精品解析：江苏省百校大联考2024-2025学年高一上学期12月份阶段测试数学试卷

江苏省百校大联考2024-2025学年高一上学期12月份阶段测试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 若扇形的圆心角为3rad，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. 1cm B. C. 2cm D. 3. 已知命题，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（ ）（参考数据：） A. 万年 B. 117万年 C. 万年 D. 205万年 6. 已知定义在上的偶函数，且在上满足，若的图象与函数的图象有4个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 11. 已知函数，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且为第四象限角，则的值为______. 13. 若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”.若为定义在上的“有点奇函数”，则的取值范围是______. 14. 已知函数，集合，，若，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：. （2）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值. 16. 已知函数． （1）当时，求的定义域及单调递增区间； （2）若关于的方程在上有解，求的最小值． 17. 已知，函数. （1）判断的奇偶性，请说明理由； （2）若在上单调递增，求的取值范围. 18. 已知是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）解关于的方程； （3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. （1）判断函数是否为区间上的“2阶自伴函数”，并说明理由； （2）若函数为区间上的“9阶自伴函数”，求的值； （3）若函数是在区间上的“2阶伴随函数”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省百校大联考2024-2025学年高一上学期12月份阶段测试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可得. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：C. 2. 若扇形的圆心角为3rad，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. 1cm B. C. 2cm D. 【答案】D 【解析】 【分析】设扇形的半径为，由面积公式求出，再由弧长公式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，又扇形的圆心角， 所以扇形的面积，解得， 所以该扇形的弧长. 故选：D 3. 已知命题，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解对数函数不等式，得到，根据是的真子集，得到答案. 【详解】，故， 由于是的真子集， 故是成立的必要不充分条件. 故选：C 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象得到函数为奇函数，再结合当时，，利用排除法即可得到答案. 【详解】由图知，函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数. 对选项C，，所以为偶函数，故C错误. 由图知，当时，. 对选项B，，当时，，与图象不符，故B错误. 对选项D，当时，， 当时，，与图象不符，故D错误. 故选：A 5. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（ ）（参考数据：） A. 万年 B. 117万年 C. 万年 D. 205万年 【答案】A 【解析】 【分析】估算出可用的年限，然后取常用对数计算即可. 【详解】由题意大约可以用万年， 则 ， 所以，即大约可以用万年. 故选：A 6. 已知定义在上的偶函数，且在上满足，若的图象与函数的图象有4个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数对称性作出函数在上的图象，数形结合可得，进行可求的范围. 【详解】由是上的偶函数，则函数图象关于轴对称. 如图，作出函数的图象，要使函数的图象与其有4个不同的交点， 则，解得. 故选：C. 7. 已知正实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式分离两变量得，构造函数，利用函数单调性比较大小可得. 【详解】由已知得， 即， 构造函数， 则，且， 所以， 又在单调递增，所以. 故选：B. 8. 已知且，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到，AB选项，利用对数运算法则得到，；C选项，变形得到；D选项，若，不合要求，若且，得到或，D不正确. 【详解】且，故且，即，解得， A选项，，A正确； B选项，，故，B正确； C选项，， 当且仅当，即时，等号成立， 但，故等号取不到，，C正确； D选项，， 若，此时分母无意义，故上式不成立， 若且，故且，或， 所以或，D不正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先从图象看出为偶函数，定义域为R，A选项，不满足定义域为R；BC选项，满足奇偶性和单调性，且满足增长速度；D选项，不满足奇偶性和单调性，D错误. 【详解】由图看出，为偶函数，定义域为R， A选项，，定义域为，不合题意， B选项，，定义域为R，且满足， 故为偶函数，且在上单调递增，增长速度越来越慢，B正确； C选项，的定义域为R，且， 故为偶函数，且在上单调递增，增长速度越来越慢，C正确； D选项，，不是偶函数，且在R上单调递减，D错误. 故选：BC 10. 已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，所以，所以，故A正确； 又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 11. 已知函数，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数图象，结合图象可得的范围，再由，即可求得的取值范围。 【详解】根据题干可画出函数图象，如下图： 根据图象可知，，根据得不出， 所以选项A正确，B错误； 由于，所以，即， 所以，又在单调递增， 因此，所以选项C正确； 由于，所以，所以， 又在上单调递增，所以，所以选项D正确。 故答案为：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且为第四象限角，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断，由同角三角函数关系求出答案. 【详解】为第四象限角，故， 又，故. 故答案为： 13. 若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”.若为定义在上的“有点奇函数”，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意即在上有解，设，化简转化为在上有解，分离参数可得，从而求出函数的值域即可得解. 【详解】根据题意，为定义域上的“有点奇函数”，即在上有解. 即在上有解. 即在上有解. 即在上有解. 设（当且仅当时等号成立） 也即在上有解. 即在上有解. 设，则的取值范围即当，的值域. 由对勾函数性质可得在单调递增，故，且当， 故当，的值域为. 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，集合，，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，分别求出，当时得到，即可求出的取值范围，从而得解. 【详解】因为， 当时，由，解得，所以； 又，，， 所以，此时，符合题意； 当时恒成立，此时，不符合题意； 当时，由，解得， 所以， 由，则，所以， 又，，所以，所以，解得， 又，所以； 综上可得，即的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：通过不等式的解集形式得出，然后利用集合相等得出、间的关系（相等及不等关系）从而求得参数范围． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简：. （2）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系计算可得； （2）依题意可得，再求出，最后由同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】（1） ； （2）因为是第三象限角，所以， 又是方程的一个实根，由，解得，， 所以， 所以 . 16. 已知函数． （1）当时，求的定义域及单调递增区间； （2）若关于的方程在上有解，求的最小值． 【答案】（1）定义域为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由对数的真数大于0得定义域，由对数型复合函数的单调性得增区间； （2）问题为方程在有解且恒成立，分离参数转化为，从而转化为用基本不等式求的最小值即可得． 【小问1详解】 当时，， 令，即，解得或， 所以函数的定义域为； 因为在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增； 即的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为关于的方程在上有解， 所以关于的方程在上有解且恒成立， 即在上有解， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 又当时，注意到在上恒成立， 所以的最小值为． 17. 已知，函数. （1）判断的奇偶性，请说明理由； （2）若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） 因为定义域为， 当时，，所以， 所以为奇函数； 当时，，，则且， 所以既不是奇函数又不是偶函数； 综上可得：当时为奇函数，当时既不是奇函数又不是偶函数. （2） 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，分别判断函数的奇偶性； （2）将函数写成分段函数，再分、、三种情况讨论，分别得到函数的单调区间，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 因为在上单调递增，所以； 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 显然满足在上单调递增，所以符合题意； 综上可得的取值范围为. 18. 已知是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）解关于的方程； （3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可. （2）换元解方程，再解指数方程即可. （3）探讨函数的单调性，结合已知构造方程，再利用一元二次方程实根分布求出范围. 【小问1详解】 由是定义在上的奇函数， 得，解得，所以， 验证：的定义域关于原点对称， 且， 所以即是奇函数， 所以. 【小问2详解】 令， 则方程化为，即， 解得或，由（1）知， 当时，，即，解得，； 当时，，即，无解， 所以原方程的解为. 【小问3详解】 由（1）知，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 依题意得，，即， 令，因此是方程的两不等实根， 即方程有两不等实根，且都大于1， 设， 于是，解得， 所以的取值范围是. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. （1）判断函数是否为区间上的“2阶自伴函数”，并说明理由； （2）若函数为区间上的“9阶自伴函数”，求的值； （3）若函数是在区间上的“2阶伴随函数”，求的取值范围. 【答案】（1） 不是在区间上的“2阶自伴函数”，理由如下： 时，， 当时，，此时要想，则需， 但，故不存在，使得， 故不是在区间上的“2阶自伴函数”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的值域，举出反例即可； （2）由题意得到，即，又，求出，又，从而得到方程组，解得； （3）由变形得到，根据，得到，换元得到，又，转化为对，恒成立或恒成立，分两种情况，得到不等式组，求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知，对任意的，总存在唯一的， 使得，即，故， 故，又，故， 又，故，解得； 【小问3详解】 由题意得， ， 故，即， 因为，故，所以， 设，于是，， ，， 所以对，恒成立或恒成立， 若恒成立，则，解得， 若恒成立，则，解得， 综上，的取值范围是. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $