第二单元 4.约分、通分

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二 分数 4.约分、通分 最简分数 一、基础知识讲解 1.最简分数的定义 分子和分母只有公因数 1，像这样的分数叫做最简分数。 2.判断最简分数的方法 分子和分母只有公因数 1 是判断一个数是否是最简分数的标准。如 2 3 是最简分数，分子 2 和 分母 3只有公因数 1。 二、考法技法提炼 考法：判断分数是不是最简分数。 解题方法：判断分数是否是最简分数，就看分子和分母是否只有公因数 1。 例题：判断下面的分数是（√）否（×）为最简分数。 4 6 （ ） 3 13 （ ） 9 15 （ ） 4 65 （ ） 6 81 （ ） （一）最简分数 （二）约分的认识及应用 （三）通分的认识及应用 （四）异分母异分子分数的大小比较 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【答案】× √ × √ × 【分析】根据最简分数的定义解题。 【详解】 4 6 ，分子是 4，分母是 6，公因数有 1、2，所以 4 6 不是最简分数； 3 13 ，分子是 3，分 母是 13，公因数只有 1，所以 3 13 是最简分数； 9 15 ，分子是 9，分母是 15，公因数有 1，3，所 以 9 15 不是最简分数； 4 65 ，分子是 4，分母是 65，公因数只有 1，所以 4 65 是最简分数； 6 81 ，分子 是 6，分母是 81，公因数有 1，3，所以 6 81 不是最简分数。 【点睛】分子和分母只有公因数 1是判断一个数是否是最简分数的标准。 三、易错提示 易错点：误认为最简分数的分子和分母没有公因数 易错诠释：任意两个非 0 自然数都至少有一个公因数。 例题：判断：最简分数的分子和分母没有公因数。（ ） 【答案】× 【分析】最简分数的分子和分母只有公因数 1。 【详解】根据最简分数的定义，可知最简分数的分子和分母有公因数 1，如 2 3 是最简分数， 分子 2和分母 3只有公因数 1。 【点睛】最简分数的分子和分母只有公因数 1。橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 约分的认识及应用 一、基础知识讲解 1.约分的意义 把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 2.约分的方法 （1）逐步约分法。用分数的分子和分母的公因数（1 除外）逐次去除分子和分母，直到得 出一个最简分数为止。 （2）一次约分法。用分数的分子和分母的最大公因数去除分子和分母，即可得到最简分数。 3.约分的书写格式 用公因数或最大公因数去除分子和分母，所得的商写在原分子（分母）的上（下）方，并用 斜线把原分子和原分母画去。例如： 二、考法技法提炼 考法 1：利用约分化简分数 解题方法：把分数化成最简分数，分子和分母要同时除以它们的最大公因数。 例题：把 16 56 化成最简分数。 【答案】 16 56 = 16÷8 56÷8 = 2 7 【分析】约分时，一般要将分数的分子和分母同时除以它们的最大公因数，从而将分数化成 最简分数。 【详解】 16 56 化成最简分数，分子 16 和分母 56 的最大公因数是 8，所以，分子和分母同时除 以最大公因数 8，得到最简分数 2 7 。 【点睛】把分数化成最简分数时，要注意避免约分不彻底的错误。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 考法 2：利用约分解决还原问题 解题方法：将约分后的分数还原，分子和分母要同时乘所约去的数。 例题：化简一个分数时，用 2、3、5 分别约了一次，得 1 4 ，原来的分数是多少？ 【答案】原来的分数是 30 120 。 【分析】“用 2、3、5分别约了一次”，说明原来的分数在约分的过程中，分子和分母同时 除以 2、3、5，得到 1 4 ，据此解答。 【详解】原分数分子分母同时除以 2、3、5，得到 1 4 ，原分数= 1 4 的分子分母同时乘 2、3、5。 即 1×2×3×5 4×2×3×5 = 30 120 。 【点睛】利用约分解决还原问题，用到了逆推的方法。原分数约分是分子分母同时除以同一 个数（0 除外），得到最简分数，原分数就是用最简分数的分子和分母同时乘所约去的数， 得到原分数。 三、易错提示 易错点：没有理解约分的意义 易错诠释：将一个分数约分后，根据分数的性质可知分数值不变。 例题：判断：将一个分数约分后，分数值变小，分数单位也变小。（ ） 【答案】× 【分析】此题考察对约分的意义的理解和掌握。约分就是把一个分数化成和它相等，但分子 和分母都比较小的分数，根据分数的基本性质，分子分母同时除以一个不为 0 的数，分数的 大小不变。因为约分后，分数的分母变小，所以分数单位变大。 【详解】在约分的过程中，分子和分母同时除以一个数（0除外），所以约分后的分数值没 有改变。约分后分数的分母变小，由分数单位的定义可知，分母变小，分数单位变大。故原 题干说法错误。 【点睛】理解掌握约分的意义是解题的关键。将一个分数约分后，分数值不变，分数单位变 大。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 通分的认识及应用 一、基础知识讲解 1.通分的概念 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 2.通分的方法 通分时，先用原分母的公倍数作公分母，为了计算简便，通常选用原分母的最小公倍数作公 分母，再把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 注意：通分前后，分数值的大小不变。 二、考法技法提炼 考法：分数的通分 解题方法：用原分母的公倍数做公分母，再把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 例题：把下面分数通分。 9 4 和 5 9 7 6 和 8 7 【答案】 9 4 = 9×9 4×9 = 81 36 5 9 = 5×4 9×4 = 20 36 7 6 = 7×7 6×7 = 49 42 8 7 = 8×6 7×6 = 48 42 【分析】先找出每组分母的最小公倍数，然后将两个分数化成最小公倍数做分母的分数。 【详解】 9 4 和 5 9 ，分母 4和 9的最小公倍数是 36， 9 4 = 9×9 4×9 = 81 36 5 9 = 5×4 9×4 = 20 36 7 6 和 8 7 ，分母 6 和 7 的最小公倍数是 42， 7 6 = 7×7 6×7 = 49 42 8 7 = 8×6 7×6 = 48 42 【点睛】通分的关键在于确定几个分数分母的最小公倍数。 三、易错提示 易错点：没有理解通分的概念 易错诠释：通分的概念是把异分母的分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，即通分并 没有改变分数的大小。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 例题：判断：通分时分数值会变大，约分时分数值会变小。（ ） 【答案】× 【分析】无论是通分还是约分，依据的都是分数的基本性质，分子和分母的大小发生了改变， 但分数值的大小不变。 【详解】通分和约分都是依据分数的基本性质进行的，所以分数值并未发生改变，故原题干 说法错误。 【点睛】通分或约分前后，分数值的大小都不变。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 异分母异分子分数的大小比较 一、基础知识讲解 异分母，异分子分数比较大小的方法 异分母、异分子分数比较大小时，先通分，化成同分母或者同分子分数，再比较大小。 二、考法技法提炼 考法：分数的大小比较 解题方法：比较分数的大小时，运用通分将分数转化成同分母或同分子的分数进行比较。 例题：把下列分数按从小到大的顺序排列起来。 3 4 2 3 3 8 7 12 5 6 （ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ） 【答案】 3 8 ＜ 7 12 ＜ 2 3 ＜ 3 4 ＜ 5 6 【分析】先通分，再比较大小。找出分母的最小公倍数做公分母。据此解答。 【详解】分母 4，3，8，12，6 的最小公倍数是 24，用 24 做公分母，进行通分，再排序。 3 4 = 3×6 4×6 = 18 24 2 3 = 2×8 3×8 = 16 24 3 8 = 3×3 8×3 = 9 24 7 12 = 7×2 12×2 = 14 24 5 6 = 5×4 6×4 = 20 24 3 8 ＜ 7 12 ＜ 2 3 ＜ 3 4 ＜ 5 6 【点睛】异分母异分子分数比较大小，先通分，再比较。 三、易错提示 易错点：在比较大小时，不能选择合适的通分方法。 易错诠释：通分时，为了计算简便，我们通常会选取分母的最小公倍数做公分母进行通分。 在异分母异分子比较大小时，如果分母较大，分子较小，这时可以采用通分的方法。 例题：判断：通分时，只能用分母的最小公倍数作公分母。（ ） 【答案】× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【分析】通分时，并不是只能用分母的最小公倍数作公分母，只要是分母的公倍数就可以。 【详解】通分时，一般选取分母的最小公倍数作公分母，数据比较小，计算起来比较简便， 并非只能用分母的最小公倍数作公分母，故原题干说法错误。 【点睛】通分时，并不是只能选择分母的最小公倍数做公分母。异分母异分子通分比较大小 时，根据分子分母的具体情况选择合适的方法进行通分。 橙 子 学