《14.1.1 直角三角形三边的关系》易错题专训2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版八年级上册第十四章勾股定理 《14.1.1 直角三角形三边的关系》易错题专训 一. 选择题   1.如图所示，轮船以海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，同时轮船以海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，小时后，两船相距（      ） A.海里 B.海里 C.海里 D.海里   2.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图是由图放入矩形内得到的，，，，点，，，，，都是矩形的边上，则矩形的面积为        A. B. C. D.   3.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，可以验证的公式是(        ) A. B. C. D.   4.意大利著名画家达•芬奇用如图所示（四边形，四边形，四边形都为正方形，设图①中空白部分的面积为，图③中空白部分的面积为）的方法验证了勾股定理，步骤如下所示，则下列判断不正确的是（        ） 第一步：由图①可得     ★     ；      第二步：由图③可得      ●     ； 第三步：由      ◆      ，可验证    ▲     . A.★表示 B.●表示 C.◆ 表示 D.▲表示     5.下列各组数中，是勾股数的是（        ） A.，， B.，， C.，， D.，， 二. 填空题   6.定义：等腰三角形的底边与底边上的高的长度的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰的周长为， ，则它的“特征值” ________.   7.如图，中，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为则线段的长为________.   8.如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形（连同空白部分）的面积是，则大正方形的边长是________. 三. 解答题   9.勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法 请你根据图填空；勾股定理成立的条件是   三角形，结论是   （三边关系） 以图中的直角三角形为基础，可以构造出以、为底，以为高的直角梯形（如图），请你利用图，验证勾股定理；   10.我们新定义一种三角形：一个三角形中，若两边的平方差等于第三边上的高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点． 如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试证明． 如图，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点．是边上的高．若，，试求线段的长度．   11.〖背景介绍〗勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法． 〖小试牛刀〗把两个全等的直角三角形和如图放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积： ＝ &#; &#;， ＝ &#; &#;， ＝ &#; &#;， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 &#; &#;，化简后，可得到勾股定理． 〖知识运用〗 如图，河道上，两点（看作直线上的两点）相距米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为 &#; &#;米． 〖知识迁移〗 借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值＝ &#; &#;．   12.小明同学在学习了教材第页的“阅读”之“勾股定理的证明”后，再次结合“阅读”中的原有图形，对勾股定理展开新的证明方法的探究．如图，四边形、、分别是以 的三边为一边的正方形，其中 ．在图的基础上用“补”的原理将其补成如图所示的长方形．线段所在的直线与、分别相交于点、． 小明通过“第三章勾股定理”的学习，结合“弦图”的相关知识，他已经知道．请在此基础上，求证： . 小明认为，在图中，沿着将图形剪开，如图，则两部分的面积是相等的，请在小明提示下，证明： .   13.如图，在△中，，，小丽同学按照以下步骤进行尺规作图： ①以点为圆心，的长为半径作弧交 边于点； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在 下方交于点； ③作射线，交边于点． 请按照以上步骤画出图形（保留作图痕迹）； 求证：⊥； 若，求线段的长． 参考答案与试题解析 华师大版八年级上《14.1.1 直角三角形三边的关系》易错题专训 一. 选择题 1. 【答案】 C 【考点】 勾股定理的应用 【解析】 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了海里，海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【解答】 解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得两船相距的距离：（海里）． 故选：． 2. 【答案】 C 【考点】 勾股定理的证明 【解析】 延长交于点，延长交于点，可得四边形是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】 解：如图，延长交于点，延长交于点， 所以，四边形是正方形， 边长， 所以，，， 因此，矩形的面积为． 故选． 3. 【答案】 C 【考点】 勾股定理的证明 勾股定理的应用 【解析】 利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等可以整理出． 【解答】 解：∵ 大正方形的面积表示为：， 又可以表示为：， ∴ ， ， ∴ ． 故选． 4. 【答案】 B 【考点】 勾股定理的证明 勾股定理的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 B 5. 【答案】 C 【考点】 勾股数 【解析】 此题暂无解析 【解答】 C 二. 填空题 6. 【答案】   【考点】 等腰三角形的性质 勾股定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】   7. 【答案】 【考点】 翻折变换（折叠问题） 勾股定理 【解析】 根据题意，设，由折叠，在利用勾股定理列方程解出，就求出的长． 【解答】 解：∵ 是中点， 设，由折叠， 在中，  ，解得 故答案是： 8. 【答案】 【考点】 勾股定理的证明 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， 根据题意得  解得：  解得： 或（舍去）， 故大正方形的边长为， 故答案为：． 三. 解答题 9. 【答案】 直角，； 见解答 【考点】 勾股定理的应用 勾股定理的证明 【解析】 根据勾股定理的定义即可解答； 先分别运用梯形的面积公式和三角形面积公式表示出梯形的面积公式，然后化简即可． 【解答】 解：有勾股定理的定义可知：勾股定理成立的条件是直角三角形，结论是； 故填：直角，； 如图可得梯形的面积为：或 ，化简得． 10. 【答案】 （1） ∵ 为勾股高三角形，为勾股顶点，且， ∴ ，即， 又∵ 在种， ∴ 即 （2）∵ ∴ 在和中，由勾股定理可得： 又∵ 为勾股高三角形，为勾股顶点， ∴ ∴ ∴ 【考点】 勾股定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1） ∵ 为勾股高三角形，为勾股顶点，且， ∴ ，即， 又∵ 在种， ∴ 即 （2）∵ ∴ 在和中，由勾股定理可得： 又∵ 为勾股高三角形，为勾股顶点， ∴ ∴ ∴ 11. 【答案】 （小试牛刀），，，；（知识运用）米；（知识迁移） 【考点】 勾股定理的应用 勾股定理的证明 【解析】 （小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形面积为和的面积和，求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【解答】 解：（小试牛刀） 由图形可得 化简可得 故答案为：，，，； （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图： 由题意可得： ，则的最小值，即为的最小值 由三角形三边关系可得：，当三点共线时 的最小值为，米 故答案为米； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则， 由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 故答案为 12. 【答案】 （）∵ ， ∴  ， ∵ ，∴ ， 在和中，  ， ∴ ； （2）由图知①+⑥=⑤+⑨，且由（）知⑤=⑥， ∴ ⑨=①， ， ∵ 图中梯形的面积等于 , ∴ 梯形的面积等于长方形的一半． 所以图中的两个部分面积是相等的． 又∵ 由题意得②=③=④=⑦=⑧=⑩， ∴ ，即． 【考点】 全等三角形的性质与判定 勾股定理的证明 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （）∵ ， ∴  ， ∵ ，∴ ， 在和中，  ， ∴ ； （2）由图知①+⑥=⑤+⑨，且由（）知⑤=⑥， ∴ ⑨=①， ， ∵ 图中梯形的面积等于 , ∴ 梯形的面积等于长方形的一半． 所以图中的两个部分面积是相等的． 又∵ 由题意得②=③=④=⑦=⑧=⑩， ∴ ，即． 13. 【答案】 （）画图如图所示； （2）∵ 由画图步骤知 ， ∴ 点、都在的垂直平分线上， ∴ 垂直平分． ∴  ， （3）∵ ，∴ ， ∴  ，， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ . 【考点】 作图—尺规作图的定义 线段垂直平分线的性质 勾股定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （）画图如图所示； （2）∵ 由画图步骤知 ， ∴ 点、都在的垂直平分线上， ∴ 垂直平分． ∴  ， （3）∵ ，∴ ， ∴  ，， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ . 试卷第2页，总14页 试卷第1页，总1页 学科网（北京）股份有限公司 $$