2024-2025学年浙教版数学八年级上册期末复习训练——一次函数

( 2024-2025学年 浙江八上数学 期末专练 ) ( 期末专练 （一次函数） ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025学年八上期末复习之一次函数 一．一次函数与不等式、方程 一次函数的交点问题：可转化为两个一次函数联立，建立一个二元一次方程组求解的问题； 求一次函数大于或小于某数（式）：可先画出一次函数的图像，再求出交点，根据图像求出解集。 【★★★】1．（2023秋•上城区期末）一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数且k≠0，b≠0）与y＝3x的图象相交于点N（m，﹣6），则关于x的方程kx﹣b＝3x的解为x＝　 　． 【★★★】2．（2023秋•西湖区期末）已知直线y＝mx（m≠0）与直线y＝kx+4（k≠0）的交点坐标为P（1，3）， （1）试确定方程组的解． （2）直接写出方程组的解． 【★★★】3．（2023秋•杭州期末）一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k＞0）的图象过点（﹣1，0），则关于x的不等式：k（x﹣1）+b＞0的解是（　　） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1 【★★★】4．（2023秋•嘉兴期末）如图，函数与y＝kx+3的图象相交于点A（m，1），则关于x的不等式的解为 　 　． 【★★★】5．（2023秋•诸暨市期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是 　 　． 二．对称与最值问题 1.将军饮马 2.最值函数的概念 【★★★】6．（2023秋•西湖区期末）若一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣x+2的图象关于y轴对称，则k＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【★★★】7．（2023秋•瓯海区校级期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为 　 　． 【★★★★】8．（2023秋•舟山期末）定义运算：对于实数a，b，c，mid{a，b，c}＝b（a≥b≥c）．例如mid{1，2，3}＝2，mid{﹣1，2，﹣3}＝﹣1，mid{1，2，2}＝2．若，对于某个确定的k，有且只有一个x使等式成立，则k的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或k＜﹣4 【★★★★】9．（2023秋•嘉兴期末）如图，在直角坐标系中，已知点A（1，2），B（﹣1，3），C（2.5，﹣1），直线l是第二、四象限的角平分线． （1）操作：连结线段AB，作出线段AB关于直线l的轴对称图形A1B1． （2）发现：请写出坐标平面内任一点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标． （3）应用：请在直线l上找一点Q，使得QA+QC最小，并写出点Q的坐标． 三．一次函数的图像与性质 1. 正比例函数y=kx(k≠0, k是常数) 的图像是经过O（0，0）和M（1，k）两点的一条直线（如图1）.（1）当k＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k＜0时，图像经过原点和第二、四像限. 图1 图2 2.一次函数y=kx+b(k是常数，k≠0) 的图像是经过A（0,b）和B（-，0）两点的一条直线，当kb≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况： （1）k＞0,b＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图3 （2）k＞0,b＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图4 （3）k＜0,b＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图5 （4）k＜0,b＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图6 图3 图4 图5 图6 3.一次函数的增减性 （1）增减性 如果函数当x在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当x在这一取值范围内具有增减性. （2）一次函数的增减性 一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质： （1）k＞0时，y随x的增加而增加； （2）k＜0时，y随x的增加而减小. 【★★★】10．（2023秋•钱塘区期末）两个一次函数y＝ax﹣b，y＝bx﹣a（a，b为常数），它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【★★★】11．（2023秋•西湖区期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是（　　） A．k1+k2＜0 B．k1k2＞0 C．b1+b2＜0 D．b1b2＞0 【★★】12．（2023秋•滨江区期末）对于一次函数y＝﹣5x+3，下列结论正确的是（　　） A．图象经过（﹣1，1） B．y随x的增大而减小 C．图象经过一、三、四象限 D．不论x取何值，总有y＜0 【★★】13．（2023秋•西湖区期末）若一次函数y＝kx+k的图象经过点A，且y随着x的增大而增大，则点A的坐标可以是（　　） A．（﹣2，1） B．（0，0） C．（1，1） D．（2，﹣4） 【★★】14．（2023秋•钱塘区期末）已知点A（a，y1），B（a+2，y2）在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，则y1与y2的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【★★★】15．（2023秋•上城区期末）一次函数y＝ax+b（a＜0）图象过（2，0）点，点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数图象上，且x1＞x2，则下列判断正确的是（　　） A．若x2＞0，则y1＜0 B．若x2＞2，则y1＜0 C．若x2＜0，则y1＞0 D．若x2＜2，则y1＜0 【★★★】16．（2023秋•杭州期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），y随x的增大而减小，且kb＞0，则它的图象经过的象限正确的是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【★★★】17．（2023秋•瓯海区校级期末）已知A（﹣3，y1），B（2，y2）是一次函数y＝kx+b（k＜0）图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【★★★】18．（2023秋•余姚市期末）一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　 　． 【★★★】19．（2023秋•舟山期末）已知关于x的一次函数y＝（2﹣5a）x+3的图象上有任意两个点（x1，y1），（x2，y2）若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则a的取值范围是 　 　． 【★★★】20．（2023秋•嘉兴期末）一次函数y＝kx+6的图象与x轴的交点坐标为（x0，0），且1＜x0≤3，p＝10k+1，则p的取值范围是（　　） A．﹣61＜p≤﹣21 B．﹣61≤p＜﹣21 C．﹣59＜p≤﹣19 D．﹣59≤p＜﹣19 【★★★★】21．（2023秋•温州期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第一象限，当﹣1≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为5，则k的值为 　 　． 【★★★★】22．（2023秋•上城区期末）一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）． （1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式； （2）若有另一个一次函数y2＝bx+a． ①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2； ②设函数y＝y1﹣y2，当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值． 【★★★★】23．（2023秋•钱塘区期末）设两个不同的一次函数y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常数，且kb≠0）． （1）若函数y1的图象经过点（2，﹣1），函数y2的图象经过点（1，﹣3），求k，b的值． （2）若函数y1的图象经过点（r，0），求证：函数y2的图象经过点； （3）设y3＝y1﹣y2，y4＝y2﹣y1，当y3＞y4时，求x的取值范围． 五．一次函数的应用 常考类型： 1. 行程问题 2. 利润问题 3. 电费、水费问题 4. 方案设计问题 【★★】24．（2023秋•西湖区期末）如图，图中的折线OABC反映了圆圆从家到学校所走的路程S（m）与时间t（min）的函数关系，其中，OA所在直线的表达式为y＝k1x（k1≠0），BC所在直线的表达式为y＝k2x+b（k2≠0），则k2﹣k1＝　 　． 【★★★】25．（2023秋•嘉兴期末）小明和爸爸两人从相距4千米的甲地前往乙地，两人同时出发，小明骑自行车，爸爸骑电瓶车．线段OA，折线OBCD分别表示小明和爸爸距离甲地路程S（千米）与时间t（分）之间的函数关系．下列说法正确的是（　　） A．小明骑车速度为千米/小时 B．爸爸中途停留了20分钟 C．小明在第15分钟追上爸爸 D．小明比爸爸早到5分钟 【★★★】26．（2023秋•杭州期末）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲骑自行车匀速从A地到B地，乙骑摩托车匀速从B地到A地，到达A地后立即按原路匀速返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．若两人之间的距离不超过5km时，能够用无线电对讲机保持联系，甲、乙两人能够用无线电对讲机保持联系时．则x的取值范围是 　 　． 【★★★】27．（2023秋•瓯海区校级期末）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变．两车离甲地的距离y（km）与慢车行驶时间t（h）的函数关系如图所示，那么两车先后两次相遇的间隔时间为（　　） A．1h B．1.2h C．1.5h D．1.8h 【★★★】28．（2023秋•诸暨市期末）“激情马拉松•活力好青年”，2023年12月10日，诸暨西施马拉松鸣笛开跑．在比赛过程中，乙选手匀速跑完全程，甲选手1.5h后的速度为10km/h，甲、乙两选手的部分行程y（km）随起跑的时间x（h）变化的图象如图所示．下列说法中正确的个数有（　　） ①起跑后半小时内甲的速度为16km/h；②第1小时两人都跑了10km； ③图中记录的两人所跑路程都为20km；④图中所示的截止行程点处乙比甲早到0.2h． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【★★★】29．（2023秋•余姚市期末）已知甲、乙两城市之间每隔2h有一列动车组列车以相同的速度从甲城开往乙城．如图，OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题： （1）从图象可知，动车组列车的行驶速度为 　 　km/h； （2）请直接在图中画出第二列动车组列车离开甲城的路程s与时间t的函数图象； （3）若普通快车的速度为100km/h，问第一列动车组列车出发多长时间后与这列普通快车相遇？ 【★★★】30．（2023秋•温州期末）【情境】某快递车从公司出发，到达A驿站，卸完包裹后立即前往B驿站，再卸完包裹后按原路返回公司．快递车行驶速度恒定，在两个驿站卸包裹的时间一样．快递车离公司的路程S与时间t的关系（部分数据）如图所示． 【问题】快递车在每个驿站卸包裹的时间为（　　） A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟 【★★★】31．（2023秋•钱塘区期末）钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江（河）连续绿道．小聪和小慧两人在笔直的绿道上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知小聪先出发4分钟，在整个步行过程中，小聪、小慧两人的距离y（米）与小聪出发的时间t（分）之间的关系如图所示． （1）分别求出小聪和小慧的速度，并说明B点的实际意义． （2）求出C、D两点的坐标． 【★★★】32．（2023秋•舟山期末）为节约用水，某市居民生活用水按级收费，水价分三个等级：第一级为月用水量17m3及以下（含17m3）；第二级为月用水量超过17m3，不到31m3；第三级为月用水量31m3及以上（含31m3），如图是某住户收到的一张自来水总公司水费专用发票． 自来水总公司水费专用发票 发票联 计费日期：2023﹣04﹣01至2023﹣04﹣30 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量 （m3） 本期用水量（m3） 587 607 20 自来水费（含水资源费） 污水处理费 用水量（m3） 单价（元/m3） 金额（元） 用水量（m3） 单价（元/m3） 金额（元） 阶梯一：17 1.75 29.75 阶梯二：3 2.3 6.9 17 0.45 7.65 3 0.6 1.8 本期实付金额（大写） 肆拾陆元壹角整￥46.10 注：（居民生活用水水价＝自来水费+污水处理费） （1）若某用户的月用水量为x（m3）（0≤x≤17），应付的水费为y元，求y关于x的函数表达式； （2）若下个月份该用户收到的自来水发票实付金额为69.3元，则下个月份该用户的用水量为多少m3？ （3）根据该发票信息，你能计算月用水量超过31m3时应付的水费吗？如果能，请计算月用水量超过31m3时，应付的水费y元与月用水量x（m3）的函数表达式；如果不能，请你思考：通过哪些渠道可以获取信息，得到该用户水费的计算方式． 【★★★】33．（2023秋•诸暨市期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 【★★★】34．（2022•峄城区校级模拟）为了抓住开学的商机，某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器8件，B种计算器3件，需要625元；若购进A种计算器6件，B种计算器5件，需要675元． （1）求购进A，B两种计算器每台需多少元？ （2）若该商店决定拿出0.5万元全部用来购进这两种计算器，考虑到市场需求，要求购进A种计算器的数量不少于B种计算器数量的4倍，且不超过B种计算器数量的6倍，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件A种计算器可获利润10元，每件B种计算器可获利润13元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【★★★★】35．（2023秋•钱塘区期末）学校准备安装校园人脸识别系统，计划购买人脸识别通道闸机和门禁机．已知通道闸机的单价是门禁机单价的3倍，购买2台通道闸机和4台门禁机共需7500元． （1）求通道闸机和门禁机的单价． （2）已知该校园内至少需要安装10台通道闸机，若购买通道闸机和门禁机共40台，且费用不超过48000元，请列出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金多少元？ 【★★★】36．（2023秋•温州期末）综与实践：如何选择印刷厂更优惠？ 【情境】某校准备印刷一批《新生手册》，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示．设印制数量为x（份），甲、乙两印刷厂的收费分别为y甲（元）和y乙（元）． 【项目解决】 目标1：确定甲厂收费标准． 求y甲关于x的函数表达式． 目标2：初步比较印刷费用． 当印刷份数在1200份以下时，印多少份两厂费用相同？ 目标3：给出最终选择方案． 根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？ 【★★★】37．（2023秋•上城区期末）有一块长方形菜园ABCD，一边利用足够长的墙，另三边用长度为20m的篱笆围成，设长方形的长BC为x m，宽AB为y m，则下列函数图象能反映y与x关系的是（　　） A． B． C． D． 【★★★】38．（2023秋•杭州期末）如图，一次函数y＝kx﹣8的图象交y轴于A点，交x轴于B点，且，点P是第一象限内直线AB上的动点，连结OP． （1）求出点B的坐标及k的值； （2）设点P（x，y），求出△OBP的面积S与x的函数表达式． 【★★★★】39．（2023秋•舟山期末）如图①，在长方形ABCD中，AB＝CD＝10cm，BC＝AD＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止；点P出发时的速度为每秒1cm，a秒时点P的速度变为每秒b（cm），图②是点P出发x秒后，△APD的面积S（cm2）与x（秒）的函数图象． （1）根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c的值； （2）设点P运动的路程为y（cm），请写出点P出发后，y与x的函数表达式； （3）当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【★★★★】40．（2023秋•余姚市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0），给出如下定义：若P为△ABC内（不含边界）一点，且BP与△APC的一条边相等，则称点P为△ABC的和谐点． （1）在P1（﹣1，1），P2（2，2），P3（0，5）中，△ABC的和谐点是 　 　； （2）若点P为△ABC的和谐点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标； （3）直线l为过点M（0，m）且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的两个和谐点，请直接写出m的取值范围． 【★★★★】41．（2023秋•诸暨市期末）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过A（0，3），B（1，0）两点，点C为l1上一点，横坐标为，直线l2经过C，D（﹣3，0）两点，交y轴于点E． （1）求点C坐标； （2）猜想∠DCB的度数并说明理由； （3）若M为直线l1上一点，N为x轴上一点，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD全等，直接写出点M的坐标． 【★★★★】42．（2023秋•嘉兴期末）如图，在直角坐标系xOy中，点A（0，4），点B为x轴正半轴上一个动点，以AB为边作△ABC，使BC＝AB，∠ABC＝90°，且点C在第一象限内． （1）如图1，若B（2，0），求点C的坐标． （2）如图2，过点B向x轴上方作BD⊥OB，且BD＝BO，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由． （3）如图3，过点B向x轴下方作BD⊥OB，且BD＝BO，连结CD交x轴于点E，当△ABD的面积是△BEC的面积的2倍时，求OE的长． 【★★★】43．（2024•确山县二模）根据表中素材，探索完成以下任务： 建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴” 问题情境 素材1 已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨． 素材2 现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨． 素材3 从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨； 从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨． 问题解决 分析 设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格． 设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格： 运量（吨） 运费（元） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A村 x 48-x 20x 15（48-x） B村 ① x+12 25（40-x） ② 问题1 设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式并求出最少总运费． 问题2 为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少a（4＜a＜8）元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（用含a的代数式表示） 【★★★】44．（2023秋•上城区期末）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是x cm，单层部分的长度是y cm，得到如下数据： 双层部分长度x（cm） 2 6 10 14 a 单层部分长度y（cm） 116 108 100 92 70 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3 素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围． 任务2 设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式． 任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度． 【★★★】45．（2023秋•西湖区期末）综合与实践 【情境描述】 圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里． 【观察发现】 圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量x（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（cm） 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 … 【建立模型】 （1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求h关于x的函数表达式． （2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度． 【解决问题】 请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？ 2024-2025学年八年级期末复习之一次函数 答案解析 二．一次函数与不等式、方程 1．（2023秋•上城区期末）一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数且k≠0，b≠0）与y＝3x的图象相交于点N（m，﹣6），则关于x的方程kx﹣b＝3x的解为x＝　﹣2　． 【解答】解：把N（m，﹣6）代入y＝3x得：3m＝﹣6， 解得m＝﹣2，∴N（﹣2，﹣6），∴关于x的方程kx﹣b＝3x的解为x＝﹣2故答案为：﹣2． 2．（2023秋•西湖区期末）已知直线y＝mx（m≠0）与直线y＝kx+4（k≠0）的交点坐标为P（1，3）， （1）试确定方程组的解． （2）直接写出方程组的解． 【解答】解：（1）∵直线y＝mx（m≠0）与直线y＝kx+4（k≠0）的交点坐标为P（1，3）， ∴方程组的解为． （2） 方程组的解为． 3．（2023秋•杭州期末）一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k＞0）的图象过点（﹣1，0），则关于x的不等式：k（x﹣1）+b＞0的解是（　　） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0）， ∴把一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象向右平移1个单位过原点，即一次函数y＝（k﹣1）x+b的图象过点（0，0）， 由图可知，关于x的不等式：k（x﹣1）+b＞0的解是x＞0．故选：A． 4．（2023秋•嘉兴期末）如图，函数与y＝kx+3的图象相交于点A（m，1），则关于x的不等式的解为 　x≤﹣2　． 【解答】解：根据题意，函数与y＝kx+3的图象相交于点A（m，1）， 将点A（m，1）代入函数，可得，解得m＝﹣2，∴A（﹣2，1）， 由函数图象可知，当x≤﹣2，直线y＝kx+3在直线下方， 此时可有，即有， ∴关于x的不等式的解为x≤﹣2．故答案为：x≤﹣2． 5．（2023秋•诸暨市期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是 　x＞3　． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1）， 由图象可知，当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3，故答案为：x＞3． 二．对称与最值问题 6．（2023秋•西湖区期末）若一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣x+2的图象关于y轴对称，则k＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：直线y＝﹣x+2，x＝0时，y＝2；y＝0时，x＝2； ∴直线y＝﹣x+2与x轴交于（2，0），与y轴交于（0，2）． ∴直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），（0，2）．∴，解得k＝1．故选：A． 7．（2023秋•瓯海区校级期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为 　　． 【解答】解：由得，∴A（2，3），由一次函数，令y＝0，解得x＝﹣2，∴B（﹣2，0），∴S△AOB＝OB•|yA|＝＝3，AB＝＝5， ∵当OP⊥AB时，OP最小，∴此时S△AOB＝AB•OP，∴×5OP＝3， ∴OP最小为，故答案为：． 8．（2023秋•舟山期末）定义运算：对于实数a，b，c，mid{a，b，c}＝b（a≥b≥c）．例如mid{1，2，3}＝2，mid{﹣1，2，﹣3}＝﹣1，mid{1，2，2}＝2．若，对于某个确定的k，有且只有一个x使等式成立，则k的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或k＜﹣4 【解答】解：当﹣x﹣3＝x+2时，x＝；当﹣x﹣3＝x﹣1时，x＝；当x+2＝x﹣1时，x＝﹣6． （﹣x﹣3）﹣（x+2）＝﹣2x﹣5，（﹣x﹣3）﹣（x﹣1）＝﹣x﹣2，（x+2）﹣（x﹣1）＝x+3． ①当x≤﹣6时，﹣2x﹣5＞0，﹣x﹣2＞0，x+3≤0，∴﹣x﹣3＞x﹣1≥x+2，此时k＝x﹣1， 由x≤﹣6得x﹣1≤﹣4，即k≤﹣4； ②当﹣6＜x≤时，﹣2x﹣5≥0，﹣x﹣2＞0，x+3＞0，∴﹣x﹣3≥x+2＞x﹣1，此时k＝x+2，由﹣6＜x≤得﹣4＜x+2≤，即﹣4＜k≤；③当＜x≤时，﹣2x﹣5＜0，﹣x﹣2≥0，x+3＞0，∴x+2≥﹣x﹣3≥x﹣1，此时k＝﹣x﹣3，由＜x≤得≤﹣x﹣3＜，即≤k＜； ④当x＞时，2x﹣5＜0，﹣x﹣2＜0，x+3＞0，∴x+2＞x﹣1＞﹣x﹣3，此时k＝x﹣1，由x＞得x﹣1＞，即k＞； 将k的取值范围表示在数轴上如下： ∵对于某个确定的k，有且只有一个x使等式成立，∴k＞或k＜故此题答案选：A． 9．（2023秋•嘉兴期末）如图，在直角坐标系中，已知点A（1，2），B（﹣1，3），C（2.5，﹣1），直线l是第二、四象限的角平分线． （1）操作：连结线段AB，作出线段AB关于直线l的轴对称图形A1B1． （2）发现：请写出坐标平面内任一点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标． （3）应用：请在直线l上找一点Q，使得QA+QC最小，并写出点Q的坐标． 【解答】解：（1）如图，线段A1B1即为所作； （2）由题意得，P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标为P′（﹣b，﹣a）； （3）如图2， 点Q即为所作，Q点的坐标为（1，﹣1）， 三．一次函数的图像与性质 10．（2023秋•钱塘区期末）两个一次函数y＝ax﹣b，y＝bx﹣a（a，b为常数），它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当a＞0，b＞0时，对于y＝ax﹣b，图象经过第一、三、四象限，则y＝bx﹣a也要经过第一、三，四象限， 当a＞0，b＜0时，对于y＝ax﹣b，图象经过第一、二、三象限，则y＝bx﹣a经过第二、三，四象限， 当a＜0，b＞0时，对于y＝ax﹣b，图象经过第二、三、四象限，则y＝bx﹣a经过第一、二，三象限， 当a＜0，b＜0时，对于y＝ax﹣b，图象经过第一、二、四象限，则y＝bx﹣a经过第一、二，四象限， 故选项A正确，B、C、D错误；故选：A． 11．（2023秋•西湖区期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（其中k1k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是（　　） A．k1+k2＜0 B．k1k2＞0 C．b1+b2＜0 D．b1b2＞0 【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过第一、二、三象限， ∴k1＞0，b1＞0， ∵一次函数y＝k2x+b2的图象过第一、三、四象限， ∴k2＞0，b2＜0，且|b1|＞|b2|， ∵A、k1+k2＜0， 故A不符合题意； B、k1k2＞0， 故B符合题意； C、b1+b2＞0， 故C不符合题意； D、b1•b2＜0，故D不符合题意；故选：B． 12．（2023秋•滨江区期末）对于一次函数y＝﹣5x+3，下列结论正确的是（　　） A．图象经过（﹣1，1） B．y随x的增大而减小 C．图象经过一、三、四象限 D．不论x取何值，总有y＜0 【解答】解：将x＝﹣1代入函数解析式得， y＝﹣5×（﹣1）+3＝8≠1， 所以点（﹣1，1）不在一次函数的图象上． 故A选项错误． 因为﹣5＜0， 所以一次函数y＝﹣5x+3中y随x的增大而减小． 故B选项正确． 因为一次函数与y轴交于点（0，3），且y随x的增大而减小， 所以该一次函数的图象经过第一、二、四象限． 故C选项错误． 当x＝﹣1时， y＝﹣5×（﹣1）+3＝8＞0． 故D选项错误．故选：B． 13．（2023秋•西湖区期末）若一次函数y＝kx+k的图象经过点A，且y随着x的增大而增大，则点A的坐标可以是（　　） A．（﹣2，1） B．（0，0） C．（1，1） D．（2，﹣4） 【解答】解：∵y随着x的增大而增大，∴k＞0． A．当点A的坐标为（﹣2，1）时，﹣2k+k＝1， 解得：k＝﹣1＜0，不符合题意； B．当点A的坐标为（0，0）时，0＝k，不符合题意； C．当点A的坐标为（1，1）时，k+k＝1，解得：k＝＞0，符合题意； D．当点A的坐标为（2，﹣4）时，2k+k＝﹣4，解得：k＝﹣＜0，不符合题意．故选：C． 14．（2023秋•钱塘区期末）已知点A（a，y1），B（a+2，y2）在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，则y1与y2的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+b，∴该函数图象上y随x的增大而减小， ∵点A（a，y1），B（a+2，y2）在一次函数y＝﹣3x+b的图象上，a＜a+2，∴y1＞y2，故选：A． 15．（2023秋•上城区期末）一次函数y＝ax+b（a＜0）图象过（2，0）点，点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数图象上，且x1＞x2，则下列判断正确的是（　　） A．若x2＞0，则y1＜0 B．若x2＞2，则y1＜0 C．若x2＜0，则y1＞0 D．若x2＜2，则y1＜0 【解答】解：∵a＜0，∴y随x的增大而减小， ∵点（x1，y1），（x2，y2），（2，0）在一次函数y＝ax+b的图象上，且x1＞x2＞2， ∴y1＜y2＜0，∴若x2＞2，则y1＜0．故选：B． 16．（2023秋•杭州期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），y随x的增大而减小，且kb＞0，则它的图象经过的象限正确的是（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），y随x的增大而减小，∴k＜0， ∵kb＞0，∴b＜0， ∴一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象经过第二、三、四象限．故选：D． 17．（2023秋•瓯海区校级期末）已知A（﹣3，y1），B（2，y2）是一次函数y＝kx+b（k＜0）图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【解答】解：∵k＜0，∴y随x的增大而减小， 又∵﹣3＜2，∴y1＞y2，故选：A． 18．（2023秋•余姚市期末）一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　　． 【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小， ∴2m﹣6＜0，解得，m＜3；故答案为：m＜3． 19．（2023秋•舟山期末）已知关于x的一次函数y＝（2﹣5a）x+3的图象上有任意两个点（x1，y1），（x2，y2）若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则a的取值范围是 　　． 【解答】解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， ∵（x1﹣x2）＞0，（y1﹣y2）＜0，或（x1﹣x2）＜0，（y1﹣y2）＞0． ∴x1＞x2，y1＜y2，或x1＜x2，y1＞y2． 即y随x的增大而减小或y随x的减小而增大． ∴2﹣5a＜0．∴．故答案为：． 20．（2023秋•嘉兴期末）一次函数y＝kx+6的图象与x轴的交点坐标为（x0，0），且1＜x0≤3，p＝10k+1，则p的取值范围是（　　） A．﹣61＜p≤﹣21 B．﹣61≤p＜﹣21 C．﹣59＜p≤﹣19 D．﹣59≤p＜﹣19 【解答】解：一次函数y＝kx+6的图象与x轴的交点坐标为（x0，0）且1＜x0≤3， ∴0＝kx0+6，k＜0，∴， ∵1＜x0≤3，∴﹣6＜k≤﹣2， ∵p＝10k+1，∴﹣59＜p≤﹣19．故选：C． 21．（2023秋•温州期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第一象限，当﹣1≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为5，则k的值为 　 ． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第一象限， ∴k＜0，b≤0，∴y随x的增大而减小， 当x＝﹣1时，y＝﹣k+b；当x＝3时，y＝3k+b， ∵当﹣1≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为5， ∴﹣k+b﹣（3k+b）＝5，解得k＝﹣．故答案为：﹣． 22．（2023秋•上城区期末）一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）． （1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式； （2）若有另一个一次函数y2＝bx+a． ①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2； ②设函数y＝y1﹣y2，当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值． 【解答】（1）解：∵一次函数y1＝ax+b经过点（1，0）和点（2，3）， ∴a+b＝0，2a+b＝3，解得：a＝3，b＝﹣3， ∴y1的表达式为：y1＝3x﹣3； （2）①证明：∵一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）， ∴a+b＝0， ∴b＝﹣a， ∴y1的表达式为：y1＝ax﹣a， ∵y2＝bx+a， ∴y2＝﹣ax+a， ∵点A（m，p）在一次函数y1＝ax﹣a的图象上， ∴p＝ma﹣a， ∵点B（n，p）在一次函数y2＝﹣ax+a的图象上， ∴p＝﹣na+a， ∴ma﹣a＝﹣na+a， 即ma+na＝2a， ∵a≠0， ∴m+n＝2； ②解：由①得y1＝ax﹣a，y2＝﹣ax+a， ∵y＝y1﹣y2， ∴y＝（ax﹣a）﹣（﹣ax+a）＝2ax﹣2a， ∵a≠0， ∴有以下两种情况： （ⅰ）当a＜0时， 对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而减小， 又∵﹣2≤x≤4， ∴当x＝﹣2时，y为最大， ∴2a×（﹣2）﹣2a＝6， 解得：a＝﹣1 （ⅱ）当a＞0时，对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而增大， 又∵﹣2≤x≤4， ∴当x＝4时，y为最大，∴2a×4﹣2a＝6，解得：a＝1， 综上所述：当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，a的值为﹣1或1． 23．（2023秋•钱塘区期末）设两个不同的一次函数y1＝kx+b，y2＝bx+k（k，b是常数，且kb≠0）． （1）若函数y1的图象经过点（2，﹣1），函数y2的图象经过点（1，﹣3），求k，b的值． （2）若函数y1的图象经过点（r，0），求证：函数y2的图象经过点； （3）设y3＝y1﹣y2，y4＝y2﹣y1，当y3＞y4时，求x的取值范围． 【解答】（1）解：将点（2，﹣1）和（1，﹣3）分别代入y1和y2得， ，解得，所以k的值为2，b的值为﹣5． （2）证明：因为函数y1的图象经过点（r，0）， 所以kr+b＝0．将x＝代入y2得，．又因为kr+b＝0， 所以k＝，所以，即y2＝0，所以函数y2的图象经过点（）． （3）解：y3＝y1﹣y2＝kx+b﹣（bx+k）＝（k﹣b）x+b﹣k， y4＝y2﹣y1＝bx+k﹣（kx+b）＝（b﹣k）x+k﹣b． 又因为y3＞y4，则y3﹣y4＞0， 所以y3﹣y4＝2（k﹣b）x+2（b﹣k）＞0，即（k﹣b）x＞k﹣b． 所以当k＞b时，x＞1；当k＜b时，x＜1；当k＝b时，不存在． 故k＞b时，x＞1；k＜b时，x＜1． 四．一次函数的应用 24．（2023秋•西湖区期末）如图，图中的折线OABC反映了圆圆从家到学校所走的路程S（m）与时间t（min）的函数关系，其中，OA所在直线的表达式为y＝k1x（k1≠0），BC所在直线的表达式为y＝k2x+b（k2≠0），则k2﹣k1＝　50　． 【解答】解：把（12，600）代入y＝k1x得：k1＝＝50； 把（20，600），（28，1400）代入y＝k2x+b得： ，解得，∴k2﹣k1＝100﹣50＝50．故答案为：50． 25．（2023秋•嘉兴期末）小明和爸爸两人从相距4千米的甲地前往乙地，两人同时出发，小明骑自行车，爸爸骑电瓶车．线段OA，折线OBCD分别表示小明和爸爸距离甲地路程S（千米）与时间t（分）之间的函数关系．下列说法正确的是（　　） A．小明骑车速度为千米/小时 B．爸爸中途停留了20分钟 C．小明在第15分钟追上爸爸 D．小明比爸爸早到5分钟 【解答】解：A．根据图象可知，小明骑车的速度为：（千米/小时），故A错误； B．爸爸中途停留了20﹣5＝15（分钟），故B错误； C．2÷8＝0.25（小时），0.25小时＝15分钟， 即小明在第15分钟追上爸爸，故C正确； D．根据图象可知，爸爸比小明早到5分钟，故D错误．故选：C． 26．（2023秋•杭州期末）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲骑自行车匀速从A地到B地，乙骑摩托车匀速从B地到A地，到达A地后立即按原路匀速返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．若两人之间的距离不超过5km时，能够用无线电对讲机保持联系，甲、乙两人能够用无线电对讲机保持联系时．则x的取值范围是 　≤x≤或≤x≤2　． 【解答】解：设甲离B地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）． 将x＝0，y＝30和x＝2，y＝0代入y＝k1x+b1， 得，解得， ∴y＝﹣15x+30（0≤x≤2）； 当0≤x＜1时，设乙离B地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式为y＝k2x（k2为常数，且k2≠0）． 将x＝1，y＝30代入y＝k2x，得k2＝30， ∴y＝30x（0≤x＜1）； 当1≤x≤2时，设乙离B地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式为y＝k3x+b2（k3、b2为常数，且k3≠0）． 将x＝1，y＝30和x＝2，y＝0代入y＝k3x+b2， 得，解得， ∴y＝﹣30x+60（1≤x≤2）； 综上，乙离B地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式为y＝． ①当0≤x＜1时，若两人之间的距离不超过5km，则|﹣15x+30﹣30x|≤5， 经整理，得|9x﹣6|≤1，解得≤x≤； ②当1≤x≤2时，若两人之间的距离不超过5km，则|﹣15x+30﹣（﹣30x+60）|≤5， 经整理，得|3x﹣6|≤1，解得≤x≤，∴≤x≤2； 综上，x的取值范围是≤x≤或≤x≤2，故答案为：≤x≤或≤x≤2． 27．（2023秋•瓯海区校级期末）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变．两车离甲地的距离y（km）与慢车行驶时间t（h）的函数关系如图所示，那么两车先后两次相遇的间隔时间为（　　） A．1h B．1.2h C．1.5h D．1.8h 【解答】解：设y慢＝kt（k≠0）． ∵过（6，240）， ∴6k＝240． 解得：k＝40． ∴y慢＝40t； ∵快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变． ∴快车到达乙地的时间为：（2+6）÷2＝4时． 当2≤t≤4时，设y快＝mt+n（m≠0）． ∵过（2，0），（4，240）， ∴． 解得：． ∴y快＝120t﹣240（2≤t≤4）． 当4＜t≤6时，设y快＝at+b（m≠0）． ∵过（4，240），（6，0）， ∴． 解得：． ∴y快＝﹣120t+720（4＜t≤6）． ①2≤t≤4时，． 解得：． ②当4＜t≤6时，．解得：．∴间隔的时间＝4.5﹣3＝1.5（h）．故选：C． 28．（2023秋•诸暨市期末）“激情马拉松•活力好青年”，2023年12月10日，诸暨西施马拉松鸣笛开跑．在比赛过程中，乙选手匀速跑完全程，甲选手1.5h后的速度为10km/h，甲、乙两选手的部分行程y（km）随起跑的时间x（h）变化的图象如图所示．下列说法中正确的个数有（　　） ①起跑后半小时内甲的速度为16km/h； ②第1小时两人都跑了10km； ③图中记录的两人所跑路程都为20km； ④图中所示的截止行程点处乙比甲早到0.2h． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：当0≤x≤0.5时，甲的速度为8÷0.5＝16（km/h）， ∴①正确； 根据两图象的交点坐标可知，当x＝1时，y＝10， ∴②正确； 乙的速度为10÷1＝10（km/h），当x＝2时，乙所跑的路程为10×2＝20（km）， ∴③正确； 当0.5＜x≤1.5时，甲的速度为（10﹣8）÷（1﹣0.5）＝4（km/h）， 设当x＝a时，甲所跑的路程为20km，则8+4×（1.5﹣0.5）+10×（a﹣1.5）＝20，解得a＝2.3， 2.3﹣2＝0.3（h）， ∴图中所示的截止行程点处乙比甲早到0.3h， ∴④不正确；综上，①②③正确，故选：C． 29．（2023秋•余姚市期末）已知甲、乙两城市之间每隔2h有一列动车组列车以相同的速度从甲城开往乙城．如图，OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象，BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题： （1）从图象可知，动车组列车的行驶速度为 　200　km/h； （2）请直接在图中画出第二列动车组列车离开甲城的路程s与时间t的函数图象； （3）若普通快车的速度为100km/h，问第一列动车组列车出发多长时间后与这列普通快车相遇？ 【解答】解（1）由图象可知，普通列车发车时间比第一列动车组晚1h，点B纵坐标600实际意义为甲、乙两城市之间的距离为600km， ∴动车组的速度为＝200（km/h）． 故答案为：200； 故答案为：晚；甲、乙两城市之间的距离为600km；150km/h； （2）根据题意的： （3）设第一列动车组列车出发x小时后与普通快车相遇，由题意得： 200x+100（x-1）＝600，解得x＝， 答：第一列动车组列车出发小时后与普通快车相遇． 30．（2023秋•温州期末）【情境】某快递车从公司出发，到达A驿站，卸完包裹后立即前往B驿站，再卸完包裹后按原路返回公司．快递车行驶速度恒定，在两个驿站卸包裹的时间一样．快递车离公司的路程S与时间t的关系（部分数据）如图所示． 【问题】快递车在每个驿站卸包裹的时间为（　　） A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟 【解答】解：由题意可知，快递车行驶2n米所需时间为（40﹣30）分钟， 所以快递车行驶的总时间为3×（40﹣30）＝30（分钟）， 所以快递车在每个驿站卸包裹的时间为：（40﹣30）÷2＝5（分钟），故选：B． 31．（2023秋•钱塘区期末）钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江（河）连续绿道．小聪和小慧两人在笔直的绿道上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知小聪先出发4分钟，在整个步行过程中，小聪、小慧两人的距离y（米）与小聪出发的时间t（分）之间的关系如图所示．（1）分别求出小聪和小慧的速度，并说明B点的实际意义． （2）求出C、D两点的坐标． 【解答】解：（1）根据题意，得小聪的速度为240÷4＝60（米/分），小慧的速度为60×16÷（16﹣4）＝80（米/分）， B点的实际意义为小聪出发16分时小慧追上小聪． （2）小慧和小聪分别在C点和D点时到达终点， ∴C点的横坐标为4+2400÷80＝34，纵坐标为2400﹣34×60＝360； D点横坐标为2400÷60＝40，纵坐标为0， ∴C、D两点的坐标分别为（34，360）和（40，0）． 32．（2023秋•舟山期末）为节约用水，某市居民生活用水按级收费，水价分三个等级：第一级为月用水量17m3及以下（含17m3）；第二级为月用水量超过17m3，不到31m3；第三级为月用水量31m3及以上（含31m3），如图是某住户收到的一张自来水总公司水费专用发票． 自来水总公司水费专用发票 发票联 计费日期：2023﹣04﹣01至2023﹣04﹣30 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量 （m3） 本期用水量（m3） 587 607 20 自来水费（含水资源费） 污水处理费 用水量（m3） 单价（元/m3） 金额（元） 用水量（m3） 单价（元/m3） 金额（元） 阶梯一：17 1.75 29.75 阶梯二：3 2.3 6.9 17 0.45 7.65 3 0.6 1.8 本期实付金额（大写） 肆拾陆元壹角整￥46.10 注：（居民生活用水水价＝自来水费+污水处理费） （1）若某用户的月用水量为x（m3）（0≤x≤17），应付的水费为y元，求y关于x的函数表达式； （2）若下个月份该用户收到的自来水发票实付金额为69.3元，则下个月份该用户的用水量为多少m3？ （3）根据该发票信息，你能计算月用水量超过31m3时应付的水费吗？如果能，请计算月用水量超过31m3时，应付的水费y元与月用水量x（m3）的函数表达式；如果不能，请你思考：通过哪些渠道可以获取信息，得到该用户水费的计算方式． 【解答】解：（1）由题意得：y＝1.75x+0.45x＝2.2x， 所以y关于x的函数表达式为y＝2.2x（0≤x≤17）． （2）设下个月份该用户的用水量为a m3， 因为29.75+7.65＝37.4＜69.3，37.4+（31﹣17）×2.3+（31﹣17）×0.6＝78＞69.3， 所以17＜a＜31， 则37.4+2.3（a﹣17）+0.6（a﹣17）＝69.3， 解得a＝28， 答：下个月份该用户的用水量为28m3． （3）因为根据该发票信息，不知道阶梯三对应的自来水费和污水处理费的单价， 所以不能计算月用水量超过31m3时应付的水费， 通过收集自来水总公司水费专用发票、询问自来水公司等途径获取信息，得到该用户水费的计算方式． 33．（2023秋•诸暨市期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题． （1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式； （2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？ （3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？ 【解答】解：（1）设y甲＝k1x， 根据题意得4k1＝80，解得k1＝20， ∴y甲＝20x； 设y乙＝k2x+80， 根据题意得：12k2+80＝200， 解得k2＝10， ∴y乙＝10x+80； （2）解方程组 解得：， ∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元； （3）当y＝240时，y甲＝20x＝240，∴x＝12； 当y＝240时，y乙＝10x+80＝240，解得x＝16； ∵12＜16，∴选择乙种更合算． 34．（2022•峄城区校级模拟）为了抓住开学的商机，某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器8件，B种计算器3件，需要625元；若购进A种计算器6件，B种计算器5件，需要675元． （1）求购进A，B两种计算器每台需多少元？ （2）若该商店决定拿出0.5万元全部用来购进这两种计算器，考虑到市场需求，要求购进A种计算器的数量不少于B种计算器数量的4倍，且不超过B种计算器数量的6倍，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件A种计算器可获利润10元，每件B种计算器可获利润13元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设该商店购进一件A种计算器需要a元，购进一件B种计算器需要b元． 则， 解得：， ∴购进一件A种计算器需要50元，购进一件B种计算器需要75元； （2）设该商店购进A种计算器x个，购进B种计算器y个，可得： ， ∴解得≤y≤， ∵y为正整数， ∴共有3种进货方案，即：A种计算器79个，B种计算器14个； A种计算器76个，B种计算器16个；A种计算器73个，B种计算器18个； （3）设总利润为W元． W＝10x+13y＝10（）+13y ＝﹣2 y+1000 （≤y≤）， ∵﹣2＜0， ∴W随y的增大而减小， ∴当y＝14时，W有最大值， W最大＝﹣2×14+1000＝972（元）， ∴当购进A种计算器79台，B种计算器14台时，可获最大利润，最大利润是972元． 35．（2023秋•钱塘区期末）学校准备安装校园人脸识别系统，计划购买人脸识别通道闸机和门禁机．已知通道闸机的单价是门禁机单价的3倍，购买2台通道闸机和4台门禁机共需7500元． （1）求通道闸机和门禁机的单价． （2）已知该校园内至少需要安装10台通道闸机，若购买通道闸机和门禁机共40台，且费用不超过48000元，请列出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金多少元？ 【解答】解：（1）设通道闸机和门禁机的单价分别是x元和y元． 根据题意，得，解得， ∴通道闸机和门禁机的单价分别是2250元和750元． （2）设购买m台通道闸机，则需要购买（40﹣m）台门禁机， 根据题意，得，解得10≤x≤12． 当x＝10时，40﹣10＝30（台）； 当x＝11时，40﹣11＝29（台）； 当x＝12时，40﹣12＝28（台）；∴购买方案有3种，分别是： ①购买10台通道闸机和30台门禁机； ②购买11台通道闸机和29台门禁机； ③购买12台通道闸机和28台门禁机． 设所需要资金为w元，则w＝2250m+750（40﹣m）＝1500m+30000， ∵1500＞0，∴w随m的减小而减小， ∴当m＝10时，w最小，w＝1500×10+30000＝45000， ∴方案①所需资金最少，最少资金为45000元． 36．（2023秋•温州期末）综与实践：如何选择印刷厂更优惠？ 【情境】某校准备印刷一批《新生手册》，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示．设印制数量为x（份），甲、乙两印刷厂的收费分别为y甲（元）和y乙（元）． 【项目解决】 目标1：确定甲厂收费标准． 求y甲关于x的函数表达式． 目标2：初步比较印刷费用． 当印刷份数在1200份以下时，印多少份两厂费用相同？ 目标3：给出最终选择方案． 根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？ 【解答】解：目标1：设y甲关于x的函数表达式为y甲＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）． 将x＝0，y甲＝900和x＝3000，y甲＝3300代入y甲＝k1x+b1， 得，解得，∴y甲关于x的函数表达式为y甲＝x+900． 目标2：当x＜1200时，设y乙关于x的函数表达式为y乙＝k2x（k2为常数，且k2≠0）． 将x＝1200，y乙＝2400代入y乙＝k2x，得1200k2＝2400，解得k2＝2， ∴y乙关于x的函数表达式为y乙＝2x（0≤x＜1200）． 当两厂费用相同时，得x+900＝2x，解得x＝750， ∴当印刷份数在1200份以下时，印750份两厂费用相同． 目标3：结合函数图象可知，当0＜x＜750时，y甲＞y乙； 当x＝750时，y甲＝y乙；当750＜x＜3000时，y甲＜y乙； 当x＝3000时，y甲＝y乙；当x＞3000时，y甲＞y乙； ∴当0＜x＜750或x＞3000，选择乙印刷厂较优惠； 当750＜x＜3000时，选择甲印刷厂较优惠；当x＝750或x＝3000时，选择甲或乙印刷厂均可． 37．（2023秋•上城区期末）有一块长方形菜园ABCD，一边利用足够长的墙，另三边用长度为20m的篱笆围成，设长方形的长BC为x m，宽AB为y m，则下列函数图象能反映y与x关系的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得，菜园三边长度的和为20m， 即2y+x＝20，所以y＝﹣x+10（0＜x＜20），所以函数图象能反映y与x关系的是A．故选：A． 38．（2023秋•杭州期末）如图，一次函数y＝kx﹣8的图象交y轴于A点，交x轴于B点，且，点P是第一象限内直线AB上的动点，连结OP． （1）求出点B的坐标及k的值； （2）设点P（x，y），求出△OBP的面积S与x的函数表达式． 【解答】解：（1）对于y＝kx﹣8，当x＝0时，y＝﹣8，∴点A的坐标为（0，﹣8），∴OA＝8， ∵，∴OB＝6，∴点B（6，0）， 将B（6，0）代入y＝kx﹣8，得，6k﹣8＝0，解得：， （2）由（1）可知：直线AB的表达式为：， ∵点P（x，y），且在第一象限内直线AB上， ∴，且x＞6，∴点P到x轴的距离为， 由（1）可知：OB＝6， ∴S△OBP＝＝4x﹣24，∴S＝4x﹣24，∴S与x的函数表达式：S＝4x﹣24（x＞6）． 39．（2023秋•舟山期末）如图①，在长方形ABCD中，AB＝CD＝10cm，BC＝AD＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止；点P出发时的速度为每秒1cm，a秒时点P的速度变为每秒b（cm），图②是点P出发x秒后，△APD的面积S（cm2）与x（秒）的函数图象． （1）根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c的值； （2）设点P运动的路程为y（cm），请写出点P出发后，y与x的函数表达式； （3）当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【解答】解：（1）如图： ∵P出发时速度为1cm/秒，由图②得当S△APD为12时，对应的时间为a秒， ∴图①中AP＝1×a＝a（cm），cm， 即， ∴a＝4， ∵P在BC上运动时， 面积不变，因此图②中水平线段MN表示P在BC上运动时对应的S与x之间关系， ∴M表示P运动到了B点，由a至7即由4秒到7秒共3秒钟，面积由12cm2增加至30cm2，增加了18cm2，即， ∴9b＝18， ∴b＝2， 当P运动到D时停止，此时S△APD＝0，即对应图②中C秒， P在BC，CD上速度为2cm/秒， ∴走完BC，CD用的时间为（10+6）÷2＝8（秒）， ∴c＝7+8＝15， 即a＝4，b＝2，c＝15， （2）前4秒速度为1cm/s， ∴y＝x，4秒后速度为2cm/s， ∴y＝4+2（x﹣4）＝2x﹣4， 因此； （3）如图③当P1C＝CD＝10时， Rt△BCP1中， ∴AP1＝2， ∴1×x＝2， ∴x＝2， 同理当DP3＝DC＝10时， Rt△ADP3中AP3＝＝＝8， ∴4×1+2（x﹣4）＝8， ∴x＝6， 当DP2＝CP2时，P2在DC的垂直平分线上，即P2为AB的中点， ∴，∴4×1+2（x﹣4）＝5，∴x＝4.5， 即当P出发2秒，4.5秒，6秒时，△PCD是等腰三角形． 40．（2023秋•余姚市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0），给出如下定义：若P为△ABC内（不含边界）一点，且BP与△APC的一条边相等，则称点P为△ABC的和谐点． （1）在P1（﹣1，1），P2（2，2），P3（0，5）中，△ABC的和谐点是 　P2，P3　； （2）若点P为△ABC的和谐点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标； （3）直线l为过点M（0，m）且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的两个和谐点，请直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0），P1（﹣1，1）， ∴BP1＝＝，AP1＝＝5，CP1＝＝，AC＝＝4， ∴BP1≠AP1，BP1≠CP1，BP1≠AC，∴P1（﹣1，1）不是△ABC的和谐点； ∵A（0，8），B（﹣4，0），P2（2，2）， ∴BP2＝＝2，AP2＝＝2，∴BP2＝AP2， ∵P2（2，2）在△ABC内，∴P2（2，2）是△ABC的和谐点； ∵B（﹣4，0），C（4，0），P3（0，5）， ∴BP3＝＝，CP3＝＝，∴BP3＝CP3， ∵P3（0，5）在△ABC内，∴P3（0，5）是△ABC的和谐点；故答案为：P2，P3； （2）①由A（0，8），B（﹣4，0），C（4，0）可知，当P在△ABC内部时，BP≠AC， ②当AP＝BP，∠ABP＝45°时，过P作PH⊥x轴于H，过A作AG⊥PH于G，如图： ∵AP＝BP，∠ABP＝45°，∴△ABP是等腰直角三角形， ∴∠APB＝90°，∴∠BPH＝90°﹣∠APG＝∠PAG， ∵∠BHP＝90°＝∠G，∴△BPH≌△PAG（AAS），∴PH＝AG，BH＝PG， 设P（p，q）， ∵A（0，8），B（﹣4，0）， ∴， 解得； ∴P（2，2）； ③当BP＝CP，∠ABP＝45°时，过A作AQ⊥BP交BP延长线于Q，如图： ∵B（﹣4，0），C（4，0）， ∴B，C关于y轴对称， ∵BP＝CP， ∴P在y轴上， 同②可得Q（2，2）， 由B（﹣4，0），Q（2，2）得直线BQ解析式为y＝x+， 在y＝x+中，令x＝0得y＝， ∴P（0，）； 综上所述，P的坐标为（2，2）或（0，）； （3）由题意知，△ABC的和谐点P，满足AP＝BP或BP＝CP， 若AP＝BP，则点P在线段AB的垂直平分线上， 若BP＝CP，则点P在线段BC的垂直平分线上，即y轴上； 设AB的中点为K，线段AB的垂直平分线交AC于T，如图， 由A（0，8），C（4，0）可得直线AC解析式为y＝﹣2x+8， 设T（t，﹣2t+8）， ∵AT＝BT， ∴t2+（﹣2t+8﹣8）2＝（t+4）2+（﹣2t+8）2， 解得t＝， ∴T（，）， ∵A（0，8），B（﹣4，0）， ∴线段AB的中点K（﹣2，4）； ∵直线l上存在△ABC的两个和谐点， ∴直线l与y轴，线段KT都相交， ∴＜m＜4且m≠3． 41．（2023秋•诸暨市期末）已知，在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过A（0，3），B（1，0）两点，点C为l1上一点，横坐标为，直线l2经过C，D（﹣3，0）两点，交y轴于点E． （1）求点C坐标； （2）猜想∠DCB的度数并说明理由； （3）若M为直线l1上一点，N为x轴上一点，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD全等，直接写出点M的坐标． 【解答】解：（1）把点A（0，3），B（1，0）分别代入y＝kx+b，得， 解得， ∴y＝﹣3x+3， 当 时，y＝﹣3×+3＝， ∴点C的坐标为 ； （2）∠CDB＝90°． 理由如下：，，DB2＝（3+1）2＝16， ∵DC2+BC2＝DB2， ∴∠DCB＝90°； （3）点M的坐标为 或 ． 若△ACD≌△NMA，如图， ∵OA＝OD＝3，∠AOD＝90°， ∴△ACD绕点O顺时针方向旋转90°得出△NMA， ∵C（，）， ∴M（﹣）； 当点M与点C重合时，点M的坐标为（，）． 综上所述，点M的坐标为（﹣）或（，）． 42．（2023秋•嘉兴期末）如图，在直角坐标系xOy中，点A（0，4），点B为x轴正半轴上一个动点，以AB为边作△ABC，使BC＝AB，∠ABC＝90°，且点C在第一象限内． （1）如图1，若B（2，0），求点C的坐标． （2）如图2，过点B向x轴上方作BD⊥OB，且BD＝BO，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由． （3）如图3，过点B向x轴下方作BD⊥OB，且BD＝BO，连结CD交x轴于点E，当△ABD的面积是△BEC的面积的2倍时，求OE的长． 【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠OAB＝∠CBD， 在△OAB和△DBC中， ， ∴△OAB≌△DBC（AAS）， ∴CD＝BO＝2，BD＝AO＝4． ∴OD＝OB+BD＝2+4＝6， ∴点C的坐标为（6，2）． （2）点C，D之间的距离是为定值，理由如下： 连结CD， ∵∠OBA+∠ABD＝90°，∠DBC+∠ABD＝90° ∴∠OBA＝∠DBC， 在△OAB和△DCB中， ， ∴△OAB≌△DCB（SAS）． ∴CD＝AO＝4， 即：点C，D之间的距离是为定值； （3）过点C作CF⊥x轴于点F，由（1）可知，△OAB≌△FBC， ∴CF＝BO， ∵BD＝BO， ∴CF＝BD，BF＝OA＝4． ∵∠CEF＝∠DEB，∠CFE＝∠DBE＝90°，CF＝BD， ∴△CFE≌△DBE（AAS）， ∴EF＝EB＝2， ∴， 由题可知S△ABD＝2S△BEC， ∴S△ABD＝S△ABO， ∴． ∴BD＝OA＝4， ∴OE＝OB+BE＝4+2＝6． 43．（2024•确山县二模）根据表中素材，探索完成以下任务： 建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴” 问题情境 素材1 已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨． 素材2 现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨． 素材3 从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨； 从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨． 问题解决 分析 设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格． 设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格： 运量（吨） 运费（元） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A村 x 48-x 20x 15（48-x） B村 ① 40-x x+12 25（40-x） ② 24（x+12） 问题1 设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式并求出最少总运费． 问题2 为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少a（4＜a＜8）元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（用含a的代数式表示） 【解答】解：分析：由从乙仓库运往B村60﹣（48﹣x）＝x+12（吨），可得从乙仓库运往B村的运费为24（x+12）（元）；故答案为：x+12；24（x+12）； 问题1：y＝20x+15（48﹣x）+25（40﹣x）+24（12+x） 化简，得y＝4x+2008（0≤x≤40） 当x＝0时，则ymin＝2008 问题2：由题意得，设新的总运费为W，则W＝（4﹣a）x+2008（0≤x≤40） ∵4＜a＜8，∴4﹣a＜0，∴W随着x的增大而减小，∴当x＝40时，则ymin＝﹣40a+2168． 44．（2023秋•上城区期末）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是x cm，单层部分的长度是y cm，得到如下数据： 双层部分长度x（cm） 2 6 10 14 a 单层部分长度y（cm） 116 108 100 92 70 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2：3 素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为53.5cm；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，以y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量x、y是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出a值并确定x的取值范围． 任务2 设人身高为h，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式． 任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度． 【解答】解：任务1：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量x、y满足一次函数关系． 设y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将x＝2，y＝116和x＝10，y＝100代入y＝kx+b， 得，解得，∴y＝﹣2x+120． 将x＝a和y＝70代入y＝﹣2x+120， 得﹣2a+120＝70，解得a＝25； 当背带都为单层部分时，x＝0； 当背带都为双层部分时，y＝0，即﹣2x+120＝0，解得x＝60， ∴x的取值范围是0≤x≤60． 任务2：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， ∴总长度为﹣2x+120+x＝﹣x+120， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得＝，∴h＝﹣x+180（0≤x≤60）． 任务3：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即x＝60，y＝0． ∵背包提在手上，且背包的悬挂点距地面高度为53.5cm， ∴手到地面的距离为（+53.5）cm，即83.5cm． 设小明爸爸的身高为h cm． ∵臂展和身高一样，且肩宽为38cm， ∴小明爸爸一条胳膊的长度为cm，∴h++83.5＝h，解得h＝172， 根据任务2，得172＝﹣x+180，解得x＝，∴此时双层部分的长度为cm． 45．（2023秋•西湖区期末）综合与实践 【情境描述】 圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里． 【观察发现】 圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量x（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（cm） 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 … 【建立模型】 （1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求h关于x的函数表达式． （2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度． 【解决问题】 请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？ 【解答】解：[建立模型] （1）描点，连线， 根据点的分布规律可知，h关于x的函数关系式满足一次函数， 设h关于x的函数关系式为h＝kx+b， 则，解得，∴h关于x的函数关系式为h＝1.4x+8.6； （2）当x＝12时，y＝1.4×12+8.6＝25.4， ∴这摞杯子的总高度25.4cm； [解决问题] 当y＝40时，1.4x+8.6＝40，解得x＝≈22.4， ∴一摞最多能叠22个杯子，可以一次性放进柜子里． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/6 0:15:35；用户：陈老师；邮箱：13968120498；学号：7680990 $$