10.5 可化为一元一次方程的分式方程及其应用（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

10.5 可化为一元一次方程的 分式方程及其应用 数学（北京版） 八年级 上册 第十章 分式 学习目标 1．对比学习分式方程的定义，能够判断一个方程是否为分式方程； 2．会分析实际问题中的等量关系，建立分式方程． 3.会解可化为一元一次方程的分式方程。 4. 会根据具体问题的实际意义检验方程解是否合理； 5. 会解决一些与分式方程有关的实际问题，发展分析问题，解决问题的能力和应用意识； 　 温故知新 去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数的系数为1. 含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程. 3.解一元一次方程有哪些步骤？ 1.什么叫方程？ 2.什么叫方程的解？ 使方程的左右两边相等的未知数的值. 讲授新课 知识点一 分式方程的概念及列分式方程 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍. （1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ （2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？ （3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么 y 满足怎样的方程？ 讲授新课 （1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ 解：（1）等量关系： 列车的速度×行驶时间=1400 乘高铁列车行驶时间=乘特快列车的行驶时间﹣9 高铁列车的平均速度=特快列车平均速度× 2.8 讲授新课 (2)如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？ 那么高铁列车的平均行驶速度为2.8xkm/h 已知路程和速度，用时间关系列方程 讲授新课 (3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样的方程？ 那么特快列车从甲地到乙地需(y+9)h 已知路程和时间，用速度关系列方程 讲授新课 思考：由上面的问题，我们得到了两个方程，它们有什么共同特点？ 分母中都含有未知数. 讲授新课 比较左右两边的方程，有什么不同? 方程的分母中不含未知数 方程的分母中含未知数 整式方程 分式方程 讲授新课 归纳总结 1.分式方程的概念 2.分式方程的特征： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. （1）是等式； （2）方程中含有分母； （3）分母中含有未知数. 讲授新课 思考：分式方程与整式方程有什么区别？ 我们学过的一元一次方程、二元一次方程等都是整式方程，分母中不含未知数。 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 区别分式方程和整式方程：看分母是否含有未知数 讲授新课 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人，那么x应满足怎样的方程？ 捐款总额(元) 捐款人数(人) 人均捐款(元) 第一次捐款 第二次捐款 x x+20 5000 4800 讲授新课 归纳总结 列方程的基本思维步骤: 一审：审清题意，弄清已知量与未知量之间的数量关系和相等关系. 二设：设未知数. 三列：列代数式，列方程. 讲授新课 典例精析 【例1】下列式子中哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 解：（2）（3）是分式方程，（1）（4）（5）是整式方程，（6）不是方程。 讲授新课 练一练 1．下面说法中，正确的是(　　) A.分母中含有未知数的式子就是分式方程 B.含有字母的方程叫做分式方程 C.分式方程中，分母中一定含有未知数 D.分式方程就是含有分母的方程 C 讲授新课 2.根据题意列方程，不求解. 某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同.已知小王每小时比小李多分拣8个物件，求小李每小时分拣多少个物件. 解：设小李每小时分拣x个物件，根据题意列方程得 讲授新课 知识点二 分式方程的解法 分式方程 整式方程 转化 （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程 “去分母” 讲授新课 【例2】解方程： 能不能说x=3就是原分式方程的解呢？ 解:去分母,得x=3(x-2). 去括号,得x=3x-6. 移项,得x-3x=-6. 合并同类项,得-2x=-6. 未知数的系数化为1,得x=3. 讲授新课 检验！ 检验：将x=3代入原方程，得 左边=1，右边=1， 左边=右边. 所以，x=3是原方程的根. 讲授新课 归纳总结 上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边都乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 讲授新课 解：方程两边都乘x－2，得 解这个方程，得x=2． 1－x=－1－2（x－2）． 【例3】解分式方程 ． 你认为x=2是原方程的根吗？为什么？与同伴交流你的看法或做法.？ 讲授新课 在上面的方程中,x=2不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零,我们你它为原方程的增根. 产生增根的原因,是我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式. 因此解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验. 增根与验根 讲授新课 练一练 解：方程两边都乘x－2，得 解这个方程，得x=2． 1－x=－1－2（x－2）． 1、解分式方程 ． 检验：当 x=2时，x-2=0, x=2是原方程的增根， 所以，原方程无解。 讲授新课 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. （转化思想） 2.解这个整式方程. 3.检验 . 4.写出原方程的根. 解分式方程的一般步骤： 归纳总结 讲授新课 2、解方程 960－600=90x． 解： 方程两边都乘2x，得 解这个方程，得x=4． 经检验x=4是原方程的根． 讲授新课 解分式方程容易犯的错误有： (2)去分母后，分子是多项式时， 没有注意添括号． (因分数线有括号的作用） (3)没有检验，增根不舍掉。 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． 归纳总结 讲授新课 知识点三 列分式方程解决问题 【例4】某单位将沿街的一部分房屋出租,每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋的租金第一年为9.6万元,第二年为10. 2万元. ⑴你能找出这一情境中的等量关系吗? ⑵根据这一情境你能提出哪些问题? 讲授新课 ⑵根据这一情境你能提出哪些问题? ⑴你能找出这一情境中的等量关系吗? 等量关系: ①第二年每间房屋的租金- 第一年每间房屋的租金=500 ②第一年出租的房屋数=第二年出租的房屋数 ①每年有多少间房屋出租? ②这两年每间房屋的租金各是多少? 讲授新课 解: ① 设每年有x 间房屋出租. 根据题意,得 解得 x=12 经检验: x=12 是原方程的解,也符合提意. 所以 每年有12间房屋出租 ①每年有多少间房屋出租? 讲授新课 ②这两年每间房屋的租金各是多少? 解：由①得第一年每间房屋的租金为 ﹙元﹚ 第二年每间房屋的租金为 ﹙元﹚ 答:第一年每间房屋的租金为8000元，第二年每间房屋的租金为8500元. 讲授新课 归纳总结 (1)检验是否是所列方程的解; (2)检验是否满足实际意义. 有两次检验: 注意： 讲授新课 ①审：分析问题，寻找已知、未知及相等关系； ②设：设恰当的未知数； ③列：根据相等关系列出分式方程； ④解：求出所列方程的根； ⑤验：首先检验所求的根是不是分式方程的根，然后检验所求的根是否与实际相符； ⑥答：写出答语. 列分式方程解应用题时，可以按照以下的步骤： 归纳总结 讲授新课 【例5】某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每吨水费上涨1/3,小丽家去年12月的水费是15元,今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该市今年居民用水的价格? ①今年用水价格=去年用水价格× 分析：此题的主要等量关系是： ②小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量=5m3. ③= 讲授新课 解:设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年居民用水的价格为x元/m3. 根据题意,得-=5,解得x=1.5. 经检验,x=1.5是所列方程的根.1.5×=2(元/m3). 所以,该市今年居民用水的价格为2元/m3. 讲授新课 实际问题 找等量关系 设未知数、列方程 数学问题 (分式方程) 解方程 方程的解 检验 实际问题 的答案 建模 归纳总结 当堂检测 1.下列方程哪些是分式方程： （否） （否） （是） （是） 当堂检测 2.下列关于分式方程增根的说法正确的是(　　) A．使所有的分母的值都为零的解是增根 B．分式方程的解为0就是增根 C．使分子的值为0的解就是增根 D．使最简公分母的值为0的解是增根 D 当堂检测 3. 解分式方程 ，去分母得(　　) A．1－2(x－1)＝－3 　 B．1－2(x－1)＝3 C．1－2x－2＝－3 　 D．1－2x＋2＝3 A 当堂检测 4. 解方程 解这个方程,得 x=6 经检验，x=6是原方程的解 解：方程两边同时乘(30+x)(30-x)，得 90(30-x) =60(30-x) 当堂检测 5. 解方程： 解：去分母，得 解得 . 检验：把 代入 所以原方程的解为 . 当堂检测 方程两边都乘 (x+1)(x-1)，得 2(x-1)+3(x+1)＝6． 解这个方程，得x＝1. 检验：当x＝1时， (x+1)(x-1)=0， 所以，x＝1是原方程的増根， 所以，原方程无解. 解： 6. 解方程： 当堂检测 7. 某人去距离家8 km的单位上班，骑“共享助力车”可以比骑“共享单车”少用10 min. 已知他骑“共享助力车”的速度是骑“共享单车”的1.5倍，求他骑“共享助力车”从家到单位上班需要多少分钟. 解：设他骑“共享助力车”从家到单位上班需要x min. 依题意，得 解得x=20. 经检验，x=20是原方程的根，且符合题意. 答：他骑“共享助力车”从家到单位上班需要20 min. 当堂检测 8.小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？ 当堂检测 解：设这种文学书的价格为x元/本．则科普书的价格为1.5x元/本． 解这个方程，得x=5． 经检验x=5是所列方程的根，且符合题意． 所以1.5x=1.5×5=7.5（元/本）． 答：这种文学书的价格为5元/本．则科普书的价格为7.5元/本． 根据题意，得 谢 谢~ $$