专题04 数列（17基础题型+5提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

· 专题04 数列 数列的递推关系 1．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数列的项的特点，找到各项之间的规律，即可写出一个通项公式，结合选项，即得答案. 【详解】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分数部分为负， 分母为，分子为， 故该数列的一个通项公式可以为， 故选：D 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）在数列中，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用递推公式逐项计算可得的值. 【详解】在数列中，已知，且， 则，，. 故选：A. 3．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，则的前2024项和为（   ） A．589 B．590 C． D． 【答案】C 【分析】由递推公式写出前项，发现数列是以4为周期的周期数列，从而利用周期可得结果. 【详解】因为， 所以，，， 而，所以数列是以4为周期的周期数列， 所以的前2024项和． 故选：C. 4．（23-24高二上·河北保定·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“冰霓猜想”结合递推关系式，可发现从开始进入循环，利用规律求解判断. 【详解】由题意可得，，，，，，，，，…，按照此规律下去， 可得，，，， 令，解得，. 故选：B. 5．（23-24高二上·河北·期末） （多选）已知数列中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】判断出数列的周期性，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，， ∴数列是以为周期的周期数列． 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，由递推关系式知， ∴ ，D正确． 故选：BD 6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的所有可能取值之和为 . 【答案】 【分析】由结合递推关系式，分情况讨论，分别求出的值即可． 【详解】当时，则，可知或， 若，则； 若，则； 综上所述，或，即m的所有可能取值之和． 故答案为： 7．（23-24高二上·河北·期末）已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】由已知可得，与已知的等式相减可得，从而可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以，故. 故答案为：4 8．（23-24高二上·河北·期末）若数列满足，则 . 【答案】 【分析】根据数列的递推关系求得周期为3，运算得解. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是周期为3的数列，故. 故答案为：. 判断数列中的项 1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列的通项公式，则123是该数列的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【答案】C 【分析】根据通项公式可直接求出. 【详解】由，解得（舍去）， 故选：C． ． 2．（23-24高二下·河北承德·开学考试）（多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为7 【答案】ABD 【分析】求出通项判断A；求出公差、通项判断BC；探讨数列与的下标关系判断D. 【详解】对于A，由题意得，A正确； 对于B，新数列的首项为2，公差为2，故，B正确； 对于C，由B选项知，令，则，即是数列的第8项，C错误； 对于D，插入个数，则， 则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项，为公差的等差数列， 于是，而是数列的项，令，当时，，D正确. 故选：ABD 特殊数列-斐波那契数列 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列满足：，，则是斐波那契数列中的第（    ）项 A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】根据题意，结合，，利用累加法，即可求解. 【详解】由斐波那契数列满足：，， 则 . 故选：C. 2．（23-24高二上·河北·期末）著名的斐波那契数列满足，，其通项公式为，则是该数列的第 项； ． 【答案】 2024 322 【分析】 空1：根据题意可得，根据题意结合裂项相消法运算求解；空2：分析可知，结合递推公式运算求解. 【详解】空1：因为，即，则， 可得 ， 所以， 即是该数列的第2024项； 空2：因为， 又因为，则， 所以. 故答案为：2024；322. 等差、等比数列的定义 1．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知数列，是等比数列，那么下列一定是等比数列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分别可设，，当时可判断A；可举出反例，说明C不正确；对于BD，写出其通项公式说明其为等比数列即可. 【详解】由题意，可设等比数列的公比为，则， 等比数列的公比为，则， 对于A，当时，显然不是等比数列，故A错误； 对于B，， ∴数列是一个以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，举出反例：当，时，数列不为等比数列，故C错误； 对于D，， ∴数列是一个以为首项，为公比的等比数列，故D正确； 故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的判定，考查了定义法的运用，整体思想的应用以及数学运算能力，属于基础题． 2．（23-24高二上·河北沧州·期末）（多选）在各项均为正数的等比数列中，公比为q（），前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A．（m，） B． C．是等比数列 D． 【答案】ABD 【分析】根据等比数列通项性质判断A，根据等比数列求和化简判断B，根据对数运算及等差数列定义判断C，根据等比数列求和判断D. 【详解】，，两式相除可得，故A正确； 因为，由等比数列求和公式，可得，故B正确； 因为（常数），所以是等差数列，故C不正确； 对于D，，，…，，可看作是以为首项，（）为公比的等比数列， 所以，故D正确. 故选：ABD 等差数列基本量运算 1．（23-24高二下·河北承德·开学考试）已知等差数列的公差和首项都不为0，且成等比数列，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】设出数列的首项和公差，通过题设条件求得和的数量关系，再将用前项和公式展开，整体代入即得. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由成等比数列得,即：， 解得：，. 故选：C. 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知，均为等差数列，且，，，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由于，均为等差数列，则为等差数列， 因此，，所以的公差为1， 故， 故选：B 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）在等差数列中，p，，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出首项和公差并表示出和，然后表示出公差，最后求出结果即可． 【详解】设等差数列的公差为d，则，， 两式相减得，则， 故选：C． 4．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为递减数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，求得，得到，逐项判定，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以A正确； 因为，所以数列为递增数列，所以B错误； 由，可得，所以C正确； 因为，所以，所以D正确． 故选：ACD． 5．（23-24高二上·河北·期末）（多选）等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．的公差为1 B．的公差为2 C． D． 【答案】ACD 【分析】 列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A，B；根据等差数列通项公式以及前n项和公式即可判断C，D. 【详解】 设的公差为d，由，，得， 解得，故A正确，B错误； ，，C，D正确. 故选：ACD 等比数列基本量运算 1．（23-24高二上·河北·期末）已知数列是等比数列，且，，则（    ） A．3 B．6 C．3或 D．6或 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式求解. 【详解】解：设数列的公比为q， 则， 所以，， 所以． 故选：B． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列{an}的公比，则等于（　　） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，即可求解. 【详解】等比数列{an}的公比， 则． 故选：D． 3．（23-24高二上·河北·期末）已知为等比数列且各项均为正数，公比为q，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】将表示为，然后根据与的互相推出关系判断属于何种条件. 【详解】因为为等比数列且各项均为正数，所以， 当时，； 当时，； 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．（23-24高二上·河北·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（　　） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由可得，故可求的值. 【详解】因为，所以， 故，因为正项等比数列，故，所以，故选C. 【点睛】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质： （1）若，则； （2）公比时，则有，其中为常数且； （3） 为等比数列（ ）且公比为. 5（23-24高二上·河北·期末）已知为正项等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质得到，结合，利用等比数列的基本量求得和公比，再由等比数列的求和公式即可得到. 【详解】因为与的等差中项为，所以， 设等比数列的公比为， 又，得：，解得：，或， 则，或者，根据答案，只能选C. 故选：C. 6．（23-24高二上·河北保定·期末）在公比不为1的等比数列中，，的前项积为，则中不同的数值有（   ） A．15个 B．14个 C．13个 D．12个 【答案】B 【分析】先设出数列的公比，将用来表示，接着探究在中有多少对值相同，通过列举法即得. 【详解】不妨设数列的公比为，则由可得：，则， 于是，， 对于，由可得：， 即，整理得：，故得：， 又，故有：， 即在中，共有6对值分别相同，即其中不同的数值有14个. 故选：B. 7．（2020·全国·高考真题）设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．24 C．30 D．32 【答案】D 【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 8．（23-24高二上·河北邢台·期末）（多选）已知等比数列的首项为，公比为，前项和为.若，则下列结论正确的是（    ） A．的取值为或或 B．当时， C．当时， D．当时，为递增数列 【答案】AB 【分析】解方程，可判断A选项；利用等比数列的通项公式可判断B选项；利用等比数列求和公式可判断C选项；利用等比数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为，即，即， 因为，则或，A对； 当时，，B对； 当时，，C错； 当时，，则，，，，， 可知，数列为摆动数列，D错. 故选：AB. 9．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知等比数列的公比为q，且，，，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据等比数列，得，求出的值即可. 【详解】因为等比数列的公比为q，且，，， 所以，即，即，解得或（舍）， 故答案为：. 10．（2018·全国·高考真题）等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 【答案】（1）或 . （2）. 【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m． 详解：（1）设的公比为，由题设得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，则．由得，此方程没有正整数解． 若，则．由得，解得． 综上，． 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题． 等差中项及下标和性质 1．（23-24高二上·河北·期末）已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．240 B．60 C．180 D．120 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以， 所以． 故选：D． 2．（23-24高二上·河北·期末）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．36 B．45 C．54 D．63 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质得到，然后求和即可. 【详解】，所以，. 故选：C. 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列满足，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质直接得出结果. 【详解】在等差数列中，由得， 所以. 故选：C 4．（23-24高二上·河北·期末）在等差数列中，，，则 ． 【答案】12 【分析】根据等差数列性质求解即可. 【详解】根据等差数列性质可得，解得. 故答案为：12. 等比中项及下标和性质 1．（23-24高二上·河北·期末）已知在正项等比数列中，，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合等比数列性质求出公比即可得解. 【详解】在正项等比数列中，，解得，而，则公比， 所以. 故选：C 2．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A．127 B．135 C．255 D．263 【答案】D 【分析】由等比中项的性质证明为等比数列，由此可求的通项，然后利用分组求和求解出结果. 【详解】由题意知当时，，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以， 故选：D. 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足，且，则的值是（   ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】由已知可得到数列为公比为3的等比数列，进而计算求解. 【详解】由，可得，所以数列是公比为3的等比数列， 因为， 所以. 故选：A 4．（23-24高二上·河北·期末）已知为等比数列，且，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列的性质得到，然后计算即可. 【详解】因为为等比数列，所以 . 故答案为：. 5．（23-24高二上·河北·期末）在等比数列 中，，则 ． 【答案】12 【分析】根据等比数列的通项公式可得结果. 【详解】设等比数列的公比为，，所以， 所以， 故答案为：12. 等差（等比）数列前n项和性质 1．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）记是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．78 【答案】D 【分析】根据等差数列的前n项和的性质：对于，,成等差数列，取,列出方程组求解即得. 【详解】因是等差数列的前n项和，则成等差数列， 于是，代入，，解得：， 又,代入上述值，解得：. 故选：D. 3．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则 . 【答案】 【分析】利用计算可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以，故. 故答案为：. 4．（23-24高二上·河北·期末）等差数列的前项和分别为和，若，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列前项和公式，将题目所求的式子中的有关的式子，转化为有关的式子来求解. 【详解】原式. 【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前项和公式，考查了通项公式和前项和公式的转化.对于等比数列来说，若，则有，而前项和公式，可以进行通项和前项和的相互转化.属于基础题. 数列的实际应用 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（    ） A．29.375米 B．19.375米 C．38.75米 D．28.75米 【答案】D 【分析】分别求出每次落地经过的路程，相加即可求解. 【详解】前五次落地经过的路程分别为10米、10米、5米、2.5米、1.25米，其和为28.75米， 故选：D 2．（23-24高二上·河北·期末）利用温室大棚等设施进行蔬菜种植，可以使得人们在一年四季吃上夏季的新鲜蔬菜，造福民生．某地大棚种植户现要采购一批圆筒状地膜，发现该种圆筒状地膜由纸质圆柱形空筒和缠绕在纸筒外面的地膜构成，经测量得到圆柱形空筒底面圆的半径为3cm（纸质圆筒的厚度忽略不计），每层地膜的厚度为0.1mm，约定在计算每层地膜的长度时，以外层半径来进行，则一筒100层的地膜的总长度大约为（    ）（，结果精确到1m） A．18m B．19m C．20m D．21m 【答案】D 【分析】根据题意，每一层地膜的长度成等差数列，利用等差数列的前n项和公式求解. 【详解】根据题意，圆柱形空筒的半径为30mm，地膜的半径是以0.1mm为公差的等差数列， 所以每一层地膜的长度成等差数列，且首项为mm，公差为，第100项为， 所以． 故选：D. 3．（23-24高二上·河北·期末）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的，按照等比数列即可求得结果. 【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的， 所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的， 由此可得，第次操作之后所得图形的面积是， 即经过4次操作之后所得图形的面积是. 故选：A 等差数列相关最值问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（    ） A．20 B．24 C．36 D．40 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出及通项公式，再确定所有非负数项即可得解. 【详解】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列， 显然，而，且，解得，则， ，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数， 所以的最大值为. 故选：C. 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）设数列的前项和为，满足且，则下列选项正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C．当时，取最大值 D．设，则当或时，数列的前项和取最大值 【答案】BD 【分析】利用和的关系作差可得为等差数列，即可根据基本量的计算求解AB，根据二次函数的性质即可求解C，根据的正负即可求解D. 【详解】对于A，当时，，又，解得， 当时，①，②，①-②得，， 即，化为， 不能对任意的恒成立，， ，故为等差数列，公差为，首项为通项公式为，故A错误； 对于B，，故， 则当时，，故为等差数列，故B正确： 对于C，当时，取得最大值，故C错误； 对于D，令得，令得，则当时，， 当时，，当时，， 当时，，又， 则当或时，数列的前项和取最大值，故D正确， 故选:BD. 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）设数列的前项和为，满足，其中，，则下列选项正确的是（    ） A． B．为等差数列 C． D．当时，有最大值 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的定义、结合等差数列的前n项和公式、通项公式逐一判断即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以数列是首项19，公差为的等差数列， 即，，故选项A，B正确. 因为，所以，故选项C正确. 因为，所以当时，有最大值，故选项D错误. 故选：ABC. 数列求通项-累加（累乘）法 1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ． 【答案】210 【分析】对原方程化简得，然后利用累乘法求解即可. 【详解】由已知，得， ∵，∴，得， 由累乘法得，∴, 故答案为：210. 2．（23-24高二上·河北·期末）若数列满足，则的通项公式是 ． 【答案】 【分析】利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】因为， 所以，，…，，， 所以 ，， 又也满足上式，所以. 故答案为：. 3．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和，并求的最值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题意，由累乘法即可求得数列的通项公式； （2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到数列的前项和，再由其单调性即可得到最值. 【详解】（1）由题意，，所以，即， 所以 ，， 当时，也满足， 所以数列的通项公式为 （2）由（1）可知，则， 则①， ②， ①②可得，， ， 则，由于单调递增，则. 数列求通项-前n项和法 1．（23-24高二上·河北·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，结合等比数列的定义，得到，即可求解. 【详解】由， 当时，，可得， 当时，， 因为数列为等比数列，可得，解得. 故选：D. 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）（多选）已知数列的前项和分别为，若，则下列说法正确的是（    ） A．是首项为2的等差数列 B．是首项为1的等比数列 C．当时，均为奇数，均为偶数 D．存在，使得 【答案】BC 【分析】由与的关系可得、的通项公式，即可得A、B、C，假设存在对应，使得，结合奇数与偶数的性质可得其矛盾，即可得D. 【详解】对A：由，则当时，有， 故， 当时，，不符合上式， 故，故A错误； 对B：由，则当时，有， 故， 当时，，符合上式， 故，故B正确； 对C：由，， 则当时，均为奇数，均为偶数，故C正确； 对D：若存在使得，则， 等式两边均为偶数，所以为偶数， 设，则， 所以，此时等号两边分别为偶数和奇数，不可能相等，故D错误. 故选：BC. 3．（23-24高二上·河北·期末）在数列中，是其前n项和，且，则数列的通项公式 ． 【答案】，. 【分析】利用，求解数列的通项公式. 【详解】当时，，解得：， 令时，，即，解得：， 当时，， 故， 所以时，为公比为2的等比数列， 所以， 显然时，满足， 综上：，. 故答案为：，. 4．（23-24高二上·河北·期末）已知数列满足，，则的通项公式是 . 【答案】 【分析】根据所给递推关系可得，，与原式作差即可求解. 【详解】因为① 所以， 当时，②， ①-②可得，， 所以， 所以数列的通项公式是. 故答案为： . 数列求通项-构造法 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项即可得解. 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列，，即， 所以. 故选：D 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知数列中，且，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造法、等比数列的定义和通项公式，结合数列求和中的分组求和法及等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由得， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以， 故选：D. 3．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知数列满足，，为的前项和，则（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．当或时，取得最大值 【答案】AC 【分析】利用构造法得，判断出为首项为，公比为的等比数列，判断A选项；利用等比数列通项公式求出通项公式，得出，判断B选项；根据函数是减函数，判断C选项；令，解得，判断D选项. 【详解】因为，所以，即，， 又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A正确； ，所以，B错误； 因为函数是减函数，所以为递减数列，C正确； 令，即，解得，所以时，，时，，所以当或时，取得最大值，D错误. 故选：AC 数列求和-裂项相消法 1．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知数列满足，，数列满足．记数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BC 【分析】由B选项提示，用等差数列验证B正确，进一步可得数列的通项公式验证A错误，由数列定义，可用裂项相消法求它的前项和，进而验证CD. 【详解】由题意得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 由以上可知，所以，从而，故A错误； 而， 所以，故C对D错. 故选：BC. 2．（23-24高二上·河北·期末）已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式求出即可求解；（2）利用裂项相消求和. 【详解】（1）设公差为，则， 所以解得， 所以， （2），所以， 所以. . 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列基本量，列方程，即可求解； （2）根据（1）的结果，裂项相消法求和，即可证明不等式. 【详解】（1）设数列的公差为， ∴， ∴，，． 由已知得，解得或（舍）， ∴数列的通项公式为． （2）由（1）知，， ∴， ∴． 4．（23-24高二上·河北衡水·期末）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列公差为，首项为，由题意列式求出，，即可求得数列的通项公式； （2）利用（1）的结论可得表达式，利用裂项相消求和法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以； （2）由（1）知， 所以 5．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）由已知可得，利用裂项相消法可求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：由已知可得， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以，. （2）证明：， 所以， . 故对任意的，. 6．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系式即可求得的通项公式为； （2）由（1）可得，利用裂项相消求和可得. 【详解】（1）当时，， 当时，. 符合， 所以的通项公式为. （2）由（1）可得， 则， 所以数列的前项和. 7．（23-24高二上·河北·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差及通项公式即得. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）等差数列中，，解得，又，解得， 因此等差数列的公差，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，则， 所以 . 8．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公比为，根据已知求出，再求； （2）求出，利用裂项相消求和可得答案. 【详解】（1）设公比为，因为，所以， 又， 解得，所以； （2）由（1）知， 则， 所以 ， 所以数列的前项和. 数列求和-错位相减法 1．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前n项和满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系即可求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前n项和. 【详解】（1）当，，故， 因为，当时，, 两式相减得：，即， 故数列为等比数列，公比， 所以． （2）， 故， 故， 令①， ②， ①-②得 即， 故． 2．（23-24高二上·河北·期末）已知数列、满足，若数列是等比数列，且 ． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求的前项和为. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由条件解出的公比后求通项公式，由指数幂的运算性质求； （2）写出的通项公式，由错位相减法求和． 【详解】（1）      当时，， ，又，∴     是以为首项，为公比的等比数列，            ∴当时， 由累加法可得：， 又当时，也适合上式，∴ （2）    ∴① ∴② ①-②得：             ∴ 3．（23-24高二上·河北·期末）已知数列是公比大于0的等比数列，数列是等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解即可； （2）由等差数列及等比数列的求和公式求解； （3）根据错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由，得， 即，解得或（舍）， 故； 由，得，解得， 故； 综上，的通项公式为的通项公式为. （2）由（1）可得. 所以，数列的前项和. （3）由（1）可得， 则①② ①-②，得， 所以，. 4．（2017·山东·高考真题）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. (I)求数列{an}通项公式； (II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和. 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）. 【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和. 试题解析：（Ⅰ）设的公比为，由题意知：. 又， 解得：， 所以. （Ⅱ）由题意知：， 又 所以, 令, 则， 因此 , 又, 两式相减得 所以. 【考点】等比数列的通项,错位相减法求和. 【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 5．（23-24高二上·河北承德·期末）已知正项数列满足，数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用对数运算，得，再运用累乘法可求，由与的关系可得，则时，数列是以为首项的常数列，可求的通项公式； （2）利用错位相减法求，从而得证. 【详解】（1）因为，且，所以， 所以，即，所以． 当时，所以， 所以． 因为，所以，所以． 也符合上式，所以． 当时，． 因为，所以当时，， 所以当时，，即， 所以当时，数列是以为首项的常数列， 即（），所以（）， 所以的通项公式为 （2）因为， 所以， 两式相减得， 所以． 【点睛】数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和为，首项，公差.从①；②成等比数列；③三个条件中任选一项，解答下列问题. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)选择见解析， (2) 【分析】（1）选项①，根据条件求出，从而得出，即可求出结果；选②：利用条件成等比数列，求出，即可求出结果；选项③：利用等差数列的前项和公式，得到，再根据条件求出，即可求出结果； （2）根据条件得到，利用等比数列及等差数列前项和公式，分组求和即可求出结果. 【详解】（1）选①：因为数列为等差数列，且，得到， 又，所以，所以数列的通项公式为. 选②：因为等差数列中成等比数列，则， 解得或（舍），又，所以数列的通项公式为. 选③：因为数列为等差数列，所以，又， 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以. 而， 所以. 数列求和-分组（并项）求和法 1．（23-24高三上·福建福州·期中）已知数列满足：，数列为等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求和：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，，即可求出等比数列的通项公式，从而求出的通项公式； （2）利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，，数列为等比数列， 所以，，则，即是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则. （2） . 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）数列是首项为1，公比为正数的等比数列，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，代入等量关系即可求解； （2）利用等比数列的求和公式和等差数列的求和公式进行分组求和即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 或，又因为，所以， 所以. （2）， 则 . 3．（21-22高二下·广东佛山·期中）数列的通项公式为，则它的前100项之和等于 . 【答案】 【分析】根据并项求和得出答案. 【详解】 故答案为： 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解； （2）由（1）可得，利用分组求和以及裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，则， 两式相减得：， 整理得， 且为正项数列，可知， 可得，即， 可知数列是以首项，公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得， 当为奇数，则， 可得 ， 所以. 5．（22-23高二上·河北衡水·期中）已知递增的等比数列满足，且是和的等差中项.数列是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设等比数列首项为，公比为，列方程组求出即得解.求出等差数列的公差即得数列的通项公式； （2）利用分组求和法即可得出． 【详解】（1） 解：设等比数列首项为，公比为． 由已知得　代入可得． 于是． 故，解得或． 又数列为递增数列，故， . 设等差数列首项为，公差为． 所以. 所以. （2）解：由题得. 所以数列的前项和. 数列单调性及其应用 1．（22-23高二上·河北唐山·期末）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，则下列说法错误的是（    ） A．为等比数列 B．也可能为等差数列 C．若，则为递增数列 D．若，则 【答案】C 【分析】对于A,根据等比数列的定义可以判断正误;对于B,非零常数列满足条;对于C,举出一个反例即可判断;对于D,根据等比数列的前n项和求出数列的前项，再用等比中项求出结果进行判断即可. 【详解】对于A,因为数列是等比数列,公比为,所以,设,则是常数,所以A正确; 对于B,若,即为等比数列也是等差数列,所以B正确; 对于C,若,,,则数列为递减数列,所以C错误; 对于D,因为,所以,由数列是等比数列,得,即,解得,所以D正确. 故选:C. 2．（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由等比数列的首项为，公比为， 对于A中，若，可得，所以为递减数列，所以A错误； 对于B中，若，可得，所以为递增数列，所以B正确； 对于C中，若，可得，所以为递减数列，所以C错误； 对于D中，若，可得，所以为递增数列，所以D正确. 故选：BD. 3．（23-24高二上·河北·期末）（多选）下列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据递增数列的定义判断． 【详解】A．令，则，是递增数列，正确； B．令，则，，不合题意，错； C．令，则，符合题意．正确； D．令，则，，不合题意．错． 故选：AC． 4．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，n的最大值为14 【答案】BCD 【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】等差数列中，，，， ，公差，数列是递减数列，A错误 ， ，B正确. ，数列是递减数列， 当时，最大,C正确. , ,. 当时，n的最大值为14,D正确. 故选:BCD. 5．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据，得到，然后逐项判断. 【详解】由，得. 若，则，不满足，故A错； 由，故B正确； 当时，且，则，，所以，故C正确； 当时，且，则，，所以，所以，则，故D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】AB 【分析】根据给定条件，探讨等比数列的性质，再逐个选项分析判断即可. 【详解】由，或， 而，，同号，则，，即数列前项大于，从第项开始小于1， 对于A，，又，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，显然是递减正项数列，且，，因此是数列中的最大项，C错误； 对于D，，D错误. 故选：AB 7．（23-24高二上·河北唐山·期末）（多选）数列满足：，，则（    ） A． B． C．为单调递减数列 D．为等差数列 【答案】ACD 【分析】根据递推关系可证明为等差数列，且公差为1，即可利用等差数列的通项求解，结合选项即可逐一求解. 【详解】由可得，因此为等差数列，且公差为1，故D正确， 由于为等差数列，且公差为1，所以，故， 故为单调递减数列，C正确， ，故，A正确， ，，B错误， 故选：ACD 数列求通项公式的综合性方法 1．（23-24高二上·河北·期末）在数列与中，已知，则 ． 【答案】1 【分析】由已知计算可得为常数列，进而可得结果. 【详解】由题意知，， 所以为常数列，即， 所以． 故答案为：1. 等差（等比）数列的证明 1．（23-24高二上·河北·期末）正项数列满足，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）利用构造法整理递推公式即可证明； （2）求出数列通项公式，利用分组求和求出前n项和即可. 【详解】（1）整理得，即， 令，则，故是首项为4，公比为4的等比数列； （2）由（1）可得，即， 根据分组求和可得 2．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且. (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义判断可得答案； （2）由（1）求出得，再利用并组求和、等比数列求和可得答案. 【详解】（1）， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知，所以， 所以 ． 3．（23-24高二上·河北·期末）为数列的前项和．已知，． （1）证明是等比数列，并求数列的通项公式； （2）数列为等差数列，且，求数列的前项和． 【答案】（1）见解析，．（2）． 【解析】（1）先利用定义法证明是等比数列，再由与的关系求出的通项公式； （2）先利用数列与的关系求出，然后利用裂项相消法求． 【详解】（1）证明：因为，所以．又， 所以是以为首项，以2为公比的等比数列． ∵， ∴． 当时，；经检验，也符合． ∴． （2）∵数列为等差数列，且， ∴公差． ∴． ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的定义及通项公式和裂项相消法求和，属于中档题． 4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列的首项是3，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知变形得，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）可得，利用分组求和以及公式法即可得到结果. 【详解】（1）证明：由，得， 又． 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ，， 5．（23-24高二上·河北唐山·期末）数列满足，，. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，，结合递推关系即可求解； （2）利用等差数列的定义证明即可； （3）先用累加法求出，然后用裂项相消法求出. 【详解】（1）令，得； 令，得. （2）， 所以是以为首项，2为公差的等差数列. （3）由（2）得， 所以 ， 所以， 所以. 6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由已知等式变形可得出，利用等差中项法可证得结论成立，确定数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为，，则， 等式两边同时乘以可得， 即，所以，数列是等差数列. 且，，等差数列公差为， 所以，，故. （2）数列的前项和为，且， 则， 所以，， 两式相减可得 ， 所以. 数列恒成立问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前项和，设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出、的通项公式，代入，可得的取值范围. 【详解】由数列的前项和， 可得，故， 故， 故=， 不等式恒成立，即恒成立， 即，由，可得，(当n=1时等号成立)， 所以，故选：A. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和的求法、基本不等式的应用. 2．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用时，，得到，然后利用累乘法求通项； （2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后求的最大值即可. 【详解】（1）由题意得， ①-②得，，， ， 符合此式， ∴. （2）对任意恒成立， 即对任意恒成立，记，故， 所以当时，，，所以，即， 当时，，即随着的增大，递减， 所以的最大值为，所以，即. 3．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由求通项公式，由等差数列定义写出通项公式，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求，问题化为对一切恒成立，研究右侧的单调性求最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）当时，，解得. 当时，，两式相减得， 即， 所以是首项､公比均为2的等比数列，故. 又，故. （2）因为，所以①，②， ①-②得. 所以. 不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立. 令，则， 又， 当时，，当时，， 所以，则. 所以实数的取值范围为. 数列新定义 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列求和可得，结合题意代入运算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时 第次得到数列1，，2 此时 所以，故A项正确； 结合A项中列出的数列可得： 用等比数列求和可得 则 又 所以 ，故B项正确； 由B项分析可知 即，故C项错误. ，故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想. 3．（23-24高二上·河北·期末）用表示自然数的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、3、9，，10的正因数有1、2、5、10，.记，则（1） .（2） . 【答案】 86 【分析】根据的含义，可得到，由此可求得的结果；利用，对分组求和，进行递推，结合等差等比数列的前n项和公式，求得答案. 【详解】由题意得： , ; , 故答案为：86；. 4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等差数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和． （说明：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由此可得； （2）采用分组求和和裂项相消法可求得，由取整运算定义可得，分类讨论可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得：，解得：， . （2）由（1）得：， ， ； 则当时，；当时，； 当时，； 综上所述：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题04 数列 数列的递推关系 1．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）在数列中，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，则的前2024项和为（   ） A．589 B．590 C． D． 4．（23-24高二上·河北保定·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二上·河北·期末） （多选）已知数列中，，则（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的所有可能取值之和为 . 7．（23-24高二上·河北·期末）已知数列满足，则 . 8．（23-24高二上·河北·期末）若数列满足，则 . 判断数列中的项 1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列的通项公式，则123是该数列的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 2．（23-24高二下·河北承德·开学考试）（多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为7 特殊数列-斐波那契数列 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列满足：，，则是斐波那契数列中的第（    ）项 A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2．（23-24高二上·河北·期末）著名的斐波那契数列满足，，其通项公式为，则是该数列的第 项； ． 等差、等比数列的定义 1．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知数列，是等比数列，那么下列一定是等比数列的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北沧州·期末）（多选）在各项均为正数的等比数列中，公比为q（），前n项和为，则下列结论正确的是（    ） A．（m，） B． C．是等比数列 D． 等差数列基本量运算 1．（23-24高二下·河北承德·开学考试）已知等差数列的公差和首项都不为0，且成等比数列，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知，均为等差数列，且，，，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）在等差数列中，p，，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为递减数列 C． D． 5．（23-24高二上·河北·期末）（多选）等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．的公差为1 B．的公差为2 C． D． 等比数列基本量运算 1．（23-24高二上·河北·期末）已知数列是等比数列，且，，则（    ） A．3 B．6 C．3或 D．6或 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列{an}的公比，则等于（　　） A． B． C． D．9 3．（23-24高二上·河北·期末）已知为等比数列且各项均为正数，公比为q，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二上·河北·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（　　） A． B．或 C． D． 5（23-24高二上·河北·期末）已知为正项等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河北保定·期末）在公比不为1的等比数列中，，的前项积为，则中不同的数值有（   ） A．15个 B．14个 C．13个 D．12个 7．（2020·全国·高考真题）设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．24 C．30 D．32 8．（23-24高二上·河北邢台·期末）（多选）已知等比数列的首项为，公比为，前项和为.若，则下列结论正确的是（    ） A．的取值为或或 B．当时， C．当时， D．当时，为递增数列 9．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知等比数列的公比为q，且，，，则 . 10．（2018·全国·高考真题）等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 等差中项及下标和性质 1．（23-24高二上·河北·期末）已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．240 B．60 C．180 D．120 2．（23-24高二上·河北·期末）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．36 B．45 C．54 D．63 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列满足，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（23-24高二上·河北·期末）在等差数列中，，，则 ． 等比中项及下标和性质 1．（23-24高二上·河北·期末）已知在正项等比数列中，，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前项和为，则（    ） A．127 B．135 C．255 D．263 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足，且，则的值是（   ） A． B．5 C．4 D． 4．（23-24高二上·河北·期末）已知为等比数列，且，则 . 5．（23-24高二上·河北·期末）在等比数列 中，，则 ． 等差（等比）数列前n项和性质 1．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）记是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．78 3．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则 . 4．（23-24高二上·河北·期末）等差数列的前项和分别为和，若，则 . 数列的实际应用 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（    ） A．29.375米 B．19.375米 C．38.75米 D．28.75米 2．（23-24高二上·河北·期末）利用温室大棚等设施进行蔬菜种植，可以使得人们在一年四季吃上夏季的新鲜蔬菜，造福民生．某地大棚种植户现要采购一批圆筒状地膜，发现该种圆筒状地膜由纸质圆柱形空筒和缠绕在纸筒外面的地膜构成，经测量得到圆柱形空筒底面圆的半径为3cm（纸质圆筒的厚度忽略不计），每层地膜的厚度为0.1mm，约定在计算每层地膜的长度时，以外层半径来进行，则一筒100层的地膜的总长度大约为（    ）（，结果精确到1m） A．18m B．19m C．20m D．21m 3．（23-24高二上·河北·期末）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（    ） A． B． C． D． 等差数列相关最值问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（    ） A．20 B．24 C．36 D．40 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）设数列的前项和为，满足且，则下列选项正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C．当时，取最大值 D．设，则当或时，数列的前项和取最大值 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）设数列的前项和为，满足，其中，，则下列选项正确的是（    ） A． B．为等差数列 C． D．当时，有最大值 数列求通项-累加（累乘）法 1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列各项均为正数，且首项为1，，则 ． 2．（23-24高二上·河北·期末）若数列满足，则的通项公式是 ． 3．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和，并求的最值. 数列求通项-前n项和法 1．（23-24高二上·河北·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）（多选）已知数列的前项和分别为，若，则下列说法正确的是（    ） A．是首项为2的等差数列 B．是首项为1的等比数列 C．当时，均为奇数，均为偶数 D．存在，使得 3．（23-24高二上·河北·期末）在数列中，是其前n项和，且，则数列的通项公式 ． 4．（23-24高二上·河北·期末）已知数列满足，，则的通项公式是 . 数列求通项-构造法 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知数列中，且，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知数列满足，，为的前项和，则（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．当或时，取得最大值 数列求和-裂项相消法 1．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知数列满足，，数列满足．记数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前项和. 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前n项和，证明：． 4．（23-24高二上·河北衡水·期末）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 5．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 6．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 7．（23-24高二上·河北·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 8．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，且. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 数列求和-错位相减法 1．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前n项和满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 2．（23-24高二上·河北·期末）已知数列、满足，若数列是等比数列，且 ． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求的前项和为. 3．（23-24高二上·河北·期末）已知数列是公比大于0的等比数列，数列是等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 4．（2017·山东·高考真题）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. (I)求数列{an}通项公式； (II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和. 5．（23-24高二上·河北承德·期末）已知正项数列满足，数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)证明：． 6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和为，首项，公差.从①；②成等比数列；③三个条件中任选一项，解答下列问题. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分. 数列求和-分组（并项）求和法 1．（23-24高三上·福建福州·期中）已知数列满足：，数列为等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求和：． 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）数列是首项为1，公比为正数的等比数列，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 3．（21-22高二下·广东佛山·期中）数列的通项公式为，则它的前100项之和等于 . 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 5．（22-23高二上·河北衡水·期中）已知递增的等比数列满足，且是和的等差中项.数列是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 数列单调性及其应用 1．（22-23高二上·河北唐山·期末）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，则下列说法错误的是（    ） A．为等比数列 B．也可能为等差数列 C．若，则为递增数列 D．若，则 2．（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·期末）（多选）下列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，n的最大值为14 5．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 7．（23-24高二上·河北唐山·期末）（多选）数列满足：，，则（    ） A． B． C．为单调递减数列 D．为等差数列 数列求通项公式的综合性方法 1．（23-24高二上·河北·期末）在数列与中，已知，则 ． 等差（等比）数列的证明 1．（23-24高二上·河北·期末）正项数列满足，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 2．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且. (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 3．（23-24高二上·河北·期末）为数列的前项和．已知，． （1）证明是等比数列，并求数列的通项公式； （2）数列为等差数列，且，求数列的前项和． 4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列的首项是3，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和． 5．（23-24高二上·河北唐山·期末）数列满足，，. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)若，求数列的前n项和. 6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求． 数列恒成立问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前项和，设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 3．（23-24高二上·河北·期末）已知数列的前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 数列新定义 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·期末）用表示自然数的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、3、9，，10的正因数有1、2、5、10，.记，则（1） .（2） . 4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知等差数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和． （说明：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$