第一单元 4.容积

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一 长方体和正方体 4. 容积 容积的认识 一、基础知识讲解 容积的概念 类别 概念 容积 像太空粮仓、油桶、盒子等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 二、考法技法提炼 考法：容积的概念理解 （一）容积的认识 （二）容积单位的认识 （三）容积单位间的进率与换算（升和毫升） （四）体积、容积单位的选择 （五）体积（容积）大小的比较 （六）体积与容积单位间的进率及换算 （七）长方体、正方体的容积 （八）表面涂色的正方体 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 解题方法：理解像太空粮仓、油桶、盒子等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 例题：一个水箱能装水 80L，是指水箱的（ ）是 80L。 A．表面积 B．体积 C．容积 【答案】C 【分析】容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。 【详解】水箱是容器，80L 是指水箱能装多少水，故 80L 是容积。 故答案为：C 三、易错提示 易错点：错误认为体积就是容积 易错诠释：物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指 其所能容纳物体的体积。 例题：求一个正方体的鱼缸的容积就是求这个正方体的体积。（ ） 【答案】× 【分析】正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量棱长，所 以正方体鱼缸的容积小于这个正方体鱼缸的体积。 【详解】计算正方体鱼缸的体积要从外面量棱长，而计算它的容积则要从里面量棱长。计算 结果体积比容积大。即原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】容积和体积虽有联系，但意义完全不同。橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 容积单位的认识 一、基础知识讲解 容积单位 计量液体的体积常用容积单位：升（L）、毫升（mL） 二、考法技法提炼 考法 1：容积单位的应用 解题方法：根据生活经验选择合适的容积单位。计量较大容器内液体的体积用升； 计量较小容器内液体的体积用毫升。 例题 1：填上合适的容积单位。 【答案】升 毫升 升 【分析】第一幅图是一桶油，容积较大，用升比较合适；第二幅图是调味料的瓶 子，容积较小，用毫升比较合适；第三幅图是一桶水，容积较大，用升比较合适。 【详解】见上面的【分析】，故答案为升、毫升、升。 【点睛】理解容积单位所代表的具体空间大小，是解决此类题的关键。 三、易错提示 易错点： 容积单位选择错误。 易错诠释：正确理解容积单位及它的使用范围，合理选择。 例题 1：判断：一台冰箱的容积约是 250 毫升。（ ）。 【答案】升。 【分析】“250 毫升”差不多是一罐饮料的体积，作为冰箱的容积太小了，我们 习惯上说冰箱的容积是多少升。 【详解】容积单位有升和毫升，冰箱的容积较大，故选择“升”做单位。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【点睛】结合生活经验，理解容积单位。 容积单位间的进率与换算（升、毫升） 一、基础知识讲解 1. 容积单位间的进率 1L=1000mL 2. 用实验法探究容积单位间的进率 实验 结果 结论 二、考法技法提炼 考法 1： 考查容积单位间的换算 解题方法：根据容积单位间的进率填写，从高级单位到低级单位换算乘进率，从 低级单位到高级单位换算除以进率。 例题 1：填一填。 1L=（ ）mL 650ml=（ ）L 8L=( ）mL 【答案】1000 0.65 8000 【分析】从高级单位到低级单位换算乘进率，从低级单位到高级单位换算除以进 率。 因为 1L=1000mL，所以 650mL 转换成多少升，要除以 1000；8L 转换成多少毫升， 要乘 1000。 【详解】1×1000=1000 650÷1000=0.65 8×1000=8000 【点睛】熟练掌握容积单位间的进率，并遵循换算规律，是解决此类题的关键。 三、易错提示 把 1L 果 汁 倒 入 1000mL 的烧杯中， 液面正好和 1000mL 这一刻度线平齐。 1L=1000mL 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 易错点：单名数与复名数互化错误。 易错诠释：掌握单名数与复名数互化的方法 。 例题 1：换算单位名称。 5.024L=（ ）L（ ）mL 2380mL=( ）L（ ）mL 3L600mL=（ ）mL 【答案】5 24 2 380 3600 【分析】第一道题是高级单位单名数化成复名数，整数部分就是相同单位上的数， 小数部分化成低级单位上的数。第二道题是低级单位单名数化成复名数，先用单 名数前面的数除以进率，商是高级单位前面的数，余数是相同单位上的数。第三 道题时复名数化成低级单位单名数，先用高级单位上的数乘进率，再加上低级单 位的数，就是所要填的数。根据以上分析填空即可。 【详解】第一题：整数部分是 5L，小数部分 0.024×1000=24，故答案为 5 24。 第二题：2380÷1000=2……380，故答案为 2，380。 第三题：3×1000+600=3600，故答案为 3600。 【点睛】熟练掌握容积单位间的进率和单名数与复名数互化的方法是关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 体积、容积单位的选择 一、基础知识讲解 1. 体积单位和容积单位的用法 （1）计量固体的体积时用体积单位，不能用容积单位。 （2）计量容积一般用体积单位，尤其在计量容器内可装多少固体时，通常用体 积单位。 但计量液体的体积时常用容积单位，但计量较大液体的体积时要用体积单位“立 方米”。 二、考法技法提炼 考法 1：体积单位和容积单位的应用 解题方法：结合生活实际正确选择体积单位和容积单位。一般计量固体的体积用 体积单位，计量液体的体积用容积单位。 例题 1：在（ ）里填上合适的单位。 （1）一根棒棒糖的体积大约是 5（ ）。 （2）一张沙发占地 4.5（ ）。 (3)一个水杯的容积是 450（ ）。 （4）一个电饭煲的容积是 4（ ）。 【答案】cm 3 m 3 mL L 【分析】一般计量固体的体积用体积单位，计量液体的体积用容积单位，以此来 选择合适的单位即可。 【详解】第（1）和（2）小题计量的是固体的体积，所以选用体积单位；第（3） 小题计量的是液体的体积，所以选用体积单位；第（4）小题计量的电饭煲的容 积，一般选用容积单位。 【点睛】熟练掌握体积单位和容积单位的用法，并根据生活实际选出合适的单位。 三、易错提示 易错点：不能灵活选用体积单位和容积单位。 易错诠释：要正确理解容积单位，知道容积单位所代表的的具体空间大小，还要 知道计量比较大的容积时，用立方米作单位。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 例题 1：在（ ）里填上合适的单位。 一个集装箱的容积是 24（ ） 一个墨水瓶的容积是 60（ ） 一个游泳池的容积是 5000（ ） 【答案】m 3 mL m 3 【分析】集装箱的容积计量的是集装箱所容纳固体的体积，要用体积单位“立方 米”；墨水瓶的容积计量的是液体的体积，较小，要用容积单位“毫升”表示； 游泳池的容积虽然计量的也是液体的体积，但较大，要用体积单位“立方米”。 【详解】见上面的【分析】，故答案为：m 3 mL m 3 。 【点睛】选用体积单位或容积单位时，要符合生活实际。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 体积（容积）大小的比较 一、基础知识讲解 1.体积和容积的大小关系 体积和容积都是计量“空间”的，计量体积时，需要从物体外面测量；计量容积 时，需要从里面测量。一个空心物体，它的容积一定小于它的体积。 二、考法技法提炼 考法 1：考查体积和容积的关系。 解题方法：根据体积和容积的含义比较大小，作出正确选择。 例题 1：选一选：一个集装箱的体积是 40 立方米，这个集装箱里的物体的体积 （ ）。 A. 可能大于 40 立方米 B.正好是 40 立方米 C.一定小于 40 立方米 D.大于、等于、小于 40 立方米都有 可能 【答案】C 【分析】这个集装箱里的物体的体积”指的就是集装箱的容积，根据体积和容积 的意义，可知这个集装箱的体积除了里面能容纳物体的体积，还有做成集装箱铁 板的体积，所以容积一定会比体积小，以此作出选择即可。 【详解】集装箱的体积是 40 立方米，集装箱里的物体的体积一定小于 40 立方米， 故选 C。 【点睛】理解容积的含义，明确体积和容积的大小是解决此类题的关键。 三、易错提示 易错点：混淆体积和容积的概念。 易错诠释：体积和容积是两个不同的概念，对同一个物体来说，两者的大小是不 同的。 例题 1：判断：一个长方体木箱的体积和它的容积相等。（ ） 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【答案】× 【分析】计算木箱的体积要从外面测量长、宽、高，而计算木箱的容积则要从里 面测量长、宽、高，计算得到的体积比容积大。 【详解】见上面的【分析】，故答案为：×。 【点睛】要正确理解体积和容积的概念，是作出正确判断的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 体积与容积单位间的进率及换算 一、基础知识讲解 1. 容积单位和体积单位间的关系 1L=1dm 3 1mL=1cm 3 2. 用实验法探究容积单位和体积单位间的进率 （1）把 1L 的水倒入 1dm 3 的正方体容器中（如图）（容器厚度不计），正好倒 满。 实验 结论 （2）把 100mL 的水倒入 100cm 3 的长方体容器中（如图）（容器厚度不计），正 好倒满。 实验 结论 二、考法技法提炼 考法：容积单位和体积单位的换算。 解题方法：利用容积单位和体积单位间的进率进行换算。 例题：填一填。 1.2dm 3 =（ ）L 60mL=（ ）cm 3 2.68L=（ ）mL=（ ） dm 3 【答案】1.2 60 2680 2.68 1升水的体积就 是 1立方分米， 1L=1dm 3 1 毫升水的体积 就是 1立方厘米， 1mL=1cm 3 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 【分析】立方分米和升之间的进率是 1，所以把立方分米转化成升，乘进率 1； 毫升和立方厘米之间的进率是 1，把毫升转换成立方厘米也乘进率 1；升转化成 毫升，乘进率 1000，升转化立方分米乘进率 1。 【详解】1.2×1=1.2，60×1=60，2.68×1000=2680，2.68×1=2.68，故答案为 1.2，60， 2680，2.68。 【点睛】熟练掌握容积单位及容积单位与体积单位间的进率。 三、易错提示 易错点：不能准确推导容积单位和体积单位间的进率。 易错诠释：根据容积单位和体积单位之间的进率会推导其他关系，如 1L=1000cm 3 。 例题：填一填：250cm 3 =（ ）L 【答案】0.25 【分析】此题是把立方厘米转化成升，可以先把立方厘米转化成毫升，再把毫升 转化成升。 【详解】250cm 3 =250mL=0.25L,故答案为：0.25。 【点睛】灵活掌握容积单位和体积单位间的进率，并会推导。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 长方体、正方体的容积 一、基础知识讲解 1. 长方体、正方体容积的计算方法 长方体或正方体容器容积的计算方法与体积的计算方法相同，但要从容器里 面测量长、宽、高。 二、考法技法提炼 考法 1： 解决与容积有关的实际问题。 解题方法：先利用体积的计算方法求物体的容积，然后把体积单位转化成容积单 位。 例题 1：一种小汽车上的长方体油箱，从里面量长 5dm，高 4dm，高 2dm。这个油 箱可以装汽油多少升？ 【答案】40L 【分析】已知条件中长、宽、高都是从里面量得的，利用长方体的体积计算公式 V=abh 求出结果，最后把体积单位立方分米转化为升。 【详解】5×4×2=40（dm 3 ） 40dm 3 =40L 答：这个油箱可以装汽油 40L。 【点睛】熟练掌握长方体的体积计算公式，并记得转化单位。 三、易错提示 易错点： 忽略单位的转化。 易错诠释：认真审题，做题时如果单位不统一，要先统一单位。 例题 1：一个棱长 30cm 的正方体油桶装满了汽油，如果每升汽油重 0.88kg，那 么这桶汽油重多少千克？ 【答案】23.76 千克 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 【分析】根据正方体的体积公式求出油桶的容积，也就是汽油的体积，然后把体 积单位立方厘米转化成升，最后用每升汽油的重量乘汽油的体积，就求出了这桶 汽油的总重量。 【详解】30×30×30=27000（cm 3 ） 27000cm 3 =27L 0.88×27=23.76（千克） 答：这桶汽油重 23.76 千克。 【点睛】先统一单位，再列式计算。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 表面涂色的正方体 一、基础知识讲解 1. 表面涂色正方体的规律 把棱长为 1厘米的小正方体拼成棱长为 n的大正方体后涂色，涂色面的规律： （1）三面涂色的小正方体个数=正方体的顶点个数=8。 （2）两面涂色的小正方体个数=12×（n-2）。 （3）一面涂色的小正方体个数=6×（n-2） 2 。 （4）没有涂色的小正方体个数=（n-2） 3 。 2. 探究表面涂色正方体的规律。 用棱长 1cm 的小正方体拼成如下的大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。① ②③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少块？按这样的 规律摆下去，第④⑤个正方体的结果会是怎样的呢？ 思路导引：①把 8个棱长为 1厘米的正方体拼成 1个大正方体。 ②把 27 个棱长为 1厘米的正方体拼成 1个大正方体。 三面涂色的小正方体在顶点处，所以共有 8个。 三面涂色的小正方体在顶点处，所以共有 8个。 两面涂色的小正方体在原正方体的每条棱的中间位置。 每个正方体有 12 条棱，所以共有 12 个。 一面涂色的小正方体在原正方体每个面的中间位置，每 个正方体有 6个面，所以共有 6个。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ③把 64 个棱长为 1cm 的正方体拼成 1个大正方体。 通过观察分析，得出规律： 用 n表示大正方体每条棱上小正方体的个数。 三面涂色的 块数 两面涂色的 块数 a 一面涂色的 块数 b 没有涂色的 块数 c n=2 8 0 0 0 n=3 8 12 6 1 n=4 8 24 24 8 没有涂色的小正方体在原正方体的中心位置，所以有 1 个。 三面涂色的小正方体也有 8个。 因为要求 3面涂色，符合条件的只能是每个顶点处的小正方体。 两面涂色的小正方体有 24 个。 因为每条棱中间的这 2个涂了两面，一个正方体有 12 条棱，所 以两面涂色的有 24 个。 一面涂色的小正方体有 24 个。 每个面有 4个只涂一面的小正方体，6个面一共有 24 个这样的 小正方体。 没有涂色的小正方体有 8个。 把外面2层去掉，剩下的每层中间都有4个没有涂色的小正方体， 2层就是 8个。 在大正方体 顶点的位置 12 的倍数 6的倍数 与大正方体棱长上 小正方体个数有关 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 因此根据规律找出④⑤中涂色的情况： ④中三面涂色的小正方体有 8个，两面涂色的小正方体有 36 个，一面涂色的小 正方体有 54 个，没有涂色的小正方体有 27 个。 ⑤中三面涂色的小正方体有 8个，两面涂色的小正方体有 48 个，一面涂色的小 正方体有 96 个，没有涂色的小正方体有 64 个。 二、考法技法提炼 考法：利用规律找出表面涂色正方体的个数。 解题方法：仔细观察图，熟记规律并利用规律解答即可。 例题：填一填：如图：有一个棱长 3分米的正方体木块，它的六个面都 涂上红色，把它切成棱长为 1分米的小正方体。 3个面上有颜色的有（ ）块；2个面上有颜色的有（ ）块；1个面上有颜 色的有（ ）块。 【答案】6 12 6 【分析】此题属于正方体表面涂色问题，涂色面的规律： 三面涂色的小正方体个数=正方体的顶点个数=8。 两面涂色的小正方体个数=12×（n-2）。 一面涂色的小正方体个数=6×（n-2） 2 。 此题大正方体的棱长为 3分米，也就是 n的数值是 3，根据规律解答即可。 【详解】3个面涂色的有 4×2=6（块） 2个面涂色的有（3-2）×12=12（块） 1个面涂色的有（3-2） 2 ×6=6（块） 故答案为：6；12；6。 【点睛】熟练掌握表面涂色正方体的规律，是解决这类题的关键。 三、易错提示 易错点：正方体表面涂色规律不熟悉，找不准没有涂色的个数。 a=(n-2）×12 b=(n-2） 2 ×6 c=(n-2） 3 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 易错诠释：灵活运用正方体表面涂色的规律解决此类题。 例题：填一填：如图，把一个表面涂满红色的正方体积木， 切成 64 个大小相同的小正方体，则切开的小正方体中，所 有面都没有涂色的小正方体有（ ）个。 【答案】8 【分析】把上图中左右外面 2层去掉，剩下的每层中间都有 4个没有涂色的小正 方体，2 层就是 8个。也可运用表面涂色正方体的规律解答，即：没有涂色的小 正方体个数=（n-2） 3 （n代表大正方体的棱长）由图可知大正方体的棱长是 4， 所以 n的数值代表 4，列出算式求出答案即可。 【详解】（4-2） 3 =8(个） 【点睛】熟练掌握表面涂色正方体的规律，是解决此类题的关键。 橙 子 学