第05讲 线与角（15个知识点+7个易错点+45题强化练）-2025年四年级数学寒假专项提升（北师大版）

编者的话 寒假将至，首先祝愿每一位同学都能度过一个愉快而充实的假期！同时，也恭喜你们在本学期里通过辛勤的努力，取得了令人满意的成绩。在学习的过程中，你们不仅积累了丰富的知识，也逐步提升了自我学习和探究的能力。希望你们能够继续保持这种积极向上的学习态度，不断追求卓越。 本套资料是我们专为同学们寒假复习而精心准备的。它的目的在于帮助你们查漏补缺，温故而知新。我们希望通过全面的知识点回顾，让你们对所学知识有更深入的理解和掌握；通过对易错点的逐个剖析，让你们在今后的学习中避免再犯同样的错误；通过强化练习常考易错真题，提高你们应对考试的能力。 资料的解析思路力求通俗易懂，旨在帮助你们更好地理解知识点，提升学习效果。希望同学们能够充分利用这套资料，认真复习，为新学期打下更加坚实的基础！ 2025年四年级数学寒假专项提升 第05讲 线与角 （15个知识点+7个易错点+45题强化练） 1、线段、射线和直线的认识。 线段、直线和射线都是直的；线段、直线和射线端点个数不同，延伸情况也不同；只有线段可以测量，射线、直线都不可以测量。 2、用字母表示线段、射线、直线。 线段有两个端点，有两种读法；射线有一个端点，只有一种读法（从端点读起）；直线没有端点，直线用两个大写字母表示时有两种读法，用一个小写字母表示时有一种读法 3、线段的基本性质和两点之间的距离。 两点之间所有连线中线段最短，线段的长度就是两点之间的距离。 4、认识相交和垂直。 判断平面内两条直线是否相交，只要将两条直线延长，如果能相较于一点，就说明这两条直线的位置关系是相交。 5、认识垂直。 同一平面内的两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直 6、垂线的画法。 利用三角尺画垂线的方法：先画一条直线，再使三角尺的一条直角边与这条直线重合，沿着另一条直角边再画一条直线，这时所画的两条直线互相垂直。 7、认识平行线。 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线 8、平行线的画法。 用一副三角尺或用直尺和三角尺画平行线的方法： （1）先把左边直尺（或三角尺）固定，右边三角尺的一条直角边靠紧直尺（或三角尺的一条边）； （2）沿右边三角尺另一条直角边画一条直线，然后平移右边三角尺； （3）再沿右边三角尺最初画直线的那条直角边最后画一条直线，平移前后画的两条直线就是一组平行线。 9、角与两边的关系。 角的大小与两条边的长短无关，与角的两条边的开口的大小有关，开口越大，角就越大，开口越小，角就越小 10、认识平角和周角。 当角的两条边旋转成一条直线时，所形成的角角平角；当角的两条边经过旋转重合在一起时，所形成的角叫周角 11、锐角、直角、钝角、平角、周角的关系。 锐角<直角<钝角<平角<周角。 12、测量角的方法及认识角的测量单位。 角的计量单位是“度”，用符号“。”表示。将圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫做1度，记作1。。 13、认识量角器 测量角的一般工具是量角器。 14、用量角器测量角的度数 用量角器测量角的度数时，其要领可概括为“两个重合，一个注意”： 点点重合，即量角器的中心点与角的顶点重合； 线边重合，即量角器的零刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的刻度（零刻度线所在的圈上的刻度）就是这个角的度数； 一个注意：内圈刻度与外圈刻度不能混淆，要根据零刻度线来确定 15、用量角器画指定度数的角 用量角器画角的方法： 画：画一条射线 对：使量角器的中心点与射线的端点重合，零刻度线与射线重合； 点：对照零刻度线所在的那一圈找准度数点一个点； 连：以画出的射线的端点为端点，经过刚画的点，再画一条射线； 标：标出具体的度数。 易错点1：误认为直线是有长度的。 判断：一条直线长12厘米。 【错误答案】正确 【错解分析】错在认为直线有长度,混淆了直线与线段的概念。直线可以向两端无限延伸,无法测量出长度,线段可以测量出长度。 【正确解答】错误 易错点2：混淆了线段、射线和直线的概念。 判断：除了直线，线段射线都可以测量出长度。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】混淆了线段、射线和直线的概念。 直线可以向两个方向无限延伸，无法测量出长度；射线可以向一个方向无限延伸，也无法测量出长度。 【正确答案】× 易错点3：误认为垂线是孤立存在的。 如下图所示，因为直线a与直线6互相垂直，所以直线a是垂线,直线b也是垂线。 【错误答案】正确 【错解分析】错在对垂线的概念理解片面。两条直线互相垂直,垂直是两条直线 之间的关系,每一条直线都可以叫作另一条直线的垂线,不能孤立地说某一条直线是垂线。直线a与直线b互相垂直，可以说直线a是直线b的垂线,也可以说直线b是直线a的垂线。 【正确解答】错误 易错点4：误认为只要不相交的两条直线就互相平行。 判断:平行线就是不相交的两条直线。 【错误答案】正确 【错解分析】平行线的判断要满足两点,①在同一平面内。②直线不相交。这句话只强调了不相交,而没有强调在同一平面内。正确的叙述是平行线就是在同一平面内不相交的两条直线。 【正确解答】错误 易错点5：误认为两个直角就是-一个平角。 判断:两个直角就是一个平角。 【错误答案】正确 【错解分析】两个直角只有拼在一起才可能成为一个平角,独立的两个直角不是平角。错误解答错在表述不够严密,正确的表述应该是两个直角可以拼成一个平角。 【正确解答】错误 易错点6：角的度量单位与度的符号相混淆。 判断:角的度量单位是“°” 【错误答案】正确 【错解分析】把一个圆平均分成360份,其中的1份所对的角的大小叫作1度(记作:1°),通常用1°作为角的度量单位,因此角的度量单位不是“。”,而是1°。 【正确解答】错误 易错点7：忽略了三角尺上的角的特殊性。 判断:任何度数的角都可以用三角尺画出来。 【错误答案】正确 【错解分析】错在不清楚三角尺画角的局限性。三角尺只能画一些特殊度数的角,而量角器可以画任何度数的角。正确的表述是任何度数的角都可以用量角器画出来。 【正确解答】错误 一、填空题 1．3时整，钟面上的时针与分针成（ ）角，6时整，钟面上的时针与分针成（ ）角。 2．如图∠1＝150°，∠2＝（ ），∠3＝（ ），∠4＝（ ）。 3．把一张圆形纸片对折第一次得到的角是（ ）角，对折第二次得到的角是（ ）°，对折第三次得到的角是（ ）°。 4．下面两个角都是利用一副三角尺画出的，其中∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 5．在下图的空托盘上放（ ）千克的物品，指针将顺时针旋转90°。 6．巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日晚上7时半（北京时间27日凌晨1时30分）在塞纳河上拉开帷幕，此时表示巴黎时间的钟面上时针和分针所形成的较小的角是（ ）角，表示北京时间的钟面上时针和分针所形成的较小的角是（ ）角。 7．如图，钟面上时针和分针所组成的较小夹角是（ ）角，是（ ）°；当钟面上时针和分针成平角时，则正好是（ ）时；若时针和分针成平角后，分针再转动一周，此时时针和分针所组成较小夹角是（ ）°。 8．如图，淘气不小心把刚发下的试卷折了一个角。如果折起来的∠1＝60°，那么，∠2＝（ ）°。 9．用一个不完整的量角器画直角，如图，这个直角的一条边在量角器外圈60°刻度线上，那么另一条边应该在量角器外圈（ ）刻度线上。 10．下图是朵朵到学校的3条路线，她去学校如果想用最短的时间到达，应该选路线（ ），因为两点之间所有连线中，（ ）最短。 11．如图，下午3时整，时针和分针所组成的角是（ ）度，是（ ）角。推测：下午3：30，时针和分针所组成的角是（ ）角，晚上8时整，时针和分针所组成的角是（ ）角。 12．按要求分类。 （1）只含有互相平行线段的字母有： 。 （2）只含有互相垂直线段的字母有： 。 （3）既含有互相平行线段又含有互相垂直线段的字母有： 。 （4）既不含互相平行线段又不含互相垂直线段的字母有： 。 13．根据下面的道路图，写出一组：（ ）路与（ ）路互相垂直。写出一组：（ ）路与（ ）路互相平行。 14．把一张圆形的纸连续对折3次，每次得到的角分别是（ ）度、（ ）度、（ ）度。 15．下图是由a、b、c三条直线相交而成，仔细观察：直线（ ）和直线（ ）互相垂直，∠2＝（ ）°。 16．在图中找出满足条件的一组直线。（填字母） 直线（ ）和直线（ ）互相平行；直线（ ）和直线（ ）互相垂直；直线（ ）和直线（ ）相交但不垂直。 17．笑笑房间的油画挂歪了，于是她将挂画两根绳子的长度（如图所示）调成一样长后，画就正了。这一现象可以说明什么数学道理？请写出来（ ）。 18．如图，从五和大道有4条路通往乐乐家，长度分别约是300米，320米，510米和620米，根据如图可以判断线路②的长度约是（ ）米。 19．倒车镜和后视镜能帮助司机观察。如图，司机能观察到汽车后方的角度大约为（ ）°。 20．“化繁为简寻找规律”是解决问题常用的思考方法。 （1）数一数，填一填。 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 （ ） （ ） （ ） （ ） （2）算一算：6条直线两两相交时最多有（ ）个交点； （3）推一推：10条直线两两相交时最多有（ ）个交点。 二、选择题 21．如图，一共有（    ）个角。 A．3 B．4 C．6 22．钟表从7：00走到8：00，时针所转的角是（    ），分针所转的角是（    ）。（    ） A．锐角；周角 B．直角；钝角 C．钝角；周角 D．平角；直角 23．将一张正方形纸按照下图的方式对折，展开后两条折痕（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不互相垂直 24．用一个放大10倍的放大镜看一个5°的角，这个角的大小是（    ）。 A．5° B．15° C．50° 25．下面钟面时针与分针形成的角中，（    ）形成的是钝角。 A． B． C． D． 26．图中角的度数是（    ）。 A．60° B．140° C．70° D．40° 27．下面的角的测量方法正确的是（    ）。 A．B．C． 28．图中一共有（    ）个含有“☆”的角。 A．1 B．6 C．10 29．数学课上，老师让同学们观察一幅道路图（如图）。下面叙述一定不正确的是（    ）。 A．道路1和道路2互相平行 B．道路1和道路5互相垂直 C．道路3和道路5互相垂直 30．在78°、98°、178°、180°、90°这五个角度中，是钝角的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 三、操作题 31．画一画。 （1）画出直线AB； （2）画出射线CB。 32．操作。 （1）请你画出从教学楼到实验室最近的路。 （2）请你画出从教学楼到操场最近的路。 33．在下面三幅图中分别增加一条线段，使它们分别满足相应的要求。 34．在点子图上分别画出一个锐角、直角、钝角。 35．用一副三角尺分别画出15°和105°的角。 四、解答题 36．不在同一直线上的A、B、C三个点，经过其中的两个点画直线，最多可以画多少条？如果再增加一个D点，最多可以画多少条？（先画一画，再回答） 37．做一做，说一说。 用一个图钉把一张硬纸条钉在木板上，硬纸条可以转动吗？过一点可以画出多少条直线？ 38．王阿姨计划在新华小区和公路L附近开一家早餐店，现有A、B、C三家店铺可以出租，经过调研，这个小区的住户多数为学生和上班族，如何选址才能吸引客人？请你在图上画一画，并说明你这样设计的道理。 39．四个小朋友做抢椅子的游戏，他们的位置如下，谁最有可能先坐在椅子上？你能说出理由吗？ 40．绿灯期间，兰兰和芳芳分别从公路两边走斑马线横向穿过笔直的公路（如图），她们走过的路程一样长吗？请说说你的理由。 41．如图。 （1）开发区要修两条路，其中一条路与小河平行，另一条路通向河边，并且距小河最近，怎样修？请在图中画出来。 （2）王大爷到开发区的路有3条，王大爷去开发区走那条路最近？为什么？ 42．红红晚上开始做作业时，钟面上时针在7和8之间，分针刚好指向3，完成作业时，分针刚好走了1个平角。红红是在什么时候完成作业的？ 43．画出下面钟表中的时针，使时针与分针形成各种角，并在括号里写出时间。 44．找一找，说一说。 （1）在图中分别找出一条线段、直线、射线。 （2）在图中分别找出一组互相平行、互相垂直的线。 （3）在图中分别找出两个锐角、直角、钝角、平角。 45．如今小学生打手游、刷短视频等现象越来越严重，导致视力下降。 （1）小学生要养成健康使用手机的习惯，还要养成良好书写姿势。书写时视线与书本的夹角保持在45°～70°间减轻眼睛负担，请量出图中小女孩视线与书本之间夹角的度数是（    ）°。 （2）某手机月租套餐含10G（即10240MB）流量，超出10G部分另行收费。小红的爸爸购买了该套餐，他每天用手机上网30分，平均每分消耗流量约13MB，1个月（30天）消耗的流量会超过套餐包含的流量吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编者的话 寒假将至，首先祝愿每一位同学都能度过一个愉快而充实的假期！同时，也恭喜你们在本学期里通过辛勤的努力，取得了令人满意的成绩。在学习的过程中，你们不仅积累了丰富的知识，也逐步提升了自我学习和探究的能力。希望你们能够继续保持这种积极向上的学习态度，不断追求卓越。 本套资料是我们专为同学们寒假复习而精心准备的。它的目的在于帮助你们查漏补缺，温故而知新。我们希望通过全面的知识点回顾，让你们对所学知识有更深入的理解和掌握；通过对易错点的逐个剖析，让你们在今后的学习中避免再犯同样的错误；通过强化练习常考易错真题，提高你们应对考试的能力。 资料的解析思路力求通俗易懂，旨在帮助你们更好地理解知识点，提升学习效果。希望同学们能够充分利用这套资料，认真复习，为新学期打下更加坚实的基础！ 2025年四年级数学寒假专项提升 第05讲 线与角 （15个知识点+7个易错点+45题强化练） 1、线段、射线和直线的认识。 线段、直线和射线都是直的；线段、直线和射线端点个数不同，延伸情况也不同；只有线段可以测量，射线、直线都不可以测量。 2、用字母表示线段、射线、直线。 线段有两个端点，有两种读法；射线有一个端点，只有一种读法（从端点读起）；直线没有端点，直线用两个大写字母表示时有两种读法，用一个小写字母表示时有一种读法 3、线段的基本性质和两点之间的距离。 两点之间所有连线中线段最短，线段的长度就是两点之间的距离。 4、认识相交和垂直。 判断平面内两条直线是否相交，只要将两条直线延长，如果能相较于一点，就说明这两条直线的位置关系是相交。 5、认识垂直。 同一平面内的两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直 6、垂线的画法。 利用三角尺画垂线的方法：先画一条直线，再使三角尺的一条直角边与这条直线重合，沿着另一条直角边再画一条直线，这时所画的两条直线互相垂直。 7、认识平行线。 在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线 8、平行线的画法。 用一副三角尺或用直尺和三角尺画平行线的方法： （1）先把左边直尺（或三角尺）固定，右边三角尺的一条直角边靠紧直尺（或三角尺的一条边）； （2）沿右边三角尺另一条直角边画一条直线，然后平移右边三角尺； （3）再沿右边三角尺最初画直线的那条直角边最后画一条直线，平移前后画的两条直线就是一组平行线。 9、角与两边的关系。 角的大小与两条边的长短无关，与角的两条边的开口的大小有关，开口越大，角就越大，开口越小，角就越小 10、认识平角和周角。 当角的两条边旋转成一条直线时，所形成的角角平角；当角的两条边经过旋转重合在一起时，所形成的角叫周角 11、锐角、直角、钝角、平角、周角的关系。 锐角<直角<钝角<平角<周角。 12、测量角的方法及认识角的测量单位。 角的计量单位是“度”，用符号“。”表示。将圆平均分成360份，其中的1份所对的角的大小叫做1度，记作1。。 13、认识量角器 测量角的一般工具是量角器。 14、用量角器测量角的度数 用量角器测量角的度数时，其要领可概括为“两个重合，一个注意”： 点点重合，即量角器的中心点与角的顶点重合； 线边重合，即量角器的零刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的刻度（零刻度线所在的圈上的刻度）就是这个角的度数； 一个注意：内圈刻度与外圈刻度不能混淆，要根据零刻度线来确定 15、用量角器画指定度数的角 用量角器画角的方法： 画：画一条射线 对：使量角器的中心点与射线的端点重合，零刻度线与射线重合； 点：对照零刻度线所在的那一圈找准度数点一个点； 连：以画出的射线的端点为端点，经过刚画的点，再画一条射线； 标：标出具体的度数。 易错点1：误认为直线是有长度的。 判断：一条直线长12厘米。 【错误答案】正确 【错解分析】错在认为直线有长度,混淆了直线与线段的概念。直线可以向两端无限延伸,无法测量出长度,线段可以测量出长度。 【正确解答】错误 易错点2：混淆了线段、射线和直线的概念。 判断：除了直线，线段射线都可以测量出长度。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】混淆了线段、射线和直线的概念。 直线可以向两个方向无限延伸，无法测量出长度；射线可以向一个方向无限延伸，也无法测量出长度。 【正确答案】× 易错点3：误认为垂线是孤立存在的。 如下图所示，因为直线a与直线6互相垂直，所以直线a是垂线,直线b也是垂线。 【错误答案】正确 【错解分析】错在对垂线的概念理解片面。两条直线互相垂直,垂直是两条直线 之间的关系,每一条直线都可以叫作另一条直线的垂线,不能孤立地说某一条直线是垂线。直线a与直线b互相垂直，可以说直线a是直线b的垂线,也可以说直线b是直线a的垂线。 【正确解答】错误 易错点4：误认为只要不相交的两条直线就互相平行。 判断:平行线就是不相交的两条直线。 【错误答案】正确 【错解分析】平行线的判断要满足两点,①在同一平面内。②直线不相交。这句话只强调了不相交,而没有强调在同一平面内。正确的叙述是平行线就是在同一平面内不相交的两条直线。 【正确解答】错误 易错点5：误认为两个直角就是-一个平角。 判断:两个直角就是一个平角。 【错误答案】正确 【错解分析】两个直角只有拼在一起才可能成为一个平角,独立的两个直角不是平角。错误解答错在表述不够严密,正确的表述应该是两个直角可以拼成一个平角。 【正确解答】错误 易错点6：角的度量单位与度的符号相混淆。 判断:角的度量单位是“°” 【错误答案】正确 【错解分析】把一个圆平均分成360份,其中的1份所对的角的大小叫作1度(记作:1°),通常用1°作为角的度量单位,因此角的度量单位不是“。”,而是1°。 【正确解答】错误 易错点7：忽略了三角尺上的角的特殊性。 判断:任何度数的角都可以用三角尺画出来。 【错误答案】正确 【错解分析】错在不清楚三角尺画角的局限性。三角尺只能画一些特殊度数的角,而量角器可以画任何度数的角。正确的表述是任何度数的角都可以用量角器画出来。 【正确解答】错误 一、填空题 1．3时整，钟面上的时针与分针成（ ）角，6时整，钟面上的时针与分针成（ ）角。 【分析】根据角的分类，直角＝90°，平角＝180°，周角＝360°；已知钟面上有12个大格，把钟面看作一个周角共360°，12×30°＝360°，则每个大格是30°；3时整，钟面上的时针指着3，分针指着12，时针与分针刚好包含3个大格，即30°×3＝90°，即成直角；6时整，时针指着6，分针指着12，时针与分针包含6个大格，即30°×6＝180°，且时针与分针成一条直线，即成平角。据此解答。 【解答】根据分析可知： 3时整，钟面上的时针与分针成直角，6时整，钟面上的时针与分针成平角。 2．如图∠1＝150°，∠2＝（ ），∠3＝（ ），∠4＝（ ）。 【分析】本题考查了角的计算，已知∠1的度数，∠1＋∠2是平角，平角是180°，知道∠1的度数，即可求出∠2的度数；∠1＋∠4也是平角，继而求出∠4的度数；∠4＋∠3是平角，∠2＋∠3也是平角，根据上一步求出的∠2和∠4的度数，即可选择一种求出∠3的度数。 【解答】∠2＝180°－∠1 ＝180°－150° ＝30° ∠4＝180°－∠1 ＝180°－150° ＝30° ∠3＝180°－∠4 ＝180°－30° ＝150° ∠1＝150°，∠2＝30°，∠3＝150°，∠4＝30°。 3．把一张圆形纸片对折第一次得到的角是（ ）角，对折第二次得到的角是（ ）°，对折第三次得到的角是（ ）°。 【分析】把一张圆形纸片对折一次，就是把一个周角平均分成两份，360°÷2＝180°，那么就得到了一个平角。然后将这张纸片再对折第二次，也就是把这个平角平均分成两份，180°÷2＝90°，那么就得到了一个直角。最后将这张纸片再对折第三次，也就是把这个直角平均分成两份，90°÷2＝45°，那么就得到了一个45°的角。 【解答】360°÷2＝180° 180°÷2＝90° 90°÷2＝45° 把一张圆形纸片对折第一次得到的角是平角，对折第二次得到的角是90°，对折第三次得到的角是45°。 4．下面两个角都是利用一副三角尺画出的，其中∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【分析】等腰三角尺中三个角度数分别为：90°、45°、45°，直角三角尺中三个角度数分别为：90°、30°、60°；观察发现图1是由等腰三角尺中45°的角与直角三角尺中30°的角拼成的，用减法可以计算出∠1的度数；图2是由等腰三角尺中45°的角与直角三角尺中60°的角拼成的，用加法可以计算出∠2的度数；据此解答。 【解答】根据分析： 45°－30°＝15° 45°＋60°＝105° 所以∠1＝15°，∠2＝105°。 5．在下图的空托盘上放（ ）千克的物品，指针将顺时针旋转90°。 【分析】本题考查了对角度认识，首先要会看托盘的指针，每一个刻度代表一千克，如果指针顺时针旋转90°，那么指针将指向刻度2，即2千克，以此答题即可。 【解答】在下图的空托盘上放2千克的物品，指针将顺时针旋转90°。 6．巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日晚上7时半（北京时间27日凌晨1时30分）在塞纳河上拉开帷幕，此时表示巴黎时间的钟面上时针和分针所形成的较小的角是（ ）角，表示北京时间的钟面上时针和分针所形成的较小的角是（ ）角。 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°；巴黎时间晚上7时半，时针指向7和8中间，分针指向6，它们之间所形成的较小的角一个半大格，那么夹角大于1×30°＝30°，小于2×30°＝60°；北京时间是凌晨1时30分，时针指向1和2中间，分针指向6，它们之间所形成的较小的角4个半大格，那么夹角大于4×30°＝120°，小于5×30°＝150°；最后根据小于90°的角是锐角，等于90°的角叫直角，等于180°的角叫平角，大于90°小于180°的角是钝角判断即可。 【解答】巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日晚上7时半（北京时间27日凌晨1时30分）在塞纳河上拉开帷幕，此时表示巴黎时间的钟面上时针和分针所形成的较小的角是锐角，表示北京时间的钟面上时针和分针所形成的较小的角是钝角。 7．如图，钟面上时针和分针所组成的较小夹角是（ ）角，是（ ）°；当钟面上时针和分针成平角时，则正好是（ ）时；若时针和分针成平角后，分针再转动一周，此时时针和分针所组成较小夹角是（ ）°。 【分析】如图，钟面上一圈是360°，共被分成12个大格，每个大格是。钟面上是3点整，时针和分针之间有3个大格，即，所组成的较小夹角是直角，直角等于90°。当钟面上时针和分针成平角时，也就是时针和分针成180°角，此时钟面上的时间是6时；若时针和分针成平角后，分针再转动一周，也就是7时。分针转动一周是1小时，时针会走一个大格，即30°，此时时针和分针所组成较小夹角是。 【解答】 如图，钟面上时针和分针所组成的较小夹角是直角，是90°；当钟面上时针和分针成平角时，则正好是6时；若时针和分针成平角后，分针再转动一周，此时时针和分针所组成较小夹角是150°。 8．如图，淘气不小心把刚发下的试卷折了一个角。如果折起来的∠1＝60°，那么，∠2＝（ ）°。 【分析】根据图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是完全一样的可知，2个∠1的度数之和加∠2是180°，据此计算即可。 【解答】180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° 即∠2＝60°。 9．用一个不完整的量角器画直角，如图，这个直角的一条边在量角器外圈60°刻度线上，那么另一条边应该在量角器外圈（ ）刻度线上。 【分析】统一看量角器的外圈度数，用这个直角的一条边在量角器外圈60°刻度线上加上直角的度数90°即可求解。 【解答】根据分析可知：60°＋90°＝150°，所以那么另一条边应该在量角器外圈150刻度线上。 10．下图是朵朵到学校的3条路线，她去学校如果想用最短的时间到达，应该选路线（ ），因为两点之间所有连线中，（ ）最短。 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间，线段最短；据此结合图意进行判断选择即可。 【解答】上图是朵朵到学校的3条路线，她去学校如果想用最短的时间到达，应该选路线②，因为两点之间所有连线中，线段最短。 11．如图，下午3时整，时针和分针所组成的角是（ ）度，是（ ）角。推测：下午3：30，时针和分针所组成的角是（ ）角，晚上8时整，时针和分针所组成的角是（ ）角。 【分析】钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12大格，每一大格是30°，数出各时刻时针与分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即为时针和分针所组成的角的度数。 下午3时整，时针和分针相差3大格，用30°×3＝90°，即为时针和分针所组成的角，等于90°的角是直角； 下午3：30时，时针指向3和4之间，分针指向6，如图，此时时针和分针相差不到3大格，所以肯定小于90°，小于90°的角是锐角； 晚上8时整，如图，8到12有4个大格，也就是30°×4＝120°，大于90°的角是钝角，据此解题。 【解答】如图，下午3时整，时针和分针所组成的角是90度，是直角。推测：下午3：30，时针和分针所组成的角是锐角，晚上8时整，时针和分针所组成的角是钝角。 12．按要求分类。 （1）只含有互相平行线段的字母有： 。 （2）只含有互相垂直线段的字母有： 。 （3）既含有互相平行线段又含有互相垂直线段的字母有： 。 （4）既不含互相平行线段又不含互相垂直线段的字母有： 。 【分析】同一平面内永不相交的两条直线互相平行；据此判断含有平行线段的字母有：F、H、Z、N；当两条直线相交所成的角是90°时，这两条直线互相垂直；由此可知含有互相垂直线段的字母有：F、L、H、T；据此再进一步解答。 【解答】（1）只含有互相平行线段的字母有：Z、N。 （2）只含有互相垂直线段的字母有：L、T。 （3）既含有互相平行线段又含有互相垂直线段的字母有：F、H。 （4）既不含互相平行线段又不含互相垂直线段的字母有：A、V。 13．根据下面的道路图，写出一组：（ ）路与（ ）路互相垂直。写出一组：（ ）路与（ ）路互相平行。 【分析】在同一平面内，两条永不相交的直线叫做平行线，如果同一平面内的这样的两条直线不平行，说明它们一定相交。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。据此找出互相平行的路和互相垂直的路即可（答案不唯一）。 【解答】根据下面的道路图，写出一组：（北京）路与（南京）路互相垂直。写出一组：（北京）路与（西安）路互相平行。（答案不唯一） 14．把一张圆形的纸连续对折3次，每次得到的角分别是（ ）度、（ ）度、（ ）度。 【分析】周角等于360°，平角等于180°，直角等于90°。圆角等于360°，对折后得到的角是它的一半，即360°÷2＝180°；平角对折后得到的角是平角的一半，即180°÷2＝90°；直角对折后得到的角是直角的一半，即90°÷2＝45°，据此即可解答。 【解答】360°÷2＝180° 180°÷2＝90° 90°÷2＝45° 所以把一张圆形的纸连续对折3次，每次得到的角分别是180度、90度、45 度。 15．下图是由a、b、c三条直线相交而成，仔细观察：直线（ ）和直线（ ）互相垂直，∠2＝（ ）°。 【分析】∠1左边的角是60°，右边的角是30°，这3个角的和是1个平角，1平角＝180°，用180°减60°，再减30°即可求出∠1的度数是90°，由此可知直线a和直线b互相垂直，那么∠2与60°的角组成的角是直角，1直角＝90°，用90°减60°即可求出∠2的度数。 【解答】∠1＝180°－60°－30°＝120°－30°＝90°； ∠2＝90°－60°＝30° 下图是由a、b、c三条直线相交而成，仔细观察：直线a和直线b互相垂直，∠2＝30°。 16．在图中找出满足条件的一组直线。（填字母） 直线（ ）和直线（ ）互相平行；直线（ ）和直线（ ）互相垂直；直线（ ）和直线（ ）相交但不垂直。 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。据此解答。 【解答】由图可知，直线c和直线d不相交，所以它们互相平行；直线a和直线c相交成直角，直线a和直线d相交成直角，所以它们互相垂直；直线b和直线c相交但不成直角，直线b和直线d相交但不成直角，所以它们相交但不垂直。 直线c和直线d互相平行；直线a和直线c互相垂直；直线b和直线c相交但不垂直。（答案不唯一） 17．笑笑房间的油画挂歪了，于是她将挂画两根绳子的长度（如图所示）调成一样长后，画就正了。这一现象可以说明什么数学道理？请写出来（ ）。 【分析】在两平行线之间可以画无数条垂直线段，所有的垂线段的长度都相等，这些垂直的线段的长度又叫做这两条平行线之间的距离。根据题意，笑笑运用了平行线之间的距离处处相等的道理。她将挂画两根绳子的长度调成一样长后，画就正了。据此解答即可。 【解答】笑笑房间的油画挂歪了，于是她将挂画两根绳子的长度（如图所示）调成一样长后，画就正了。笑笑运用了平行线之间的距离处处相等的道理。 18．如图，从五和大道有4条路通往乐乐家，长度分别约是300米，320米，510米和620米，根据如图可以判断线路②的长度约是（ ）米。 【分析】直线外一点到直线上的连线，垂线段最短。由图可知，线路②是乐乐家到五和大道的垂线，此路线是最短的。据此解答。 【解答】300米＜320米＜510米＜620米 根据图形可以判断线路②的长度约是300米。 19．倒车镜和后视镜能帮助司机观察。如图，司机能观察到汽车后方的角度大约为（ ）°。 【分析】根据题意可知，360°减去汽车前方观测到的最大角度，再减去汽车左侧观察到的角度以及汽车右侧观察到的角度，即可求出汽车后方观察到的角度。 【解答】360°－180°－40°－40° ＝180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 所以司机能观察到汽车后方的角度大约为100°。 20．“化繁为简寻找规律”是解决问题常用的思考方法。 （1）数一数，填一填。 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 （ ） （ ） （ ） （ ） （2）算一算：6条直线两两相交时最多有（ ）个交点； （3）推一推：10条直线两两相交时最多有（ ）个交点。 【分析】2条直线相交，最多有1个交点。 3条直线两两相交，最多增加2个交点，最多有3个交点。1＋2＝3（个）。 4条直线两两相交，最多增加3个交点，最多有6个交点。1＋2＋3＝6（个）。 5条直线两两相交，最多增加4个交点，最多有10个交点。1＋2＋3＋4＝10（个）。 6条直线两两相交，最多增加5个交点，最多有15个交点。1＋2＋3＋4＋5＝15（个）。 …… 根据以上规律可知，n条直线两两相交，最多有1＋2＋3＋4＋……＋（n－1）个交点。 【解答】（1） 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 1 3 6 10 （2）1＋2＋3＋4＋5＝15（个） 6条直线两两相交时最多有15个交点。 （3）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 ＝3＋7＋11＋15＋9 ＝10＋26＋9 ＝36＋9 ＝45（个） 10条直线两两相交时最多有45个交点。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 二、选择题 21．如图，一共有（    ）个角。 A．3 B．4 C．6 【分析】观察图形可知，单独的角有3个，由两个单独的角组成的角有2个，由三个单独的角组成的角有1个，据此解答。 【解答】3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 图中一共有6个角。 故答案为：C 22．钟表从7：00走到8：00，时针所转的角是（    ），分针所转的角是（    ）。（    ） A．锐角；周角 B．直角；钝角 C．钝角；周角 D．平角；直角 【分析】此题实际上考查的是学生对钟面的认识，以及有关钟面的计算问题。钟面上一周是360°，被分成了12个大格，每格是360°÷12＝30°，从7点到8点，时针转了一个大格，也就是时针转的角为30°，根据大于0°小于90°的角是锐角判断即可；分针均指向12，在这个过程中，分针转了一圈，也就是分针走了12大格，所转的角是周角，据此解答即可。 【解答】360°÷12＝30° 30°×1＝30°   30°90° 30°×12＝360° 钟表从7：00走到8：00，时针所转的角是锐角，分针所转的角是周角。 故答案为：A 23．将一张正方形纸按照下图的方式对折，展开后两条折痕（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不互相垂直 【分析】同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况；平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足；据此解答。 【解答】根据分析：将一张正方形纸按照图中的方式对折，展开后两条折痕互相垂直。 故答案为：B 24．用一个放大10倍的放大镜看一个5°的角，这个角的大小是（    ）。 A．5° B．15° C．50° 【分析】角的大小与角两条边的长短无关，只与角的开叉大小有关，开叉越大，角就越大，反之越小，据此即可解答。 【解答】用一个放大10倍的放大镜看一个5°的角，看到的角的两边比原角的长，但开叉的大小没有变，所以看到的角的度数还是5°。 故答案为：A 25．下面钟面时针与分针形成的角中，（    ）形成的是钝角。 A． B． C． D． 【分析】锐角大于0小于 90°、直角等于90°、钝角大于90°小于180°、平角的度数为 180°，据此解答即可。 【解答】A．观察图可以发现，分针指向12，时针指向3，所形成的角为90°，为直角，不符合题意。 B．观察图可以发现，分针指向12，时针指向4，所形成的角大于90°，为钝角，符合题意。 C．观察图可以发现，分针指向12，时针指向2，所形成的角小于90°，为锐角，不符合题意。 D．观察图可以发现，分针指向12，时针指向6，所形成的角为180°，为平角，不符合题意。 故答案为：B 26．图中角的度数是（    ）。 A．60° B．140° C．70° D．40° 【分析】观察图可知，角的两条边对应的度数分别是30°和100°，将两条边对应的度数相减即可求出这个角的度数，据此可解此题。 【解答】100°－30°＝70° 由此可知，图中角的度数是70°。 故答案为：C 27．下面的角的测量方法正确的是（    ）。 A．B．C． 【分析】本题主要考查角的度量，注意正确使用量角器。角的度量：角的顶点和量角器的中心点重合，0刻度线和一条边重合，另一条边所指的度数即为所求。 【解答】A．角的顶点没有和量角器的中心的重合； B．角的顶点和量角器的中心重合，一条边和内圈0刻度线对齐，另一条边和内圈50°刻度线重合，∠1度数是50°； C．角的顶点和量角器的中心重合，一条边和内圈0刻度线对齐，另一条边和内圈50°刻度线重合，∠1度数是50°，不是130°； 度量方法正确。 所以角的测量方法正确的是B。 故答案为：B 28．图中一共有（    ）个含有“☆”的角。 A．1 B．6 C．10 【分析】单独一个角含“☆”的角有∠BOC；两个角拼成角含“☆”的角有∠AOC，∠BOD；三个角拼成角含“☆”的角有∠AOD，∠BOE，有四个角拼成角含“☆”的角有∠AOE。个数相加即为所求。 【解答】1＋2＋2＋1＝6（个） 图中一共有6个含有“☆”的角。 故答案为：B 29．数学课上，老师让同学们观察一幅道路图（如图）。下面叙述一定不正确的是（    ）。 A．道路1和道路2互相平行 B．道路1和道路5互相垂直 C．道路3和道路5互相垂直 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；据此解答即可。 【解答】A．道路1和道路2互相平行的两条道路，叙述正确； B．道路1和道路5互相垂直的两条道路，叙述正确； C．道路3和道路5是相交的两条道路，而不是互相垂直的两条道路，叙述不正确。 故答案为：C 30．在78°、98°、178°、180°、90°这五个角度中，是钝角的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】钝角是大于90°小于180°的角，锐角是小于90°的角，平角等于180°，直角等于90°，据此选择即可。 【解答】78°＜90°是锐角，90°是直角，180°是平角； 90°＜98°＜180°，90°＜178°＜180° 是钝角的是98°和178°，有两个。 故答案为：B 三、操作题 31．画一画。 （1）画出直线AB； （2）画出射线CB。 【分析】（1）直线没有端点，是无限长的，因此过点A和点B用直尺画一条直的线，即可得到直线AB。 （2）射线只有一个端点，因此以点C为端点过B点画一条直的线，即可得到射线CB。 【解答】（1）、（2）画图如下： 32．操作。 （1）请你画出从教学楼到实验室最近的路。 （2）请你画出从教学楼到操场最近的路。 【分析】（1）根据两点之间线段最短，将实验室与教学楼用直尺进行连线即可得到教学楼到实验室最近的路； （2）点到直线之间，垂线段最短，因此，过教学楼一点向操场的一边作垂线与操场一边相交的点即为垂足，教学楼与垂足之间的距离即为教学楼到操场最近的路。 【解答】（1）教学楼到实验室最近的路如下图： （2）教学楼到操场最近的路如下图： 33．在下面三幅图中分别增加一条线段，使它们分别满足相应的要求。 【分析】此题画法不唯一。先任意用三角尺的直角在图中画出一条线段，再用直角比一比，数一数，看增加了几个直角，然后移动它。如图见详解过程，最先画出一条线段增加了4个直角，那么，移动这条线段，向图形的顶点靠拢，减少直角的个数，增加了3个直角（图见详解），增加了2个直角（图见详解）。 【解答】如图所示： （答案不唯一） 34．在点子图上分别画出一个锐角、直角、钝角。 【分析】小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，依此画图即可。 【解答】根据分析，画图如下： 【点评】熟练掌握锐角、直角、钝角的特点，是解答此题的关键。 35．用一副三角尺分别画出15°和105°的角。 【分析】一副三角板，一个三角板的角有30°、60°、90°，等腰直角三角板的角有45°、45°、90°。 15°＝45°－30°，用三角尺上45°的角，画一个角，再在这个画的45°角的内部，用三角尺上30°的角同45°角的顶点重合，一条边重合，画出30°的角，则这两个角相减的角就是15°。 105°＝60°＋45°，用三角尺上45°的角，画一个角，再在这个画的45°角的外部，用三角尺上60°的角同45°角的顶点重合，一条边重合，画出60°的角，则这两个角拼成的角就是105°。 【解答】 四、解答题 36．不在同一直线上的A、B、C三个点，经过其中的两个点画直线，最多可以画多少条？如果再增加一个D点，最多可以画多少条？（先画一画，再回答） 【分析】A点和B点之间可以画一条直线，A点和C点之间可以画一条直线，B点和C点之间可以画一条直线，共3条直线；如果增加一个D点，D点不在直线AB、AC和BC上，那么A点与B点之间可以画一条直线，A点与C点之间可以画一条直线，A点与D点之间可以画一条直线，B点与C点之间可以画一条直线，B点与D点之间可以画一条直线，C点与D点之间可以画一条直线，共6条直线；据此解题即可。 【解答】如图所示： 不在同一直线上的A、B、C三个点，经过其中的两个点画直线，最多可以画3条。如果再增加一个D点，最多可以画6条。 37．做一做，说一说。 用一个图钉把一张硬纸条钉在木板上，硬纸条可以转动吗？过一点可以画出多少条直线？ 【分析】在平面上，过一点可以画无数条直线，不能确定一条直线；只有过两点才能确定一条直线，据此解答。 【解答】用一个图钉把一张硬纸条钉在木板上，硬纸条可以转动，过一点可以画无数条直线。 38．王阿姨计划在新华小区和公路L附近开一家早餐店，现有A、B、C三家店铺可以出租，经过调研，这个小区的住户多数为学生和上班族，如何选址才能吸引客人？请你在图上画一画，并说明你这样设计的道理。 【分析】由题意可知，新华小区的住户多数为学生和上班族，不管是上学的学生，还是上班族的住户，上学或上班时通常都会选择路线较近、且“顺路”的地方吃个早餐，因此连接小区经过A、B、C到公交站之间的线段，根据直线外一点到直线的垂线段最短，而B点到公交站的距离正好是B点到公交站的垂线段，据此画出合适的路线并确定最佳的店铺。 【解答】 由分析可得：选择B店铺；理由是：根据直线外一点到直线的垂线段最短，而B点到公交站的距离正好是B点到公路L的垂线段，距离最短。 39．四个小朋友做抢椅子的游戏，他们的位置如下，谁最有可能先坐在椅子上？你能说出理由吗？ 【分析】由题意得，可以把四个小朋友站的位置看成一条直线，椅子看成一点，分别作出四个小朋友到椅子的距离，然后比较他们到椅子的距离即可。 【解答】根据题意作图如下： 根据“直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短”可知，毛毛到椅子的距离最近。 答：毛毛最有可能先坐在椅子上。因为他距离椅子最近。 40．绿灯期间，兰兰和芳芳分别从公路两边走斑马线横向穿过笔直的公路（如图），她们走过的路程一样长吗？请说说你的理由。 【分析】由题图可知，笔直的公路的两边相当于一组平行线，兰兰和芳芳走过的距离就是平行线间的距离；再根据两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离，平行线之间的距离处处相等。进行判断即可解答。 【解答】由分析可得，绿灯期间，兰兰和芳芳分别从公路两边走斑马线横向穿过笔直的公路，她们走过的路程一样长；因为平行线之间的距离处处相等。 41．如图。 （1）开发区要修两条路，其中一条路与小河平行，另一条路通向河边，并且距小河最近，怎样修？请在图中画出来。 （2）王大爷到开发区的路有3条，王大爷去开发区走那条路最近？为什么？ 【分析】（1）画出经过开发区这一点与小河平行的直线，就是修建的与小河平行的路。连接点到直线的线段中，垂线段最短，画出经过开发区这一点与小河垂直的线段，即是修建的距小河最近的路。 （2）两点之间的连线中，线段最短。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。 【解答】（1） （2）王大爷去开发区走②路最近，因为两点之间的连线中，线段最短。 42．红红晚上开始做作业时，钟面上时针在7和8之间，分针刚好指向3，完成作业时，分针刚好走了1个平角。红红是在什么时候完成作业的？ 【分析】等于180°的角是平角，钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，6个30°是180°，因此分针刚好走了6个大格，依此根据对钟面指针的认识填空即可。 【解答】6×30°＝180° 3＋6＝9，即此时分针指向数字9；所以红红是在晚上7：45完成作业的。 答：红红是在晚上7：45完成作业的。 43．画出下面钟表中的时针，使时针与分针形成各种角，并在括号里写出时间。 【分析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是360°÷12＝30°，即每两个相邻数字间的夹角是30°，整时时，1时、2时，10时、11时分针与时针的夹角是锐角，3时、9时分针与时针的夹角是直角，4时、5时、7时、8时，分针与时针的夹角是钝角，6时分针与时针的夹角是平角，12时分针与时针的夹角是周角。 【解答】如下图：锐角、直角、钝角（答案不唯一） 2时               3时          5时          6时         12时 【点评】此题是考查钟表的认识，角的认识与分类，属于基础知识，要掌握，如分析所说，答案不唯一。 44．找一找，说一说。 （1）在图中分别找出一条线段、直线、射线。 （2）在图中分别找出一组互相平行、互相垂直的线。 （3）在图中分别找出两个锐角、直角、钝角、平角。 【分析】（1）线段有两个端点且有一定的长度；射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸；直线没有端点，它可以向两端无限延伸。据此解答。 （2）两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线；同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 （3）小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°而小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角。 【解答】（1）答：线段有线段AB线段AF，直线有直线AC，射线有射线BD和射线BF。（答案不唯一） （2）答：互相平行的线有AC∥FD、AF∥CD等；互相垂直的线有AC⊥AF和DF⊥CD。（答案不唯一） （3）答：锐角有∠FBE和∠EBD，直角有∠ABE和∠CBD，钝角有∠ABD和∠CBF，平角有∠ABC和∠FED。（答案不唯一） 45．如今小学生打手游、刷短视频等现象越来越严重，导致视力下降。 （1）小学生要养成健康使用手机的习惯，还要养成良好书写姿势。书写时视线与书本的夹角保持在45°～70°间减轻眼睛负担，请量出图中小女孩视线与书本之间夹角的度数是（    ）°。 （2）某手机月租套餐含10G（即10240MB）流量，超出10G部分另行收费。小红的爸爸购买了该套餐，他每天用手机上网30分，平均每分消耗流量约13MB，1个月（30天）消耗的流量会超过套餐包含的流量吗？ 【分析】（1）使用量角工具量出即可。 （2）根据题意，用小红爸爸每天上网时间乘平均每分钟消耗流量数，再乘30天计算出小红爸爸每月消耗的流量总数，再与月租套餐包含的流量比较大小即可解答。 【解答】（1）测量出小女孩视线与书本之间夹角的度数是50度。 （2）30×13×30 ＝390×30 ＝11700（MB） 11700＞10240 答：1个月（30天）消耗的流量会超过套餐包含的流量。 学科网（北京）股份有限公司 $$