专题04 圆（5基础题型+6提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（江西专用）

专题04 圆 利用垂径定理求值 1．（23-24九年级上·江西新余·期末）如图，在中，弦，于，，则的半径为（） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦，那么的半径长度为（　　） A．2 B．4 C． D． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝ ． 4．（23-24九年级上·江西上饶·期末）已知在半径为的中，弦的长为，那么圆心到的距离为 ． 圆周角定理 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，内接于⊙O，，则的度数为（    ） A． B． C．75° D．120° 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，正方形内接于，点在劣弧上，则的度数为（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知内接于，连接并延长交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 点和圆/直线和圆的位置关系 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知的半径为3，若点P在圆上，则 3（填“＞”、“＜”、“=”）． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有 个． 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 求扇形面积 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如果一个扇形的半径是6，圆心角的度数为，求扇形的面积． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．    (1)求弧的长度； (2)求纸扇上贴纸部分的面积． 求圆锥的相关数据 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知一个圆锥形零件的母线长为，底面半径为，则这个圆锥形的零件的侧面积 ．（结果用表示）． 2．（23-24九年级上·江西南昌·期末）圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，圆锥底圆半径为 ． 3．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ． 垂径定理的实际应用 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦所在直线的距离是2，则的半径长为 米． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为 ． 3．（23-24九年级上·江西南昌·期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．    (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 圆周角定理---无刻度直尺作图 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，在中，请仅用无刻度直尺作出，使得．（保留作图痕迹）． (1)在图1中，已知是的一条弦： (2)在图2中，已知点A在上，点B在外． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，点A，B在上，点O是的圆心，请你仅用无刻度的直尺，在图1和图2中分别画出以点B为顶点，与互余的圆周角（保留作图痕迹）    (1)图1中，点C在上； (2)图2中，点C在内． 3．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，A是的中点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中，作一个等腰． (2)在图2中，作一个以为对角线的矩形． 证明直线与圆相切 1．（23-24九年级上·江西新余·期末）如图，为⊙O的直径，过圆上一点作⊙O的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接．    (1)求证：直线与⊙O相切． (2)若，求的长． 2．（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点 M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E． （1）求证：NE与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为，AC=6，求BN的长． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 圆与坐标轴相切---动点问题 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（　　）． A．6 B．12 C．24 D．36 2．（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的的圆心P从点 (点A在直线上)出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t秒，则当 时，与坐标轴相切．    3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知抛物线，M是抛物线上一动点，以点M为圆心，1个单位长度为半径作．当与x轴相切时，点M的坐标为 ． 正多边形与圆 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，等边三角形和正方形都内接于，则（    ）．    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法) (1)如图①，画出的一个内接矩形. (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形. 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 求不规则图形面积 1．（23-24九年级上·江西新余·期末）如图，在中，．以点为中心；将逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为 ． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，点D在的直径上，弦于点E，点F为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过A，E的分别交，于点D，F，连接交于点M．    (1)求证：是的切线： (2)若，，求的半径； (3)若，的半径为2，求阴影部分面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆 利用垂径定理求值 1．（23-24九年级上·江西新余·期末）如图，在中，弦，于，，则的半径为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵弦， ∴， ∴在中，，则 故选：C． 2．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦，那么的半径长度为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】解：作于D，连接． ∵，， ∴. 由折叠得：. 设，则. 在中，， 即， 解得 ∴. 即的半径是4. 故选：B． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝ ． 【答案】16 【详解】解：连接， ∵OE⊥AB于E， ∴， 在中，，OE＝6， ∴， ∴， 故答案为： 4．（23-24九年级上·江西上饶·期末）已知在半径为的中，弦的长为，那么圆心到的距离为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，则为圆心到弦距离，连结， ∵，， ∴，在中，，， 由勾股定理得：， 即圆心到弦距离为， 故答案为：． 圆周角定理 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，内接于⊙O，，则的度数为（    ） A． B． C．75° D．120° 【答案】B 【详解】解：∵弧对的圆心角是，对的圆周角是， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，， ， 故选：B 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，正方形内接于，点在劣弧上，则的度数为（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【详解】    解：如图所示，连接OA，OB． 正方形内接于 则 故选：C． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知内接于，连接并延长交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接， ， ， ， 故选：C． 点和圆/直线和圆的位置关系 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知的半径为3，若点P在圆上，则 3（填“＞”、“＜”、“=”）． 【答案】= 【详解】解：∵点P在圆上，的半径为3， ∴． 故答案为：=． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有 个． 【答案】2 【详解】解：∵圆心到直线的距离是圆的半径4， ∴直线和圆相交，即有2个公共点． 故答案为：2． 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　） A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4 【答案】C 【详解】解：∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四个半径为5的等圆， ∴圆心到直线l的距离为4是⊙O3， 故选：C． 求扇形面积 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： = =． 故选：D． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如果一个扇形的半径是6，圆心角的度数为，求扇形的面积． 【答案】 【详解】解：∵一个扇形的半径是，圆心角的度数为 ∴． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．    (1)求弧的长度； (2)求纸扇上贴纸部分的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ，， ， ， ， 贴纸部分的面积． 求圆锥的相关数据 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知一个圆锥形零件的母线长为，底面半径为，则这个圆锥形的零件的侧面积 ．（结果用表示）． 【答案】65 【详解】解：圆锥的底面周长， 圆锥形的零件的侧面积， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·江西南昌·期末）圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，圆锥底圆半径为 ． 【答案】2 【详解】解：设圆锥底圆半径为， 根据题意得， 解得， 故答案为：2． 3．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm． 【答案】 【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为4cm ∴圆锥的底面半径为=2， 故圆锥的高为=4cm 故答案为：4 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ． 【答案】60π 【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6． ∴母线长AB＝=10，半径r为6， ∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝10×6×π＝60π． 故答案为60π． 垂径定理的实际应用 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图1．唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”．如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦所在直线的距离是2，则的半径长为 米． 【答案】5 【详解】解：连接交于点E．设， 由题意， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故答案为：5． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为 ． 【答案】cm 【详解】根据题意获得下图： 设OB=r cm， ∵刻度尺的宽为2cm， ∴OC=r-2， ∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”， ∴BC=×6=3， 在Rt△OBC中， ∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm． 故答案为cm． 3．（23-24九年级上·江西南昌·期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．    (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 【答案】(1)5米 (2)2米 【详解】（1）解：如图，作于点E，交于点D． 则米，米． 设圆的半径为r米，在中，， ∴， 解得， ∴该圆的半径为5米；    （2）解：当米时，米． 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）． 答：水面下盛水筒的最大深度为2米． 圆周角定理---无刻度直尺作图 1．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，在中，请仅用无刻度直尺作出，使得．（保留作图痕迹）． (1)在图1中，已知是的一条弦： (2)在图2中，已知点A在上，点B在外． 【答案】(1)图形见解析； (2)图形见解析． 【详解】（1） （2） 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，点A，B在上，点O是的圆心，请你仅用无刻度的直尺，在图1和图2中分别画出以点B为顶点，与互余的圆周角（保留作图痕迹）    (1)图1中，点C在上； (2)图2中，点C在内． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求，   ； （2）解：如图，，即为所求    3．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，A是的中点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中，作一个等腰． (2)在图2中，作一个以为对角线的矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示：      连接，延长、相交于点E， ∵点A是的中点， ∴， ∴， ∵是圆O的直径， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：矩形如图所示：          连接、相交于点M，连接，，交于点，则点是三条中线的交点， ∴， 则， ∵点A是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 证明直线与圆相切 1．（23-24九年级上·江西新余·期末）如图，为⊙O的直径，过圆上一点作⊙O的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接．    (1)求证：直线与⊙O相切． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【详解】（1）如图，连接，    ∵直线与相切与点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴直线与相切； （2）设的半径为， 在中，，即， 解得：， ∴， ∴， 由（）得， ∴， 在中，，即， ∴， 解得：， ∴的长为． 2．（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点 M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E． （1）求证：NE与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为，AC=6，求BN的长． 【答案】（1）见解析；（2）4． 【详解】解：（1）如图：连接DN ∵∠ACB=90°，D为斜边的中点， ∴CD=DA=DB=AB， ∴∠BCD=∠B， ∵OC=ON， ∴∠BCD=∠ONC， ∴∠ONC=∠B， ∴ON//AB， ∵NE⊥AB， ∴ON⊥NE， ∴NE为OO的切线; （2）如图：连接ON ∵⊙O的半径为 ∴CD=5 ∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴BD=CD=AD=5， ∴AB=10， ∵AC=6 ∴BC==8 ∵CD为直径 ∴∠CND=90°，且BD=CD ∴BN=NC=4． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：设的半径，则， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的半径为3． 4．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)15 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为x，则有， 在中， ， ∴， 解得． ∴的半径为15． 圆与坐标轴相切---动点问题 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（　　）． A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，设的高为h ∵与x轴相切于点B，为的直径， ∴，, ∴、的高为， ∴, ∵， ∴， ∴, ∵，且反比例函数图像在一象限， ∴． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为2的的圆心P从点 (点A在直线上)出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t秒，则当 时，与坐标轴相切．    【答案】2或6或10 【详解】解：设与坐标轴的切点为D， ∵直线与x轴、y轴分别交于点B、C，点， 时，时，时，，， ， ，， 是等腰直角三角形，， ①当与x轴相切时，    ∵点D是切点，的半径是2， 轴，， 是等腰直角三角形， ， ， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与x轴和y轴都相切时，   ， ， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ； ③如图，仅与y轴相切于点H，则    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点P的速度为每秒个单位长度， ； 综上所述，则当或6秒或10秒时，与坐标轴相切， 故答案为：2或6或10． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ． 【答案】（3，1）或（﹣1，1）或（1，﹣1） 【详解】解：设点P（x，y），， ∵⊙P与x轴相切 ∴|y|＝1 ∴y＝±1 ①当y＝1时，， 解得：x1＝3，x2＝－1 ∴点P（3，1），（－1，1） ②当y＝－1时，， 解得：x＝1 ∴点P（1，－1） 故答案为（3，1）或（－1，1）或（1，－1） 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）已知抛物线，M是抛物线上一动点，以点M为圆心，1个单位长度为半径作．当与x轴相切时，点M的坐标为 ． 【答案】或或 【详解】解：∵与x轴相切， ∴M到x轴的距离为1， 当时，，解得：， ∴； 当时，，解得：， ∴点M坐标为或； 故答案为：或或． 正多边形与圆 1．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，等边三角形和正方形都内接于，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴是的直径， ∴． ∵等边三角形内接于， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：D．    2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法) (1)如图①，画出的一个内接矩形. (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形. 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解. 【详解】（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形． 解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求； （2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)是正三角形，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：∵正五边形． ∴， ∴， ∵， ∴(优弧所对圆心角)， ∴； （2）解：是正三角形，理由如下： 连接， 由作图知：, ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴是正三角形； （3）∵是正三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 求不规则图形面积 1．（23-24九年级上·江西新余·期末）如图，在中，．以点为中心；将逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】∵在中，，， ∴由勾股定理得：，， 由旋转性质可知：， ∴， ∴阴影部分的面积为（扇形的面积 的面积）（的面积扇形的面积） ， ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，点D在的直径上，弦于点E，点F为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由勾股定理得，， ∴ ， ∴阴影部分的面积为． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为2， ∴， ∵，， ∴，， ∵，都是的切线， ∴设，则， ∴在中 ，即， 解得， ∴． （3）在中，，， ∴，， ∴， ∴， ，， ∴ 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，平分交于点E，O为上一点，经过A，E的分别交，于点D，F，连接交于点M．    (1)求证：是的切线： (2)若，，求的半径； (3)若，的半径为2，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【详解】（1）证明：连接，   平分交于点， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：由（1）知，是的切线， ∴ ∴ 设， ， ， 解得， ， 即圆的半径为3． （3）解：如图，连接，    ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）知，是的切线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$