第06讲 可化为一元一次方程的分式方程（4个知识点+7大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

第06讲 可化为一元一次方程的分式方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解分式方程的概念，并会熟练解分式方程； 2.理解增根的概念，会检验分式方程的根； 3.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用. 知识点01 分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 知识点02 分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 知识点03 分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 知识点04 分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 考点一：分式方程的定义 例题：（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二：解分式方程 例题：（24-25八年级上·山东东营·期中）解方程： (1) (2) 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）解下列分式方程： (1) (2) 2．（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 3．（2024八年级上·全国·专题练习）解方程： (1) (2) (3) 考点三：已知分式方程的增根求参数 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）已知关于的分式方程有增根，则 ． 【变式训练】 1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程有增根，则m的值是_____． 2．（23-24八年级下·广东河源·期末）关于的方程有增根，则的值为 ． 3．（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于的方程：有增根，则 ． 考点四：已知分式方程的无解求参数 例题：（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）若关于x的分式方无解，则m的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于的方程无解，则的值是 ． 2．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程无解，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）关于的分式方程无解，则的值为 ． 考点五：根据分式方程解的情况求值 例题：（23-24九年级下·山东日照·开学考试）若关于的分式方程有非负整数解，则的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）若关于的方程有整数解，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·山东淄博·期末）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 考点六：列分式方程 例题：（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶20km，设大巴车的速度为，依题意，列方程 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 3．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）甲、乙两人在果园摘草莓，甲每小时比乙每小时多摘个，乙摘个所用时间比甲摘个所用时间多分钟，求甲摘个草莓、乙摘个草莓时间分别为多少小时．设甲摘个草莓时间为小时，则可列分式方程为 ． 考点七：分式方程的实际应用 例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）2023年12月，21世纪经济研究院发布《国际消费中心城市建设年度报告（2023）》，长沙被列为发展型消费中心城市（Gamma级）．根据市场需求，长沙市某企业为加快生产速度，更新了部分生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，若更新设备前每天生产产品件．据此解答下列问题： (1)更新设备后每天生产　　 件产品（用含的式子表示）； (2)更新设备后生产6000件产品还比更新设备前的生产5000件产品少用2天，则更新设备后每天生产多少件产品？ 【变式训练】 1．（2024·吉林长春·模拟预测）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格是每个足球的价格的倍，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多2个．求每个足球的价格． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为，甲施工队在绿化了后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，结果提前12天完成了该项绿化工程． (1)甲施工队每天完成多少？ (2)高铁站给付工程款的标准是15元/，求甲、乙施工队分别可得多少工程款． 一、单选题 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）解分式方程，去分母后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（吉林省长春市2022--2023学年九年级上学期数学学科基础质量监测试卷）已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）对于非零实数，规定：．若，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 5．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程的解是 ． 7．（2024九年级·辽宁·专题练习）甲、乙两班学生参加植树造林活动，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是 ． 8．（22-23八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 9．（22-23八年级下·四川内江·期中）若关于的方程无解，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 三、解答题 11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）解下列分式方程： (1) (2) 12．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）解下列分式方程： (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 14．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于x的分式方程与的解相同，求m的值． 15．（24-25八年级上·河北承德·期中）已知代数式，解答下列问题： (1)先化简，求当时，原代数式的值； (2)原代数式的值等于吗？为什么？ 16．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 17．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若整数使关于的不等式组，有且只有个整数解，且使关于的方程的解为非正数，求整数的值． 18．（24-25八年级上·海南海口·期中）已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 19．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． (1)求该店两次购进这款书签各多少个？ (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 20．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 可化为一元一次方程的分式方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解分式方程的概念，并会熟练解分式方程； 2.理解增根的概念，会检验分式方程的根； 3.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用. 知识点01 分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 知识点02 分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 知识点03 分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 知识点04 分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 考点一：分式方程的定义 例题：（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②是分式方程； 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程． 故分式方程有1个， 故选：A． 2．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐个分析判断即可． 【详解】分母中含有未知数，故是分式方程； 分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； 分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：是分式方程的有1个； 故选：A． 考点二：解分式方程 例题：（24-25八年级上·山东东营·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是解题的关键． （）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： ， ， ， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为； （2）解：， ， ， ， 经检验：是原分式方程的解． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查解分式方程，解答的关键是熟练掌握分式方程的解法，注意计算结果要检验． （1）先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后经过检验得结论； （2）先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后经过检验得结论． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，即原分式方程无解． 2．（24-25八年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查分式方程的解法，检验是解分式方程的必要步骤． （1）根据解分式方程的解法步骤求解即可． （2）根据解分式方程的解法步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得合并同类项得，， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得合并同类项得，， 系数化为1得，， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)原方程无解； (2)原方程无解； (3)． 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）方程两边同乘，得到整式方程，解整式方程求出的值，检验后得到答案； （2）方程两边同乘，得到整式方程，解整式方程求出的值，检验后得到答案； （3）方程两边同乘，得到整式方程，解整式方程求出的值，检验后得到答案． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解； （2）解：， ∴， ∴， 解得：， 检验：当，， ∴原方程无解； （3）解：， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 考点三：已知分式方程的增根求参数 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）已知关于的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的增根．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程有增根，则m的值是_____． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：去分母得：， 解得， 由分式方程有增根，得到，即， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 2．（23-24八年级下·广东河源·期末）关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程有增根，则该方程无解，解出，即可求出． 【详解】解：去分母得，， 合并同类项得，， ∵有增根， ∴该方程无解，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于的方程：有增根，则 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解． 【详解】解∶方程两边同乘以，得， 整理得， ∵原方程有增根， ∴， ∴， 当时， ，解得； 当时， ，解得； ∴a的值为或， 故答案为：或． 考点四：已知分式方程的无解求参数 例题：（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）若关于x的分式方无解，则m的值为 ． 【答案】2或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，先求解该分式方程，得出，再根据该分式方程无解，得出，则，即可解答． 【详解】解：， 去分母，得， ∵原分式方程无解， ∴， 解得， ∴， 解得：或， 故答案为：2或． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程无解问题．先将分式方程化为整式方程，得出的值，然后根据分式方程无解，得出的值，继而求出的值． 【详解】解：， ， ， ，， 整理得：， 可得：， ∵关于的方程无解， ∴， 即 故． 故答案为：． 2．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】解分式方程、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握整式方程无解或分式方程有增根时，分式方程无解是关键． 将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解． 【详解】解：去分母得：， 整理得：，即， 当，即时，整式方程无解，满足题意； 当，即时，， 此时分式方程的增根为或， 代入得：（无解）或， 解得：， 综上所述，的值为或． 3．（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 考点五：根据分式方程解的情况求值 例题：（23-24九年级下·山东日照·开学考试）若关于的分式方程有非负整数解，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程 【分析】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； 根据解分式方程的步骤求解即可； 【详解】解： 去分母得： 去括号： 移项： 系数化为： 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：且 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：去括号得， 解得， ∵方程有正整数解，即且， ∴，即，且为整数， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，此时，原分式方程的分母为0，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴或， 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）若关于的方程有整数解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】先方程两边都乘，得，再根据有整数解，逐个分析，即可作答．本题考查了根据分式方程解的情况求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解： 方程两边都乘，得， ∴ ∴ ∵关于的方程有整数解 ∴或， ∴ ∴的值为 故答案为： 3．（23-24九年级上·山东淄博·期末）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式有意义的条件 【分析】此题考查了分式方程的解，注意任何时候考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据x为正数且分母不等于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， ∵方程的解是正数 ∴，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 考点六：列分式方程 例题：（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）利川到武汉高速路程约为580公里，乘坐大巴比乘坐轿车多用2小时30分，已知轿车比大巴车每小时多行驶20km，设大巴车的速度为，依题意，列方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设大巴车的速度为，则轿车的速度为，再根据时间路程速度列出方程即可． 【详解】解：设大巴车的速度为，列方程得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】解：装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得 ． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·上海宝山·期末）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据“10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等”列方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）甲、乙两人在果园摘草莓，甲每小时比乙每小时多摘个，乙摘个所用时间比甲摘个所用时间多分钟，求甲摘个草莓、乙摘个草莓时间分别为多少小时．设甲摘个草莓时间为小时，则可列分式方程为 ． 【答案】 【知识点】分式方程的实际应用、列分式方程 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，即可 【详解】设甲摘个草莓时间为小时， 分钟等于小时， ． 故答案为：． 考点七：分式方程的实际应用 例题：（2024·湖南长沙·模拟预测）2023年12月，21世纪经济研究院发布《国际消费中心城市建设年度报告（2023）》，长沙被列为发展型消费中心城市（Gamma级）．根据市场需求，长沙市某企业为加快生产速度，更新了部分生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，若更新设备前每天生产产品件．据此解答下列问题： (1)更新设备后每天生产　　 件产品（用含的式子表示）； (2)更新设备后生产6000件产品还比更新设备前的生产5000件产品少用2天，则更新设备后每天生产多少件产品？ 【答案】(1) (2)更新设备后每天生产125件产品 【知识点】用代数式表示式、分式方程的实际应用 【分析】本题考查分式方程的实际应用； （1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了”列代数式即可； （2）根据题意列分式方程，解方程即可. 【详解】（1）更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了， 更新设备后每天生产产品数量为：（件）， 故答案为：； （2）由题意知：， 去分母，得， 解得：， 经检验，0是所列分式方程的解， （件）， 答：更新设备后每天生产125件产品． 【变式训练】 1．（2024·吉林长春·模拟预测）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格是每个足球的价格的倍，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多2个．求每个足球的价格． 【答案】每个足球的价格为100元 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程成为解题的关键． 设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为元，再根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多2个”列分式方程求解即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为元， 由题意得：， 解得：, 经检验：是分式方程的解． 答：每个足球的价格为100元． 2．（23-24八年级下·山西临汾·期末）某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为，甲施工队在绿化了后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，结果提前12天完成了该项绿化工程． (1)甲施工队每天完成多少？ (2)高铁站给付工程款的标准是15元/，求甲、乙施工队分别可得多少工程款． 【答案】(1)甲施工队每天完成的绿化面积为； (2)甲施工队可得工程款元，乙施工队可得工程款元． 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用．注意解分式方程时一定要检验． （1）可设甲施工队每天完成的绿化面积为，利用等量关系列出分式方程求解即可； （2）先求得乙施工队施工的时间，再求得两施工队完成的任务数，即可求解． 【详解】（1）解：设甲施工队每天完成的绿化面积为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 答：甲施工队每天完成的绿化面积为； （2）解：∵， ∴，， ∴甲施工队完成了任务， 乙施工队完成了任务， ∴甲施工队可得工程款（元）， 乙施工队可得工程款（元）， 答：甲施工队可得工程款元，乙施工队可得工程款元． 一、单选题 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； B、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； C、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； D、，分母不含有未知数，不是分式方程，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）解分式方程，去分母后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查分式方程去分母的知识，分式方程中的分母分别为x和，确定出最简公分母为；再根据等式的基本性质，给方程两边同乘最简公分母，问题即可迎刃而解． 【详解】解：， 方程的两边同乘，得． 整理得， 故选：C． 3．（吉林省长春市2022--2023学年九年级上学期数学学科基础质量监测试卷）已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键．先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【详解】解：关于的分式方程有增根， ， 解得：， 故选：D． 4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）对于非零实数，规定：．若，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，根据新定义将所求式子化为普通方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选：C． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解分式方程，由不等式组无解，解得，解分式方程得，，进而得到，即可得解，本题特别要注意分式有意义的条件． 【详解】解：∵关于x的不等式组， ∴由①得，， 由②得，， ∵原不等式组无解， ∴， 解得，， 解分式方程得，， ∵分式方程的解为正整数， ∴， ∵， ∴， 综上，， ∴， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变为整式方程，然后解整式方程，得出x的值，最后检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 经检验是原方程的解， 所以方程的解为， 故答案为：． 7．（2024九年级·辽宁·专题练习）甲、乙两班学生参加植树造林活动，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查的是根据实际问题列分式方程．根据甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，即可列出方程． 【详解】解：设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树棵， 依题意得：， 故答案为：． 8．（22-23八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了解分式方程．首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且即可求得m的范围． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵原分式方程得解为正数，且， ∴，且， 解得：且． 故答案为：且． 9．（22-23八年级下·四川内江·期中）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或5或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】此题主要考查了分式方程无解问题，正确分类讨论是解题关键．直接解方程得出，再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 可得：， 当时，一元一次方程无解， 此时， 当时， 则， 解得：或， 故答案为：或或． 10．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】此题考查了不等式组的解和分式方程的解，利用给出的不等式组，可得的范围，进而得出的范围，再利用分式方程的解的特征，得到的取值范围，再求出符合条件的所有整数，然后相加即可得出答案，解题的关键是掌握解不等式组的步骤，把分式方程化为整式方程． 【详解】解：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组有解， ∴，解得， 由，解得：， ∵关于的分式方程有非负数解， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围为且， ∴所有整数为，，，， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，注意验根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）方程两边同乘以最简公分母，得，再解方程，即可作答． （2）方程两边同乘以最简公分母，得，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴去分母得． ∴去括号，得． 则移项、合并同类项，得． ∴系数化为1，得． 检验：当时，， ∴是分式方程的解． （2）解：∵ ∴去分母得． ∴去括号，得． ∴移项、合并同类项，得． ∴系数化为1，得． 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 12．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：可化为， 方程两边都乘，得， 去括号移项得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． （2）解：可化为， 去分母，得， 去括号得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 13．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程． （1）先去分母化为一元一次方程，再解方程并检验即可； （2）先去分母化为一元一次方程，再解方程并检验即可． 【详解】（1）解：原分式方程整理得，， 去分母得， ， ， 经检验：是方程的解，原分式方程的解为． （2）解：原分式方程整理得，， 去分母得，， ， 经检验：是方程的增根，原分式方程无解． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于x的分式方程与的解相同，求m的值． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查的是分式方程的同解问题，求出第二个分式方程的解，代入第一个方程求出m即可． 【详解】解：解方程，得， 经检验是方程的解， 把代入方程， 解得． 15．（24-25八年级上·河北承德·期中）已知代数式，解答下列问题： (1)先化简，求当时，原代数式的值； (2)原代数式的值等于吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)原代数式的值不能等于，见解析 【知识点】分式化简求值、解分式方程 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程．解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）先做括号内的减法，注意把各分子、分母先因式分解，约分后再做减法运算；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，然后约分化为最简形式； （2）令，求解，检验即可判断． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解：原代数式的值不能等于， 原因：由（1）可知原式化简后的式子为， ，得， 经检验，是该方程的解， 但是时，原代数式无意义， 原代数式的值不能等于． 16．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程、分式方程无解问题 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键． （1）把代入分式方程，将分式方程转换为整式方程计算即可求解，注意要检验根是否符合题意； （2）根据原分式方程无解“原分式方程的分母为零；原分式方程化成整式方程后，整式方程无解”由此即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入分式方程，得， 方程两边乘，得， 整理得，， 解得，， 检验：把代入， 是原分式方程的解． （2）解：， 当时，， 方程两边都乘最简公分母，得， 整理，得， 原分式方程无解， ， 解得，， 把代入， 当时，， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，． 17．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若整数使关于的不等式组，有且只有个整数解，且使关于的方程的解为非正数，求整数的值． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程；解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断的取值范围，解分式方程，用含有的式子表示，根据解的非负性求出的取值范围，确定符合条件的整数，相加即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 不等式组有且只有个整数解， ， 解得． 解关于的方程，得． 关于的方程的解为 ， ，解得． ， ， ， 故整数的值为或． 18．（24-25八年级上·海南海口·期中）已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)若方程有增根，的取值为或； (2)若方程无解，的取值为或或； (3)或 【知识点】解分式方程、分式方程无解问题、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据分式方程解的情况求值 【分析】（）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可； 本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 19．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． (1)求该店两次购进这款书签各多少个？ (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 【答案】(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个； (2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个，由题意：每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意：要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个． （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元， 由题意得： 解得：， 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元． 20．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【知识点】一元一次方程解的关系、已知一元一次方程的解，求参数、解分式方程、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$