精品解析：河南省周口市商水县2024----2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

2024—2025学年上期九年级第二次学情调研试卷 数学试题卷 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每个小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是一元二次方程，不符合题意； C. ，不是一个未知数，不符合题意； D. ，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C 3. 已知线段成比例，且，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段成比例， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 4. 如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（　　） A. 大长方形的长为 B. 大长方形的宽为 C. 大长方形的周长为 D. 大长方形的面积为96 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据图形特征、长方形的面积周长公式以及二次根式的混合运算，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵小长方形的长为，宽为，∴，故该选项不符合题意； B、∵小长方形的长为，宽为，∴，故该选项不符合题意； C、∵大长方形的长为，大长方形的宽为，∴，故该选项符合题意； D、∵大长方形的长为，大长方形的宽为，∴，故该选项不符合题意； 故选：C 5. 已知a是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2022 D. 2004 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程根的定义，可得，整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，在中，．以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．下列哪条线段的长度是方程．的一个根（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、勾股定理等知识点，明确线段间的关系成为解题的关键． 先解方程可得；由题意可得：；由勾股定理，进而得到，再根据线段的和差求得即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可得：， ∵， ∴, ∴, ∴, ∴线段的长是方程的一个根。 故选C． 7. 如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标，则经过第2024次变换后点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律．观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2024除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可． 【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限， 点A第二次关于x轴对称后在第三象限， 点A第三次关于y轴对称后在第四象限， 点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2022次变换后所得的A点与第四次变换的位置相同，回到原位，坐标为． 故选：D． 9. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，在和中，，，M是的中点，连接，，若，则的面积为（　　） A. 12 B. C. 15 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 过M作于E，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：过M作于E， ，M是的中点， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 的面积为 ， 故选：A． 二．填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是___________（只写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据一元二次方程有一个解是3，则只要写出一个一元二次方程满足有一个解是3即可． 【详解】解：一元二次方程有一个解是3 这个一元二次方程可能是． 12. 二次根式在实数范围内有意义，请写出的的值________（只写一个）． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴的值可以为0； 故答案为：0（答案不唯一）． 13. 若，则的值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设，，将其代入中求解，即可解题． 【详解】解：， 设，， 则， 故答案为：． 14. 如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为________． 【答案】12.5 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据两个位似图形一定相似，且相似比等于位似比，再根据两个相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，且， ∴，， ∴与的相似比为：， ∴与的周长比为：， ∵的周长为5， ∴的周长为12.5； 故答案为：12.5． 15. 如图，四边形中，，，，点为线段的中点，为线段上的动点（含端点），点，分别为，的中点，则长度的最小值为________，最大值为________． 【答案】 ①. 1 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，垂线段最短，连接，根据三角形的中位线定理，得到，进而得到当最小时，最小，最大时，最大，根据垂线段最短，结合为线段上的动点（含端点），得到最小为的长，最大为的长，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最小时，最小，最大时，最大， ∵为线段上的动点（含端点）， ∴时，最小， ∵， ∴当点与点重合时，最小，为的长为2， ∴的最小值为1， 当点与点重合时，最大，为的长， ∵，，， ∴， ∴的最大值为2． 故答案为：1，2． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用零指数幂、负整数指数幂和算术平方根的定义计算即可求解； （）利用二次根式的性质、运算法则进行计算即可求解； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， ． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若且为整数，求方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解； （2）由（1）可得，结合且为整数，可得整数的值为，代入方程，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：∵且为整数，且， ∴， ∴整数的值为， 当时，原方程可化为：， ∴， 解得，． 18. 若，则称x和y是关于1的平衡数． （1）4与______是关于1的平衡数；与______是关于1的平衡数； （2）已知m为整数，若，判断与是不是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1） （2） 不是，理由如下： ， ∴，， ∴； ∴， ∴与不是关于1的平衡数． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握新定义，是解题的关键： （1）根据平衡数的定义，进行求解即可； （2）根据，求出的值，再根据平衡数的定义，进行判断即可． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：； 【小问2详解】 略 19. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）． 【答案】树的高度为 【解析】 【分析】由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ∴， ∵，， 则， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 答：树的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 21. 在中，，是边上的中线，点D在射线上． （1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． （2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，则有．设，则，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图1中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【小问2详解】 解：如图2：过点A作，交的延长线于点F， 设，由得． ∵E是中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，、相交于点E． （1）判断四边形的形状并说明理由； （2）过点D作于点F，交于点G，连接EG．若，，求的长． 【答案】（1） 四边形是菱形．理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 在中，，且点D是的中点， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用直角三角形性质得到，利用勾股定理得到，结合菱形性质得到，并证明，利用全等的性质结合勾股定理即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在中，， ， 四边形是菱形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动． 如图1，在直角三角形中，，，边的长为2． （1）操作发现 操作：分别取边、的中点、，连接，则的比值为________． （2）变换探究 将绕点逆时针旋转得到，连接、，得到和，直线与直线相交于点，在旋转过程中的比值是否发生变化？直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请就图2说明理由． （3）拓展应用 在旋转过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）不变，不变 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，中点求出的长，进而求出比值即可； （2）根据旋转的性质，证明，得到，，利用8字型图，求得，即可； （3）分，两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 的比值不变； ∵旋转， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变； 【小问3详解】 ①当时，如图，过点作，则， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点作，设， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴． 综上：的面积为或． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上期九年级第二次学情调研试卷 数学试题卷 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每个小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知线段成比例，且，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是小明用6个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成的一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（　　） A. 大长方形的长为 B. 大长方形的宽为 C. 大长方形的周长为 D. 大长方形的面积为96 5. 已知a是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2022 D. 2004 6. 如图，在中，．以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．下列哪条线段的长度是方程．的一个根（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 7. 如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标，则经过第2024次变换后点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，，M是的中点，连接，，若，则的面积为（　　） A. 12 B. C. 15 D. 24 二．填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是___________（只写一个）． 12. 二次根式在实数范围内有意义，请写出的的值________（只写一个）． 13. 若，则的值为____________． 14. 如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为________． 15. 如图，四边形中，，，，点为线段的中点，为线段上的动点（含端点），点，分别为，的中点，则长度的最小值为________，最大值为________． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若且为整数，求方程的根． 18. 若，则称x和y是关于1的平衡数． （1）4与______是关于1的平衡数；与______是关于1的平衡数； （2）已知m为整数，若，判断与是不是关于1的平衡数，并说明理由． 19. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 在中，，是边上的中线，点D在射线上． （1）如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． （2）如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 22. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点B作，过点C作，、相交于点E． （1）判断四边形的形状并说明理由； （2）过点D作于点F，交于点G，连接EG．若，，求的长． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动． 如图1，在直角三角形中，，，边的长为2． （1）操作发现 操作：分别取边、的中点、，连接，则的比值为________． （2）变换探究 将绕点逆时针旋转得到，连接、，得到和，直线与直线相交于点，在旋转过程中的比值是否发生变化？直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请就图2说明理由． （3）拓展应用 在旋转过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $