第09讲 探索三角形相似的条件（5考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第09讲 探索三角形相似的条件 课程标准 学习目标 1 理解三角形相似的判定定理，包括两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例等判定条件。 2 能熟练运用三角形相似的判定条件进行几何推理、证明三角形相似，并解决相关的计算问题，如求线段长度、角度大小等。 3 培养学生通过观察、实验、猜想、证明等数学活动探索三角形相似条件的能力，以及运用相似三角形知识解决实际问题的能力。 1. 牢记三角形相似的各种判定条件，理解其推导过程和适用范围。 2. 能够准确判断三角形是否相似，熟练运用相似三角形的性质和判定进行几何论证与计算，会构造相似三角形解决复杂几何问题。 3. 体会探索数学定理的乐趣和成就感，提升逻辑思维能力和对几何学习的兴趣。 知识点一、平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 知识点二、由平行判定三角形相似 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 知识点三、由两角关系判定三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似，如图所示： 知识点四、由两边及夹角的关系判定两三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，如图所示： 知识点五、由三边关系判定两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似，如图所示： 题型01 平行线分线段成比例 1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（　　） A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求AE：AC的值． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 2．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若AB＝3BD，CF＝1，则BF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】根据平行线分线段成比例定理，先由DE∥BC得到2，再利用EF∥AB得到2，从而可求出BF的长． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∵AB＝3BD， ∴AD＝2BD， ∴2， ∵EF∥AB， ∴2， ∴BF＝2CF＝2×1＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 3．如图，已知l1∥l2∥l3，如果AB：BC＝2：3，那么等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进而计算判断即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB：BC＝2：3， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 题型02 相似三角形的判定 1．对于相似三角形，下列说法中错误的是（　　） A．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 B．顶角相等的两个等腰三角形一定相似 C．两边成比例的两个三角形一定相似 D．任意两个等边三角形一定相似 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似，正确，本选项不符合题意； B、顶角相等的两个等腰三角形一定相似，正确，本选项不符合题意； C、两边成比例的两个三角形一定相似，错误，本选项符合题意； D、任意两个等边三角形一定相似，正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 2．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【解答】解：A、∵∠ABP＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABP∽△ACB，故A选项正确，不符合题意； B、∵∠APB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ABP∽△ACB，故B选项正确，不符合题意； C、∵，∠A＝∠A， ∴△ABP∽△ACB，故C选项正确，不符合题意； D、当时，无法得到△ABP∽△ACB，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 3．如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD，当AB的长为 　　时，△ACB与△ADC相似． 【分析】首先利用勾股定理求出AC的长，再根据如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分情况讨论即可． 【解答】解：∵AD＝2，CD， ∴AC． 要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有，∴AB＝3； （2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有，∴AB＝3． 即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似． 故答案为：3或3． 【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比． 题型03 网格中的相似三角形 1．图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等， 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 【分析】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断． 【解答】解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°， 而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°， 再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③， 故选：A． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键． 3．如图，△ACD的三个顶点均在1×4的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与△ACD相似（不全等），则这个格点三角形可以是 　 　（写出一个即可）． 【分析】由CD：AC＝AC：CE，∠ACD＝∠ACE，判定△ACD∽△ECA． 【解答】解：这个格点三角形可以是△ECA（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：AC， ∵CD＝1，CE＝2， ∴CD：AC＝1：，AC：CE：2＝1：， ∴CD：AC＝AC：CE， ∵∠ACD＝∠ACE， ∴△ACD∽△ECA． 故答案为：△ECA（答案不唯一）． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法． 题型04 动点中的相似三角形 1．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时△QBP与△ABC相似． A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒 【分析】设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝t cm，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时，△BPQ∽△BAC，即 ；当 时，△BPQ∽△BCA，即 ，然后解方程即可求出答案． 【解答】解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似， 则AP＝t cm，BP＝（4﹣t）cm，BQ＝2t cm， ∵∠PBQ＝∠ABC， ∴当 时，△BPQ∽△BAC， 即 ， 解得：t＝2， 当 时，△BPQ∽△BCA， 即 ， 解得：t＝0.8， 综上所述：经过0.8s或2s秒时，△QBP与△ABC相似， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，准确分析题意列出方程求解是解题的关键． 2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P，Q分别为AB，BC上一个动点，将△PQB沿PQ折叠得到△PQD，点B的对应点是点D，若点D始终在边AC上，当A、P、D为顶点的三角形与△ABC相似时，AP的长为 　　． 【分析】设AP＝x，先利用勾股定理计算出AB＝5，根据折叠的性质得到PD＝PB＝5﹣x，讨论：若∠APD＝90°，如图1，根据相似三角形的判定方法证明△APD∽△ACB，则利用相似比可求出此时AP的长；若∠ADP＝90°，如图2，根据相似三角形的判定方法证明△APD∽△ABC，则利用相似比可求出此时AP的长． 【解答】解：设AP＝x， ∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB5， ∵△PQB沿PQ折叠得到△PQD，点B的对应点是点D， ∴PD＝PB＝5﹣x， 若∠APD＝90°，如图1， ∵∠DAP＝∠BAC，∠APD＝∠C， ∴△APD∽△ACB， ∴，即， 解得x； 若∠ADP＝90°，如图2， ∵∠DAP＝∠BAC，∠ADP＝∠C， ∴△APD∽△ABC， ∴，即， 解得x； 综上所述，AP的长为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质和折叠的性质． 3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从A点出发沿AC向C点运动，速度为每秒2cm，同时点Q从C点出发沿CB向B点运动，速度为每秒1cm，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒． （1）当t为何值时，△PQC的面积为5cm2？ （2）当t为何值时，点P、C、Q组成的三角形与△ABC相似？ 【分析】（1）首先作出高线，由平行线分线段成比例定理得出比例式，由含有t的代数式表示出PD的长度，再根据三角形的面积公式得出即可． （2）根据已知条件需要分类讨论，分两种情况讨论，从而得出比例式，代入即可求出． 【解答】解：（1）如图1中，过点P作PD⊥BC于点D， ∵∠B＝90°， ∴AB∥PD， ∴， ∴PD， ∴S△PQC•CQ•PDt•5， ∴t1＝t2； （3）如图2中，当△PQC∽△ABC时， ∴， ∴， ∴t． 当△PQC∽△BAC 时， ∴， ∴， ∴t， 综上所述，t或时，△PQC与△ABC 相似． 【点评】本题是三角形动点问题，考查了勾股定理，等腰三角形，三角形的面积，相似三角形的性及分类讨论的数学思想，解题关键是能用t表示相关的线段的长度． 1．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（　　） A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C． D． 【分析】由∠BAD＝∠CAE，得到∠EAD＝∠CAB，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断判定即可． 【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，∠BAE＝∠BAE， ∴∠EAD＝∠CAB， A．若添加∠B＝∠D，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意； B．添加∠C＝∠AED，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意； C．添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，故本选项符合题意； D．添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理，灵活运用相似三角形的判定定理判定两三角形相似是解题的关键． 2．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点A、B、C都在横线上，如果线段AB的长为4，那么AC的长是（　　） A．2 B．3 C．6 D．8 【分析】如图，过点A作AF⊥CF于点F，交过点B的平行线于点E，交点A所在直线的邻近平行线于点D，根据题意，AD＝DE＝EF＝h，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【解答】解：如图，过点A作AF⊥CF于点F，交过点B的平行线于点E，交点A所在直线的邻近平行线于点D， 根据题意，AD＝DE＝EF＝h， ∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴AD＝DE＝EF＝h， ∴． 解得AC＝6． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 3．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°， ∴△DEC∽△ABC，故本选项不符合题意； B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B， ∴△CDE∽△CBA，故本选项不符合题意； C、由图形可知，只有∠B＝∠B，不能判断△BDE∽△BAC，故本选项符合题意； D、∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠B＝60°， ∴△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB＝180°﹣45°＝135°， A、C、D图形中的钝角都不等于135°， 由勾股定理得，，AC＝2， 对应的图形B中的边长分别为1和， ∵， ∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 5．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m和直线n分别交l1、l2、l3于点A，B，C，D，E，F，直线m和直线n交于点P．若DE＝2，EF＝4，AB＝4，若BP：CP＝1：3，则CP＝（　　） A．4 B．5 C．7 D．6 【分析】利用平行线分线段成比例定理求出线段BC＝8，再根据BP：CP＝1：3，求出CP可得结论． 【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝4， ∴BC＝8， ∵BP：CP＝1：3， ∴PCBC8＝6． 故选：D． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 6．如图示，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，能判定△ABC∽△ADE的是 　①②③　（请填写序号）． ①∠D＝∠B ②∠C＝∠AED ③ ④ 【分析】根据相似三角形的判定定理的内容即可解答． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE 即：∠BAC＝∠DAE ①若∠D＝∠B，则△ABC∽△ADE（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ②若∠C＝∠AED，则△ABC∽△ADE（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ③若，则△ABC∽△ADE（如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似）； ④，不能判定△ABC∽△ADE； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理的内容是解题关键． 7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AE交l1，l2，l3于点A，C，E，直线BF交l1，l2，l3于点B，D，F．若，BD＝8，则DF的长为 　12　． 【分析】根据平行线分线段成比例定理和比例性质求解即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵，BD＝8， ∴， ∴DF＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理并正确求解是解答的关键． 8．如图所示．已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P的坐标是 　（1，），（1，2）或（1，2）　． 【分析】由题意，P是动点且点P的纵坐标为可知点P在直线y上，当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，b＝2，此时可求得一个符合题意的P的坐标；当Rt△PAO∽Rt△BAP时，由相似三角形对应边成比例可得PA：AB＝OA：PA，即PA2＝AB•OA，由此再计算出符合题意的点P的坐标即可． 【解答】解：∵点P的纵坐标为， ∴点P在直线y上． ①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，b＝2，则P（1，）， ②∵当Rt△PAO∽Rt△BAP时，PA：AB＝OA：PA， ∴PA2＝AB•OA， ∴b﹣1， ∴（b﹣8）2＝48， 解得b＝8±4， ∴P（1，2）或（1，2）， 综上所述，P点的坐标可以是（1，），（1，2）或（1，2）． 故答案为：（1，），（1，2）或（1，2）． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，AC＝7cm，BC＝12cm，动点P，Q分别从点A，C开始沿图中所示方向及速度运动，如果P，Q两动点同时运动，那么经过 　或　秒，以C，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似． 【分析】当时，△CPQ∽△CAB，时，△CPQ∽△CBA，进一步求得结果． 【解答】解：根据题意可知：CP＝AC﹣AP＝（7﹣t）cm，CQ＝2t cm， ∵∠C＝∠C， ∴当时，△CPQ∽△CAB， ∴， ∴t， 当时，△CPQ∽△CBA， ∴， ∴t， 综上所述：t或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是正确分类，列方程求解． 10．如图，△ABC中，BC＝1．若AD1AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝　　；照这样继续下去，D1D2D1B，且D2E2∥BC；D2D3D2B，且D3E3∥BC；…；Dn﹣1DnDn﹣1B，且DnEn∥BC，则DnEn＝　1﹣（）n　（用含n的式子表示）． 【分析】由D1E1∥BC，可得△AD1E1∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得，继而求得D1E1的长，又由D1D2D1B，可得AD2AB，继而求得D2E2的长，同理可求得D3E3的长，则可求得答案． 【解答】解：∵D1E1∥BC， ∴△AD1E1∽△ABC， ∴， ∵BC＝1，AD1AB， ∴D1E1； ∵D1D2D1B， ∴AD2AB， 同理可得：D2E211﹣（）2， D3E31﹣（）3， ∴DnEn＝1﹣（）n． 故答案为：，1﹣（）n． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意得到规律：DnEn＝1﹣（）n是关键． 11．如图所示，在5×8的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠BAC＝　135°　，EF＝　　； （2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论． 【分析】（1）取格点G，连接GB，GA，根据勾股定理得到GB＝AB，GB2+AB2＝AG2，得到△ABG是等腰直角三角形，求出∠BAG＝45°，进而求出∠BAC＝135°根据勾股定理即可求出EF； （2）首先根据勾股定理求出△ABC与△DEF各边长，然后得到，即可证明出△ABC∽△DEF． 【解答】解：（1）如图所示，取格点G，连接GB，GA， 由网格得，点G，A，C三点共线， ∵GB2＝12+22＝5，AB2＝12+22＝5，AG2＝12+32＝10， ∴GB＝AB，GB2+AB2＝AG2， ∴△ABG是等腰直角三角形， ∴∠BAG＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠BAG＝135°， 由勾股定理得，； 故答案为：135°，； （2）根据网格，利用勾股定理得：，DF＝2，， 根据网格，利用勾股定理得：，，BC＝5， ∴， ∴△ABC∽△DEF． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠A＝63°，∠ADE＝47°，∠B＝70°，求证：△ADE∽△ACB． 【分析】根据三角形内角和定理可得∠B＝∠AED，即可证出结论． 【解答】证明：∵∠ADE＝47°，∠A＝63°， ∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣63°﹣47°＝70°， ∵∠B＝70° ∴∠B＝∠AED， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 13．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长． 【分析】根据直线l4、l5被平行线l1，l2，l3所截，截得的对应线段的长度成比例进行解答． 【解答】证明：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， ∴BC＝9， ∴AC＝AB+BC＝6+9＝15． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键． 14．在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F． （1）如图1，点D是BC中点，点F是AD中点，DG∥BE交AC于点G，求证：； （2）如图2，若BD：DC＝1：4，AF：FD＝3：2，求AE：EC的值． 【分析】（1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出AE＝CG＝EG，即可得解； （2）过点D作DH∥BE，利用平行线截线段成比例定理和已知得出CH＝4HE，，代入AE：EC计算即可得解． 【解答】（1）证明：∵DG∥BE，点D是BC中点， ∴CD＝BD， ∴， ∴CG＝EG， ∵点F是AD中点，DG∥BE， ∴AF＝DF， ∴， ∴AE＝EG， ∴AE＝CG＝EG， ∴； （2）解：过点D作DH∥BE交AC于点H， ∵BD：DC＝1：4，DH∥BE， ∴， ∴CH＝4HE， ∵AF：FD＝3：2，DH∥BE， ∴， ∴， ∵， ∴AE：EC的值为． 【点评】本题主要考查了平行线截线段成比例定理，中点的性质等知识点，熟练掌握了平行线截线段成比例定理是解决此题的关键． 15．如图，点B为线段AC上一点，满足∠A＝∠EBD＝∠C＝90°，AE＝1，AB＝BC＝2． （1）求CD长度； （2）求证：△ABE∽△BDE． 【分析】（1）由∠ABE+∠AEB＝90°＝∠ABE+∠CBD，可得∠AEB＝∠CBD，证明△ABE∽△CDB，则，即，计算求解即可； （2）由勾股定理得，，，由，∠A＝∠EBD＝90°，可证结论． 【解答】（1）解：∵∠A＝∠EBD＝∠C＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°＝∠ABE+∠CBD，即∠AEB＝∠CBD， ∴△ABE∽△CDB， ∴，即， 解得，CD＝4， ∴CD的长度为4； （2）证明：由勾股定理得：，， ∴， ∵，∠A＝∠EBD＝90°， ∴△ABE∽△BDE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，PQ的长度等于5cm？ （3）几秒钟后，△PBQ与△ABC相似？ 【分析】（1）设x秒后，△PBQ的面积为4cm2，表示出AP，BQ，BP，根据三角形面积公式表示出△PBQ的面积，令其等于4cm2即可求解； （2）由勾股定理得：BP2+BQ2＝（5cm）2，即可求解； （3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）， 此时AP＝x cm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2x cm， 由，得， 整理得：x2﹣5x+4＝0， 解得：x1＝1，x2＝4（舍）； （2）设经过t秒后，PQ的长度等于5cm， 由PQ2＝BP2+BQ2，得52＝（5﹣t）2+（2t）2， 解得：t1＝0（舍去），t2＝2． 答：2秒后，PQ的长度为5cm； （3）当△BQP∽△BCA时，， 即，解得， 当△BQP∽△BAC时， ， 即， 解得， ∴或． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，勾股定理，相似三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 探索三角形相似的条件 课程标准 学习目标 1 理解三角形相似的判定定理，包括两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例等判定条件。 2 能熟练运用三角形相似的判定条件进行几何推理、证明三角形相似，并解决相关的计算问题，如求线段长度、角度大小等。 3 培养学生通过观察、实验、猜想、证明等数学活动探索三角形相似条件的能力，以及运用相似三角形知识解决实际问题的能力。 1. 牢记三角形相似的各种判定条件，理解其推导过程和适用范围。 2. 能够准确判断三角形是否相似，熟练运用相似三角形的性质和判定进行几何论证与计算，会构造相似三角形解决复杂几何问题。 3. 体会探索数学定理的乐趣和成就感，提升逻辑思维能力和对几何学习的兴趣。 知识点一、平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 知识点二、由平行判定三角形相似 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 知识点三、由两角关系判定三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似，如图所示： 知识点四、由两边及夹角的关系判定两三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，如图所示： 知识点五、由三边关系判定两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似，如图所示： 题型01 平行线分线段成比例 1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（　　） A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3 2．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若AB＝3BD，CF＝1，则BF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，已知l1∥l2∥l3，如果AB：BC＝2：3，那么等于（　　） A． B． C． D． 题型02 相似三角形的判定 1．对于相似三角形，下列说法中错误的是（　　） A．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似 B．顶角相等的两个等腰三角形一定相似 C．两边成比例的两个三角形一定相似 D．任意两个等边三角形一定相似 2．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 3．如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD，当AB的长为 　　时，△ACB与△ADC相似． 题型03 网格中的相似三角形 1．图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图△A1B1C1相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 3．如图，△ACD的三个顶点均在1×4的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与△ACD相似（不全等），则这个格点三角形可以是 　 　（写出一个即可）． 题型04 动点中的相似三角形 1．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时△QBP与△ABC相似． A．2秒 B．4秒 C．2或0.8秒 D．2或4秒 2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P，Q分别为AB，BC上一个动点，将△PQB沿PQ折叠得到△PQD，点B的对应点是点D，若点D始终在边AC上，当A、P、D为顶点的三角形与△ABC相似时，AP的长为 　　． 3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从A点出发沿AC向C点运动，速度为每秒2cm，同时点Q从C点出发沿CB向B点运动，速度为每秒1cm，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒． （1）当t为何值时，△PQC的面积为5cm2？ （2）当t为何值时，点P、C、Q组成的三角形与△ABC相似？ 1．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（　　） A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C． D． 2．如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点A、B、C都在横线上，如果线段AB的长为4，那么AC的长是（　　） A．2 B．3 C．6 D．8 3．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m和直线n分别交l1、l2、l3于点A，B，C，D，E，F，直线m和直线n交于点P．若DE＝2，EF＝4，AB＝4，若BP：CP＝1：3，则CP＝（　　） A．4 B．5 C．7 D．6 6．如图示，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，能判定△ABC∽△ADE的是 　 　（请填写序号）． ①∠D＝∠B ②∠C＝∠AED ③ ④ 7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AE交l1，l2，l3于点A，C，E，直线BF交l1，l2，l3于点B，D，F．若，BD＝8，则DF的长为 　 　． 8．如图所示．已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P的坐标是 　 　． 9．如图，在△ABC中，AC＝7cm，BC＝12cm，动点P，Q分别从点A，C开始沿图中所示方向及速度运动，如果P，Q两动点同时运动，那么经过 　 　秒，以C，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似． 10．如图，△ABC中，BC＝1．若AD1AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝　 　；照这样继续下去，D1D2D1B，且D2E2∥BC；D2D3D2B，且D3E3∥BC；…；Dn﹣1DnDn﹣1B，且DnEn∥BC，则DnEn＝　 　（用含n的式子表示）． 11．如图所示，在5×8的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠BAC＝　 　，EF＝　 　； （2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论． 12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠A＝63°，∠ADE＝47°，∠B＝70°，求证：△ADE∽△ACB． 13．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长． 14．在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F． （1）如图1，点D是BC中点，点F是AD中点，DG∥BE交AC于点G，求证：； （2）如图2，若BD：DC＝1：4，AF：FD＝3：2，求AE：EC的值． 15．如图，点B为线段AC上一点，满足∠A＝∠EBD＝∠C＝90°，AE＝1，AB＝BC＝2． （1）求CD长度； （2）求证：△ABE∽△BDE． 16．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，PQ的长度等于5cm？ （3）几秒钟后，△PBQ与△ABC相似？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$