精品解析：重庆市第七中学校2024-2025学年 八年级上学期 12月月考数学试卷

重庆七中2024－2025学年度上期第二次学情测试 八年级数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列选项中是4的算术平方根是（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根和平方根的区别与联系是解题的关键． 直接运用算术平方根的定义即可解答． 【详解】解：4的算术平方根是． 故选：D． 2. 在实数是，0，， 3.1415926，，4.21，中，有理数的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数，解答此题要明确有理数和无理数的概念和分类．有理数包括整数，分数．无限不循环小数是无理数．根据有理数的定义判断即可得到结果． 【详解】解：在实数是，0，， 3.1415926，，4.21，中，有理数有，0，， 3.1415926，，4.21，共6个， 故选：D． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式， 故选：B． 4. 下列命题中，假命题是（ ） A. 面积相等的两个三角形全等 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形的性质，等边三角形判定及直角三角形性质判断即可． 【详解】解：A、面积相等的两个三角形形状可能不同，不一定全等，故此选项说法是假命题，符合题意； B、等腰三角形的两底角相等，故此选项说法是真命题，不符合题意； C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故此选项说法是真命题，不符合题意； D、直角三角形的两个锐角互余，故此选项说法是真命题，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，掌握相关定理，知道假命题是指不正确的命题是解题关键． 5. 若，则a等于（ ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逆用同底数幂的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可得，继而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，已知，，增加下列条件，不能肯定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、和中， ∴，此选项不符合题意； 、和中， ∴，此选项不符合题意； 、和中， ∴，此选项不符合题意； 、添加不能判定，此选项符合题意； 故选：． 7. 估计的值应在（ ） A. 7与8之间 B. 8与9之间 C. 9与10之间 D. 10与11之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算及无理数的估算是解题的关键；由题意可得出，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴； 故选B． 8. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：，是的平分线， ，， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9. 若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式，平方根计算解答即可． 本题考查了平方差公式，平方根，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：， ， 故 故，（舍去）， 故选：B． 10. 对于多项式：，只选取两个字母，并交换它们的位置（符号不参与交换），称这种操作为一种“交换操作”，然后再进行运算，并将化简的结果记为． 例如：，交换后；，交换后 下列相关说法正确的个数是： ①存在一种“交换操作”，使其运算结果为 ②共有四种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“交换操作”共有7种不同的运算结果． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查新定义题型，根据题意交换 n、y的位置即可判断①；字母前面都是加号的字母互换，字母前面都是减号的字母互换时，所得的运算结果都与原多项式的结果相等，据此可判断②；共有10种交换方式，即x、m交换，x、n交换，x、y交换，x、z交换，m、n交换，m、y交换，m、z交换，n、y交换，n、z交换，y、z交换，求出当x、m交换时，当x、y交换时，当m、n交换时，当m、z交换时，当n、y交换时，当y、z交换时的结果即可判断③． 【详解】解：①当把n、y的位置互换时，，故①正确； ②字母前面都是加号的字母互换，字母前面都是减号的字母互换时，所得的运算结果都与原多项式的结果相等，即x、z互换，x、n互换，z、n互换，y、m互换时，所得的运算结果都与原多项式的结果相等， ∴共有四种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等，故②正确； ③∵一共有5个字母， ∴共有10种交换方式，即x、m交换，x、n交换，x、y交换，x、z交换，m、n交换，m、y交换，m、z交换，n、y交换，n、z交换，y、z交换， ∵其中x、z互换，x、n互换，z、n互换，y、m互换时结果与原式相等，可算作一个结果， 当x、m交换时，结果为， 当x、y交换时，结果为， 当m、n交换时，结果为， 当m、z交换时，结果为， 当n、y交换时，结果为， 当y、z交换时，结果为， 综上所述，所有的“交换操作”共有7种不同的运算结果，故③正确； 故选D． 二、填空题：本题共8小题，每小題4分，共32分 11. 的相反数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数、相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 12. 分解因式：=________． 【答案】 【解析】 【分析】式子的两项含有公因式m，提取公因式即可分解． 【详解】解：m2-m=m（m-1） 故答案是：m（m-1）． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，找出公因式是解决此题的关键． 13. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为时，当腰长为时，根据等腰三角形的定义确定三角形的三边长，再根据构成三角形的条件验证求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为或， 故答案为：或． 14. 一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ∵， ∴， 故答案为：10． 15. 如图所示，数轴上A、B两点所表示的数是，0，与数轴垂直，且，连结，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意易得，然后根据勾股定理可得的长，进而问题可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D， ∴， ∴点D表示的数是：． 故答案为：． 16. 若是一个完全平方式，则实数_________． 【答案】9或 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方式的形式是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式“”进行求解． 【详解】解：由是一个完全平方式，可知：， ∴或； 故答案为9或． 17. 如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F．若，，，的面积为4.5，则的值为_________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握等面积法成为解题的关键． 由折叠的性质可得，再证可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，运用勾股定理可得，再运用等面积法求得，进而得到，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解∶由折叠得，， 在和中， ， ， ， （三线合一）， 又， ∴由勾股定理得：， ， ， ， ∵在中，， ，即， ， ， ∵在中，， ． 故答案为：． 18. 对于一个四位数，若其千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称数为“等合数”．例如：数3465，∵3，∴3465是“等合数”，数2364，∵，，∴，∴2364不是“等合数”，则最大的“等合数”为 _____；若“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，若 为完全平方数，则满足条件的的最小值为 _____． 【答案】 ①. 9999 ②. 1265 【解析】 【分析】根据“等合数”的定义可得最大的“等合数”为；设“等合数”为，根据“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，若为完全平方数，得到，再根据完全平方数的定义得到或，依此分析即可求解． 【详解】解：根据“等合数”的定义可得最大的“等合数”为； 设“等合数”为，则，即，为， ∴ ∵， ∴， 故原式 ∵为完全平方数， 即的值为1或4， ∵“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零， ∴或 若使的值最小，即的值最小为1， 当时，d的值为2， 则的值最小取3，的值为4， 此时“等合数”为； 当，d的值为5， 则的值最小取2，的值为6， 此时“等合数”为； ∵， 故满足条件的的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了完全平方数，用字母表示数字，理解新定义的运算是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算，解题的关键是： （1）根据立方根、算术平方根的定义，绝对值的意义化简计算即可； （2）根据单项式乘以单项式法则、积的乘方法则、合并同类项法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 四、解答题：本题共7小题，每题10分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 先化简，再求值：．其中． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式、平方差公式以及合并同类项法则化简括号内，然后根据多项式除以单项式法则化简，最后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择.某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （3）该校共有学生人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数. 【答案】（1）人， 如图 （2）；（3）人. 【解析】 【分析】（1）根据在线答题的人数与占比即可求出本次调查的学生总人数，即可计算补全统计图； （2）先求出“在线讨论”的占比再乘以360°即可求解； （3）根据在线阅读的占比乘以全校人数即可求解. 【详解】（1）总人数=（人）， （2）在线讨论所占圆心角 （3）本校对在线阅读最感兴趣的人（人） 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据统计图求出本次调查的学生总人数. 22. 如图，已知中，． （1）请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使，连接．（不写作法，保留作图痕边） （2）在（1）所作的图形中，求证：．完成下面的证明过程： 证明：∵平分，∴． 在与中， ∴ ∴ ，． ∵ ，且， ∴， ∴，∴ ． ∵， ∴． 【答案】（1）见解析 （2），， 【解析】 【分析】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质．解题的关键是： （1）先利用基本作图作的平分线得到，再在上截取使，然后连接即可； （2）先证明得到，，利用三角形外角性质得到，由于，所以，则，然后利用等线段代换得到结论． 【小问1详解】 解：如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，两弧与相交，再分别以两交点为圆心，大于两交点距离的长度为半径画弧，两弧相交于一点，连接该交点与点A，交于点D，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接， 、为所作； 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴． 在与中， ∴ ∴，． ∵，且， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，，． 23. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） ，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列方程求出和，再估算的大小得到它的整数部分，即可求出； （2）将，，的值代入计算出结果，再求这个结果的平方根即可． 【小问1详解】 解：的立方根是，的算术平方根是， ，， ， 将代入，得，解得， ， ， 是的整数部分， ； 【小问2详解】 解：将，，代入得：， 的平方根为， 即的平方根是． 24. 如图，在中，平分相交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据直角三角形的性质得到，根据对顶角相等及等腰三角形的判定证明结论； （2）设，作于点，根据角平分线的性质、勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，则，根据勾股定理求出，则，根据三角形面积求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平分， 即， ，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：设，作于点， ， ∴， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 由（1）得， ， ， ． 25. 陕北秧歌在今年春节期间走向了世界，让全国各地百姓以及世界各地了解到陕北人民的豪爽气魄．如图，某市计划在一块长方形公园空地上建造一个秧歌观赏台(阴影部分)． （1）请用m，n表示观赏台的面积S．(结果化为最简) （2）如果修建观赏台的费用为200元/平方米，且 米， 米，那么修建观赏台需要费用多少元？ 【答案】（1） （2）144000元 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握图形中各个部分面积之间的关系． （1）根据面积之间的和差关系用代数式表示即可； （2）将米， 米代入（1）进行计算得到面积，再利用面积乘以单价即可解题． 【小问1详解】 解：由图知，， ， ． 【小问2详解】 解：（平方米） ， 所以修建观赏台需要费用元． 26. ，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2．连长，当，求的长； ②若，直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理，可得，与等面积法可得，可得，，证明，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 ①∵，， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆七中2024－2025学年度上期第二次学情测试 八年级数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列选项中是4的算术平方根是（ ） A. B. C. 4 D. 2 2. 在实数是，0，， 3.1415926，，4.21，中，有理数的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，假命题是（ ） A. 面积相等的两个三角形全等 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 D. 直角三角形的两个锐角互余 5. 若，则a等于（ ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 2 6. 如图，已知，，增加下列条件，不能肯定的是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 7与8之间 B. 8与9之间 C. 9与10之间 D. 10与11之间 8. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 9. 若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 10. 对于多项式：，只选取两个字母，并交换它们的位置（符号不参与交换），称这种操作为一种“交换操作”，然后再进行运算，并将化简的结果记为． 例如：，交换后；，交换后 下列相关说法正确的个数是： ①存在一种“交换操作”，使其运算结果为 ②共有四种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“交换操作”共有7种不同的运算结果． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共8小题，每小題4分，共32分 11. 的相反数是_________． 12. 分解因式：=________． 13. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是________． 14. 一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为______． 15. 如图所示，数轴上A、B两点所表示的数是，0，与数轴垂直，且，连结，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为_________． 16. 若是一个完全平方式，则实数_________． 17. 如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F．若，，，的面积为4.5，则的值为_________． 18. 对于一个四位数，若其千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称数为“等合数”．例如：数3465，∵3，∴3465是“等合数”，数2364，∵，，∴，∴2364不是“等合数”，则最大的“等合数”为 _____；若“等合数”各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，若 为完全平方数，则满足条件的的最小值为 _____． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 计算： （1） （2） 四、解答题：本题共7小题，每题10分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 先化简，再求值：．其中． 21. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择.某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数； （3）该校共有学生人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数. 22. 如图，已知中，． （1）请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使，连接．（不写作法，保留作图痕边） （2）在（1）所作的图形中，求证：．完成下面的证明过程： 证明：∵平分，∴． 在与中， ∴ ∴ ，． ∵ ，且， ∴， ∴，∴ ． ∵， ∴． 23. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 24. 如图，在中，平分相交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 25. 陕北秧歌在今年春节期间走向了世界，让全国各地百姓以及世界各地了解到陕北人民的豪爽气魄．如图，某市计划在一块长方形公园空地上建造一个秧歌观赏台(阴影部分)． （1）请用m，n表示观赏台的面积S．(结果化为最简) （2）如果修建观赏台的费用为200元/平方米，且 米， 米，那么修建观赏台需要费用多少元？ 26. ，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2．连长，当，求的长； ②若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $