（立方厘米） 4、如图是一个长方体包装盒展开图，请根据图中的信息求出这个长方体的体积。（单位：厘米） 【答案】576立方厘米 【分析】从图上发现，这个长方体的长是18厘米，长和高一共22厘米，可知高是4厘米，两个高和一个宽是16厘米，可得宽是8厘米，根据长方体体积公式＝长×宽×高计算可得。 【详解】高：22－18＝4（厘米） 宽：16－4－4＝8（厘米） 18×8×4 ＝144×4 ＝576（立方厘米） 5、根据下面长方体的表面展开图，长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】40 【分析】观察可知，长方体的长是5厘米，宽2.5厘米，高1厘米，根据，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 6、如图1是边长为30厘米的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体纸盒。已知该长方体的宽是高的2倍，则它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 700 1000 【详解】高：30÷（1＋1＋2＋2） ＝30÷6 ＝5（厘米） 宽：5×2＝10（厘米） 长：30－5×2＝30－10 ＝20（厘米） 表面积：（20×10＋20×5＋10×5）×2＝700（平方厘米） 体积：20×10×5＝1000（立方厘米） 它的表面积是700平方厘米，体积是1000立方厘米。 7、张师傅和李师傅准备要把一块长36厘米、宽20厘米的铁皮锻造成一个无盖铁皮箱。 张师傅：我把铁皮的4个角各切掉一个边长5厘米的正方形后做成无盖铁皮箱。（图1） 李师傅：我是这样切割材料的，一点铁皮都不浪费，也可以做成无盖铁皮箱。（图2） 用哪种方法做成的无盖铁皮箱容积大？请计算说明理由。 【答案】图2的方法；理由见详解 【分析】图1，做成的无盖铁皮箱的长是（36－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，高是5厘米； 图2，做的无盖长方体铁皮箱的底面边长是20厘米，高是[（36－20）÷4]厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式分别求出两个铁皮箱的容积，然后进行比较即可。 【详解】图1做出的无盖铁皮箱容积： （36－5－5）×（20－5－5）×5 ＝26×10×5 ＝1300（立方厘米） 图2做出的无盖铁皮箱容积： （36－20）÷4 ＝16÷4 ＝4（厘米） 20×20×4＝1600（立方厘米） 1600＞1300 考点三 体积单位间的进率与换算 1、在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7080毫升( )70.8立方分米      3.4立方分米( )34立方厘米 9.2立方分米( )9200立方厘米    4.6立方分米( )4.06升 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＞ 2、在括号里填上适当的数。 0.36立方分米＝( )立方厘米    980立方分米＝( )立方米 4.07立方米＝( )立方米( )立方分米  5.38立方分米＝( )升( )毫升 30立方米＝( )立方分米＝( )毫升  42升＝( )立方米＝( )立方厘米 【答案】360 0.98 4 70 5 380 30000 30000000 0.042 42000 3、单位换算。 1.05平方米＝( )平方分米   0.03立方米＝( )立方分米＝( )立方厘米 3.16升＝( )毫升       700毫升＝( )升＝( )立方分米 【答案】 105 30 30000 3160 0.7 0.7 4、有一个长方体玻璃鱼缸（如图）。现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面积会不断发生变化。第一次有一组相对的面出现正方形时，正方形的边长是( )厘米，鱼缸内有( )升的水。 【答案】 30 36 【分析】根据题意，结合图示可知，第一次出现正方形时，要以最短的边长为正方形的边长才合理，即正方形的边长是30厘米；根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出答案。 【详解】40×30×30 ＝1200×30 ＝36000（） 36000＝36000毫升＝36升 5、李叔叔打算在网上订购下面的种植箱（厚度忽略不计）和营养土。若要留出3厘米高的浇水空间，李叔叔至少要买几袋这样的营养土？ 【答案】2袋 【分析】种植箱是一个长方体的形状，用种植箱的高减去3厘米，求出种植箱内营养土的高，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出需要营养土的体积，再除以1袋营养土的体积即可解答，注意采用“进一法”。 【详解】120×40×（15－3）＝4800×12 ＝57600（立方厘米） 57600立方厘米＝57.6升 57.6÷30≈2（袋） 考点四 组合图形的表面积和体积 1、计算下面图形的表面积和体积。 【答案】； ； 【分析】左图的表面积等于长方体的表面积加上正方体的侧面积，体积等于长方体和正方体体积之和； 右图的表面积等于正方体的表面积，体积等于正方体的体积减去缺口处小正方体的体积。 【详解】表面积： 体积： 左图的表面积是，体积是。 表面积： 体积： 2、下面是用棱长为1厘米的小正方体摆成的立体图形。 表面积是6平方厘米，体积是1立方厘米。 (1)表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米； (2)表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米； (3)当放置到5层时，这个立体图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】(1) 18 4 (2) 36 10 (3) 90 35 【详解】（1）6÷6＝1（平方厘米）18×1＝18（平方厘米）4×1＝4（立方厘米） （2）36×1＝36（平方厘米） 10×1＝10（立方厘米） （3）90×1＝90（平方厘米） 35×1＝35（立方厘米） 3、如图，有一个两层水箱。 (1)这个水箱下一层的容积是( )立方米，上一层的容积是( )立方米。 (2)注满下一层需要9.6分钟，照这样的流速，注满整个水箱需要( )分钟。 (3)从水箱底部注水，在注满整个水箱的过程中，注水的高度随着时间的延长而增加，下面( )号图表示正确的注水情况。 【答案】(1) 24 12 (2)14.4 (3)3 【详解】（1）4×3×2＝24（立方米） 2×3×2＝12（立方米） （2）24÷9.6＝2.5（立方米） 12÷2.5＝4.8（分钟） 9.6＋4.8＝14.4（分钟） 注满整个水箱需要14.4分钟。 （3）根据分析，从水箱底部注水，在注满整个水箱的过程中，注水的高度随着时间的延长而增加，3号图表示正确的注水情况。 4、下图是用棱长为1厘米的小正方体拼成的。 （1）从前面、上面和右面看这个物体分别是什么形状，并画出这些形状。 （2）这个物体的表面积是（    ）平方厘米。 （3）至少在摆上（    ）个小正方体就能拼成一个大的正方体。 【答案】（1）图见详解 （2）40 （3）14 【详解】（1）如图：    （2）（1×1）×（6×2＋8×2＋6×2）＝40（平方厘米） 这个物体的表面积是40平方厘米。 （3）1×1×1＝1（立方厘米） 3×3×3÷1－13 ＝14（个） 5、有一个两层的水箱，如下图所示。（单位：分米） （1）第二层水箱容积是多少升？ （2）如果注满第一层需要7.5分钟，照这样的流速，注满整个水箱需要多少分钟？ 【答案】（1）100升 （2）20分钟 【详解】（1）（2＋6＋2）×5×2 ＝100（立方分米） 100立方分米＝100升 （2）6×5×2 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 100÷（60÷7.5）＋7.5 ＝100÷8＋7.5 ＝12.5＋7.5 ＝20（分钟） 考点五 不规则图形求体积 1、小东做测量石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了2厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是多少？ 【答案】48立方厘米 【分析】由题意可知，下降的水的体积等于棱长是4厘米的正方体铁块的体积，用正方体铁块的体积除以水面下降的高度，求出水槽的底面积，石块的体积等于上升的水的体积，用水槽的底面积乘上升的高度即可求出石块的体积；根据长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入相关数据解答。 【详解】（4×4×4÷2）×1.5 ＝48（立方厘米） 2、一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3.5分米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） （3）再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.4分米，鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【答案】（1）83平方分米（2）2分米（3）8立方分米 【分析】（1）根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷a÷b，把数据代入公式解答。 （3）根据题意可知，把一些鹅卵石放入鱼缸中，水面上升了0.4分米，上升部分水的体积就等于这些鹅卵石的体积，根据长方体的体积公式解答。 【详解】（1）5×4＋5×3.5×2＋4×3.5×2＝83（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃83平方分米。 （2）40升＝40立方分米 40÷5÷4＝2（分米） （3）5×4×0.4 ＝8（立方分米） 3、下图中所有大球的体积相同，所有小球的体积也相同，长方体容器的底面是边长6厘米的正方形。每个大球的体积是( )立方厘米，每个小球的体积是( )立方厘米。 【答案】 75 30 【分析】通过观察可知，增加了6个小球，水的高度增加了（10－5）厘米，物体的体积＝长×宽×增加的高度，据此代入数据即可求出6个小球的体积，再除以6即可求出每个小球的体积；已知原来水的高度是5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出水的体积，也就是2个大球的体积加上1个小球的体积；然后用水的体积减去1个小球的体积，即可求出1个大球的体积，最后再除以2即可求出1个大球的体积。 【详解】6×6×（10－5）＝6×6×5＝180（立方厘米） 小球：180÷6＝30（立方厘米） 水：6×6×5＝180（立方厘米） 大球：（180－30）÷2 ＝75（立方厘米） 每个大球的体积是75立方厘米，每个小球的体积是30立方厘米。 4、在学过“排水法测量体积”之后，聪聪想测量家中一个土豆的体积。他拿出一个长方体玻璃容器，并注入水，如下图。可这时水面高度只有3厘米，无法淹没土豆。聪聪灵机一动，把容器盖上盖子竖了起来，并确定没有漏水。 （1）玻璃容器原来盛了多少升水？ （2）该土豆的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）0.9升（2）0.5立方分米 【详解】（1）30×10×3＝900（立方厘米）＝0.9（立方分米）＝0.9（升） （2）10×10×14－900 ＝0.5（立方分米） 5、如图，一个底面是正方形的长方体被截去一段，已知底面正方形的边长是5厘米，求这个图形的体积。 【答案】300立方厘米 【分析】如图，将这个图形分成两部分，这个图形的体积＝下边长方体的体积＋上边立体图形的体积，而上边立体图形的体积＝上边长方体的体积÷2，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】体积：5×5×10＋5×5×（14－10）÷2 ＝300（立方厘米） 6、电影院的大门前有5级台阶（如图）。 （1）5级台阶一共占地多少平方米？ （2）给这些台阶铺上地毯，至少需要多少平方米的地毯？ 【答案】（1）5.2平方米；（2）9.2平方米 【详解】（1）占地面积计算整块台阶的底面积，用4乘1.3即可求出这5级台阶的占地面积。 （2）根据图形的平移可知：铺地毯的面积＝占地面积＋5级台阶侧面的面积，即用占地面积加1乘4的积。 【解答】（1）4×1.3＝5.2（平方米） （2）5.2＋1×4 ＝5.2＋4 ＝9.2（平方米） 考点六 体积的等积变形 1、学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长6厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长3厘米、宽2.5厘米的长方体模具，制作成蜡烛。 （1）实验发现：在制作蜡烛的过程中，蜡块仅仅是（  ）发生了变化，没有产生（  ）。 （2）求制作成的蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】（1）形状；新的物质（2）28.8厘米 【分析】（1）结合实际经验可知，正方体蜡块熔化后制作成长方体蜡烛，体积并没有改变，只是形状发生了变化，没有产生新的物质。 （2）因为体积不变，先根据，算出正方体的体积，即长方体体积，再根据长方体体积的逆运算，长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据计算即可。 【详解】（1）实验发现：在制作蜡烛的过程中，蜡块仅仅是形状发生了变化，没有产生新的物质。 （2）（立方厘米） （厘米） 考点七 表面积和体积的实际应用 1、一盒标有净含量为500毫升的长方体盒装酸奶，外包装长10厘米、宽4厘米、高12厘米。你认为标注的净含量可能是（  ）。 A．真的 B．假的 C．无法确定 【答案】B 【分析】根据体积、容积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积，物体所容纳物体的体积叫做物体的容积。一个容器壁再薄也有厚度，因此，一个物体的容积要小于它的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，用10×4×12即可求出长方体盒装的体积，再把500毫升化为500立方厘米，然后和长方体盒装的体积比较即可。 【详解】10×4×12 ＝480（立方厘米） 500毫升＝500立方厘米 480＜500 2、如图，张师傅在一个长方体中挖掉一个小长方体，则现在的表面积（  ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．和原来相同 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意可知，将这个长方体挖掉一个小长方体，表面积减少了小长方体的上面与前面的2个小长方形的面积，但又增加了小长方体的后面、下面、左面和右面4个小长方形的面积，根据长方体的相对的面面积相等，所以挖掉一个小长方体后的长方体比原来的长方体的表面积增加了2个小长方形的面积；据此解答。 3、如图所示，明明在一个长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1立方厘米的小正方体。由此可知，这个玻璃容器的容积是（   ）立方厘米。 A．72 B．84 C．90 D．95 【答案】A 【详解】因为1＝1×1×1，所以体积为1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米。 6×4×3＝24×3＝72（立方厘米） 4、用铁丝围成一个长方体框架，长10厘米，宽8厘米，高6厘米，铁丝长( )厘米；如果给它各个面蒙上彩纸，至少要( )平方分米的彩纸；这个长方体所占的空间是( )立方厘米。 【答案】 96 3.76 480 【分析】求铁丝的长其实就是求长方体的棱长总和，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。求彩纸的面积就是求长方体的表面积，根据，代入数据计算即可。再根据，计算可得长方体所占的空间。单位不同要统一单位。 【详解】 （厘米） （平方厘米）（平方分米） （立方厘米） 5、用一根长72cm的铁丝既可以制作成一个长8cm，宽3cm，高( )cm的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )cm的正方体框架，如果给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是( )cm2。 【答案】 7 6 216 【分析】铁丝的长度就是长方体的总棱长，根据长方体的特征，长方体4条长相等，4条宽相等，4条高相等，用铁丝的长度除以4再减去一条长和一条宽，即得到一条高的长度； 根据正方体的总棱长＝棱长×12，据此可得出正方体的棱长等于铁丝长度除以12，再根据正方体的表面积公式，算出给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸的面积。 【详解】 （cm） （cm） （cm2） 6、利民广场有一个花坛，底面是边长1.4米的正方形。四周用砖砌成，砖墙的厚度是0.4米，中间填满了288立方分米的泥土。这个花坛所占的空间是( )立方分米。 【答案】564.48 【分析】砖墙厚度是0.4米，则正方形的内边长是米，根据的逆运算，用泥土的体积÷边长÷边长，可得到花坛的高，再根据长方体的体积公式，代入数据计算即可得解，单位不同要先统一单位。 【详解】1.4米＝14分米 0.4米＝4分米 （分米） （立方分米） 7、如下图，在一块平坦的地面上，实践社团的同学们在工人师傅的帮助下，用砖围了一个长方体水池，池壁厚10（底面利用原有的水泥地）。这个水池的容积是( )。 【答案】8.064 【分析】要求这个水泥池的容积，需要知道水泥池里面的长、宽和高，所以先求出水泥池的长和宽，分别减去两个墙厚即可，高不变，然后用长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，就可求出体积，注意单位名数的统一。 【详解】10cm＝0.1m （3－0.1×2）×（2－0.1×2）×1.6 ＝8.064（m3） 8、正方体的棱长扩大到原来的6倍，它的棱长之和与表面积也扩大到原来的6倍。( ) 【答案】× 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，以及积的变化规律可知，正方体的棱长扩大到原来的6倍，则它的棱长之和扩大到原来的6倍，表面积扩大到原来的（6×6）倍。 9、如图，在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器按图倾斜放置在桌面上，流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长度是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】 如图，流出的水的体积等于涂色部分的一半，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出流出的水的体积，流出的水的体积×2＝涂色部分的体积，涂色部分的体积÷原来正方体容器的底面积＝BC的长度，原来正方体的棱长－BC的长度＝AB的长度，据此列式解答。 【详解】10×10×10＝1000（立方厘米） 1000×2＝2000（立方厘米） 2000÷（20×20）＝5（厘米） 20－5＝15（厘米） 10、下图是一个密封的长方体容器，长35厘米，宽10厘米，高20厘米，里面水深18厘米。（容器的厚度忽略不计） （1）容器中水的体积是多少升？ （2）水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）6.3升 （2）1970平方厘米 【详解】（1）35×10×18 ＝6300（立方厘米） 6300立方厘米＝6.3升 （2）35×10＋35×18×2＋10×18×2 ＝1970（平方厘米） 11、一个花坛（如图），高0.9米，底面是边长1.2米的正方形，四周用木条围成。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？（木条的厚度忽略不计） （3）做这样一个花坛，四周大约需要木条多少平方米？ 【答案】（1）1.44平方米；（2）1.296立方米；（3）4.32平方米 【详解】（1）1.2×1.2＝1.44（平方米） （2）1.44×0.9＝1.296（立方米） （3）1.2×0.9×4＝4.32（平方米） 12、一个近似的长方体油箱，从里面量长8分米、宽6分米、高5分米，油箱的油离油箱上面0.5分米即为加满油。    （1）这个油箱加满可以装多少升汽油？ （2）这个油箱如果加满92号汽油，需要多少元？    【答案】（1）216升 （2）1706.4元 【详解】（1）8×6×（5－0.5）＝216（立方分米） 216立方分米＝216升 （2）216×7.90＝1706.4（元） 13、一个横截面是边长为3分米的长方体管道，如图所示（前、后开口）。 （1）做这样的一节管道需要铁皮多少平方分米？ （2）如果管道里水的流速是每秒2分米，这个管道1分钟能流出多少升的水？ 【答案】（1）1200平方分米 （2）1080升 【详解】（1）10米＝100分米 3×4×100＝1200（平方分米） （2）1分钟＝60秒 3×3×2×60 ＝1080（立方分米） 1080立方分米＝1080升 14、小林有一块长方体积木，表面积是208平方厘米，底面积是48平方厘米，底面周长是28厘米。这块长方体积木的体积是多少立方厘米？ 【答案】192立方厘米 【分析】用这个长方体积木的表面积减去两个底面面积，得到长方体前后、左右四个面的面积之和；而这四个面的面积之和是由底面周长乘高得到的，所以用这四个面的面积之和除以底面周长，计算出长方体积木的高；最后根据长方体的体积＝底面积×高，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】208－48×2＝112（平方厘米） 长方体积木的高：112÷28＝4（厘米） 长方体积木的体积：48×4＝192（立方厘米） 15、青少年活动中心修建了一个长20米、宽10米、深2米的游泳池。在这个游泳池的底部和四周铺上边长2分米的正方形瓷砖，共需多少块这样的瓷砖？ 【答案】8000块 【详解】2分米＝0.2米 20×10＋20×2×2＋10×2×2 ＝320（平方米） 0.2×0.2＝0.04（平方米） 320÷0.04＝8000（块） 16、爸爸买回一个长12分米、宽5分米、高8分米的鱼缸，往鱼缸里倒入360升水，水面距离缸口多少分米？此时水和鱼缸的接触面积是多少平方分米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】2分米；264平方分米 【详解】升立方分米 （分米） （分米） （平方分米） 17、一个长方体游泳池的底面长50米，宽20米，游泳池深2.5米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）若在游泳池的四壁离地面0.5米处画一圈红色的警戒线，警戒线长多少米？ （3）如果池水高度不超过警戒线，这个游泳池最多可以放多少立方米水？ 【答案】（1）1000平方米；（2）140米；（3）500立方米 【详解】（1）50×20＝1000（平方米） （2）（50＋20）×2＝140（米） （3）1000×0.5＝500（立方米） 18、数学课上，小明准备了一个长方体无盖玻璃缸和一些水做实验。 第一步：测量出这个长方体无盖玻璃缸的长、宽、高分别是30厘米、20厘米、20厘米，并往玻璃缸里倒入9升水（如图1）； 第二步：将玻璃缸倾斜，慢慢倒出水，直到AB边和CD边正好在同一水平面上（如图2）； 第三步：将玻璃缸放正，在水面处做标记EF（如图3）； 第四步：继续倒出一些水后，再将玻璃缸倾斜，发现AB边和EF边正好在同一水平面上（如图4）。 （1）制作这个玻璃缸需要多少平方分米的玻璃？ （2）图1的玻璃缸中水深多少分米？ （3）图4的玻璃缸中还剩多少升水？ 【答案】（1）26平方分米 （2）1.5分米 （3）3升 【详解】（1）30厘米＝3分米 20厘米＝2分米 3×2＋（3×2＋2×2）×2 ＝26（平方分米） （2）9÷（3×2）＝1.5（分米） （3）3×2×2÷2＝6（立方分米）6÷2＝3（立方分米） 3立方分米＝3升 考点八 立体图形的切拼 1、一个正方体的棱长和是48厘米，这个正方体的棱长是( )厘米，体积是( )立方厘米；如果把这个正方体切成两个完全一样的长方体，表面积将增加( )平方厘米。 【答案】 4 64 32 【详解】棱长：48÷12＝4（厘米） 体积：4×4×4＝64（立方厘米） 表面积增加：4×4×2＝32（平方厘米） 2、把长1.5米的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加2.4平方分米，原来这根木料的体积是 立方分米。 【答案】9 【详解】1.5米＝15分米 2.4÷4×15＝9（立方分米） 3、一个长方体，如果长减少2厘米，就成为正方体，这时表面积减少48平方厘米，求原来长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】288 【详解】48÷2＝24（厘米）24÷4＝6（厘米）（6＋2）×6×6＝288（立方厘米） 4、把一根 2.5米长的长方体木料垂直于长锯成4段，表面积增加48平方分米。原来这根木料的体积是( )立方分米。 【答案】200 【详解】2.5米＝25分米 增加截面的个数：（4－1）×2＝6（个） 截面的面积：48÷6＝8（平方分米） 体积：8×25＝200（立方分米） 5、贝贝用三个完全一样的小正方体拼成一个长方体（如下图）。拼成之后，梭长之和减少了160厘米。原来每个小正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】1000立方厘米 【分析】由题意可知，三个完全一样的小正方体拼成一个长方体，减少了4个面，即条棱长，已知拼成之后，梭长之和减少了160cm，即160cm是16条棱长的和，用除法计算出每条棱长的长度，再根据，代入数据，即可得解。 【详解】（厘米） （立方厘米） 6、一个长方体，如果宽增加2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来增加32平方厘米。原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】64 【分析】根据题意可知，如果宽增加2厘米，就变成一个正方体，说明长方体的长和高相等，宽比长、高少2厘米，也就是增加的4个面的面积相同，已知增加了32平方厘米，据此用除法求出每个增加的面的面积，再根据长方形的面积公式，用每个增加的面的面积除以2，即可求出长方体的长、高，进而求出宽，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据即可解答。 【详解】32÷4＝8（平方厘米） 长、高：8÷2＝4（厘米） 宽：4－2＝2（厘米） （4×2＋4×4＋2×4）×2 ＝64（平方厘米） 7、一个长方体木块的长是8分米、宽是6分米、高是5分米，把这个长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是( )平方分米；剩余的体积是( )立方分米。 【答案】 150 115 【分析】根据题意可知，长方体削成一个最大正方体，正方体的棱长等于长方体的高；根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出这个正方体的表面积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，分别求出长方体木块的体积和削成正方体木块的体积，再用长方体木块的体积－削成正方体木块的体积，即可解答。 【详解】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 8×6×5－5×5×5 ＝48×5－25×5 ＝240－125 ＝115（立方分米） 一个长方体木块的长是8分米、宽是6分米、高是5分米，把这个长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是150平方分米；剩余的体积是115立方分米。 8、把表面积是48平方厘米的正方体切分成两个不同的长方体，如果第一个长方体的表面积是20平方厘米，第二个长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】44 【分析】把正方体切成2个长方体，表面积比原来增加了2个正方形面的面积，已知原来正方体的表面积是48平方厘米，用表面积除以6即可求出1个面的面积，进而求出2个面的面积；然后用原来正方体的表面积加上增加的面积，即可求出现在2个长方体的表面积，最后减去第一个长方体表面积，即可求出第二个长方体表面积。 【详解】48÷6＝8（平方厘米） 8×2＝16（平方厘米） 48＋16＝64（平方厘米） 64－20＝44（平方厘米） 9、一个长方体的木块，正好截成两个完全相同的正方体。表面积比原来增加了200平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】1000平方厘米 【分析】长方体切分成两个正方体，增加的表面积为正方体两个面的面积之和，所以正方体一个面的面积是200÷2＝100（平方厘米）。由图可知，原来长方体的左面和右面为正方形，面积均为100平方厘米，长方体的上、下、左、右四个面均为两个正方形的面积之和，是200平方厘米，最后将六个面的面积相加即可。据此解答。 【详解】200÷2＝100（平方厘米） 100×2＋200×4 ＝200＋800 ＝1000（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是1000平方厘米。 10、如图，一根方钢的表面积是80平方分米，它的横截面是边长1分米的正方形，工人师傅每次都割下一个棱长1分米的小正方体钢块。 （1）填表。 割下方钢的个数 1 2 3 … 剩下方钢的表面积（平方分米） … （2）当割下8个小方钢时，剩下方钢的表面积是（    ）平方分米。 （3）当剩下方钢的表面积是20平方分米时，共割下（    ）个小正方体钢块。 （4）当割下n个小方钢时，剩下方钢的表面积是（    ）。 【答案】（1）见详解 （2）48 （3）15 （4）（80－4n）平方分米 【分析】（1）割下1个钢块时，方钢减少4个边长为1分米的正方形的面积；割下2个钢块时，减少（4＋4）个边长为4分米的正方形的面积；割下3个钢块时，减少（4＋4＋4）个边长为4分米的正方形的面积；以此类推。 （2）当割下8个小方钢时，表面积减少了（4×8）平方分米，剩下方钢的表面积是（80－4×8）平方分米。 （3）当剩下方钢的表面积是20平方分米时，则方钢的表面积减少了（80－20）平方分米，用减少的表面积除以4，所得结果即为一共割下多少个小正方体钢块。 （4）观察可知，每割下1个小方钢，方钢的表面积减少4平方分米；当割下n个小方钢时，则剩下方钢的表面积为（80－4n）平方分米。 【详解】（1）80－4＝76（平方分米） 80－4×2＝72（平方分米） 80－4×3 ＝68（平方分米） 因此填表如下： 割下方钢的个数 1 2 3 … 剩下方钢的表面积（平方分米） 76 72 68 … （2）80－4×8＝48（平方分米） 因此当割下8个小方钢时，剩下方钢的表面积是48平方分米。 （3）（80－20）÷4＝15（个） 因此当剩下方钢的表面积是20平方分米时，共割下15个小正方体钢块。 （4）80－4×n＝（80－4n）平方分米，因此当割下n个小方钢时，剩下方钢的表面积是（80－4n）平方分米。 考点九 表面涂色的正方体 1、把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有 个，1个面涂红色的小正方体有 个。 【答案】 8 6 【分析】依据题意可知，大正方体被分成（3×3×3）个小正方体，3个面涂红色的小正方体在大正方体的顶点位置处，1个面涂红色的小正方体在大正方体的6个面上（除去棱上的小正方体），由此解答本题。 【详解】由分析可知： 3个面涂红色的小正方体有8个，1个面涂红色的小正方体有6个。 2、魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智类玩具。通常意义下的魔方是指狭义的三阶魔方（即6个面，每个面三行三列），形状通常是正方体，后来又发展出了更多类型的魔方，如有一个正方体魔方，表面涂有颜色，如果其中两面涂色的小方块有36个，则这个正方体魔方是( )阶魔方，这个魔方一面涂色的有( )个。 【答案】 5 54 【分析】根据正方体的特征，两面涂色的小方块在大正方体棱长的中间，正方体有12条棱，两面涂色的小方块数量÷12＝每条棱上两面涂色的小方块数量，每条棱上两面涂色的小方块数量＋2＝每条棱上小方块的数量，即魔方的阶数；一面涂色的小方块在大正方体每个面的中间，一面涂色的小方块数量＝（魔方的阶数－2）×（魔方的阶数－2）×6。 【详解】如图36÷12＋2＝5（阶） （5－2）×（5－2）×6＝54（个） 3、玩具厂的工人用棱长为1厘米的小正方体组成了一个魔方，他们把这个魔方的6个面都涂色，其中2面涂色的小正方体有12个，这个魔方的体积是( )立方厘米，1面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 27 6 【分析】根据正方体表面涂色的特点可知：3面涂色的小正方体在顶点处，2面涂色的小正方体在每条棱上，其中2面涂色的小正方体有12个，那么每条棱上都有一个小正方体2面涂色，则这个魔方的棱长为3厘米；根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算出这个魔方的体积；且这个魔方每个面都有一个小正方体1面涂色，一共有6个面；据此解答。 【详解】由分析可知，组成的这个魔方的棱长是3厘米，1面涂色的小正方体有6个。 3×3×3＝27（立方厘米） 因此这个魔方的体积是27立方厘米，1面涂色的小正方体有6个。 4、把一个棱长为5厘米的正方体表面涂色，然后切成棱长是1厘米的小正方体，可以切成( )个小正方体，切成的正方体中，两面涂色的小正方体有( )个。 【答案】 125 36 【分析】先根据正方体的体积公式V＝a3，分别求出棱长为5厘米、棱长为1厘米的正方体体积，再相除，即可求出棱长为5厘米的正方体可以切成多少个棱长为1厘米的小正方体。 根据正方体表面涂色的特点可知，两面涂色的小正方体在每条棱上；棱长为5厘米的正方体的每条棱上有5个小正方体，每条棱上有5－2＝3个两面涂色的小正方体，则12条棱共有12×3＝36个两面涂色的小正方体。 【详解】（5×5×5）÷（1×1×1）＝125（个） 12×（5－2）＝36（个） 可以切成125个小正方体，切成的正方体中，两面涂色的小正方体有36个。 5、把一个表面涂上颜色的正方体，每条棱平均分成若干份，切成64个相等的小正方体。在这些小正方体中，3面涂色的有( )个，1面涂色的有( )个。 【答案】 8 24 【分析】根据题意正方体平均切成了64个小正方体，那么大正方体的棱长是4，分割的正方体中，三面涂色的是顶点8个正方体； 一面涂色的是剩下的外表面的正方体，有[（4－2）×（4－2）×6]个正方体，据此解答。 【详解】由分析可知：三面涂色的小正方体个数：8个； 一面涂色的小正方体个数： （4－2）×（4－2）×6 ＝2×2×6 ＝4×6 ＝24（个） 把一个表面涂上颜色的正方体，每条棱平均分成若干份，切成64个相等的小正方体，在这些小正方体中，3面涂色的有8个，1面涂色的有24个。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$