精品解析：山东省烟台市福山区（五四制）2024-2025学年八年级上学期期中数学试题

2024—2025学年度第一学期期中学业水平考试初三数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 代数式中，属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式中，属于分式的有：共有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的定义，解题关键是依据 “把一个多项式化为几个整式的积的形式” 这一因式分解的本质特征，逐一判断选项． 根据因式分解 “把多项式化为几个整式积的形式” 的定义，逐一分析选项即可． 【详解】A：，是整式乘法运算，不符合题意， B：，等式右边是和的形式，不是整式积的形式，所以不符合题意， C：，因式分解正确，符合题意， D：，等式右边的因式不是整式，所以不符合题意． 故选C． 3. 分式方程去分母后，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程变形后，去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：分式方程变形得：， 去分母得：． 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，去分母之前要找对各分母的最简公分母． 4. 已知分式，当时，分式的值为零；当时，分式无意义，则的值是（　　） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式等于零以及分式无意义的条件，列出方程，即可求解． 【详解】解：∵分式，当时，分式的值为零， ∴， 解得：， ∵时，分式没有意义， ∴， 解得：， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查分式的相关概念，掌握分式等于零以及分式无意义的条件，是解题的关键． 5. 下列计算错误的是（　　） A. = B. = C. = D. -=- 【答案】B 【解析】 【详解】A选项中，分子分母都除以a2b2，故A正确； B选项中，分子除以（a-b），分母除以（b-a），故B错误； C选项中，分子分母都乘以10，故C正确； D选项中，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，故D正确； 故选B． 6. 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)成绩如图所示，下列判断正确的是( ) A. 甲的成绩比乙稳定 B. 甲的最好成绩比乙高 C. 甲的成绩的平均数比乙大 D. 甲的成绩的中位数比乙大 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案. 【详解】甲同学的成绩依次为：、、、、， 则其中位数为，平均数为，方差为； 乙同学的成绩依次为：、、、、， 则其中位数为，平均数为，方差为， 甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低. 故选. 【点睛】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均数的离散程度越小，稳定性越好.也考查了中位数. 7. 若一组数据13，14，15，16，x的方差比另一组数3，4，5，6，7的方差大，则x的值可能是（ ） A. 12 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个x的值计算出前一组数据的方差求解． 【详解】数据3，4，5，6，7，每2个数相差1；数据13，14，15，16，x的前四个数据也相差1，若x=17或x=12，两组数据方差相等， 而数据13，14，15，16，x的方差比另一组数3，4，5，6，7的方差大， 则x的值可能是18，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义． 8. 把分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的一半 【答案】A 【解析】 【分析】将x，y的值用代替，根据分式的性质化简． 【详解】解：； 故选：A． 【点睛】本题考查分式的基本性质；掌握分式的性质是解题的关键． 9. 对于有理数a、b，定义一种新运算¤：，这里等式的右边是有理数运算．例如：1 ．那么，方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的运算，解分式方程，先根据题目所给新定义，列出方程，再根据解分式方程的方法和步骤进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的解． 故选：C． 10. “爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，由甲所花的时间加上小时等于乙所花的时间建立方程即可． 【详解】解：设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，则 ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是 _____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的有意义的条件．分式有意义，则分母不为0，即可得出答案；解题的关键是掌握分式有意义的条件． 【详解】有意义，即分母不为0， ∴， ∴， 故答案为． 12. 如图是某校学生年龄分布情况统计图，根据统计图计算该校学生的平均年龄为______岁． 【答案】13.95 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，根据扇形图，利用加权平均数的计算方法，进行求解即可． 【详解】解：（岁）． 故答案为：13.95． 13. 若一组数据，，，，…，的方差为5，则另一组数据，，，，…的方差为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】先根据，，，，…，的方差为5，求出数据，，，，…的方差，即可得出的答案． 【详解】解：∵，，，，…，的方差为5， ∴数据，，，，…的方差是22×5=20, ∴数据，，，，…的方差是20, 故答案为：20． 【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，但是方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数(或除以一个数)时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍． 14. 已知，那么的值为 ________________ ． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意，先把代数式根据已知条件进行变形，然后整体代入进行计算即可． 本题主要考查了代数式求值，利用整体思想进行代数计算是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 15. 已知ab＝2，＝，则多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】已知第二个等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，把ab＝2代入求出a+b的值，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵ab=2，， ∴，即a+b=3， 则原式=ab（a2+2ab+b2） =ab（a+b）2 =2×32 =2×9 =18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 16. 若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值可以是_____________ ． 【答案】或4或9 【解析】 【分析】本题考查了平均数与中位数的定义，根据题意，平均数与中位数相同建立等价的式子，灵活运用分类讨论思想，解出即可作答． 【详解】解：平均数： 当，则一组数据从小到大排序得x，2，3，5，6， 此时中位数为 因为平均数与中位数相同 则 解得，满足条件； 当，则一组数据从小到大排序得2，x，3，5，6， 此时中位数为 因为平均数与中位数相同 则 解得，不满足条件，故舍去； 当，则一组数据从小到大排序得2， 3，x，5，6， 此时中位数为 因为平均数与中位数相同 则 解得，满足条件； 当，则一组数据从小到大排序得2， 3，5，x，6， 此时中位数为 因为平均数与中位数相同 则 解得，不满足条件，故舍去； 当，则一组数据从小到大排序得2，3，5，6，x， 此时中位数为 因为平均数与中位数相同 则 解得，满足条件； 综上：实数x的值可以是或4或9 故答案为：或4或9 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 因式分解： （1）（x+2）（x+3）+ （2）3a（x2+4）2﹣48ax2 【答案】（1）（x+）2； （2）3a（x+2）2（x﹣2）2 【解析】 【分析】（1）原式整理后，利用完全平方公式分解即可； （2）原式提取公因式，再利用平方差公式及完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1）原式＝x2+5x+＝（x+）2； （2）原式＝3a[（x2+4）2﹣16x2]＝3a（x+2）2（x﹣2）2 【点睛】此题考查多项式的因式分解，根据多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键，还需注意分解因式需分解到不能再分解为止. 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）﹣ 【解析】 【分析】（1）先计算括号里的，通分后根据同分母分式的减法法则计算，再将除法化成乘法，约分即可求出值； （2）原式先计算乘方，再进行乘除运算，注意符号． 【详解】解：（1）， ＝， ＝， =， ＝； （2）， ＝， ＝ ， ＝﹣． 【点睛】此题考查分式的混合运算，有括号先计算括号里的，有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加减，结果要化为最简分式. 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解． 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）两边同时乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可； （2）两边同时乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 经检验，是分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 经检验，是增根，故原方程无解． 20. 化简求值，（）其中x是不等式组的整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】先求出不等式的整数解，然后计算括号里面分式的加法，再计算分式的除法，化简后代值计算即可． 【详解】解： 解不等式① 得：， 解不等式② 得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为 原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组合求不等式组的整数解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 21. 若分式方程无解，求的值． 【答案】2或1 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的无解求参数的值，分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0时，分式方程无解，求出x的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值；②去分母整理成的形式，如果，此时分式方程也无解． 根据分式方程无解分为有增根或去分母后的整式方程无解两种情况进行解答即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， ∴当或时原方程无解， 当时，， 当时，即时，，得， ∴当或时，原方程无解． 22. 若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，注意分母不为0这个隐含条件是解题的关键．将看作已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【详解】解： 解得： 分式方程的解为非负数，且 解得且 故答案为：且 23. 某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：____，____，____； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）85，85，80； （2）解：七年级决赛成绩较好，理由如下： 由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高， 故七年级决赛成绩较好； （3）（分）， ∴七年级代表队选手成绩比较稳定． 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，掌握相关定义和公式，是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数的计算方法，计算即可； （2）根据平均数和中位数的大小关系进行说明即可； （3）根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可． 【小问1详解】 解：七年级的平均分，众数， 八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数； 故答案为：85，85，80； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． （1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ （2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 【答案】（1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元 （2）甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的实际应用． （1）设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解． （2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，先求出m的取值范围，然后列出y关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得： 解得 经检验，是所列方程的根， ∴ 答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元． 【小问2详解】 设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，由题意得： 解得： ， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴时，y取最小值，此时（个）， 答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少． 25. 请阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． （1）将分式化为带分式； （2）在（）问中，当取哪些数值时，分式的值也是整数； （3）当的值变化时，分式的最大值为 ． 【答案】（1）； （2）当取，，，，，时，分式的值也是整数； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了新定义的理解，分式的变形及分式的值，掌握求解是分式的值为整数时字母的值是解本题的关键. （）将分子变为，即可以把分式化为带分式； （）根据（）的结果，要使为整数，则必为整数，得到为的因数，分情况即可得到的值； （）分式要取最大值，则取最小值，据此可求出x的值，从而求出的最大值；熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由（）得：， 要使为整数，则必为整数， ∴为的因数， ∴或或， 解得：，，，，，， ∴当取，，，，，时，分式的值也是整数； 【小问3详解】 ， 分式要取最大值，则取最小值， 故当时，取最小值， ∴最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中学业水平考试初三数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 代数式中，属于分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 分式方程去分母后，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知分式，当时，分式的值为零；当时，分式无意义，则的值是（　　） A. 2 B. C. 6 D. 5. 下列计算错误的是（　　） A. = B. = C. = D. -=- 6. 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)成绩如图所示，下列判断正确的是( ) A. 甲的成绩比乙稳定 B. 甲的最好成绩比乙高 C. 甲的成绩的平均数比乙大 D. 甲的成绩的中位数比乙大 7. 若一组数据13，14，15，16，x的方差比另一组数3，4，5，6，7的方差大，则x的值可能是（ ） A. 12 B. 16 C. 17 D. 18 8. 把分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的一半 9. 对于有理数a、b，定义一种新运算¤：，这里等式的右边是有理数运算．例如：1 ．那么，方程的解为（ ） A. B. C. D. 10. “爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是 _____________ 12. 如图是某校学生年龄分布情况统计图，根据统计图计算该校学生的平均年龄为______岁． 13. 若一组数据，，，，…，的方差为5，则另一组数据，，，，…的方差为__________． 14. 已知，那么的值为 ________________ ． 15. 已知ab＝2，＝，则多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值为______． 16. 若一组数据2，6，3，5，x的平均数与中位数相同，则实数x的值可以是_____________ ． 三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 因式分解： （1）（x+2）（x+3）+ （2）3a（x2+4）2﹣48ax2 18. 计算： （1） （2） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 化简求值，（）其中x是不等式组的整数解． 21. 若分式方程无解，求的值． 22. 若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 23. 某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：____，____，____； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 24. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． （1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ （2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 25. 请阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． （1）将分式化为带分式； （2）在（）问中，当取哪些数值时，分式的值也是整数； （3）当的值变化时，分式的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $