2.2 一元二次方程及其应用 针对练习-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练优质课件PPT

数学 1 第二章 方程（组）与不等式（组） 第二节 一元二次方程及其应用 2 命题点 1 一元二次方程及其解法 ◆基础巩固 1.[2024深圳]一元二次方程的一个解为，则 ___. 2 【解析】将代入原方程可得，解得 . 3 2.解下列方程： （1） ； 解： ， ，， ， ； （2） ； 解：，， , ， ， ， ； 4 （3） ; 解： ， ， ， ， ， ； （4）[2024齐齐哈尔] . 解： , , 则或 ， 解得， . 5 ◆能力提升 3.[2024凉山州]已知，，则 的值为___. 3 【解析】，， ， ，即，解得， （舍去），即 的值为3. 6 4.[2024河北]淇淇在计算正数的平方时，误算成 与2的积，求得的答案 比正确答案小1，则 ( ) A. 1 B. C. D. 1或 【解析】根据题意得，，解得， ， . √ 7 5.多解法 [2023连云港]若、 为实数， 则 的最小值为____. 【解析】解法一：由题意得 ， 为实数， ，即 ，，的最小值为 . 8 解法二： ，，均为实数，，， 原式 ，即原式的的最小值为 . 9 命题点 2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 6.[2023滨州]一元二次方程 根的情况为( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 【解析】由题意得，， 方程有两个不 相等的实数根. √ 10 变式[2024自贡]关于的方程 根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 √ 【解析】关于的方程中，，， ，， 方程有两个不相等的实数根. 11 7.已知关于的一元二次方程 . （1）若该方程有两个相等的实数根，则 的值为___； 4 【解析】 关于的一元二次方程 有两个相等的实数 根，，解得 . （2）易错 若该方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围为_________ ______； 且 【解析】 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数 根，，解得，又， 的取值范围为 且 . 12 （3）若该方程没有实数根，则 的取值范围为_______； 【解析】 关于的一元二次方程 没有实数根， ，解得 . （4）易错 若该方程有实数根，则 的取值范围为______________. 且 【解析】 关于的一元二次方程 有实数根， ，解得.又，的取值范围为 且 . 7.已知关于的一元二次方程 . 13 8.若一元二次方程的两根分别为， ，则： （1） ___； 4 【解析】 ； （2） ____； 【解析】 ； （3） ____； 【解析】 ； （4） ____. 20 【解析】 . 14 9.[2024绥化]小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在 化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过 程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和 .则原来的方 程是( ) A. B. C. D. 【解析】设原来的方程为 ，由题知， ，，，， 原来的方程为 ，则 . √ 15 10.[2023内江]对于实数，定义运算“”为 ，例如： ，则关于的方程 的根的情 况，下列说法正确的是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【解析】， ， ， ， 关于 的方程 有两个不相等的实 数根. √ 16 11.[2024遂宁]已知关于的一元二次方程 . （1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 证明：，， ， . ，， 无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 17 （2）如果方程的两个实数根为，，且，求 的值. 解： 方程的两个实数根为， ， ， . ，即 ， ， 整理，得 ， 解得， ， 的值为 或1. 11.[2024遂宁]已知关于的一元二次方程 . 18 命题点 3 一元二次方程的实际应用 考法1 变化率问题 12.[2024云南]两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的 进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下 降率为 ，根据题意，下列方程正确的是( ) A. B. C. D. √ 19 13.[2024重庆A卷]随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司 2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长 率是______. 【解析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是 ，根据题意得 ，解得， （不符合题意，舍去）， 该 公司这两年缴税的年平均增长率是 . 20 考法2 面积问题 14.[2022青海]如图，小明同学用一张长，宽 的矩形纸板制作一 个底面积为 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样 大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）.设剪去的正方形边长为 ，则可列出关于 的方程为_______________________. 第14题图 21 15.[2023东营]如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外 墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个 宽的门（建 在 处，另用其他材料）. 第15题图 （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 的羊圈？ 22 第15题图 解：设矩形的边 ，则边 . 根据题意，得 ， 化简，得，解得， ， 当时， ， 当时， ， 答：当羊圈的长为，宽为或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈； 23 第15题图 （2）羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不 能，请说明理由. 【答案】不能. 理由：由题意，得 ， 化简，得 ， ， 该一元二次方程没有实数根. 羊圈的面积不能达到 . 24 考法3 其他问题 16.[2023衢州]某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一 轮传染中平均每人传染了 人，则可得到方程( ) A. B. C. D. √ 25 17.[2023龙东地区]毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他 同学发祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是( ) A. 40 B. 30 C. 29 D. 39 【解析】设这个班级的学生总人数是，则每一位同学需发送 条祝 福短信，根据题意得：，整理得： ，解 得，（不符合题意，舍去）， 这个班级的学生总人数 是30. √ 26 综合与实践 第18题图 18.[2024浙江杭州模拟]启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一 张腰长为 的等腰直角三角形硬卡片（如图①，图②中， ， ），让学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片， 要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出 的长方形卡片的面积为 . 27 （1）方方同学很快完成了自己的设计（如图①），并完成计算，请你求 出他裁出的长方形卡片的长和宽; 解：， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， 和 是等腰直角三角形， ， 28 设长为，则 长为 ， 由题意，得 ， 整理，得 ， 解得， ， , ， 长方形卡片的长和宽分别为 和或和 ； （2）圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图 ②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽. 【答案】根据题意画图如解图， 第18题解图 设长方形的长为，则宽为 ， 由题意，得 ， 整理得，解得， . 经检验，， 都符合题意. 长方形卡片的长和宽分别为和 . 30 $$