15.3　分式方程　讲义　2024—2025学年人教版数学八年级上册　

《分式方程》知识全解 课标要求 1.会解一元一次分式方程（方程中的分式不超过两个） 2.能根据具体问题中的数量关系，列出上述类型的方程，并进一步体会这类重要的刻画现实世界的数学模型的作用． 知识结构 1. 分式方程概念，和产生增根的原因． 2. 分式方程的解法 3.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题． 内容解析 （1）分式方程的概念：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程 （2）分式方程的解法： ①能化简的先化简． ②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程 ③解整式方程； ④)验根． （3）分式方程的应用:　以工程问题为例，能将此类问题中的相等关系用分式方程表示；建立数学模型，会解含字母系数的分式方程． 重点难点 本节的重点是：分式方程的概念,，解分式方程和列分式方程解应用题． 教学重点的解决方法：分式方程是一种有效描述现实世界的模型，把分式方程转化为整式方程来解分式方程，把未知化已知，从而渗透数学转化思想． 本节内容的难点是：分式方程产生增根的原因和列分式方程解应用题 教学难点的解决方法：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验． 教法导引 （1）注重渗透化归思想，实际问题紧紧扣住等量关系 解分式方程注意转化的思想，而实际问题由于背景的多变性，其数量关系也是动态多变，难以把握，只能以不变应万变，紧紧扣住“等量关系”这一主线，有意识的培养学生对例题、习题的阅读理解能力． 教给学生一些避免产生增根的方法,例： 解方程： - = 1 解：移项，得 - - 1 = 0 整理，得 = 0　　　　① 化简，得 = 0　　　　　　　② 因为 0 所以 原方程无解． （2）注重启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用，避免负迁移． 分式方程的解法理论中，我们一直采用了在分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法．这种方法充分体现了转化思想的理论精髓，而转化思想恰好是整个方程解法理论的核心思想，使各种方程（组）最终转化为一元一次方程，让人们看到一个和谐统一的体系，生动的数学展现于眼前．不过这种变形不属于方程的同解变形原理，它的恶果之一是产生增根的现象．增根并不是方程的根，它跟随非同解变形进来之后，还要用检验的方式把它清除出去，这是一种迂回的，有点费力的处理方法．是一个容易引发讨论和思考的知识点． 分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法，在实践中经常对分式的四则运算产生强烈的负迁移，如化简时经常有学生这样运算：这肯定是受分式方程解法的影响所致，而且有时这种影响极其顽固，很难改正．分式的四则运算不能支持分式方程的解决，分式方程的解决又影响分式的四则运算，这种内耗和对抗大大削弱了分式理论的和谐性． 学法建议 分式方程的重点是解分式方程和列分式方程解应用题，难点是分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题．因而在学习中应注意： (1)分母中含有字母的方程不一定是分式方程，当且仅当字母中有未知数时，才是分式方程，如解关于的方程：，等都是整式方程，究其原因在于限定未知数是，则字母、 、 是已知数，不满足分式方程定义． （通过观察，从中感知分式方程的特征） (2)严格遵循解分式方程的步骤：化、解、验．在解分式方程应用题时，切不可忘记检验． (3)认真审题，可借助表格、图表来分析题意，找出适合题意的相等关系，建立方程． 例：为改善居住环境，小康村拟在村后荒山上种植720棵树，由于共青团员的支持，实际每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x棵，根据题意得方程______ __． 题目设原计划每天种植x棵，那么可用来列方程的相等关系是实际比原计划提前4天完成任务．由题意，原计划植树天，而实际每天植树棵，实际植树天数为天，所以根据相等关系可列方程． （易错点是：已知量不会用未知数表示，找不到等量关系） (4)进行一题多解、一题多问及一题多变的训练，提高思维的敏捷性、解题方法的灵活性． (5)类比整式方程的解法和应用，使所学知识系统化，进而形成技能、技巧，巩固双基． 例 解方程： = 解：移项，得 － = 0 通分，得 = 0 整理，得 = 0　　　① 分子取0，得 　x + 5 = 0　　 　② 即 x = -5 说明：从①式到②式是此解法的关键．①式中，如分子与分母没有含未知数的公因式，那就能够做到分子取0时保证分母不得0；然后根据分式值为0的条件，把分式等于0的式子改写为分子等于0的式子，即完成了分式方程向整式方程的转化，而且符合方程的同解变形原理的精神，不会有增根或丢根的现象发生． 学科网（北京）股份有限公司 $$