5.3.2函数的极值与最大（小）值（1）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值 1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间的关系： 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增； 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减. 2.利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤： (5) 判断f ′(x)在各区间上的正负，得出函数y=f (x)在定义域内的单调性. (3) 求方程f ′(x)=0的根； (4) 把定义域划分为部分区间，并列成表格； (1) 确定函数的定义域； (2) 求导数f ′(x)； 复习回顾 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减. 如果函数在某些点的导数为，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 新知探究 我们再次来研究前面学习过的高台跳水问题. 观察下图，我们发现，当 t = a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大. 问题1 函数h(t)在此点的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地, 导数的符号有什么变化规律? x y O a b (1) 放大t=a附近的图象, 如图(2)所示. (2) 由图可以看出, h′(a)=0; 在t=a的附近, 当t<a时，函数h(t)单调递增，h′(t)>0; 当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0. 这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0. 新知探究 问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢? 以x=a, b两点为例 追问2：y=f (x)在这些点处的导数值是多少？ f ′(a)=0 f ′(b)=0 追问3：在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？ 在x=a附近 左侧f ′(x)<0, 右侧f ′(x)>0 在x=b附近 左侧f ′(x)>0, 右侧f ′(x)<0 追问4：在这些点附近，函数y=f(x)的单调性有什么规律？ 新知探究 f(x)先增后减 f (x)先减后增 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f (a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点， f (b)叫做函数y=f (x)的极大值； 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值点与极值的定义： 新知探究 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 条件 f '(x0)=0 x0附近左侧f '(x0)>0 x0附近右侧f '(x0)<0 x0附近左侧f '(x0)<0 x0附近右侧f '(x0)>0 x0附近f(x)<f(x0) x0附近f(x)>f(x0) 图像 新知探究 用函数f(x)判断极值点： 先增后减为极大 先减后增为极小 用导函数f '(x)判断极值点： 先正后负为极大 先负后正为极小 思考3：一个函数的极小值一定小于极大值吗？ 思考1：一个函数的极大值或极小值是唯一的吗？上 思考4：极值点可能是区间端点吗？ 不一定 不一定 不可能 思考2：任何一个函数一定有极大值或极小值吗？上述图, 不一定 思考5：若f '(x0)=0，则x0一定是极值点吗？ 不一定 概念辨析 x0是极值点是f '(x0)=0的充分不必要条件. ②极大值和极小值的大小没有必然关系. ③极值点必在区间内部， 区间端点不能作为极值点. 若f ′(x)在点x0的左右两侧符号相同，则f(x0)不是极值． 概念辨析 例5 解： x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞) f′(x) f(x) x y O -2 2 新知应用 如何判断f (x0)是极大值或是极小值？ f (x)<0 y x O x1 a b y=f(x) 极大值点两侧 极小值点两侧 f (x)<0 f (x)>0 f (x)>0 x2 x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) 增 f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0 极大值 减 f′(x) <0 f′(x) =0 增 减 极小值 f′(x) >0 新知应用 用函数f(x)判断极值点： 先增后减为极大 先减后增为极小 用导函数f '(x)判断极值点： 先正后负为极大 先负后正为极小 求可导函数f (x)极值的步骤： （1）确定函数的定义域 （2） 求导数f ′(x)； （3）求方程f ′(x)=0的根 （4）由f ′(x)在方程f ′(x)=0的根左右的符号， 来判断f (x)在这个根处取极值的情况： 如果左正右负（左增右减）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（左减右增）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； 求导—求临界点—列表—求极值 方法归纳 例1.已知函数，其导函数的图象如图所示，则 ( ). A.在上为减函数 B.在处取极小值 C.在上为减函数 D.在处取极大值 解：由导函数的图象可知：时，； 时，， 因此在，上为增函数，在，上为减函数， ∴函数在处取得极大值，处取得极小值，处取得极大值 C 新知探究 1. 函数 的导函数 的图象如图所示，试找出函数 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. O a b x y x1 x2 x3 x4 x5 x6 判断函数的极值的充要条件： ① ； ② 在 两侧异号； 函数 的极值点有：和 ，其中极大值点为 ，极小值点为 注意：虽然，但 在 两侧同号，故不是极值. 课本练习P92 课后练习 14 x f '(x) f(x) ﹣ + ﹣ 0 0 不是极值 极小值 两侧导数是否异号? 减 减 增 新知探究 解： x f′(x) f(x) 课后练习 课本练习P92 解： x (－∞, －3) －3 (－3, 3) 3 (3, ＋∞) f′(x) f(x) 课后练习 课本练习P92 解： x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞) f′(x) f(x) 课后练习 课本练习P92 解： x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, ＋∞) f′(x) f(x) 课后练习 课本练习P92 新知探究 21 （1）函数 极值点：叫做极小值点，叫做极大值点； （2）函数 极值： 叫做极小值， 叫做极大值； （3）极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 函数的极值的充要条件： ① ； ② 在 两侧异号. 函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系. 课后小结 21 例3.已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值. 解：f′(x)＝1－eq \f(a,x)＝eq \f(x－a,x)(x>0)， ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a， 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0， 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， ∴函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值. 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值. $$