专题05 导数（6基础题型+4提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题05 导数 导数的定义及四则运算 1．（23-24高二上·河北·期末）设函数在处存在导数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义求解． 【详解】， 故选：A． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的定义计算即可得出结果. 【详解】∵， ∴， ∴ . 故选：B 3．（22-23高二下·河北邯郸·阶段练习）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数值直接构造方程求解即可. 【详解】，，解得：. 故选：A. 4．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】对函数求导，然后将代入导函数中，求得相应的导数值. 【详解】由已知得， 则，解得． 故答案为：． 复合函数求导 1．（23-24高二上·河北·期末）（多选）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用导数的运算求解判断. 【详解】A. 因为，所以，故正确； B.因为，所以，故错误； C. 因为，所以，故正确； D. 因为，所以，故正确. 故选：ACD 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】BCD 【分析】利用基本初等函数求导法则和复合函数求导法则得到答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，则，B正确； C选项，，C正确； D选项，令，D正确． 故选：BCD． 3．（23-24高二上·河北·期末）（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据初等函数导数公式和复合函数导数运算法则直接求解可得结果. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 导数的几何意义 1．（23-24高二上·河北·期末）已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义求出点的坐标，然后利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】因为，其中，则， 直线的斜率为，由，可得，且，即点， 所以，直线的方程为，即. 故选：B. 2．（23-24高二上·河北·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D 3．（23-24高二上·河北·期末）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】因为，所， 所以曲线在处切线方程为 ，即． 故答案为： 4．（23-24高二上·河北·期末）曲线过原点的切线方程为 . 【答案】或. 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】由题意可得， 设切点为，则， 所以函数过原点的切线方程为， 解之得，则， 此时切线方程为， 若切点为原点，则，此时切线方程为. 故答案为：或. 5．（23-24高二上·河北·期末）设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】对原函数求导并求得，再由导数几何意义写出切线方程. 【详解】由题设，则， 所以，则， 综上，点处的切线方程为，即. 故答案为： 6．（23-24高二上·河北·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义可求解. 【详解】由于，所以有，因此切点为， 由于,所以曲线在点处的切线的斜率, 故所求切线方程为:,即 故答案为：． 利用导数研究函数单调性及最值 1．（23-24高二上·河北·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】先求得导函数，并令，再判断导函数的符号，由此可得函数的单调递增区间. 【详解】函数，则， 令解得， 当时,,函数单调递减， 当时,,函数单调递增， 当时,,函数单调递减， 故答案为：. 2．（23-24高二上·河北·期末）设函数，在处的切线方程为. (1)求实数，的值； (2)求函数在上的单调区间和最值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为1，最小值为. 【分析】（1）由题意先求的导函数，利用导数的几何意义和切点的性质，建立的方程求解即可. （2）求的导函数，确定函数的单调性，即可求函数在上的最值. 【详解】（1）因为，所以， 又的图象在处的切线方程为，所以 解得 （2）由（1）可知，， 则当时，；当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 又， 所以在上的最大值为1，最小值为. 根据函数单调性求参数 1．（23-24高二上·河北·期末）若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数给定区间上为增函数可得导函数在该区间上恒为非负数，利用参变分离法即可通过求相应函数的最值求得参数范围. 【详解】因为函数是上的增函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立．令，,则， 则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以． 故选：C． 2．（23-24高二上·河北·期末）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意知，存在使得，利用参变量分离法得出，利用基本不等式在时的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】，定义域为，， 由题意可知，存在使得，即. 当时，， 所以，，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）函数在上单调递增，可得当时，恒成立，分离参数，将问题转化为求解二次函数的最值问题，即可求得答案. 【详解】（1）当时，，则， ∴，， 曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题意得当时，恒成立， ∴在时恒成立， ∵，则，由于二次函数在上单调递减， ∴当时，， ∴，即实数a的取值范围是． 利用导数研究函数极值 1．（23-24高二上·河北·期末）函数的极值点为（    ） A．8 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】求出定义域为，然后求导数，从而根据二次函数的图象即可判断导数符号，进而可得出的极值点． 【详解】依题意可得函数定义域为， 则， 令，解得，或（舍去）， 则当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增， 所以是的极值点，且为极小值点． 故选：D． 2．（23-24高二上·河北衡水·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数存在极小值 B． C．当时， D．若函数有且仅有两个零点，则且 【答案】ACD 【分析】求导，再利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可判断A；根据函数的单调性即可判断B；根据指数函数的性质即可判断CD. 【详解】， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 故函数在处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A正确； 当时，函数单调递增，且，所以，B错误： 当时，，易知C正确； 由得，若函数有两个零点，只需且，D正确． 故选：ACD． 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个单调区间 B．有两个极值点 C．有最小值 D．有最大值e 【答案】AC 【分析】求出导函数，结合导函数的正负分析原函数的单调性，进而得出极值最值情况. 【详解】由已知得， 由解得，由解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴只有一个极值点，且在处取得极小值也是最小值，无最大值， 故选：AC． 导数几何意义的转换 1．（23-24高二上·河北·期末）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点处的切线和直线平行时，的值最小，结合导数和解析式求得点，再由点到直线距离公式即可求解. 【详解】设点是直线上任意一点﹐点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小﹐ 因为直线的斜率等于， 曲线的导数，令， 可得或(舍去)，故此时点的坐标为，， 故选：A. 2．（23-24高二上·河北·期末）若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率的范围即可得解. 【详解】函数中，，即，设点， 求导得 ，由，得，即， 因此函数的图象在点处的切线斜率，显然直线的倾斜角为钝角， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C 3．（23-24高二上·河北·期末）（多选题）已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是（    ） A．的图象在处的切线斜率大于 B．的图象在处的切线斜率小于 C．的图象在处位于轴上方 D．的图象在处位于轴下方 【答案】BC 【分析】结合，，利用导数的相关知识即可判断. 【详解】因为，则的图象在处的切线斜率小于； 因为，所以的图象在处位于轴上方． 故选：BC. 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求该曲线的切线倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）导数值域就是切线斜率的取值范围，再根据倾斜角与斜率的关系求解得出结论． 【详解】（1）由，则， 所以曲线在点处切线的斜率为， 所以切线的方程为，即. （2），所以切线的斜率，设，， ，解得. 所以该曲线的切线倾斜角的取值范围为. 利用导数讨论函数单调性 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设函数． (1)若，求的导数； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，其中. (2)见解析 【分析】（1）根据导数的运算规则结合初等函数的导数可求的导数； （2）就、、、分类讨论后可得函数的单调性. 【详解】（1）若，则，故，其中. （2）， 当时， 当时，；当时，. 故的减区间为，增区间为. 当时， 若，则当时，； 当时，， 故的减区间为，增区间为. 若，则当时，； 当时，， 故的减区间为，增区间为. 若， 恒成立（不恒为零），故的增区间为，无减区间. 综上： 当时，故的减区间为，增区间为. 当时，故的减区间为，增区间为. 若，故的减区间为，增区间为. 若， 的增区间为，无减区间. 2．（23-24高二上·河北·期末）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数与函数的关系得到在上恒成立，从而得解； （2）首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为，所以的定义域为， 则， 因为在上是增函数，即在上恒成立， 则在上恒成立， 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以，则， 所以，则. （2）由（1）得， 当时，，则在上是增函数； 当时，， 所以； 或； ， 所以在上是减函数，在和上是增函数. 3．（23-24高二上·河北·期末）已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间． 【答案】（1）y＝2x.（2）①当0＜a＜时，f(x)的单调增区间是(0，a)和，单调减区间是，②当a＝时，f(x)在区间(0,1)上是单调增函数．③当＜a＜1时，f(x)的单调增区间是和(a,1)，单调减区间是，④当a≥1时，f(x)的单调增区间是，单调减区间是 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）求导＝ (x>0)，分0<a<，a＝，<a<1，a≥1求解. 【详解】解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋x－ln x， 则f′(x)＝2x＋1－， 所以f(1)＝2，且f′(1)＝2. 所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为 y－2＝2(x－1)，即y＝2x. (2)由题意得＝2x－(1＋2a)＋， ＝， ＝ (x>0)． 由＝0，得x1＝，x2＝a. ①当0<a<时，由>0且x>0， 得0<x<a或<x<1； 由<0且x>0，得a<x<. 所以函数f(x)的单调递增区间是(0，a)和，单调递减区间是； ②当a＝时，＝≥0，当且仅当x＝时， f′(x)＝0. 所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数； ③当<a<1时，由>0且x>0， 得0<x<或a<x<1； 由<0且x>0，得<x<a. 所以函数f(x)的单调递增区间是和(a,1)，单调递减区间是； ④当a≥1时，由>0且x>0， 得0<x<； 由<0且x>0，得<x<1. 所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是. 恒成立问题 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式，恒成立，求实数a的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，结合点斜式可得答案. （2）对两次求导后，分类讨论a的范围结合对恒成立可得答案. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 故在点处的切线方程为：，即. （2）由题，， 令，则. ①当，即时，，有在上单调递增， 则，得在上单调递增， 此时，故满足题意. ②当，即时，令，得， 则在上单调递减，又， 得在上单调递减，此时，故不合题意. 综上可得：. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 2．（23-24高二上·河北·期末）设函数． （1）当时，求的极值； （2）如果≥在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）有极小值，没有极大值；（2）． 【详解】试题分析：（1）当时，求导令导函数等于零，列表，通过表格找到函数极值即可；（2）求恒成立问题一般要分离参数，构造函数求其最小值，只需最小值大于零即可求出取值范围. 试题解析：（1）由已知，当时， ，∴， ∴在上单调递增，且， ，随变化如下表： 1 - 0 + ↘ 极小值 ↗ ∴有极小值，没有极大值． （2）（方法一）由题可得恒成立， 当时，上式恒成立； 当时，，又，故 令，则， 令， ∴当时， ，时， ， ∴， ∴，解得： ，∴的取值范围是． （方法二）由题可得， 设，则， ∵，∴在上单调递增，， ， ∴使得，则， 由知，且时， ，时， ， ∴，∴，∴，∴， ∴的取值范围是． （方法三）由题可得恒成立， 令，则， ∴时， ，时， ，∴， ∴，解得： ，∴的取值范围是． 构造函数 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即. 故选：D 2．（23-24高二上·河北·期末）定义在上的函数，其导函数为，若恒有，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由条件可得，所以在上单调递减，则，即可得结果． 【详解】令，则 因为，因为所以 得 所以在上单调递减， 故，所以，有 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 导数 导数的定义及四则运算 1．（23-24高二上·河北·期末）设函数在处存在导数为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 3．（22-23高二下·河北邯郸·阶段练习）设，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知，则 ． 复合函数求导 1．（23-24高二上·河北·期末）（多选）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 3．（23-24高二上·河北·期末）（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 导数的几何意义 1．（23-24高二上·河北·期末）已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·期末）曲线在点处的切线方程为 ． 4．（23-24高二上·河北·期末）曲线过原点的切线方程为 . 5．（23-24高二上·河北·期末）设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为 . 6．（23-24高二上·河北·期末）曲线在点处的切线方程为 . 利用导数研究函数单调性及最值 1．（23-24高二上·河北·期末）函数的单调递增区间为 . 2．（23-24高二上·河北·期末）设函数，在处的切线方程为. (1)求实数，的值； (2)求函数在上的单调区间和最值. 根据函数单调性求参数 1．（23-24高二上·河北·期末）若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围． 利用导数研究函数极值 1．（23-24高二上·河北·期末）函数的极值点为（    ） A．8 B． C．1 D． 2．（23-24高二上·河北衡水·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数存在极小值 B． C．当时， D．若函数有且仅有两个零点，则且 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．有两个单调区间 B．有两个极值点 C．有最小值 D．有最大值e 导数几何意义的转换 1．（23-24高二上·河北·期末）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·期末）（多选题）已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是（    ） A．的图象在处的切线斜率大于 B．的图象在处的切线斜率小于 C．的图象在处位于轴上方 D．的图象在处位于轴下方 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求该曲线的切线倾斜角的取值范围. 利用导数讨论函数单调性 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设函数． (1)若，求的导数； (2)讨论函数的单调性． 2．（23-24高二上·河北·期末）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 3．（23-24高二上·河北·期末）已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间． 恒成立问题 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式，恒成立，求实数a的范围. 2．（23-24高二上·河北·期末）设函数． （1）当时，求的极值； （2）如果≥在上恒成立，求实数的取值范围． 构造函数 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）定义在上的函数，其导函数为，若恒有，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$