2024-2025学年浙教版八年级数学上册期末专练之 三角形专题

2024-2025学年 浙江八年级数学 期末专练 （三角形专题篇） 1 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025学年浙江八上期末专练之三角形专题 一．三角形的初步知识 1. 三角形的内角和等于180度，四边形内角和360度；三角形的外角等于它不相邻的两个 内角的和； 2. 三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3. 证明一个命题是假命题，举一个反例，条件成立，但结论不成立； 4. 角平分线：向角两边作垂线，这两个线段相等；角平分线常作的辅助线：作垂直或者截 线段构造全等； 5. 中垂线（垂直平分线）到两个端点的距离相等，注意解题有角相等边相等的信息； 6. 全等三角形四个判定（SSS SAS ASA AAS）,解题关键从题目信息条件，找到能证明相 等的角或者边，注意隐含的全等条件，公共角，公共边和对顶角，另外就是常见的全等模型:A字图 、八字图、K字图、手拉手模型，旋转模型，一线三等角模型等； 7. 尺规作图：主要原理就是全等SSS，重点掌握作角平分线、中垂线和高线； 8. 几何辅助线：作垂直，倍长中线，截长补短； 1．【★】（2023秋•上城区期末）已知三角形的两边长分别为3，6，则第三边的长不可能是　　 A．4 B．6 C．8.5 D．10 2．【★】（2023秋•滨江区期末）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是　　 A． B． C． D． 3．【★★】（2023秋•上城区期末）将一副三角板按照如图方式摆放，点、、共线，，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．【★★】（2023秋•上城区期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则　　． 5．【★★★】（2023秋•滨江区校级期末）在中，，外角，则　　． 6．【★★★】（2023秋•滨江区期末）等腰三角形的一个外角是，则其底角等于　　 A． B． C． D．或 7．【★★★】（2023秋•滨江区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是 　　． 8．【★★★】（2023秋•义乌市期末）如图，中，为的角平分线，交于点，交于点．若面积为，，，则的长为　　 A． B． C． D． 9．【★★★】（2023秋•西湖区期末）在中，，点在上，且，取边上的中点，连接，则　　． A．18 B．36 C．54 D．72 10.【★★★】（2023秋•台州期末）如图，在△中，的垂直平分线分别交、于点、点，连接．若，△的周长为，则△的周长为 　　． 11．【★★★】（2023秋•瓯海区校级期末）如图的三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为 　　． 12．【★★★】（2023秋•台州期末）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 13．【★★★】（2023秋•滨江区期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线． （1）若，，求的度数． （2）若，，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 14．【★★】（2023秋•杭州期末）下列说法正确的是　　 A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题 C．定理都是真命题 D．基本事实不一定是真命题 15．【★★】（2023秋•滨江区期末）将“对顶角相等”改写为“如果那么”的形式，可写为 　　． 16．【★★】（2023秋•杭州期末）命题“如果，那么”的逆命题是 　　命题（填“真”或“假” ． 17．【★★】（2023秋•上城区期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是　　 A． B． C． D． 18．【★★★】（2023秋•滨江区期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是　　 A．， B．， C．，， D．，， 19．【★★★】（2023秋•上城区期末）已知：如图，与相交于点，，，求证：． 20．【★★★】（2023秋•西湖区期末）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，．下面给出四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并写出证明过程． 21．【★★★】（2023秋•拱墅区期末）如图，在中，，是的平分线，是边的中线．若，，则　　． 22．【★★★】（2023秋•滨江区期末）如图，在中，，于点，于点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，的中线，求的长． 23．【★★★】（2023秋•钱塘区期末）如图，在和中，点在边上，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 24．【★★★】（2023秋•滨江区期末）如图，已知和线段，，用直尺和圆规作，使，，，这样的三角形能作几个？（保留作图痕迹） 25．【★★★★】（2023秋•上城区期末）如图，已知等腰△，，是△的外角． （1）尺规作图：作的平分线，与的延长线交于点； （2）在（1）条件下，设为，为． ①求关于的函数表达式； ②若△为等腰三角形，求的值． 26．【★★★★★】（2023秋•上城区期末）如图，在中，，按下列步骤作图： ①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点； ②以为圆心，长为半径画弧交于点． 方方探究得到以下两个结论： ①是等腰△； ②若，，则点到的距离为， 则　　 A．结论①正确，结论②正确 B．结论①正确，结论②错误 C．结论①错误，结论②正确 D．结论①错误，结论②错误 27．【★★★】（2023秋•拱墅区期末）如图，在中，，点，在边上，连接，．已知，分别平分，．求证：． 28．【★★★】（2023秋•西湖区期末）如图，是的角平分线，，交于点．已知． （1）求的度数． （2）若点是的中点，请判断的形状，并说明理由． 2、 特殊三角形 1. 等腰三角形的三线合一，顶角角平分线、底边上的高线和中线重合； 2. 等腰三角形标条件注意，有边相等也有底角相等；常作的辅助线，过顶点向底边作垂 线，三线合一就可以灵活运用； 3. 等腰三角形中涉及分类讨论的题目，角分类顶角和顶角，涉及作高，分锐角三角形和 钝角三角形； 4. 直角三角形：斜边中线等于斜边一半，30度角直角三角形，比值；45度直 角三角形； 5. 直角三角形勾股定理：两直角边的平方和等于斜边长的平方；勾股数：3 、4、5, 6、8、10, 5、12、13；注意赵爽弦图特点； 6. 直角三角形全等判定定理：特有HL； 三角形中注意：等边三角形，三个角相等都是60度，三条边相等； 等腰直角三角形，每个底角都是45度； 29．【★★】（2023秋•西湖区期末）中，是中线，点到，的距离相等，则一定是　　 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 30．【★★】（2023秋•滨江区校级期末）如图，已知等腰的底边在轴上，且，，点的坐标是　　 A． B． C． D． 31．【★★★】（2023秋•杭州期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是　　 A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 32．【★★★】（2023秋•滨江区校级期末）如图，在中，，，等边的顶点在上，边交于点，若，，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 33．【★★★】（2023秋•拱墅区期末）如图，在中，，是边上的高． （1）若点是的中点，求证：； （2）若，，求的长． 34．【★★★】（2023秋•上城区期末）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”． （1）若边上的“中高距”为0，则的形状是 　　三角形； （2）若，，，则边上的“中高距”为 　　． 35．【★★】（2023秋•西湖区期末）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，则　　． 36．（2023秋•西湖区期末）直角三角形斜边上的中线长是2.5，一条直角边是4，则另一直角边长为 　　． 37．【★★★】（2023秋•滨江区校级期末）直角三角形斜边上的高与中线分别为和，则它的面积为　　． A．30 B．60 C．45 D．15 38．【★★★】（2023秋•钱塘区期末）如图，已知，，为中点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 39．【★★★】（2023秋•西湖区期末）如图，在中，于点，于点，点是的中点，连接，，设，，则　　 A． B． C． D． 40．【★★★】（2023秋•杭州期末）△的三边长分别是、、，且，，，△是直角三角形吗？证明你的结论． 41．【★★★】（2023秋•西湖区期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点，点为的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 42．【★★★★】（2023秋•浦江县期末）在中，，，是斜边上的两点，且．现将绕点旋转后得到，连，有下面结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是 　　． 43．【★★★★】（2023秋•杭州期末）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的长度是线段长度的函数，这个函数的表达式是 　　． 44．【★★★★★】（2023秋•拱墅区期末）如图，在中，，点是边的中点，点在边上（不与点，重合），连接．　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 45．【★★★★】（2023秋•拱墅区期末）如图，在中，，点在边上（不与点，重合），且，过点作，分别交的延长线和于点和点． （1）求证：． （2）若点是线段的中点，探索与的数量关系． （3）若的形状和大小都确定，说说的值是否为定值， 如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 46．【★★★★】（2023秋•杭州期末）如图，在等腰直角中，点，将斜边三等分，且，点在的边上，则满足的点的个数是　　 A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 47．【★★★★★】（2023秋•滨江区期末）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连接，．已知点和点关于直线对称，若，则的长为　　 A． B． C． D． 48．【★★★★】（2023秋•拱墅区期末）如图，在直角三角形中，，分别以，，为边向外侧作正方形，面积分别记作，，，若且满足，则　　 A． B．2 C． D．3 49．【★★★★★】（2023秋•滨江区期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 　　． 50．【★★★★★】（2023秋•钱塘区期末）如图，在△中，，分别以△的三边为边在的同侧作三个正方形，顶点恰为的中点，若阴影部分（四边形的面积为9，则正方形的面积为　　 A．50 B．49 C．48 D．45 51．【★★★★★】（2023秋•杭州期末）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图），若的斜边，，则图中线段的长为　　． 52．【★★★★】（2023秋•拱墅区期末）如图，一副三角板摆放在长方形包装袋中．点，，在长方形的一边上，点，在其对边上．直角三角形和等腰直角三角形的　　 A．斜边相等 B．直角的角平分线相等 C．斜边上的高相等 D．一个锐角相等 53．【★★★★】（2023秋•滨江区校级期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是　　． 54．【★★★★★】（2023秋•上城区期末）如图，在长方形中，为等腰△，且，点在线段上，点在线段上，若，则　　． 3、 综合运用 解题技巧：一边读题一边用铅笔标注条件，转化条件也要标注，包括前面条件本身转出来的条件，以及结合前面的条件转化的条件，根据所求结合题目的条件选择合适的方法解题；如果还是做不出来，考虑是否作辅助线，结合条件选择合适的辅助线。 55．【★★★★】（2023秋•滨江区期末）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处，测得河北岸的一棵树底部点恰好在点的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向正东走到点，此时恰好测得： 观测者从点向正东走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上 测量示意图 （1）第一小组认为，河宽的长度就是线段 　　的长度． （2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得的长就是所求河宽的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽长，并说明方案的可行性． 56．【★★★★】（2023秋•上城区期末）如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点， （1）若，求度数； （2）若． ①求证：； ②设，求的长（用含的代数式表示）． 57．【★★★★★】（2023秋•杭州期末）如图，在中，，，延长至点，使，连结，作的平分线与的平分线交于点，连结，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求的值． 58．【★★★★★】（2023秋•滨江区期末）如图1，已知和都是等边三角形，且点在边上，． （1）求证：． （2）求的度数． （3）如图2，过点作于点，设的面积为，的面积为，求的面积（用含，的代数式表示）． 59．【★★★★★】（2023秋•西湖区期末）在中，，点为线段上任意一点与，不重合），连接． （1）若，， ①求的最小值． ②当时，求的长． （2）若，，请用含，的代数式表示，并说明理由． 60．【★★★★★】（2023秋•杭州期末）综合与实践：数学课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答： 问题情境：如图1，在中，，，点是斜边上动点，点在直线上，满足，过点作，垂足为，设． 圆圆同学提出的问题：探究与之间的数量关系； 方方同学提出的问题：探究，，之间的数量关系； 经过小组讨论，第一小组提出解决问题的思路：取中点，连接，可以证明：，从而得到对应线段相等 请你继续完成以下问题： （1）特例探究：从特殊到一般是研究几何问题的常用方法，如图1，当时，请直接写出与这两条线段长度之间的数量关系 　　； （2）数学思考：如图2，当时， ①与这两条线段长度之间的数量关系：　　； ②探究，，这三条线段长度之间的数量关系得：　　；并写出探究过程； （3）延伸拓展：如图3，当时，探究，，这三条线段长度之间的数量关系得：　　；并写出探究过程． 2024-2025学年浙江八上期末专练之三角形专题 答案解 1．（2023秋•上城区期末）已知三角形的两边长分别为3，6，则第三边的长不可能是　　 A．4 B．6 C．8.5 D．10 【分析】设三角形第三边的长是，由三角形三边关系定理得到，即可得到答案． 【解答】解：设三角形第三边的长是， ， ， 第三边的长不可能是10． 故选：． 2．（2023秋•滨江区期末）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是　　 A． B． C． D． 【分析】设三角形第三边的长是，由三角形三边关系定理得到，即可得到答案． 【解答】解：设三角形第三边的长是， ， ， 第三边的长可以． 故选：． 3．（2023秋•上城区期末）将一副三角板按照如图方式摆放，点、、共线，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由，，结合，可求出的度数，由是△的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【解答】解：，， ． 又是△的外角， ． 故选：． 4．（2023秋•上城区期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则　　． 【分析】根据轴对称性质，对应的角相等，． 【解答】解：与关于所在直线为对称， ，， 又， ， ． 故答案为：． 5．（2023秋•滨江区校级期末）在中，，外角，则　　． 【分析】先根据邻补角定义得到的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出顶角． 【解答】解：如图， ， ． ， ， ． 故答案为：． 6．（2023秋•滨江区期末）等腰三角形的一个外角是，则其底角等于　　 A． B． C． D．或 【分析】根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质求解． 【解答】解：等腰三角形的一个外角为， 相邻角为， 三角形的底角不能为钝角， 角为顶角， 底角为：． 故答案为：． 7．（2023秋•滨江区校级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是 　或　． 【分析】根据题意，可先画出简单示意图，根据等腰三角形的特殊性，可分为两种情况：（1）顶角为锐角（2）顶角为钝角；分别利用三角形的内角和定理和三角形的外角与内角的关系，据此解答． 【解答】解：（1）当顶角是锐角时，如图△． 是△的高线， ． ，， ． 即当顶角是锐角时，顶角的度数是． （2）当顶角是钝角时，如图△． 为△的高线， ． ，， ． 即当顶角是钝角时，顶角的度数是． 综上可知，等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 8．（2023秋•义乌市期末）如图，中，为的角平分线，交于点，交于点．若面积为，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，再根据列式求解即可． 【解答】解：为的角平分线，，， ， ， ， 解得， 故选：． 9．（2023秋•西湖区期末）在中，，点在上，且，取边上的中点，连接，则　　． A．18 B．36 C．54 D．72 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外形性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图， ， ，， ， ， ， ， ， ，是边的中点， ， ， ， 故选：． 10．（2023秋•台州期末）如图，在△中，的垂直平分线分别交、于点、点，连接．若，△的周长为，则△的周长为 　26　． 【分析】根据线段垂直平分线性质求出，求出△的周长即可． 【解答】解：是的垂直平分线， ， △的周长为， 故答案为：26． 11．（2023秋•瓯海区校级期末）如图的三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为 　7　． 【分析】根据翻折变换的性质得到，，根据已知求出的长，根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：由折叠的性质可知，，， ， ， 的周长为：， 故答案为：7． 12．（2023秋•台州期末）如图，在中，，，是边上的高，的平分线交于点．求的度数． 【分析】先根据三角形的内角和定理得到的度数，然后根据角平分线的定义得到的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可． 【解答】解：在中，，， ， 又是的平分线， ， 又是边上的高， ， ． 13．（2023秋•滨江区期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线． （1）若，，求的度数． （2）若，，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【分析】（1）由高线可得，再由三角形的内角和可求得，，利用角平分线的定义可求得，从而可求的度数； （2）参照（1）进行求解即可． 【解答】解：（1）是的高线， ， ，， ， ， 是的角平分线， ， ； （2）是的高线， ， ，， ， ， 是的角平分线， ， ． 14．（2023秋•杭州期末）下列说法正确的是　　 A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题 C．定理都是真命题 D．基本事实不一定是真命题 【分析】根据真、假命题的意义对、、进行判断；根据定理的定义对进行判断． 【解答】解：、命题有真命题与假命题，所以选项错误； 、不正确的判断是假命题，所以选项错误； 、定理都是经过推论、论证得到的真命题，所以选项正确； 、基本事实是真命题，所以选项错误． 故选：． 15．（2023秋•滨江区期末）将“对顶角相等”改写为“如果那么”的形式，可写为 　如果两个角是对顶角，那么它们相等　． 【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 16．（2023秋•杭州期末）命题“如果，那么”的逆命题是 　真　命题（填“真”或“假” ． 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案． 【解答】解：“如果，那么”的逆命题是“如果，那么．” “如果，那么”的逆命题是 真命题， 故答案为：真． 17．（2023秋•上城区期末）如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】由全等三角形的判定，即可判断． 【解答】解：， ， 、，又，，由判定，故不符合题意； 、，和，分别是和的对角，不一定能判定，故符合题意； 、由，得到，而又，得到，由判定，故不符合题意； 、，又，，由判定，故不符合题意． 故选：． 18．（2023秋•滨江区期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是　　 A．， B．， C．，， D．，， 【分析】由全等三角形的判定，即可判断． 【解答】解：、中的条件没有边的长度，不能画出唯一的，故、不符合题意； 、只是知道两边的长度，还缺少两边的夹角或第三边的长度，不能画出唯一的，故不符合题意； 、已知两角和这两角的夹边，由判定能画出唯一的，故符合题意． 故选：． 19．（2023秋•上城区期末）已知：如图，与相交于点，，，求证：． 【分析】证明△△，即可得到结论． 【解答】证明：，， ， 在△和△中， ， △△， ． 20．（2023秋•西湖区期末）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，已知，．下面给出四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并写出证明过程． 【分析】由全等三角形的判定，即可解决问题． 【解答】解：选一个条件；②（答案不唯一），理由如下： ， ， 在中， ， ． 21．（2023秋•拱墅区期末）如图，在中，，是的平分线，是边的中线．若，，则　　． 【分析】先求出，则，根据含角的直角三角形的性质可得，，则，由是边的中线得，根据即可求解． 【解答】解：，， ， 是的平分线， ， ，，， ， ， 是边的中线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 22．（2023秋•滨江区期末）如图，在中，，于点，于点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，的中线，求的长． 【分析】（1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据含角的直角三角形的性质求出，，再根据勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图， 在中，中线， ， ，， ， ， ， ． 23．（2023秋•钱塘区期末）如图，在和中，点在边上，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案． 【解答】（1）证明：． ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， ． 24．（2023秋•滨江区期末）如图，已知和线段，，用直尺和圆规作，使，，，这样的三角形能作几个？（保留作图痕迹） 【分析】先作，再在上截取，然后以为圆心，为半径画弧交于和，则和△满足条件． 【解答】解：这样的三角形能作2个． 如图，和△为所作． 25．（2023秋•上城区期末）如图，已知等腰△，，是△的外角． （1）尺规作图：作的平分线，与的延长线交于点； （2）在（1）条件下，设为，为． ①求关于的函数表达式； ②若△为等腰三角形，求的值． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）①利用角平分线的定义求解即可； ②由，推出两种情形：或．分别构建方程求解． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）①， ， ， 平分， ， ， ； ②， 两种情形：或． ， ， ． 或 ， ， 综上所述，的值为或． 26．（2023秋•上城区期末）如图，在中，，按下列步骤作图： ①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点； ②以为圆心，长为半径画弧交于点． 方方探究得到以下两个结论： ①是等腰△； ②若，，则点到的距离为， 则　　 A．结论①正确，结论②正确 B．结论①正确，结论②错误 C．结论①错误，结论②正确 D．结论①错误，结论②错误 【分析】①错误，理由反证法判断即可； ②正确．求出，再利用平行线分线段成比例定理求解． 【解答】解：①错误．当时，，重合，明显不是等腰三角形； ②正确． 理由：过点作于点，过点作于点． ，，， ， ， ， 由作图可知， ， ， ， ， ，故②正确． 故选：． 27．（2023秋•拱墅区期末）如图，在中，，点，在边上，连接，．已知，分别平分，．求证：． 【分析】证明，即可得到结论． 【解答】证明：， ， ，分别平分，， ，， ， 在和中， ， ， ． 28．（2023秋•西湖区期末）如图，是的角平分线，，交于点．已知． （1）求的度数． （2）若点是的中点，请判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而可得，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后根据等边三角形的判定即可解答． 【解答】解：（1）， ， 平分， ， ， ， 的度数为； （2）是等边三角形， 理由：由（1）得：， ， 点是的中点， ， ， ， 是等边三角形． 29．（2023秋•西湖区期末）中，是中线，点到，的距离相等，则一定是　　 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【分析】根据中线的性质得出，再由点到，的距离相等，得出，从而得出一定是等腰三角形． 【解答】解：是中线， ， 到，的距离相等， ， 一定是等腰三角形， 故选：． 30．（2023秋•滨江区校级期末）如图，已知等腰的底边在轴上，且，，点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】过作于，若求顶点的坐标则求出和的长即可． 【解答】解：过作于， ， ， ， ， 故选：． 31．（2023秋•杭州期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是　　 A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【分析】分五种情形，判断可得结论． 【解答】解：连接，，． 类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：． 32．（2023秋•滨江区校级期末）如图，在中，，，等边的顶点在上，边交于点，若，，则的长为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据等腰三角形的性质，由，得到，再根据等边三角形的性质得，，则可计算出，然后在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，所以． 【解答】解：，， ， △为等边三角形， ，， ， 在中，， ， ， ． 故选：． 33．（2023秋•拱墅区期末）如图，在中，，是边上的高． （1）若点是的中点，求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）若点是的中点，则垂直平分，，可得，则是等边三角形，即可得； （2）设，则，可得，利用勾股定理求出，在中，，即，解方程求出，即可得的长． 【解答】（1）证明：点是的中点，是边上的高． 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：设，则， ， 是边上的高， ， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ． 34．（2023秋•上城区期末）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边有两个交点，这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，中，为边上的中线，为边上的高线，则的长称为边上的“中高距”． （1）若边上的“中高距”为0，则的形状是 　等腰　三角形； （2）若，，，则边上的“中高距”为 　　． 【分析】（1）利用垂直平分线的性质即可解答； （2）根据含角的直角三角形的性质求出，，根据等腰直角三角形的性质得，可得，由即可求解． 【解答】解：（1）边上的“中高距”为0， 边上的中线、高线重合， 垂直平分， ， 的形状是等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）为边上的中线，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 35．（2023秋•西湖区期末）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱、垂直于横梁，，，则　2　． 【分析】由于、垂直于横梁，可得，而是中点，可知，利用平行线分线段成比例定理可得，从而有，即可证是的中位线，可得，在中易求，进而可求． 【解答】解：如图所示， 立柱、垂直于横梁， ， 是中点， ， ， ， 是的中位线， ， 在中，， ． 故答案是2． 36．（2023秋•西湖区期末）直角三角形斜边上的中线长是2.5，一条直角边是4，则另一直角边长为 　3　． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长度，再根据勾股定理求出另一条直角边即可． 【解答】解：直角三角形斜边上的中线长是2.5， 斜边为， 一条直角边是4， 另一直角边长为． 故答案为：3． 37．（2023秋•滨江区校级期末）直角三角形斜边上的高与中线分别为和，则它的面积为　　． A．30 B．60 C．45 D．15 【分析】据直角三角形斜边上中线性质求出斜边长，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可． 【解答】解：直角三角形的斜边上的中线为， 斜边为， 直角三角形斜边上的高为， 此直角三角形的面积为， 故选：． 38．（2023秋•钱塘区期末）如图，已知，，为中点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据，，为中点可得出，故可得出，，据此可得出结论． 【解答】解：，， ，均为直角三角形， 为中点， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 39．（2023秋•西湖区期末）如图，在中，于点，于点，点是的中点，连接，，设，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，于是得到结论． 【解答】解：于点，于点， ， 点是的中点， ，， ，， ，， ， ， 故选：． 40．（2023秋•杭州期末）△的三边长分别是、、，且，，，△是直角三角形吗？证明你的结论． 【分析】首先计算，再利用因式分解可得，进而可得此三角形是直角三角形． 【解答】解：△是直角三角形， ， ， ， ， ， ， △是直角三角形． 41．（2023秋•西湖区期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点，点为的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【分析】（1）连接，根据垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到结论． （2）根据余角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， 是边上的高线， ， 是边上的中线， ， ， ， 点为的中点， ． （2）解：连接， 则， 点为的中点， ， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 42．（2023秋•浦江县期末）在中，，，是斜边上的两点，且．现将绕点旋转后得到，连，有下面结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论是 　①②④　． 【分析】①根据旋转的性质知，，由，，可求出，即可求出，由此即可证明； ②证明，即可判断； ③由旋转可知，由三角形三边关系得到．又由，即可判断． ④由，在中，，又有，即可判断． 【解答】解：根据旋转的性质知，， ，， ． ， 在和中， ， ； 故①正确； 在中，， ，， 由可知，，，， ， 故②正确； 由旋转可知， ． ， ． 故③错误； ， 在中，， ； ， ， 故④正确， 综上，正确的为①②④． 故答案为：①②④． 43．（2023秋•杭州期末）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的长度是线段长度的函数，这个函数的表达式是 　　． 【分析】先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，据此可得出函数的表达式． 【解答】解：为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ， 整理得：， 这个函数的表达式是：， 根据等边三角形的性质得：当点运动到的中点时，点与点重合， ，即． 故答案为：． 44．（2023秋•拱墅区期末）如图，在中，，点是边的中点，点在边上（不与点，重合），连接．　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】过点作，过点作于，可得是的中位线，可得，则，根据等腰三角形的性质得，根据三角形角和边的关系即可求解． 【解答】解：过点作，过点作于， 点是边的中点， 是的中位线， ， ，， ， 于， ，， ， ， ， ， 若，则；若，则，若，则；若，则． 故选：． 45．（2023秋•拱墅区期末）如图，在中，，点在边上（不与点，重合），且，过点作，分别交的延长线和于点和点． （1）求证：． （2）若点是线段的中点，探索与的数量关系． （3）若的形状和大小都确定，说说的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）方法一：过点作于点，延长至，使，连接，延长交于点，证明，得出，证出，，则可得出结论． 方法二：过作垂线，由等腰三角形的性质可得出结论． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：． 理由：过点作，交的延长线于点， ，， 由题意，得， ． ． 点是线段的中点， ， ， ， ， ． （3）解：的值是定值，这个定值是边上的高的2倍． 方法一：过点作于点，延长至，使，连接，延长交于点， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 即的值是定值，这个定值是边上的高的2倍． 方法二：过作垂线，由等腰三角形的性质可得出结论． 46．（2023秋•杭州期末）如图，在等腰直角中，点，将斜边三等分，且，点在的边上，则满足的点的个数是　　 A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点，连接、、、，可得点到点和点的距离之和最小，求出最小值即可解答． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接交于点，连接、、、， 点，将对角线三等分，且， ，， 点与点关于对称， ，， ， ， 即， 则在线段存在点到点和点的距离之和最小为， 在点右侧，当点与点重合时，则， 点在上时，，有一个点使， 在点左侧，当点与点重合时，， ，，， ， ， ， 点在上时，有一个点使， 在线段上的左右两边各有一个点使， 同理在线段、上也都存在两个点使． 即共有6个点满足， 故选：． 47．（2023秋•滨江区期末）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连接，．已知点和点关于直线对称，若，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，连接，过点作于点．首先证明，利用面积法求出，再利用勾股定理求出． 【解答】解：如图，连接，过点作于点． ，关于对称， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 48．（2023秋•拱墅区期末）如图，在直角三角形中，，分别以，，为边向外侧作正方形，面积分别记作，，，若且满足，则　　 A． B．2 C． D．3 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形得出，，，求出，根据求出，再求出即可． 【解答】解：根据勾股定理得：， ，，， ， ， ， ， ． 故选：． 49．（2023秋•滨江区期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 　　． 【分析】可证明与全等，进而得出的面积，再将所给的面积全部相加，得出正方形和梯形的面积之和，用和的长将其表示出来即可解决问题． 【解答】解：由题知， 令，， 四边形和四边形是正方形， ，，， ， 即． 在和中， ， ， ． 又，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 又四边形和的面积和为5， ， 即， ， 则． 又四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12， 将四部分的面积相加得， ， ， 则． ， 则（舍负）， 即的值为． 故答案为：． 50．（2023秋•钱塘区期末）如图，在△中，，分别以△的三边为边在的同侧作三个正方形，顶点恰为的中点，若阴影部分（四边形的面积为9，则正方形的面积为　　 A．50 B．49 C．48 D．45 【分析】由正方形的性质推出，，，，由证明△△，得到，由是中点，得到，由余角的性质推出，又，，即可证明△△，得到△是的面积△的面积，因此△的面积阴影的面积，由三角形面积公式得到△的面积，由勾股定理得到，即可得到正方形的面积． 【解答】解：四边形，四边形是正方形， ，，，， △△， ， 是中点， ， ， ，， ， ， ，， △△， △是的面积△的面积， △的面积阴影的面积， △的面积， ， 正方形的面积． 故选：． 51．（2023秋•杭州期末）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图），若的斜边，，则图中线段的长为　　． 【分析】根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得到，，求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：在中，， ， ，， ， ， 故答案为：． 52．（2023秋•拱墅区期末）如图，一副三角板摆放在长方形包装袋中．点，，在长方形的一边上，点，在其对边上．直角三角形和等腰直角三角形的　　 A．斜边相等 B．直角的角平分线相等 C．斜边上的高相等 D．一个锐角相等 【分析】根据图可判断；根据角平分线的定义可判断；根据平行线的距离可判断；根据一副三角板的度数可判断． 【解答】解：由图可知：直角三角形和等腰直角三角形的斜边不相等，故不正确，不符合题意； 如图，过点作平分交于，过点作平分交于， ， ， ，， 一副三角板摆放在长方形包装袋中， ， ， 直角三角形和等腰直角三角形的直角的角平分线不相等， 故不正确，不符合题意； 中，两个锐角分别是，， ，两个锐角分别是，， 故不正确，不符合题意； ， 直角三角形和等腰直角三角形的斜边上的高相等； 故正确，符合题意； 故选：． 53．（2023秋•滨江区校级期末）如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是　　． 【分析】根据直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，求得，由折叠的性质得到，，设，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：，，， ， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得，，， ， ， 设， ， ，， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 54．（2023秋•上城区期末）如图，在长方形中，为等腰△，且，点在线段上，点在线段上，若，则　　． 【分析】利用矩形的性质和全等三角形的判定与性质得到，则，，代入运算得到，设，则，设，则，，利用求得，利用三角形的面积公式和矩形的面积公式解答即可得出结论． 【解答】解：为等腰△，且， ，， 四边形为矩形， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ， ， 设，则， 设，则，， ， ． ， ． ． 故答案为：． 55．（2023秋•滨江区期末）如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处，测得河北岸的一棵树底部点恰好在点的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向正东走到点，此时恰好测得： 观测者从点向正东走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上 测量示意图 （1）第一小组认为，河宽的长度就是线段 　　的长度． （2）第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得的长就是所求河宽的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． （3）请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽长，并说明方案的可行性． 【分析】（1）判定是等腰直角三角形，即可得到， （2）由证明，推出， （3）由证明，推出． 【解答】解：（1），， 是等腰直角三角形， ， 河宽的长度就是线段的长度． 故答案为：； （2）第二小组的方案可行，理由如下： 是中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 河宽的长度就是线段的长度． （3）见表格， 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向正东走到点，此时恰好测得： 观测者从点向正东走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上 观测者从点向正西走到点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于， 测量示意图 只要测出的长，就能推算出河宽长，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， 河宽的长等于线段的长． 56．（2023秋•上城区期末）如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得，交于点， （1）若，求度数； （2）若． ①求证：； ②设，求的长（用含的代数式表示）． 【分析】（1）先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答； （2）①过点作，垂足为，根据垂直定义可得，然后利用证明，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，即可解答； ②利用①的结论可得，再利用直角三角形的斜边上的中线性质可得，从而可得，，进而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，从而可得点是的中点，进而可得是的中位线，再利用三角形的中位线定理可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， ， ， 度数为； （2）①证明：过点作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ； ②解：，， ， ，点是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， 是的中位线， ， ， 的长为． 57．（2023秋•杭州期末）如图，在中，，，延长至点，使，连结，作的平分线与的平分线交于点，连结，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求的值． 【分析】（1）先证是等边三角形，可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解； （2）由“”可证，可得，可证，即可求解； （3）由直角三角形的性质可得，，即可求解． 【解答】（1）证明：如图，取的中点， ，， ，， ，点是的中点， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作直线于，于， 又， ， 平分，，， ， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ； （3）解：，， ， ，， ， ， ． 58．（2023秋•滨江区期末）如图1，已知和都是等边三角形，且点在边上，． （1）求证：． （2）求的度数． （3）如图2，过点作于点，设的面积为，的面积为，求的面积（用含，的代数式表示）． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （2）结合（1）根据等边三角形的性质即可求的度数； （3）结合（1）利用三角形的面积公式分别求出的面积的面积，的面积，进而可以用含，的代数式表示的面积． 【解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ； （2）解：是等边三角形， ， 由（1）知：， ， ； （3）解：是等边三角形，， ， 由（1）知：， 的面积的面积， 的面积， ， 的面积． 59．（2023秋•西湖区期末）在中，，点为线段上任意一点与，不重合），连接． （1）若，， ①求的最小值． ②当时，求的长． （2）若，，请用含，的代数式表示，并说明理由． 【分析】（1）①过点作于点，当点与点重合时，最小，由勾股定理可得出答案； ②由勾股定理求出，则可得出答案； （2）过点作于点，由勾股定理得出①，②，①②可得出答案． 【解答】解：（1）①过点作于点， ，， ， ， ， 当点与点重合时，最小， 的最小值为6； ②，， ， 或； （2）过点作于点，由（1）可知， 在中，①， 在中，②， ①②得， ． 即． 60．（2023秋•杭州期末）综合与实践：数学课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答： 问题情境：如图1，在中，，，点是斜边上动点，点在直线上，满足，过点作，垂足为，设． 圆圆同学提出的问题：探究与之间的数量关系； 方方同学提出的问题：探究，，之间的数量关系； 经过小组讨论，第一小组提出解决问题的思路：取中点，连接，可以证明：，从而得到对应线段相等 请你继续完成以下问题： （1）特例探究：从特殊到一般是研究几何问题的常用方法，如图1，当时，请直接写出与这两条线段长度之间的数量关系 　　； （2）数学思考：如图2，当时， ①与这两条线段长度之间的数量关系：　　； ②探究，，这三条线段长度之间的数量关系得：　　；并写出探究过程； （3）延伸拓展：如图3，当时，探究，，这三条线段长度之间的数量关系得：　　；并写出探究过程． 【分析】（1）取中点，连接，先说明为等边三角形，再证明即可解答； （2）①取的中点，连接，证明即可解答； ②由①知，结合，即可得到，进而得到答案； （3），过作，证明得出，再根据线段直角的关系即可解答． 【解答】解：（1）取中点，连接， ，，为中点， ，，， 当时， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：； （2）①取的中点，连接， ，，为中点， ，，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：； ②； 由①知， ， ， ； 故答案为：； （3）， 过作， ， 在 中，， ， 在与中， ， ， ，， 在中，，， ， ， ，， ， ． $$