期末押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：九年级上下全部内容）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

2024-2025学年九年级数学上学期期末押题重难点检测卷（提高卷） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教版九年级上下册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，下面关于2024年巴黎奥运会的图标中不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西百色·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，分别与相切于A，B两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（黑龙江省绥化市2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，已知关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（   ）（结果保留）． A． B． C． D． 7．（安徽省池州市2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，在中，，，，现要在其内部作正方形，使边在上，另两个顶点，分别在，上，则正方形的边长为（  ） A．48 B．46 C．42 D．40 8．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点G是上的一点，且，于点E，，且交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根；⑤若点在该抛物线上，则．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）如图所示的矩形内放置5个大小相同的正方形，且E，F，G，H四个顶点分别在矩形的四条边上，为求的值，只要量出下面哪一条线段即可？（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）将函数 的图象绕原点旋转，得到的新图象的函数表达式为 ． 12．（山西省长治市多校2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试卷）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 13．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图所示为某地修建的一座建筑物的横截面（横截面为梯形），高，坡面AB的坡度为，则的长度为 m． 14．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，小树在路灯O的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 m． 15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是 ． 16．（2023·四川达州·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，顶点恰好落在双曲线上，则的值为 ． 17．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的侧面积为 ． 18．（浙江省绍兴市绍初教育集团（共同体）2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”．若二次函数在的图象上存在两个“纵两倍点”，则c的取值范围是 ． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）解方程 (1) (2) 20．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点O的中心对称图形； (2)在第（1）问的条件下，画出绕点顺时针方向旋转后的图形． 21．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整． (2)若参加比赛的共有550名学生，则成绩良好的学生有 人． (3)此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率． 22．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，O为上一点，以O为圆心，为半径作交于另一点D，E为上一点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若，，，求的长． 23．（24-25九年级上·北京·期中）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． (1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球_____（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足的函数关系； (2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 24．（山西省长治市多校2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试卷）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：    【实地测量】 (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点处，她的眼晴，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． (3)利用测角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离，均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：，）． 25．（24-25九年级下·全国·期中）如图，内接于，的平分线交于点G，过G作分别交，的延长线于点D，E． (1)求证：是的切线； (2)已知，，点I为的内心，求的长． 26．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线交x轴于点，，与y轴交于点． (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，，点F 在线段上方抛物线上一点，设点F的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，当点F在第一象限，过点F作的平行线，交线段于点E，连接和，若时，求点F的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期末押题重难点检测卷（提高卷） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教版九年级上下册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，下面关于2024年巴黎奥运会的图标中不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形； 【详解】解：A、该图形绕某点旋转，旋转后的图形与原图形重合，故该选项不符合题意； B、该图形绕某点旋转，旋转后的图形与原图形重合，故该选项不符合题意； C、该图形绕某点旋转，旋转后的图形与原图形重合，故该选项不符合题意； D、该图形绕某点旋转，旋转后的图形不与原图形重合，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·广西百色·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断即可． 【详解】解：A．2为分式方程，所以A选项不符合题意； B．当时方程为一元二次方程，所以B选项不符合题意； C．为一元二次方程，所以C选项符合题意； D．为二元二次方程，所以D选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单随机事件发生的概率，先列出所有的可能性，再找出满足题意的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：用A、B分别表示铅球、跳高，列表得 小明小刚        运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一个项目参加比赛，共有4种等可能情况，其中两人恰好都选择铅球项目是1种情况， 则两人恰好都选择铅球项目的概率是． 故选：C． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，分别与相切于A，B两点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理．连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出∠的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵分别与相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（黑龙江省绥化市2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，已知关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的综合判断，首先根据反比例函数图象所经过的象限判断出k的符号；然后由k的符号判定一次函数图象所经过的象限，图象一致的选项即为正确选项． 【详解】解： A、反比例函数的图象经过第一、三象限，则．所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，故本选项错误，不符合题意； B、反比例函数的图象经过第二、四象限，则．所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； C、反比例函数的图象经过第一、三象限，则．所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，故本选项错误，不符合题意； D、反比例函数的图象经过第二、四象限，则．所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（   ）（结果保留）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积． 【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是， 圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高， 且底面周长为：， ∴这个圆柱的侧面积是． 故选：C． 7．（安徽省池州市2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题）如图，在中，，，，现要在其内部作正方形，使边在上，另两个顶点，分别在，上，则正方形的边长为（  ） A．48 B．46 C．42 D．40 【答案】A 【分析】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长； 【详解】解：设正方形零件的边长为， 在正方形中，， ， ， ， 即：． 解得：． 故选：A． 8．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点G是上的一点，且，于点E，，且交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形性质可求出的长，进而求出的长，证，利用相似三角形对应边成比例可求得、的长，证，得，根据线段的和差求得的长即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， ， ， ， 在中，， 则由勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ，， 又， ， 又，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切的定义等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质求出线段的长是解答本题的关键． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根；⑤若点在该抛物线上，则．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 结合函数图像，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴与轴的交点到对称轴距离为， ∴该抛物线与x轴的另一个交点为， 补图如下： ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧，a、b异号， ∴， ∵抛物线与y轴交在正半轴， ∴， ∴，故①正确， 抛物线的对称轴是直线即， ∴， ∴，故②正确； ∵该抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，，故③正确； ∵由图象可得，抛物线的顶点坐标为， ∴直线与抛物线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； ∵当时，该函数取得最大值，此时， ∵点在该抛物线上，则，故⑤正确； 综上所述：正确的个数有5个． 故选：D． 10．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）如图所示的矩形内放置5个大小相同的正方形，且E，F，G，H四个顶点分别在矩形的四条边上，为求的值，只要量出下面哪一条线段即可？（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键． 如图，记以E，G为顶点的边的交点为，过作于，交于，则四边形是矩形，，证明，则，即，设，则，，同理，，可求，如图，作于，则四边形是矩形，则，同理，，可求，则，，然后判断作答即可． 【详解】解：如图，记以E，G为顶点的边的交点为，过作于，交于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 同理，， ∴，即， ∴， 如图，作于，则四边形是矩形， ∴， 同理，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴只要量出的长，即可求的值， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）将函数 的图象绕原点旋转，得到的新图象的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．将其绕顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标和开口方向都发生变化，确定顶点坐标即可得出所求的结论． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为, 图象绕着原点旋转后，开口大小不变，顶点坐标变为，开口方向相反， 即， 则旋转后的二次函数解析式是：． 故答案为：． 12．（山西省长治市多校2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试卷）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图所示为某地修建的一座建筑物的横截面（横截面为梯形），高，坡面AB的坡度为，则的长度为 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据坡度等于铅直高度与水平距离的比，得到，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 在中，； 故答案为：． 14．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，小树在路灯O的照射下形成的投影为．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为 m． 【答案】5 【分析】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：5． 15．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例． 根据小孔成像原理可知，利用它们的对应边成比例就可以求出之长． 【详解】解∶如图过作直线，交于， 依题意， ， ，． 而， ， 、分别是它们的高， ， ， ， 故答案为∶． 16．（2023·四川达州·模拟预测）如图，等腰直角三角形中，顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，顶点恰好落在双曲线上，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查反比例函数的综合问题，全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，过点作轴于点，证明，从而可求出的坐标，进而可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：如图所示，过点做轴交轴于， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点坐标为， 将代入得：， 故答案为：3． 17．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程求出，进而求得圆锥的侧面积． 【详解】解：设，则， 根据题意，得 解得， ， 圆锥的侧面积为． 故答案为：． 18．（浙江省绍兴市绍初教育集团（共同体）2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”．若二次函数在的图象上存在两个“纵两倍点”，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，直线与抛物线的交点问题，正确理解题意，利用转化思想是解题的关键． 由题意得“纵两倍点”在直线上，即问题化为直线与抛物线在时有两个交点，找出两个临界状态即可求解． 【详解】解：由题意得“纵两倍点”在直线上， 即问题化为直线与抛物线在时有两个交点， 记交点为，直线与直线交点记为， 当点A与点C重合时，如图： 将代入得：， 解得：，此时符合题意； 当时，如图， 当直线与抛物线只有一个交点时， 联立直线与抛物线， 得， ∴ 则， 解得：， ∴要满足存在两个“纵两倍点”， ， 故答案为：． 三、解答题（8小题，共66分） 19．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）提公因式法因式分解，进行求解即可； （2）十字相乘法进行因式分解，进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴． 20．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点O的中心对称图形； (2)在第（1）问的条件下，画出绕点顺时针方向旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）作出A、B、C关于原点对称的的对应点、、，顺次连接即可； （2）将点、、绕点顺时针旋转得到点，，，再首尾顺次连接得出图形． 【详解】（1）如图所示； （2）如图所示． 21．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整． (2)若参加比赛的共有550名学生，则成绩良好的学生有 人． (3)此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)72；补全条形统计图见详解； (2)220； (3)． 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中一般等级的人数除以扇形统计图中一般的百分比可得抽取的学生人数，进而可得优秀等级的百分比用乘以优秀等级的百分比，即可得出扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角度数；求出良好等级的学生人数，补全条形统计图即可； （2）根据用样本估计总体，用550乘以扇形统计图中良好的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及选中的两名同学恰好是甲和乙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解∶抽取的学生人数为 (人)， 扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 故答案为∶72； “良好”等级的学生人数为 (人)， 补全条形统计图如图所示 （2）解：成绩良好的学生约有（人）， 故答案为：220； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲和乙的结果有∶甲乙，乙甲，共2种． 选中的两名同学恰好是甲和乙的概率为． 22．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，O为上一点，以O为圆心，为半径作交于另一点D，E为上一点，且． (1)判断与的位置关系，说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)是的切线，见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定是解此题的关键． （1）连接，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质证得，则可得出结论； （2）连接，求出，设，则，由勾股定理求出的值，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的切线；理由如下： 连接，如图1， ， ， ， ， 又， ， ， ， 是圆的半径， 是的切线； （2）连接，，如图2， ，， ， ， ， 设，则， ， 由勾股定理得：，， ， ， ． 23．（24-25九年级上·北京·期中）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． (1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球_____（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足的函数关系； (2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】(1)①4；②是；③ (2) 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式． （1）①由表中数据直接可以得出结论； ②由表中数据直接可以得出结论； ③用待定系数法求函数解析式； （2）把分别代入（1）、（2）解析式求出和即可． 【详解】（1）解：①由表格中数据知，当和时，， 对称轴为，顶点坐标为， 当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是， 故答案为：4； ②当时，， 羽毛球是可以过网， 故答案为：是； ③，， ， 把，代入解析式得，， 解得， ； （2）解：在第一次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， 在第二次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， ． 故答案为：． 24．（山西省长治市多校2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试卷）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下：    【实地测量】 (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶端，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点处，她的眼晴，标杆的顶端和旗杆的顶端在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． (3)利用测角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点，（，，在同一直线上），分别测得旗杆顶端的仰角，，再测得米，点，到地面的距离，均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：，）． 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)旗杆的高度为米 (3)旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形．解决本题的关键是利用相似三角形对应边成比例找到边之间的关系． （1）首先根据、，可以证明，根据相似三角形对应边成比例可求旗杆的高度； （2）根据，，均垂直于地面，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，解方程可求的高度，加上小英的眼睛到地面的高度就是旗杆的高度； （3）利用、，可得，解方程求出的高度，用加上即可求出旗杆的高度． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ． 答：旗杆的高度为米； （2）解：，，均垂直于地面， ， ， ， ， ，，， ， 解得：， ， 答：旗杆的高度为米； （3）解：由题意可得，， 由题意得：，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：旗杆的高度为米． 25．（24-25九年级下·全国·期中）如图，内接于，的平分线交于点G，过G作分别交，的延长线于点D，E． (1)求证：是的切线； (2)已知，，点I为的内心，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形三线合一得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接，，根据角平分线定义得到，，推出，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，，， ∵的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵点I为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，内心的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 26．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线交x轴于点，，与y轴交于点． (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，，点F 在线段上方抛物线上一点，设点F的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，当点F在第一象限，过点F作的平行线，交线段于点E，连接和，若时，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，过F作轴于H，过D作轴于K，，得出，设，则，得出方程，解方程即可得，，，然后再利用三角形面积公式计算即可得解； （3）过E作轴于N，过F作轴于M，延长交x轴于点G，证出，然后再证出，得出，，设，则，用含a的代数式表示出，再代入抛物线解析式即可得解． 【详解】（1）解：将，，代入得： 解得 ∴； （2）解：如图，过F作轴于H，过D作轴于K，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ 解得，（舍）， ∴，，， 又∵， ∴，，， ∴ ； （3）解：过E作轴于N，过F作轴于M，延长交x轴于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍）， ∴． 【点晴】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$