专题03 圆锥曲线综合（10基础题型+8提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

· 专题03 圆锥曲线综合 圆锥曲线的定义 1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出抛物线的焦点的坐标，利用平面内两点间的距离公式求出的值，即可得出该抛物线的准线的方程. 【详解】抛物线的焦点为， 则，且，解得， 故该抛物线的准线方程为. 故选：C. 2．（23-24高二上·河北·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于 A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x0=x0+, 得出x0求得p，即可得答案． 【详解】由题意，3x0=x0+，∴x0=∴ ∵p＞0，∴p=2. 故选D． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题． 3．（23-24高二上·河北保定·期末）平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点轨迹为椭圆 B．若，则点轨迹为双曲线 C．若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的 D．若，则点轨迹为圆 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合椭圆、双曲线，以及轨迹方程的求法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为， 由椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆，所以A正确； 对于B中，由双曲线的定义可得时，点的轨迹为双曲线， 所以B不正确； 对于C中，设，由，可得， 整理得，可得曲线关于轴对称，所以C正确； 对于D中，因为，可得， 整理得，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以D正确. 故选：ACD. 4．（23-24高二上·河北·期末）设抛物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则 . 【答案】 【分析】根据抛物线定义得，由点在抛物线上，代方程即可解决. 【详解】由题知，抛物线的焦点，抛物线上一点到点的距离为6， 所以，得， 所以抛物线为， 所以，解得， 故答案为： 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为 . 【答案】 【分析】先求出抛物线标准方程，再求准线方程. 【详解】将点代入，得， 所以抛物线解析式为，即， 故其准线方程为. 故答案为：. 圆锥曲线的方程 1．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线定义求解即可. 【详解】由题意可知，，解得，， 所以双曲线的方程是． 故选：D． 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知为双曲线的一个焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由关系列方程得参数的值，由此即可得解. 【详解】由题意得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 3．（23-24高二上·河北·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理可求得，进而可求出答案. 【详解】因为，所以， 又因为点在上，所以， 即，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，故， 则，所以， 则，所以， 所以， 所以的方程为. 故选：B.    4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】由题得出，代入求得，得到双曲线标准方程即可得出答案. 【详解】由题意得，代入得，解得， 即，因此虚轴长为， 故选：D． 5．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可. 【详解】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 6．（23-24高二上·河北·期末）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，得到，代入抛物线方程，求出，从而得到答案. 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，则， 将代入，故，解得，    所以该抛物线的焦点到顶点的距离为m. 故选：B 7．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知椭圆的焦距为8，离心率，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意可得到、的值，计算可得的值，分析焦点的位置，可得椭圆的标准方程. 【详解】由题意有，则， 离心率，， ，. 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 故选：AB． 圆锥曲线的焦点三角形 1．（23-24高二上·河北·期末）已知点，为椭圆的左右焦点，过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，则三角形的内切圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得的周长为，，进而等面积法求解即可. 【详解】解：根据题意得,， 因为过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点 所以， 根据椭圆定义得的周长为， 不妨设三角形的内切圆的半径为， 所以根据等面积法得，代入数据得 故选：C 2．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由双曲线的定义及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面积相等法求得的值，进而求得，得到答案. 【详解】由双曲线，可得，则， 设，由双曲线的定义，可得， 根据余弦定理，可得，解得， 再设点的坐标为， 则， 因为，可得，解得， 由，可得，即点到轴的距离为. 故选：C. 3．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知曲线的左､右焦点分别为，倾斜角为的直线经过左焦点.直线与曲线的交点为（在轴上方），过点作的平分线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)若，求内切圆的圆心的横坐标和的长； (2)若，求的面积和的长. 【答案】(1)圆心的横坐标为， (2)， 【分析】（1）设内切圆分别与切于点，由切线长关系可得，，结合双曲线定义得，求得圆心的横坐标为；设与的延长线交于点，则，可得，而得解； （2）设与的延长线交于点，令，则，所以，在中，由余弦定理求出，得解. 【详解】（1）由题意曲线，则. 设内切圆分别与切于点，则，， 所以 ，即圆心的横坐标为. 设与的延长线交于点，则，所以. 因为分别为的中点，所以.    （2）曲线，则. 设与的延长线交于点，令，则， 所以. 因为分别为的中点，所以. 在中，由余弦定理得，即 ，解得，所以. 在中，.    【点睛】思路点睛：第一问，由圆的切线性质结合双曲线的定义求得圆心的横坐标，再根据平面几何得，因为分别为的中点，所以得解. 第二问，设与的延长线交于点，令，结合椭圆定义，，在中，由余弦定理求出，又因为分别为的中点，所以以及三角形面积公式运算得解. 圆锥曲线的简单几何性质 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，结合充分、必要条件可得结果. 【详解】若的方程为，则， 可得渐近线方程为，即充分性成立； 若渐近线方程为，则双曲线方程为， 不一定为，即必要性不成立； 所以“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件， 故选：A. 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的方程和几何性质可得答案． 【详解】由双曲线可得，， 所以渐近线方程为. 故选：B. 3．（23-24高二上·河北·期末）双曲线的焦点到其渐近线的距离为（    ） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】C 【分析】求出双曲线的焦点坐标,渐近线方程，利用点线距即可求得答案. 【详解】双曲线 可得:,可得: 可得焦点为 , 点F到渐近线的距离为: 故选:C. 4．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据椭圆和双曲线相关基本知识直接求解即可. 【详解】设椭圆焦距为， 则，则，所以椭圆 的左焦点为， 所以双曲线 的左顶点为， 所以，所以， 所以双曲线 的渐近线为. 故选：D 5．（23-24高二上·河北·期末）抛物线y2＝x的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可以先确定开口方向，再根据方程得的值，进而得到焦点坐标. 【详解】由y2＝x知抛物线的焦点在轴上，且开口向右，,∴，焦点坐标为， 故选:B． 【点睛】根据抛物线的方程求焦点坐标、准线方程时，可以总结如下： 的焦点坐标 ,准线方程； 的焦点坐标 ,准线方程. 6．（23-24高二上·河北沧州·期末）若焦点为F的抛物线上一点P的纵坐标为，则原点O到直线PF的距离（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求出点P的坐标，然后利用焦半径公式求出，再根据等面积法列式求解即可. 【详解】由已知可得点P的横坐标为，由抛物线定义知， 因为且， 所以，解得. 故选：B． 7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）若椭圆的焦距为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】CD 【分析】 讨论椭圆焦点所在位置，结合之间的关系分析求解. 【详解】由题意可知：， 若焦点在x轴上，则，解得； 若焦点在y轴上，则，解得； 综上所述：或. 故选：CD. 8．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知点A是椭圆C：上一点，B是圆：上一点，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．圆P的圆心坐标为 C．圆P上所有的点都在椭圆C的内部 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A,可先将椭圆化为标准式，再由参数关系可直接求离心率；对于B，可先将圆化为标准式，可直接得到圆心；对于C，取圆上的一些特殊点判断其与特殊点的位置关系，再联立椭圆与圆的方程判断有无交点，两者结合即可判定椭圆与圆的位置关系；对于D，可先求的最值，再通过圆上的点的常用几何结论，来求的最小值. 【详解】对于A，椭圆C的方程可化为，则半焦距， 所以离心率，故A错误； 对于B，圆P的方程可化为，则圆心为，故B正确； 对于C，圆P上的点显然在椭圆C内， 联立可得， 而， 所以椭圆C与圆P无公共点，又部分点在椭圆内，则圆P在椭圆C内部，故C正确； 对于D，设， 则 则， 所以时，取得最小值， 又B是圆：上一点，即可得, 所以，即的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 9．（23-24高二上·河北·期末）抛物线的准线方程为 . 【答案】 【分析】将抛物线方程化为标准方程即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，其准线方程为. 故答案为：. 10．（23-24高二上·河北·期末）已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】在中，由结合正弦定理可得，在设抛物线上点，列式求解即可得，则可求. 【详解】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点， 所以，， 因为在中，， 所以由正弦定理可得，,      因为为抛物线上一点，所以可设为 由此可得， 平方化简可得：，即，可得, . 故答案为：. 11．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 . 【答案】 【分析】根据渐近线方程得到双曲线方程，求出，进而求出焦距. 【详解】由题可知，解得，所以， 故的焦距为. 故答案为： 12．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知双曲线的左焦点为，过点的直线分别与渐近线和交于点，且（是坐标原点）.若，则的值为 . 【答案】或 【分析】分类讨论，即分别在轴两侧或在轴左侧，求出，，分别确定和，结合解直角三角形，求出的关系，即可求得答案. 【详解】若分别在轴两侧（如图），    到的距离. 由，得. 设的倾斜角为，则，且, 在中，，所以， 所以，,所以. 若均在轴左侧（如图），    在中，，, 所以， 所以，, 所以， 故答案为：或 圆锥曲线的离心率及双曲线渐近线问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设椭圆右焦点为，根据椭圆的定义以及余弦定理可求出的关系，即可求出椭圆的离心率. 【详解】设椭圆右焦点为，连接，， 根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则， 因为，可得，所以， 则，， 由余弦定理可得， 即，即 故椭圆离心率 故选：C. 2．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线上在第一象限内的一点，，且的面积为，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知，点在线段的垂直平分线上，联立与双曲线方程可求得点坐标，由等面积法可得，解关于的齐次式方程即可. 【详解】由题意知，，如图所示， 因为， 所以点在线段的垂直平分线上， 又点在双曲线的第一象限上， 所以，解得， 又因为， 所以， 整理得，即， 解得（舍负）， 又， 所以. 故选：B. 3．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线上的一点，目，射线平分，交轴于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线性质定理结合双曲线定义求出，，在中利用余弦定理求得关系式，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨设P在双曲线右支上， 因为射线平分，， ∴， 由双曲线定义知：，则，， 在中，由余弦定理得：， 得， ∴双曲线的离心率, 故选：C 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为双曲线E上的一点，且，射线PN平分，交x轴于点N，若，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线性质定理结合双曲线定义求出，，再利用余弦定理求得关系式即得答案. 【详解】依题意，点P在双曲线右支上，由射线平分，， 得， 由双曲线定义知：，则，，令双曲线E的半焦距为c, 在中，由余弦定理得：， 整理得，于是， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，椭圆的左焦点为F，A、B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆对称性可知y轴垂直平分线段，即有为等边三角形，即可得，代入椭圆方程计算即可得. 【详解】连接，设，因为轴，所以， 又因为，所以， 故y轴垂直平分线段，即为等边三角形， 且，可得， 将其代入，可得，又， 整理可得，即， 解得，可得（负值舍去）， 由椭圆的离心率，可得. 故选：B． 6．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线的左，右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义及求出，利用勾股定理可求结果. 【详解】如图，设，由双曲线定义知， 则． 又，所以， 所以． 又，所以，由，得 ，则，而， 则，化简得，所以． 故选：C. 7．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据点在椭圆上结合得到方程组，解出即可得到离心率. 【详解】设，则，， ，， 因为，即， 整理得，即，即， 由题可知，则，即， 则，则，则， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，根据题意得到，再结合点在椭圆上即可得到离心率. 8．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆的方程联立结合韦达定理求出的关系计算即得. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即， 由消去并整理得：， 则，即， 设，则，而弦的中点为，即， 于是，解得，此时 所以椭圆的离心率. 故选：C 9．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知双曲线C：（，），若四个点，，，（，）中有三个点在C上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据双曲线的对称性，通过数形结合来排除一个点，然后将代入，求出的值，进而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】∵，关于原点对称，线段垂直于y轴且在x轴的同侧， ∴不在双曲线上，将代入双曲线方程， 解得，代入点解得， 所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 10．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，已知双曲线的一条弦所在直线的倾斜角为，点关于原点的对称点为，若，双曲线的离心率为，则（    ）    A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由题意结合两角和的正切公式求出，设，利用点差法可推出，再根据，即可求得答案. 【详解】由题可知，弦所在直线的倾斜角为，， 则直线的倾斜角为， . 设，则， 则，，两式相减可得， 即， 即，则， 故， 故选：C. 11．（23-24高二上·河北·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于点，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与、有关齐次式即可得离心率. 【详解】由双曲线的对称性可得， 有四边形为平行四边形，令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即， ， 则，即，故， 则有， 即，即，则，由，故. 故答案为：. 12．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，上位于第一象限的点满足，若直线的斜率为，则的离心率为 . 【答案】 【分析】求出点的坐标，由可得出关于、的齐次等式，变形可得出关于的方程，解之即可. 【详解】将代入椭圆的方程可得，可得， 因为上位于第一象限的点满足，则，    又因为，即，即，即， 等式两边同时除以可得， 因为，解得. 故答案为：. 13．（23-24高二上·河北·期末）已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是 . 【答案】 【分析】设是的中点，先求得点的坐标，然后利用点差法求得，进而求得正确答案. 【详解】设，依题意，设的中点为， 由于，所以，所以，， 由于，所以， 所以，所以或， 由于在双曲线的渐近线上， 所以，两式相减并化简得，， 若，则不符合题意，舍去. 若，则，所以， 所以渐近线方程为. 故答案为： 【点睛】本题解题的关键点有两个，一个是，则在线段的垂直平分线上，由此可以构建中点和斜率的关系式；另一个关键点是点差法，利用点差法可以减少运算量，可以快速求得问题的答案. 14．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 . 【答案】 【分析】利用点差法得到，根据题意和渐近线方程得到，故，从而求出离心率的取值范围. 【详解】设， 则，两式相减得， 若，则的中点在轴上，不合要求， 若，则的中点在轴上，不合要求， 所以， 因为为的中点，所以， 故， 因为的渐近线方程为， 要想直线与双曲线：交于A、B两点，则， 即，解得， 所以离心率. 故答案为： 【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷. 圆锥曲线最值相关题型 1．（23-24高二上·河北·期末）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点求得，利用椭圆的定义求得的最大值. 【详解】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则， 且，，所以椭圆方程为， 所以，设左焦点为， 根据椭圆的定义得， 当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A    2．（23-24高二上·河北·期末）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件. 【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)， 由直线PQ过抛物线的焦点，则， 圆C2：圆心为(2,0)，半径1， ， 当且仅当时等号成立，故的最小值为13. 故选：D 【点睛】关键点点睛：由焦半径的倾斜角式得到，并将目标式转化为，结合基本不等式求最值. 3．（23-24高二上·河北·期末）已知A是抛物线C：上的点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值 【详解】设， 则， 当且仅当时，等号成立． 故选：D． 4．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是该椭圆上的动点､点，则的最大值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】 由椭圆定义得出，于是有，只要求得的最大值即可得，而，从而可得结论． 【详解】由题可知，， 所以， 而，即， 故，当且仅当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 故选：A. 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，P是椭圆C上的动点，点，则下列结论正确的是（    ） A． B．面积的最大值是 C．椭圆C的离心率为 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，根据椭圆定义求出答案；B选项，数形结合得到当在上顶点或下顶点时，面积最大，求出最大值；C选项，由直接求解即可；D选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到，当三点共线且在之间时,取得最小值，得到答案. 【详解】A选项，由题意得， 由椭圆定义可得，A正确； B选项，当在上顶点或下顶点时，面积最大， 最大值为，B错误； C选项，离心率，C正确； D选项，因为，所以点在椭圆内，连接， 由椭圆定义可知，故， 故， 当三点共线且在之间时，取得最小值， 最小值为， 所以最小值为，D正确. 故选：ACD 6．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， ， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，， 则， 的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，解答的关键是根据椭圆的定义将目标等价转化点共线问题，也即线段的长度问题，通过数形结合即可求解，考查学生的转化与化归思想． 7．（23-24高二上·河北保定·期末）过直线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别是A，B，过点向直线引垂线，垂足为，则线段为坐标原点）的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出直线、的方程，即可求出直线恒过定点，讨论直线的斜率存在和不存在，求解即可. 【详解】设， 设切线的方程为， 联立得； ∵与椭圆相切， ∴，整理得：， 所以代入，得， 所以， 从而切线的方程为， 再将代入整理可得，直线的方程为：， 同理直线的方程为：， 直线，的方程过点，所以，， 即，， 则为方程的解，故直线的方程为， 令，则，这直线恒过定点， ①当直线的斜率不存在时，则直线为， 过点向直线引垂线，垂足为，则， ②当直线的斜率存在时，则直线为， 过点向直线引垂线，垂足为，过点作向直线引垂线，垂足为， 连接，点到直线的距离为， 过点作交于点，可知四边形时矩形， 所以，而在中，， 又，所以，所以， 在中，， 而在中，， 则， 故可知. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点；若直线方程为 (为定值)，则直线过定点 8．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点． (1)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据已知条件求出双曲线方程，设，并表示出点到两条渐近线的距离，，结合计算即可求解； （2）设，根据，坐标表示出，结合，得到关于的一元二次函数，根据定义域或求最值即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为 设，则，渐近线为， P到两条渐近线的距离之积. （2） 由已知，得，，设或， 在双曲线上，所以， 因此 或， 对称轴为，由于或，所以当时，取得最小值为. 圆锥曲线的轨迹方程 1．（23-24高二上·河北·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合抛物线定义即可解题. 【详解】由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 2．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解； （2）设，，，利用点差法化简计算即可得出结果. 【详解】（1）由抛物线的定义得， 故． （2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点， 设，，， ∴，， 当M，F不重合时，相减整理得，， ∴，即， 当M，F重合时，满足上式． ∴点M的轨迹方程为． 3．（23-24高二上·河北·期末）在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义直接求解即可； （2）将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求解即可. 【详解】（1）在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离， 所以根据抛物线的定义可得动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以轨迹为的方程为. （2）设点，， 由，消去整理得， ， ， 故弦长. 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆，定点，D是圆A上的一动点，线段DB的垂直平分线交半径DA于点E． (1)求点E的轨迹方程； (2)若直线m与点E的轨迹交于M，N两点，与圆相交于P，Q两点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意分析可知，结合椭圆的定义求轨迹方程； （2）由题意分析可知圆心到直线m的距离，设直线m的方程为，，联立方程结合韦达定理求，进而可求的面积，并利用基本不等式求最大值. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为4． 因为D是圆上的一个动点，线段DB的垂直平分线交半径DA于点E，    则，可得， 因此E点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中， 所以点E的轨迹方程为． （2）圆的圆心为，半径为2， 由题意可知：圆心到直线m的距离，    结合点E的轨迹方程可知：直线m的斜率可以不存在，但不为0， 设直线m的方程为，， 可得，整理得，即， 联立方程，消去x得， 则， 可得， 则， 所以△OMN面积为， 且，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以△OMN面积的最大值为1. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 圆锥曲线韦达定理的直接应用 1．（23-24高二上·河北·期末）已知点和抛物线，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若，则 . 【答案】1 【分析】设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，根据，由求解. 【详解】因为抛物线的焦点为， 设直线AB的方程为， 与抛物线方程联立，得， 设， 则， 所以， 所以， 因为， 所以， ， 即， 解得. 故答案为：1 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知点在抛物线上，则 ；过点M作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（不同于点M），则直线经过的定点坐标为 . 【答案】 2 【分析】由抛物线过点求出；设直线的方程为：，，联立，得，利用韦达定理，通过，转化求解出直线方程，推出直线经过的定点. 【详解】 因为点在抛物线上，所以，解得； 抛物线，由题意知，直线斜率不存在时，不符合题意， 设直线的方程为：，， 联立，得， 所以， 因为，所以， ，， 所以，即， 所以，即， 验证    ， 所以， 直线经过的定点坐标为， 故答案为：2；. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 3．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求解的值，即可求得椭圆C的标准方程； （2）根据题意设，直线：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合，求出的值，再根据弦长公式即可求得. 【详解】（1）由题意可得：， 解得：， 椭圆C的标准方程为：； （2）， 由题意可设：直线：，， 联立： 得：， 则， ， ， 又， ， 解得：， 故， . 直线与圆锥曲线的位置关系 1．（23-24高二上·河北保定·期末）如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（   ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】求出直线的方程与抛物线方程联立求出可得答案. 【详解】由题可知，则直线的方程为， 与抛物线方程联立，得， 解得，或，因为点在第一象限，所以， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则下列结论正确的有（　　） A．抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3 B．过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4 C．过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条 D．过点（2，0）的直线1与抛物线交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣8 【答案】ABD 【分析】利用抛物线的定义判断选项A，由焦点弦中最短的为通径，即可判断选项B，由直线与抛物线的位置关系判断选项C，由直线与抛物线联立，由韦达定理即可判断选项D． 【详解】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1， 对于A，设M的横坐标为x0，则由抛物线的定义可得，MF＝x0+1＝4，解得x0＝3，故选项A正确； 对于B，过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为通径长，又通径长为2p＝4，故选项B正确； 对于C，当直线的斜率不存在时，直线为x＝0，与抛物线有一个公共点； 当直线与抛物线的对称轴平行，即直线为y＝2时，与抛物线有一个公共点； 当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为y＝kx+2， 联立方程组，可得k2x2+4（k﹣1）x+4＝0， 则Δ＝16（k﹣1）2﹣16k2＝0，解得， 此时直线方程为，与抛物线有一个公共点． 综上所述，过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有3条，故选项C错误； 对于D，设过点（2，0）的直线方程为x＝my+2， 联立方程组，可得y2﹣4my﹣8＝0， 则y1y2＝﹣8，故选项D正确． 故选：ABD． 3．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 先根据题意得到曲线为，直线为，再根据当，，，时，曲线及直线的横截距与纵截距的关系即可逐项判断． 【详解】因为，所以曲线为，直线为， 当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确． 故选：BD． 4．（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（   ） A．0 B．－1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，得到点的轨迹方程为，结合双曲线的几何性质，以及直线与双曲线的位置关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由点，且点满足， 根据双曲线的定义，可得点是以为焦点的双曲线的右支，且， 所以双曲线的方程为， 又由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点， 由双曲线的渐近线方程为， 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支相切，只有一个公共点，符合题意，所以A正确； 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意，所以B正确； 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支没有公共点，不符合题意，所以C不正确； 当时，直线的方程为，联立方程组，其中， 可得，此时，且易知方程有两个正根， 所以直线与双曲线有两个公共点，不符合题意，所以D不正确. 故选：AB. 5．（23-24高二上·河北唐山·期末）（多选）已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（    ） A．C的焦点到其渐近线的距离为 B．直线与的斜率之积为2 C．过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条 D．点P到两条渐近线的距离之积为 【答案】AD 【分析】求出双曲线渐近线方程为，焦点为，设，由点到直线距离公式可判断A、D；由双曲线和直线的对称性可设，，由两点的斜率公式可计算，B错误；联立方程组，由弦长公式判断C. 【详解】对A，由已知得渐近线方程为，焦点为， 则焦点到渐近线的距离，A正确； 对B，由双曲线和直线的对称性可设，，， 则， 所以，故B错误； 对C，过C的一个焦点的直线，当其斜率不存在时，所以此时弦长为2； 当斜率存在时，分别与双曲线上下支各有一个交点时，结合图形可知弦长可以无穷大； 综上，过C的一个焦点的直线与双曲长相交时得到的弦长范围为， 又由双曲线的对称性可知，过C的一个焦点作弦长为4的直线至少有两条，故C错误； 对D，点到两条渐近线的距离之积： ，D正确. 故选：AD.    6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知A，B是椭圆与双曲线的公共左、右顶点，P是双曲线在第一象限上的一点，直线交椭圆于M，N两点．若直线过椭圆的右焦点F，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】分析题意，得到是定值，再结合椭圆对称性求解即可. 【详解】由题意可知．如图，设， 可得直线的斜率分别为． 因为点P在双曲线上，则，因此． 设点，可得直线的斜率， 因为点在椭圆上，则，整理得， 所以，即，可得， 所以直线与关于x轴对称． 又因为椭圆也关于x轴对称，且M，N过椭圆右焦点F，则轴， 则，所以． 故答案为：3． 【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线上的任一点与顶点的连线所在直线的斜率之积为定值. 利用韦达定理解决弦长问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知抛物线的焦点为F，已知第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且，则的面积是 . 【答案】 【分析】抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知：，求得直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，进而利用韦达定理和点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知：， 过A做， 由， ，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正， ∴直线AB的斜率为，直线AB的方程为， 联立直线AB与抛物线的方程可得：，整理得：， 由韦达定理可知：，则， 而原点到直线AB的距离为， 则三角形AOB的面积， 故答案为：．    2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知点是抛物线上一点，是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于不同于的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦半径公式可判断B选项；将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】将点的坐标代入抛物线的方程，可得，可得，A对； 所以，抛物线的方程为，其准线方程为，故，B对； 易知点，直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得或，即点， 所以，，C对； ，故、不垂直，D错. 故选：ABC. 3．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，半焦距为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可； （2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积． 【详解】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：， 因为焦距为，， 又离心率，，； 再由， 所以椭圆标准方程为：； （2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为： 则， 设， 则， 由弦长公式， 到直线的距离， . 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于、两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义求出的值，即可得出该抛物线的方程； （2）设点、，写出直线的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式求出以及原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）解：抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得，可得， 因此，抛物线的方程为. （2）解：设点、，由（1）可知，点， 易知直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 由抛物线的焦点弦长公式可得， 又因为原点到直线的距离为， 故. 5．（2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可； 【详解】（1）解：依题意可得，，又， 所以，所以椭圆方程为； （2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得 利用韦达定理解决定点问题 1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知为抛物线上的一点，为的焦点. (1)设的准线与轴交于点，过点作，垂足为，求四边形的面积； (2)若、为上横坐标不同的两动点，、与均不重合，且直线、的斜率之积为，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可得出抛物线的方程，分析可知四边形为直角梯形，求出该梯形的两底边长和高，利用梯形的体积公式可求得四边形的面积； （2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可得出、所满足的关系式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以，抛物线的方程为，其焦点为， 抛物线的准线方程为，易知点，，， ，，则四边形为直角梯形，且， 所以，四边形的面积为. （2）证明：设点、， 因为、为上横坐标不同的两动点，、与均不重合，则，且，， ，同理可得， 因为，整理可得， 若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以，，可得， 所以，直线的方程为， 由，可得，故直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 2．（23-24高二上·河北·期末）在平面直角坐标系中，动点Р到点的距离与到直线的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过作两条垂直直线，分别交曲线C于和，且分别为线段的中点，证明直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析，定点为. 【分析】（1）令，根据题设列方程并化简整理，即可得曲线C的方程； （2）讨论两条直线斜率存在性，设直线、，联立椭圆方程并应用韦达定理写出相交弦的中点坐标，进而写出直线，即可证结论并确定定点坐标. 【详解】（1）令，则，两边平方， 得，则， 所以曲线C的方程为. （2）若两条直线斜率都存在时，设直线，则， 联立，可得， 则， 所以，则， 故，同理可得， 所以，所以， 则，此时过定点； 若一条直线斜率为0，另一条斜率不存在，易知都在轴上，此时也过定点； 综上，直线过定点，得证.    3．（23-24高二上·河北·期末）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线l交抛物线于A，B两点，且． (1)求抛物线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点M，N，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线焦点弦公式即可求得p，从而可得该抛物线的方程； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量数量积公式可求得t的值，从而可得结果． 【详解】（1）拋物线的焦点，则直线的方程为：， 由消去y并整理得，，显然，设， 则，因此，解得， 所以抛物线的方程为：. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，点， 由消去x得，，当时，， 由，得， 显然，因此，满足，则直线：，过定点， 所以直线过定点. 4．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆经过点和． (1)求的方程； (2)若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点． 【分析】（1）将点代入椭圆方程即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可得坐标，进而根据点斜式求解直线方程即可求解定点，或者根据向量垂直满足的坐标运算，代入韦达定理化简即可求解，结合分类讨论, 进而得定点.. 【详解】（1）由题意得，把点的坐标代入，得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）（方法一）由 题意可知均有斜率且不为0， 设直线的方程为，联立方程组 消去得，可得， 解得，所以点的坐标为． 因为，所以直线的斜率为，同理可得点． 当时，有，解得，直线的方程为． 当时，直线的斜率， 则直线的方程为， 即， 即，直线过定点． 又当时，直线也过点． 综上，直线过定点． （方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为， 联立方程组消去得， ，即． 设，则， ． 因为，所以， 即， ， ， 化简得， 解得或， 所以直线的方程为或（过点A,不合题意，舍去）， 所以直线过定点． 当直线垂直于轴时，设它的方程为， 因为，所以． 又，解得或（过点A,不合题意，舍去）， 所以此时直线的方程为，也过点． 综上，直线过定点． 【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 利用韦达定理解决定值问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点，定值为 【分析】（1）根据题意得，将点代入方程即可解决； （2），结合韦达定理得，即可解决 【详解】（1）由题知，， 所以椭圆为，由点在椭圆上得解得，故椭圆方程为 （2）设， 由，得 所以， 所以 ， 所以，解得， 所以存在定点，使得为定值. 2．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点. (1)若直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，求直线的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）已知条件待定，得到椭圆方程.已知弦中点，结合点差法求出直线的斜率，进而得到直线方程； （2）根据焦点求出抛物线的方程为，设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用相切得出，可得，再利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）由，得，则. 又椭圆：的离心率为，设椭圆的焦半径为， 则，解得，则， 所以椭圆：. 由直线与椭圆相交于，两点，设，， ∴，， 两式作差得：， 即：， 由的中点为， 可得：，，代入上式得， 当时，，，两点重合，不合题意； 当时，直线的斜率， ∴直线的方程为：，即.    （2）由（1）知，则抛物线的焦点为， 所以，抛物线的标准方程为，准线方程为， 由于点是抛物线的准线上任意一点，故可设， 由直线，分别与抛物线相切于点可知， 直线，的斜率存在且都不为， 设过点的直线方程为， 联立消去, 得关于的方程， 若过点的直线与抛物线相切， 则其判别式， 化简得到关于的二次方程， 由题意知，直线，的斜率即该关于的二次方程的两根，即为、， 则由韦达定理知，， 故为定值，且定值为.    3．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为为上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且． (1)求的标准方程； (2)若为上异于的点，且直线过点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据斜率积得出，再根据点在椭圆上得出，最后写出椭圆方程即可. （2）联立方程组得出韦达定理，再结合斜率公式计算即可得出定值. 【详解】（1）由题意知， 则，得． 因为点在上，所以，得， 故的标准方程是． （2）由（1）知，． 可设直线， 联立得，得， 则， 所以． 所以，为定值． 【点睛】方法点睛：先联立方程组再结合斜率公式应用韦达定理计算即可得出定值. 4．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知椭圆C：（），F是其右焦点，点在椭圆上，且PF⊥x轴，O为原点． (1)求椭圆C的方程； (2)若M，N是椭圆C上的两点，且△OMN的面积为，求证：直线OM与ON的斜率之积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，求，即可求解； （2）当直线的斜率不存在时，求得点的坐标，再表示的值，当直线的斜率存在时，直线与椭圆方程联立，并表示的面积，并利用韦达定理表示. 【详解】（1）由已知得，， ∵， ∴，， ∴椭圆C的方程为． （2）设，， 当直线MN的斜率不存在时，不妨令点M在x轴上方，点N在x轴下方， 此时，，即，且 解得：， 得，或，，则； 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为， 代入椭圆方程，整理得， ，即， 由根与系数的关系得，， ∴， 设点O到直线MN的距离为d，则， ∴，整理得． ∵， ∴． 综上，直线OM与ON的斜率之积为定值． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键需讨论两种情况，重点是根据面积公式，得到这个关键条件. 利用韦达定理证明相关结论 1．（23-24高二上·河北·期末）已知抛物线E：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点. (1)求面积的最小值； (2)设直线交抛物线的准线于点，求证：平行于轴. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合根与系数关系、弦长公式、点到直线的距离公式求得面积的表达式，进而求得面积的最小值. （2）通过求的横坐标来求得正确答案. 【详解】（1）由得，，∴， 依题意得的斜率存在，设直线的方程，，， 由得：， ∴，， ∴， 又O到的距离， . （2）由（1）得直线的方程，的横坐标为， 又由得的横坐标为， 因为，的横坐标相同，所以平行于轴.    【点睛】方法点睛：求解抛物线中三角形面积的最值有关问题，有两个关键点，一个是联立直线的方程与抛物线的方程，由此求得根与系数关系，进而求得弦长、三角形面积的表达式；二个是根据三角形面积的表达式选择恰当的方法来求面积的最值，可以考虑：基本不等式、二次函数的性质、函数的单调性等知识. 2．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线的左､右顶点分别为是坐标原点，焦点到渐近线的距离为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的另一个交点为是双曲线上异于两点的一动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出渐近线方程和焦点坐标，从而得到方程求出，将代入双曲线方程，得到，求出双曲线方程； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程，得到的坐标，求出，得到直线的方程和直线的方程，联立得到，得到，证明出结论. 【详解】（1）渐近线方程为，焦点坐标为， 由题意可知，解得. 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 所以双曲线的方程是. （2）证明：由对称性可知，点的坐标为. 设直线的方程为，联立方程组消去得 ， 解得，代入，得，即. 中，令得， 故， 由题意知，点不与点重合，故，解得且， 其中 直线的方程为， 直线的方程为，即， 联立方程组解得 即. 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 3．（23-24高二上·河北·期末）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点. (1)求的值； (2)求证：OM⊥ON. 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （2）求出的值结合（1）中求出的值，直接证明即可. 【详解】（1）直线l的方程为， 直线与抛物线联立得，消去y可得， 其中， 由韦达定理得； （2）证明：，，所以， 又∵，∴. 设OM，ON的斜率分别为，， 则，，有， 则OM⊥ON. 4．（23-24高二上·河北保定·期末）椭圆的离心率为分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，已知面积为3． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于P，Q两点，过点向轴引垂线交MN于点B，点C为点P关于点B的对称点，求证：C，Q，M三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1） 根据离心率结合面积公式列方程计算即可; （2）先联立方程组得出韦达定理,再根据对称点求出点,再根据斜率相等及有公共点得出三点共线. 【详解】（1）由题意得，即 解得，所以椭圆. （2） 由题意可得直线的斜率存在，设斜率为 则直线，联立， 消去得，化简得 ， ，则， 因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，所以 则直线为，又因为过点向轴引垂线交于点， 所以点满足解得， 点为点关于点的对称点，所以， 所以 ， 所以三点共线． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再求出点，，最后计算并证明即可. 利用韦达定理解决存在性问题 1．（2007·广东·高考真题）在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线y=x相切于 坐标原点O.椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C的方程； （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段 OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，Q 【分析】(1)由题意列方程组求得圆C圆心坐标即可求得圆C的方程； (2) 依据以右焦点F为圆心半径为4的圆与圆C的公共点情况，来判断是否存在符合题意要求的点Q. 【详解】(1)设圆C圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则圆C的方程为： 已知圆C与直线y=x相切，则， 又圆与直线y=x相切于原点，则 由 可得，或(舍) 故圆C的方程为 (2) 椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． 则椭圆的长半轴长为5，则， 则椭圆的方程为，其半焦距， 则右焦点F(4，0)，则 以右焦点F为圆心，半径为4的圆的方程为 由，可得或(舍) 故存在异于原点的点Q，使得Q点到右焦点F的距离等于线段OF的长度4. 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由为的中点，分别表示出，，的坐标，再利用抛物线的定义表示出即可求出的值，从而得到抛物线的方程； （2）设直线，将直线与抛物线的方程联立方程，由韦达定理得到，再分别设出过和两点的切线方程，分别与抛物线联立方程，利用，化简得到：，，再联立两条切线方程，化简可得轴，分别表示出与的面积，利用面积相等，化简即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，当为的中点时，设，则，则，所以， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，设直线， 将直线与抛物线的方程联立消得， 则. 设抛物线在点处的切线方程为， 与抛物线的方程联立消得，则，得. 设抛物线在点处的切线方程为，同理可得. 联立，消得，所以轴. 故，，假设存在直线使与的面积相等，则，得. 又，解得或，此时重合，与题意矛盾， 故不存在直线使与的面积相等. 利用韦达定理解决取值范围问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线方程，将其与直线方程联立写出韦达定理，由题意求出点的坐标，推理计算出，从而将求的范围问题转化成求的取值范围即得. 【详解】 如图，因为直线过的焦点，令，解得：，即，故由可得，即． 把代入的方程整理得：，设，则，， 于是，，故得：， 则， ，所以，由，得． 故答案为: . 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的离心率为，点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限，当直线PA的斜率不存在时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)线段交圆于点B，记的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据双曲线的离心率为，得到，再根据，得到求解. （2）设，则，求得，再利用双曲线的定义得到，，再由，求解. 【详解】（1）由双曲线的离心率为，得，即 由，得，由过点的直线PA的斜率不存在时，，得， 解得，所以双曲线的方程为：. （2）设，，则，而，即， 则 ， 由双曲线定义得，显然圆的圆心为，半径， 因此，， 于是 ，， 从而，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 3．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆上任意一点到其左右焦点、的距离之和均为4，且椭圆的中心到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）已知以椭圆右顶点为直角顶点的动直角三角形斜边端点、落在椭圆上，求动直角面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由距离之和为4可得，由到直线的距离为可得，求出，即可写出椭圆方程； （2）设所在直线，联立椭圆，写出韦达定理，利用可求出，表示出三角形面积，即可求出最大值. 【详解】（1）由题可知. （2）由题易知斜边不可能和轴平行，故可设所在直线， 联立消去整理得：， 设，， 则有，， ， 由题可知 （舍）或 可得所在直线方程为：，恒过定点， 所以， 令，，则， 在上递增， 所以， 所以面积的最大值为，此时所在直线方程为：. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积的最值问题，属于较难题. 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点E．    (1)求点E的轨迹方程； (2)过点，且与x轴不重合的直线l与E的轨迹交于A，B两点，求的内切圆面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由垂直平分线得到，结合椭圆定义求出轨迹方程； （2）设出直线l的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，从而得到内切圆半径和面积最大值. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为4． 因为D是圆上的一个动点，线段的垂直平分线交半径于E点， 则，于是得， 因此E点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中， 所以E点的轨迹方程为． （2）依题意可设直线l的方程为， 联立消去x并整理得， ，   ． 又， 当且仅当时等号成立，． 设的内切圆半径为r，则， 则， 的内切圆面积的最大值为． 5．（23-24高二上·河北·期末）已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，． (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C过点，再代入求解作答. （2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求出面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答. 【详解】（1）依题意，，当直线的斜率不存在时，由，得直线过点，于是，解得， 所以椭圆的方程为． （2）依题意，直线不垂直于y轴，设直线的方程为， 由消去整理得，则， 的面积 ，令，对勾函数在上单调递增， 则，即，从而，当且仅当时取等号， 故面积的取值范围为． 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 6．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于短半轴长及离心率为建立方程，解方程即可求出椭圆C的方程； （2）可以设直线：与椭圆方程联立，得到方程，然后结合题目条件满足·（O为坐标原点），，利用判别式及韦达定理建立不等式，可以求出t的取值范围. 【详解】（1）由题意可知：短半轴长为：， 因为，则，即， 所以椭圆的方程为：. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设直线：，    联立方程，消去y得， 由，解得， 设，，，则， 因为，则， 可得，， 且点在椭圆上，则，整理得， 又因为，则， 可得，即， 整理得，解得，所以， 且，可得， 解得或， 所以实数取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 圆锥曲线几何性质的综合题型 1．（23-24高二上·河北·期末）（多选）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．面积的最大值为 C．到的左焦点的距离的最小值为 D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 【答案】ABD 【分析】由条件可得，由此可求椭圆的离心率，由此判断A，由条件可得为圆的直径，确定面积的表达式求其最值，由此判断B，由条件确定的表达式求其范围，由此判断C，结合点差法判断D. 【详解】依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上， 所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确； 因为点，，都在圆上，且，所以为圆的直径，所以，所以面积的最大值为，故B正确； 设，的左焦点为，连接，因为，所以，又，所以， 则到的左焦点的距离的最小值为，故C不正确； 由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，设，，则，，，又，所以，所以，所以， 故D正确 故选：ABD． 【点睛】椭圆的蒙日圆及其几何性质 过椭圆上任意不同两点，作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆，此圆即椭圆的蒙日圆．椭圆的蒙日圆有如下性质： 性质1：． 性质2：平分切点弦． 性质3：的最大值为，的最小值为． 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则△PMF的面积为2 C．|的最大值为 D．△PMF的周长的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为，即可判断A，根据抛物线定义得到，故点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到，计算即可判断C，三角形的周长，再结合抛物线定义即可求出的最小值，即得到周长最小值. 【详解】，，，准线方程为，故A正确； 根据抛物线定义得，，, 轴，当时，， 若点在第一象限时，此时, 故，的高为1，故， 若点在第四象限，此时，故， 的高为1，故，故B错误； ，,故C正确； （连接，并延长交于抛物线于点，此时即为最大值的情况， 图对应如下） 过点作准线，垂足为点， 的周长， 若周长最小，则长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，的和最小， 此时, 故周长最小值为，故D正确. 故选：ACD. 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则的面积为2 C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 【答案】AB 【分析】对A，根据双曲线的定义判断即可；对B，根据双曲线定义结合勾股定理求解即可；对C，数形结合分析判断即可；对D，根据点差法结合双曲线性质求解即可. 【详解】对A，根据双曲线的定义可得，故A正确； 对B，因为，，则， 又，故，即， 故，故B正确； 对C，由双曲线的渐近线可得，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有 与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线，共4条，故C错误； 对D，设存在两点，为中点，则， 即，又，故， ，故，即. 由渐近线的性质可得过点且斜率为2的直线与双曲线无交点， 故不存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点，故D错误.    故选：AB 4．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点，则（    ） A．的标准方程为 B． C．四边形的周长随的变化而变化 D．当不与的上、下顶点重合时，直线的斜率之积为 【答案】ABD 【分析】根据题意求出即可判断A；根据椭圆的定义结合基本不等式即可判断B；根据椭圆的定义即可判断C；设，结合在椭圆上化简即可判断D. 【详解】对于A，由题意知，解得， 故的标准方程为，A正确； 对于B，因为关于原点对称，且也关于原点对称， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； 对于C，， 故四边形的周长为，为定值，C错误； 对于D，设， 则， 因为在上，所以，整理得， 所以，故D正确.    故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知、是椭圆的左、右顶点，是直线上的动点（不在轴上），交椭圆于点，与交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点，则 C．是常数 D．点在一个定圆上 【答案】BCD 【分析】设点，利用斜率公式可判断A选项；求出点的纵坐标，利用三角形面积比可判断B选项；设直线的方程为，求出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用斜率关系证明出，利用直角三角形的几何性质可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，设点，易知点、， 所以，不是定值，A错； 对于B选项，当点的坐标为，， 则直线的方程为，即， 联立，可得，解得或，即， 所以，，B对； 对于C选项，设直线的方程为， 联立可得，解得或， 则，， 即点， 联立可得，即点， 所以，，C对； 对于D选项，设点，其中，且，则， ， ，则，所以，， 则，所以，，取线段的中点，连接， 由直角三角形的几何性质可知， 所以，点在以线段的直径的圆上，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知F为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于x轴的两侧，，则（    ） A． B．直线AB过点 C．抛物线在A处的切线和在B处的切线相交于点M，则点M在直线上 D．与面积之和的最小值是3 【答案】BCD 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及计算判断AB；利用导数求出切线方程并求出交点横坐标判断C；利用三角形面积公式建立关系，借助基本不等式求解判断D. 【详解】显然直线不垂直于y轴，设直线方程为：，    由消去得，，， 得，由，得，解得或， 而，即，因此，，A错误； 直线：恒过点，B正确； 由对称性，不妨令点在第一象限，则点在第四象限，当时，，求导得， 则抛物线在点处的切线方程为，即， 当时，，求导得，抛物线在点处的切线方程为， 由消去y得，解得， 因此抛物线在A处切线与在B处切线的交点M在直线上，C正确； 不妨设，而，则 ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：解决直线与抛物线的综合问题时，要注意： ①注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件； ②强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 7．（22-23高二上·河北唐山·期末）（多选）已知双曲线：，是该双曲线上任意一点，、是其左、右焦点，则下列说法正确的（    ） A．该双曲线的渐近线方程为 B．若，则或12 C．若是直角三角形，则满足条件的点共4个 D．若点在双曲线的左支上，则以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切 【答案】ABD 【分析】由双曲线方程求得，，的值，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】解：因为双曲线：，所以双曲线的渐近线为，故A正确； 又，，所以，则，， 因为，，所以或，故B正确； 当或与轴垂直时，直角三角形有个，以为直径的圆与双曲线有个交点， 直角三角形有个，则若是直角三角形，则满足条件的点共个，故C错误； 设，，则， 的中点为，求得， ，可得，即以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切，故D正确． 故选：ABD 8．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点M为双曲线右支上一点，设，过M作两渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．为定值 C．若当时，（为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为 D．当时，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线的斜率的绝对值为 【答案】BCD 【分析】根据题意利用焦半径公式可知长度的最小值为，可判断A；利用点到直线的距离公式可得，再利用点M在双曲线上即可得出为定值，即B正确；由利用直角三角形的性质和为等边三角形可得，，再根据双曲线定义即可求得离心率，可判断C；当时，直线与圆相切根据勾股定理和双曲线定义可得，即双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，所以D正确. 【详解】解：对于A，因为是双曲线C的右焦点，点M为双曲线右支上一点， 所以由双曲线性质知线段长度的最小值为，故A错误； 对于B，设，两渐近线方程分别为，， 所以， 又因为满足，可得， 所以故B正确； 对于C，因为，所以，而（为坐标原点）恰好为等边三角形， 因此由知，， 所以由双曲线的定义知：， 即，即双曲线的离心率，故C正确； 对于D，如图， 设直线与圆相切于点A，连接OA，则，且. 作于点B，则. 又因为，所以，， 因此在中，. 又点在双曲线右支上，所以， 整理得，即， 因此双曲线的渐近线的斜率的绝对值，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：在双曲线离心率和渐近线方程以及焦点三角形综合问题求解过程中，经常会用到勾股定理和双曲线定义，根据三角形边长之间的关系得出双曲线中的关系式即可实现问题求解. 9．（23-24高二上·河北沧州·期末）（多选）已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．离心率 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据点F到两条渐近线的距离相等，结合对称性几面积关系即可判断A；根据长度关系可求得，进而可判断；根据渐近线的斜率可算出离心率，进而了判断C；解三角形可得，所以，，，求出直角三角形的面积，列出方程即可判定D. 【详解】 如图，∵，∴，， ∵点F到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确； ∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正确； 由B知，一条渐近线的斜率，则，故C不正确； 由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正确， 故选：ABD． 10．（23-24高二上·河北邯郸·期末）（多选）法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，点是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．该椭圆的蒙日圆的方程为 B．存在点使的面积为25 C．使的点有四个 D．直线的斜率之积 【答案】ACD 【分析】利用设直线方程，联立椭圆方程，结合判别式为0，求出蒙日圆方程判断A；求出的面积的最大值，即可判断B；判断以为直径的圆与椭圆的交点个数，即可判断C；设，求出的表达式，结合椭圆方程化简，求出其值，判断D. 【详解】因为椭圆方程为，故， 当椭圆的两条互相垂直的切线，一条斜率不存在，另一条斜率为0时， 切线分别经过长轴端点和短轴端点，此时切线的交点为； 当椭圆的两条互相垂直的切线斜率均存在时， 设两切线交点为，切点为，切线方程设为， 联立，整理得， 由于直线与椭圆相切， 故， 即， 由于两切线的斜率即为该方程的两个根，即， 又因为，则，即， 此时两切线交点的轨迹方程为，而也适合该方程， 故该椭圆的蒙日圆的方程为，A正确；    当Q点位于圆与y轴的交点处时，取到最大值， 最大值为, 即不存在点使的面积为25，B错误； 由于，故以为直径的圆的方程为， 而椭圆的短半轴长为，故圆与椭圆有四个交点，正确； 由题意知，设，则，故， 故，D正确. 故选：ACD. 11．（23-24高二上·河北·期末）在平面直角坐标系中，椭圆：的上顶点到焦点的距离为2，离心率为. (1)求的值； (2)设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于、两点. （i）若点的坐标为，且，求直线的方程； （ii）若的值与点的位置无关，求的值. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题设与椭圆的性质得，即可解出答案； （2）设，，，，联立直线方程与椭圆方程根据韦达定理得出， （i）当时，根据已知，得出，结合，解出，即可得出答案； （ii）由已知得出，整理为，若的值与点的位置无关，即与的值无关，则的系数为0，即，即可解出答案. 【详解】（1）由题意知：，解得 ，； （2） 设，，，， 联立方程，消去，得：， 则 （i）当时，因为在椭圆内，所以恒成立， 因为，所以， 又 则，即，， 则，即，解得： 则：； （ii）因为， ， ， 若的值与点的位置无关，即与的值无关， 则的系数为0，即，解得. 非对称性韦达定理 1．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，长轴长为4，过点的直线l交于M，N两点（M在x轴上方）. (1)求的方程； (2)记的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长确定，根据离心率得到，得到椭圆方程. （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，设出直线方程，联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定，计算，设，解不等式得到答案. 【详解】（1）已知长轴长为4，则，解得， 因为的离心率为，所以，解得，所以，                                 所以的方程为. （2），，，    ①当l斜率不存在时，，，，                 ②当l斜率存在时，显然斜率不为零， 设，，， 联立，得，， 所以，，，                     因为， 所以，又， 设，则，，解得且，                     所以， 综上所述：的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆方程，面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键，此方法是常考的方法，需要熟练掌握. 圆锥曲线与数列综合 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为． (1)求的值； (2)求出的通项公式； (3)设曲线在点处的切线斜率为，求证：． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算作答. （2）令为数列的前n项和，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项. （3）由（2）求出点的横坐标，利用导数的几何意义求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）依题意，为正三角形，且，观察图象得，而点在曲线上， 即，解得，为正三角形，且，点在曲线上， ，整理得，解得， 所以，. （2）令为数列的前n项和，是正三角形，点， ，于是点在曲线上， 则，即，当时，， 两式相减得：，整理得， 则，而满足上式，因此，， 即数列是首项为，公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. （3）由（2）知，当时，， 则点的横坐标，显然满足上式，因此， 由求导得，，于是， 当时，， 所以. 【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题03 圆锥曲线综合 圆锥曲线的定义 1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于 A． B．1 C． D．2 3．（23-24高二上·河北保定·期末）平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点轨迹为椭圆 B．若，则点轨迹为双曲线 C．若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的 D．若，则点轨迹为圆 4．（23-24高二上·河北·期末）设抛物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则 . 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为 . 圆锥曲线的方程 1．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知为双曲线的一个焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 5．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河北·期末）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知椭圆的焦距为8，离心率，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 圆锥曲线的焦点三角形 1．（23-24高二上·河北·期末）已知点，为椭圆的左右焦点，过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，则三角形的内切圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 3．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知曲线的左､右焦点分别为，倾斜角为的直线经过左焦点.直线与曲线的交点为（在轴上方），过点作的平分线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)若，求内切圆的圆心的横坐标和的长； (2)若，求的面积和的长. 圆锥曲线的简单几何性质 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·期末）双曲线的焦点到其渐近线的距离为（    ） A．2 B．4 C．3 D．5 4．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北·期末）抛物线y2＝x的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河北沧州·期末）若焦点为F的抛物线上一点P的纵坐标为，则原点O到直线PF的距离（    ） A． B． C．1 D． 7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）若椭圆的焦距为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 8．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知点A是椭圆C：上一点，B是圆：上一点，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．圆P的圆心坐标为 C．圆P上所有的点都在椭圆C的内部 D．的最小值为 9．（23-24高二上·河北·期末）抛物线的准线方程为 . 10．（23-24高二上·河北·期末）已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为 ． 11．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 . 12．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知双曲线的左焦点为，过点的直线分别与渐近线和交于点，且（是坐标原点）.若，则的值为 . 圆锥曲线的离心率及双曲线渐近线问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线上在第一象限内的一点，，且的面积为，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线上的一点，目，射线平分，交轴于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为双曲线E上的一点，且，射线PN平分，交x轴于点N，若，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，椭圆的左焦点为F，A、B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线的左，右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知双曲线C：（，），若四个点，，，（，）中有三个点在C上，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，已知双曲线的一条弦所在直线的倾斜角为，点关于原点的对称点为，若，双曲线的离心率为，则（    ）    A．3 B． C． D．4 11．（23-24高二上·河北·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于点，，则的离心率为 . 12．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，上位于第一象限的点满足，若直线的斜率为，则的离心率为 . 13．（23-24高二上·河北·期末）已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是 . 14．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 . 圆锥曲线最值相关题型 1．（23-24高二上·河北·期末）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（    ） A． B．6 C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·期末）已知A是抛物线C：上的点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是该椭圆上的动点､点，则的最大值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，P是椭圆C上的动点，点，则下列结论正确的是（    ） A． B．面积的最大值是 C．椭圆C的离心率为 D．最小值为 6．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 7．（23-24高二上·河北保定·期末）过直线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别是A，B，过点向直线引垂线，垂足为，则线段为坐标原点）的最大值为 ． 8．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点． (1)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值． 圆锥曲线的轨迹方程 1．（23-24高二上·河北·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 2．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 3．（23-24高二上·河北·期末）在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，求线段的长. 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆，定点，D是圆A上的一动点，线段DB的垂直平分线交半径DA于点E． (1)求点E的轨迹方程； (2)若直线m与点E的轨迹交于M，N两点，与圆相交于P，Q两点，且，求面积的最大值． 圆锥曲线韦达定理的直接应用 1．（23-24高二上·河北·期末）已知点和抛物线，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若，则 . 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知点在抛物线上，则 ；过点M作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（不同于点M），则直线经过的定点坐标为 . 3．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求． 直线与圆锥曲线的位置关系 1．（23-24高二上·河北保定·期末）如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（   ）    A．1 B．2 C．4 D．8 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则下列结论正确的有（　　） A．抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3 B．过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4 C．过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条 D．过点（2，0）的直线1与抛物线交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣8 3．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（   ） A．0 B．－1 C． D． 5．（23-24高二上·河北唐山·期末）（多选）已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（    ） A．C的焦点到其渐近线的距离为 B．直线与的斜率之积为2 C．过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条 D．点P到两条渐近线的距离之积为 6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知A，B是椭圆与双曲线的公共左、右顶点，P是双曲线在第一象限上的一点，直线交椭圆于M，N两点．若直线过椭圆的右焦点F，则的面积为 ． 利用韦达定理解决弦长问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知抛物线的焦点为F，已知第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且，则的面积是 . 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知点是抛物线上一点，是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于不同于的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，半焦距为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积． 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于、两点，求的面积. 5．（2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 利用韦达定理解决定点问题 1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知为抛物线上的一点，为的焦点. (1)设的准线与轴交于点，过点作，垂足为，求四边形的面积； (2)若、为上横坐标不同的两动点，、与均不重合，且直线、的斜率之积为，证明：直线过定点. 2．（23-24高二上·河北·期末）在平面直角坐标系中，动点Р到点的距离与到直线的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过作两条垂直直线，分别交曲线C于和，且分别为线段的中点，证明直线过定点，并求出定点的坐标. 3．（23-24高二上·河北·期末）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线l交抛物线于A，B两点，且． (1)求抛物线E的方程； (2)设过点且互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点M，N，证明：直线过定点． 4．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆经过点和． (1)求的方程； (2)若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标． 利用韦达定理解决定值问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点. (1)若直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，求直线的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 3．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为为上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且． (1)求的标准方程； (2)若为上异于的点，且直线过点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 4．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知椭圆C：（），F是其右焦点，点在椭圆上，且PF⊥x轴，O为原点． (1)求椭圆C的方程； (2)若M，N是椭圆C上的两点，且△OMN的面积为，求证：直线OM与ON的斜率之积为定值． 利用韦达定理证明相关结论 1．（23-24高二上·河北·期末）已知抛物线E：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点. (1)求面积的最小值； (2)设直线交抛物线的准线于点，求证：平行于轴. 2．（23-24高二上·河北·期末）已知双曲线的左､右顶点分别为是坐标原点，焦点到渐近线的距离为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的另一个交点为是双曲线上异于两点的一动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：. 3．（23-24高二上·河北·期末）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点. (1)求的值； (2)求证：OM⊥ON. 4．（23-24高二上·河北保定·期末）椭圆的离心率为分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，已知面积为3． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于P，Q两点，过点向轴引垂线交MN于点B，点C为点P关于点B的对称点，求证：C，Q，M三点共线． 利用韦达定理解决存在性问题 1．（2007·广东·高考真题）在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线y=x相切于 坐标原点O.椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C的方程； （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段 OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 利用韦达定理解决取值范围问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是 ． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的离心率为，点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限，当直线PA的斜率不存在时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)线段交圆于点B，记的面积分别为，求的最小值． 3．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆上任意一点到其左右焦点、的距离之和均为4，且椭圆的中心到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）已知以椭圆右顶点为直角顶点的动直角三角形斜边端点、落在椭圆上，求动直角面积的最大值. 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点E．    (1)求点E的轨迹方程； (2)过点，且与x轴不重合的直线l与E的轨迹交于A，B两点，求的内切圆面积的最大值． 5．（23-24高二上·河北·期末）已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，． (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围． 6．（23-24高二上·河北·期末）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围 圆锥曲线几何性质的综合题型 1．（23-24高二上·河北·期末）（多选）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．面积的最大值为 C．到的左焦点的距离的最小值为 D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则△PMF的面积为2 C．|的最大值为 D．△PMF的周长的最小值为 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（    ） A． B．若，则的面积为2 C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点 4．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点，则（    ） A．的标准方程为 B． C．四边形的周长随的变化而变化 D．当不与的上、下顶点重合时，直线的斜率之积为 5．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知、是椭圆的左、右顶点，是直线上的动点（不在轴上），交椭圆于点，与交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点，则 C．是常数 D．点在一个定圆上 6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知F为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于x轴的两侧，，则（    ） A． B．直线AB过点 C．抛物线在A处的切线和在B处的切线相交于点M，则点M在直线上 D．与面积之和的最小值是3 7．（22-23高二上·河北唐山·期末）（多选）已知双曲线：，是该双曲线上任意一点，、是其左、右焦点，则下列说法正确的（    ） A．该双曲线的渐近线方程为 B．若，则或12 C．若是直角三角形，则满足条件的点共4个 D．若点在双曲线的左支上，则以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切 8．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点M为双曲线右支上一点，设，过M作两渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．为定值 C．若当时，（为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线的离心率为 D．当时，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线的斜率的绝对值为 9．（23-24高二上·河北沧州·期末）（多选）已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．离心率 D．若，则 10．（23-24高二上·河北邯郸·期末）（多选）法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，点是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．该椭圆的蒙日圆的方程为 B．存在点使的面积为25 C．使的点有四个 D．直线的斜率之积 11．（23-24高二上·河北·期末）在平面直角坐标系中，椭圆：的上顶点到焦点的距离为2，离心率为. (1)求的值； (2)设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于、两点. （i）若点的坐标为，且，求直线的方程； （ii）若的值与点的位置无关，求的值. 非对称性韦达定理 1．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，长轴长为4，过点的直线l交于M，N两点（M在x轴上方）. (1)求的方程； (2)记的面积为，的面积为，求的取值范围. 圆锥曲线与数列综合 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为． (1)求的值； (2)求出的通项公式； (3)设曲线在点处的切线斜率为，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$