2024-2025学年 湘教版八年级上册数学期末考试全真模拟卷（培优卷一）

2024-2025八（上）湘教版数学期末考试全真模拟卷（培优卷一）解析 学校:_________姓名：_________班级：________考号：_________ 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，共30分） 1．若a＜b，则下列式子正确的是（　　） A．﹣2017a＜﹣2017b B．2017﹣a＜2017﹣b C．2017+a＜2017+b D．a﹣2017＞b﹣2017 2．要使式子有意义，则x可取的数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若，，为的三条边，且，满足，第三条边为整数，则的周长最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，BD、CE分别是和的平分线，于，交BC于M，于Q，交BC于N，其中，结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．不等式组的解集在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 7．若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．下列命题中： （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边； （3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 9．如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（    ） ①；②；③；④．    A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 10．如图，C为线段上一点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点P；连结，交交于点Q，与交于点O．下列结论： ①； ②∥； ③； ④． 正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2、 填空题（本题共5小题，共15分） 11．如图,在△ABC中,AB>AC，AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,AB=10,△BCD的周长为18,则BC的长为 ． 12．计算： 13．如图，在中，，，将三角形沿对折，使点与边上的点重合．若，则的度数为 ． 14．如图，P为内一定点，M，N分别是射线上的点，当周长最小时，，则 ． 15．如图，在四边形中，C是的中点，，若，则线段的最大值为 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．（1）因式分解：． （2）解不等式组． （3）先化简，再求值：，其中． 17．计算： (1) (2) 18．已知：如图，，，．证明：． 19．已知：如图，在和中，．求证：． 20．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连结AD、BE交于点P． （1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系： ． （2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE． 21．在中，，，点E为直线上一点，D为直线上的一点，且．当点D在线段上时，如图①，易证：；当点D在线段的延长线上时，如图②、图③，猜想线段和之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．    22．如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由． 23．已知为等边三角形，为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作等边三角形，连接.          （1）如图①，当点在边上时，且点、点在同侧，其他条件不变，求证：； （2）如图②，当点在边的延长线上时，且点、点在同侧，其他条件不变，请直接写出线段，，之间存在的数量关系，不需证明； （3）如图③，当点在边的延长线上时，且点、点分别在直线的异侧，其他条件不变，请直接写出线段，，之间存在的数量关系，不需证明. 2024-2025八（上）湘教版数学期末考试全真模拟卷（培优卷一）解析 学校:_________姓名：_________班级：________考号：_________ 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，共30分） 1．若a＜b，则下列式子正确的是（　　） A．﹣2017a＜﹣2017b B．2017﹣a＜2017﹣b C．2017+a＜2017+b D．a﹣2017＞b﹣2017 【答案】C 【分析】直接利用不等式的基本性质分别判断得出答案． 【详解】A、∵a＜b， ∴﹣2017a＞﹣2017b，故此选项错误； B、∵a＜b， ∴2017﹣a＞2017﹣b，故此选项错误； C、∵a＜b， ∴2017+a＜2017+b，故此选项正确； D、∵a＜b， ∴a﹣2017＜b﹣2017，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，正确把握不等式的基本性质是解题关键． 2．要使式子有意义，则x可取的数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可 【详解】由题意得 x-4≥0， ∴x≥4， ∴x可取的数是4 故选D 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键 3．若，，为的三条边，且，满足，第三条边为整数，则的周长最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出，的值，然后根据三角形三条边的关系求出c的取值范围，进而可求出的周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为． 故选B． 4．下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A.，故该选项不符合题意； B.，故该选项不符合题意； C.，故该选项不符合题意； D.不能再化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键. 5．如图，在中，BD、CE分别是和的平分线，于，交BC于M，于Q，交BC于N，其中，结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，判断①；根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的判定进行判断④． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，①结论正确； ∵， ∴， 同理可得：， ∴，②结论正确； ∵ ∴， 由①知：，， 在中，， ∴， ∴，③结论正确； ④当时，， ∵ ∴， ∴，则与不相等，④结论错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6．不等式组的解集在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，根据一元一次不等式组的解题要求对两个不等式进行求解得到解集，再对照数轴进行选择． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以这个不等式组的解集为， 在数轴上表示为 故选：A． 7．若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式性质将化简成，再根据是整数，需要让能开方为整数，即可求出的最小值． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 正整数的最小值是， 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确分解因式是解答本题的关键． 8．下列命题中： （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边； （3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】此题考查的是全等的定义及性质,掌握全等的定义: 形状、大小均相同的两个三角形是全等形和性质是解决此题的关键. 根据全等三角形的概念及性质分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数． 【详解】解：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误； （2）①若两个全等三角形都不是等腰三角形，则相等的角是对应角，相等的边是对应边； ②若两个全等三角形都是等腰三角形，如在和中，，，， 若，则，， ∵，， ∴，， ∴， 则相等的角是对应角，相等的边是对应边； 综上，在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）正确； （3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确． 综上可得只有（3）正确． 故选：B． 9．如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（    ） ①；②；③；④．    A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①根据角平分线的性质和三角形外角的性质可得，易得，即可证明，故①正确；由平行线的性质和角平分线的性质可得，，易得，故②正确；首先证明，结合三角形内角和定理可得，进而证明，故③正确；首先证明 ④首先证明，结合，，，易得，进而可证明，故④正确． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练运用相关知识是解题关键． 10．如图，C为线段上一点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，连结，交交于点P；连结，交交于点Q，与交于点O．下列结论： ①； ②∥； ③； ④． 正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①由于和是等边三角形，可知，从而证出，可推知； ③由得，加之，得到，所以；故③正确； ②根据②，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ④利用等边三角形的性质，∥，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确． 【详解】解：①∵等边和等边， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故①正确； ③∵（已证）， ∴， ∵（已证）， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 故③正确； ②∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴∥； 故②正确； ④∵， ∴， ∵是等边三角形， ， ∴∥， ∴， ∴． 故④正确； 综上所述，正确的结论有：①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判断与性质、全等三角形的判定与性质和平行线的判定与性质，解题关键是掌握以上判定与性质并灵活运用，本题涉及的知识点比较综合，善于发现图中的全等三角形是解题关键. 3、 填空题（本题共5小题，共15分） 11．如图,在△ABC中,AB>AC，AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,AB=10,△BCD的周长为18,则BC的长为 ． 【答案】8. 【分析】连接CD．根据线段垂直平分线的性质，得AD=CD．由AB=10，△BCD的周长为18，即可求得BC的长． 【详解】解：连接CD， ∵AC的垂直平分线交AB于点D， ∴CD=AD． ∵AB=10，△BCD的周长为18， ∴DC+DB+BC=AB+BC=18， ∴BC=18-10=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 12．计算： 【答案】 【分析】根据零指数幂和立方根计算各项，再计算加法即可得． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握零指数幂和立方根． 13．如图，在中，，，将三角形沿对折，使点与边上的点重合．若，则的度数为 ． 【答案】40° 【分析】设∠EFD=2∠AED=2x，由折叠性质可知，∠EDF=∠C=90°-∠A=90°-60°=30°，∠DEF=∠CEF，由三角形内角和定理得出∠CEF=150°-2x，再由∠DEF+∠CEF+∠AED=180°，列出方程即可求出∠AED=40°． 【详解】解：设∠EFD=2∠AED=2x 由折叠性质可知，∠EDF=∠C=90°-∠A=90°-60°=30° ∠DEF=∠CEF 在△DEF中，∠DEF=180°-∠EDF-∠EFD=180°-30°-2x=150°-2x ∴∠CEF=150°-2x ∵∠DEF+∠CEF+∠AED=180° ∴150°-2x+150°-2x+x=180° 解得x=40° 即∠AED=40° 故答案为40°． 【点睛】本题考查了折叠问题，熟练利用三角形的内角和定理是解题的关键． 14．如图，P为内一定点，M，N分别是射线上的点，当周长最小时，，则 ． 【答案】50° 【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM，, OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】如图，作P关于，的对称点，连接．则当M，N是与的交点时，的周长最小． ∵P，关于对称，， ∴，． 同理，，， ∴． ∵，∴， ∴，∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，作图-应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．解题的关键是利用了轴对称的性质，两点之间线段最短的性质求解，证得△P1OP2是等腰三角形． 15．如图，在四边形中，C是的中点，，若，则线段的最大值为 【答案】10 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，等边三角形的判定及性质，证明等边三角形是解题的关键．作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，．根据两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】 解：作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，，如图所示： 是边的中点， ， 点，点关于对称， ，， ， ， ，， ． 同理可证：，，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 当、、、共线时的值最大，最大值为10． 故答案为：10． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．（1）因式分解：． （2）解不等式组． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先提公因式，再用公式法因式分解； （2）分别解不等式①②，再求不等式组的解集； （3）先化简分式，再将的值代入求解 【详解】（1）原式 （2） 由①得，，由②得，， ∴原不等式组解集为． （3）原式 当时，原式． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，解一元一次不等式组，分式的化简求值，熟练运用以上知识是解题的关键． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数运算和二次根式的混合运算，正确计算是解本题的关键． （1）分别计算立方根、算术平方根和零次幂，然后再进行加减运算即可求得结果； （2）先把二次根式进行化简，再进行乘除运算，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．已知：如图，，，．证明：． 【答案】见解析 【分析】由平行线的性质得到，结合，，即可判定． 【详解】∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定定理，平行线的性质定理，是解答的关键． 19．已知：如图，在和中，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】在和中， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 20．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连结AD、BE交于点P． （1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系： ． （2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE． 【答案】（1）AD=BE．（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．（3）证明见解析． 【详解】试题分析：（1）直接写出答案即可． （2）证明△ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，此为解题的关键性结论；借助内角和定理即可解决问题． （3）如图，作辅助线，证明△CPA≌△CHE，即可解决问题． 试题解析：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形， ∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD， ∴∠ACD=∠ECB； 在△ACD与△ECB中， ， ∴△ACD≌△ECB（SAS）， ∴AD=BE， （2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°． 证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形 ∴EC=AC，BC=DC， ∠ACE=∠BCD=60°， ∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD； 在△ECB和△ACD中， ∴△ECB≌△ACD（SAS）， ∴∠CEB=∠CAD； 设BE与AC交于Q， 又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180° ∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°． （3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，连接HC， 则△PCH为等边三角形， ∴HC=PC，∠CHP=60°， ∴∠CHE=120°； 又∵∠APE=∠CPE=60°， ∴∠CPA=120°， ∴∠CPA=∠CHE； 在△CPA和△CHE中， ， ∴△CPA≌△CHE（AAS）， ∴AP=EH， ∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE． 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质． 21．在中，，，点E为直线上一点，D为直线上的一点，且．当点D在线段上时，如图①，易证：；当点D在线段的延长线上时，如图②、图③，猜想线段和之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．    【答案】．见解析 【分析】图②中，结论：，作交BC于M，先证明是等边三角形得，再证明，得由此可以对称结论．图③中，结论：，证明方法类似． 【详解】解；如图②中，结论：．    理由：作交于M， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 如图③中，结论：．    理由：作交BC于M， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变，属于中考常考题型． 22．如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；数量关系不变；理由见解析 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出∠BAC＝∠PAQ＝60°，AB＝AC，AP＝AQ，再由SAS定理即可得出结论； （2）由∠APC=∠CAP，∠B=∠BAC，∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，得∠BAP=90°，再结合，进而即可求解； （3）设CD与AP交于点O，由，得∠ACD=∠APD，结合∠AOC=∠DOP，三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵△ABC与△APD是等边三角形， ∴∠BAC＝∠PAD＝60°，AB＝AC，AP＝AD， ∴∠BAP＝∠DAC， 在△ABP与△ACD中， ， ∴（SAS）； （2）∵， ∴∠APC=∠CAP， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠BAC=60°， 又∵∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°， ∴∠BAC+∠CAP=×180°=90°，即：∠BAP=90°， ∴∠APB=90°-60°=30°， ∴∠ADC=∠APB=30°， ∵△APD是等边三角形， ∴=60°-∠ADC=60°-30°=30°； （3）=，随着点位置的变化，与的数量关系不会发生变化，理由如下： 设CD与AP交于点O， ∵， ∴∠ACD=∠ABP=60°， ∵∠APD=60°， ∴∠ACD=∠APD， 又∵∠AOC=∠DOP，∠AOC+∠ACD+∠PAC=180°，∠DOP+∠APD+∠PDC=180°， ∴=． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23．已知为等边三角形，为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作等边三角形，连接.          （1）如图①，当点在边上时，且点、点在同侧，其他条件不变，求证：； （2）如图②，当点在边的延长线上时，且点、点在同侧，其他条件不变，请直接写出线段，，之间存在的数量关系，不需证明； （3）如图③，当点在边的延长线上时，且点、点分别在直线的异侧，其他条件不变，请直接写出线段，，之间存在的数量关系，不需证明. 【答案】（1）见解析；（2）BC+CD=CE；（3）DC=CE+BC． 【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE；由△ABD≌△ACE就可以得出BC=DC+CE；（2）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE；（3）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出CE+BC=CD． 【详解】（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE． ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， ∴∠BAD=∠EAC． 在△ABD和△ACE中 ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴BD=CE． ∵BC=BD+CD， ∴BC=CE+CD． （2）BC+CD=CE． ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE． ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠EAC． 在△ABD和△ACE中 ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴BD=CE． ∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD； （3）DC=CE+BC． ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE． ∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE， ∴∠BAD=∠EAC． 在△ABD和△ACE中 ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴BD=CE． ∵DC=BD+BC， ∴DC=CE+BC. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用等知识，解题的关键是找出全等的条件证明三角形全等． 学科网（北京）股份有限公司 $$