专题02 直线和圆的方程（13基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（河北专用）

· 专题02 直线和圆的方程 直线的斜率与倾斜角 1．（23-24高二上·河北·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）直线的倾斜角为（      ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．（23-24高二上·河北·期末）过两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北·期末）若直线的倾斜角为30°,则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知直线与直线夹角为，则的倾斜角为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（23-24高二上·河北·期末）已知，直线l过且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．以上都不对 7．（23-24高二上·河北·期末）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 直线的方法向量 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线l过点且一个方向向量为，则l在y轴上的截距为（    ） A． B．1 C． D．5 直线方程 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线经过点. (1)若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 2．（23-24高二上·河北·期末）经过点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 两直线平行 1．（23-24高二上·河北·期末）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为　(　　) A．1 B．0 C．0或2 D．0或1 2．（23-24高二上·河北·期末）直线与直线平行，则的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（    ） A．或1 B．1 C． D．6 4．（23-24高二上·河北·期末）若直线与直线平行，则 . 5．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线与互相平行，则 ，与之间的距离为 . 6．（22-23高二上·河北唐山·期末）已知直线与直线互相平行，则 . 两直线垂直 1．（23-24高二上·河北·期末）若直线与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知直线与，则（    ） A．若，则两直线垂直 B．若两直线平行，则 C．直线恒过定点 D．直线在两坐标轴上的截距相等 3．（23-24高二上·河北·期末）已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 点、线距离问题 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）（多选）已知点到直线的距离相等，则斜率的值可以是（    ） A． B．2 C．0 D． 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知点，，直线：，则下列结论正确的是（    ） A．当时，点，到直线距离相等 B．当时，直线的斜率不存在 C．当时，直线在轴上的截距为 D．当时，直线与直线平行 对称问题 1．（23-24高二上·河北·期末）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如果在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则将军所经过的最短路程为 ． 圆的方程 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）（多选）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 3．（23-24高二上·河北·期末）已知的三个顶点分别为，则外接圆的标准方程为 . 4．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·河北·期末）已知直线l与圆相切，且切点的横、纵坐标均为整数，则直线l的方程为 .（写出一个满足条件的方程即可） 2．（23-24高二上·河北·期末）已知圆过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点的直线与圆相切，求的方程. 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆：. (1)当时，求直线被圆截得的弦长； (2)若直线与圆没有公共点，求的取值范围. 4．（23-24高二上·河北·期末）已知圆C过点且圆心在直线上 (1)求圆C的方程，并求过点的切线方程． (2)若过点的直线与圆C交于A，B两点，且三角形ABC的面积为10，求直线l的方程． 利用点与圆的位置判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交 C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知直线，圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在直线上 B．点在圆上 C．直线与圆相离 D．直线与圆相切 直线与圆的弦长问题 1．（23-24高二上·河北·期末）若圆心坐标为的圆被直线截得的弦长为，则该圆的一般方程为(   ) A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知直线：被圆截得的弦长为，点是直线上的任意一点，则的值有可能为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（23-24高二上·河北沧州·期末）直线被圆截得的弦长为 ． 5．（23-24高二上·河北·期末）已知圆C经过坐标原点，且与直线x﹣y+2＝0相切、切点为A（2，4）． (1)求圆C的方程； (2)已知斜率为﹣1的直线l与圆C相交于不同的两点M、N，若直线l被圆截得的弦MN的长为14，求直线l的方程. 6．（22-23高二上·河北唐山·期末）已知圆C与y轴相切，圆心在x轴下方并且与x轴交于，两点. (1)求圆C的方程； (2)若直线过点且被圆C所截弦长为6，求直线的方程. 7．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 8．（23-24高二上·河北·期末）已知圆过点和． (1)求圆的方程； (2)求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程． 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·河北·期末）圆与圆的位置关系为（    ）． A．外切 B．相交 C．相离 D．内切 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二上·河北·期末）已知圆与圆外切，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交或相离 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆相切，则r的值为 . 圆与圆的公共弦 1．（23-24高二上·河北·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知圆和圆是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．的最大值为12 D．若，则过点且与圆相切的直线方程为 中点弦问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 圆的轨迹方程 1．（23-24高二上·河北·期末）已知，，若直线上存在一点M使得，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北邯郸·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点距离之比为常数且）的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆.已知中，. (1)求的顶点的轨迹方程； (2)若圆和顶点的轨迹交于两点，求直线的方程和圆心到的距离. 圆相关最值专题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知直线与交于点，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·期末）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知过点作圆的两条切线，切点分别为，两点，下列说法正确的是（    ） A．其中一条切线方程是 B．切线长 C．点到圆上一点的距离最小值为 D．四边形的面积为2 5．（12-13高一上·河北衡水·期末）已知点是直线（）上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则 ． 6．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知直线与圆相交于A，B两点. (1)若P为圆C上一点，求点P到直线l的最大距离； (2)求弦的长度. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题02 直线和圆的方程 直线的斜率与倾斜角 1．（23-24高二上·河北·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线倾斜角和斜率的关键即可得解. 【详解】由题意直线，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，其中， 可得，所以，即直线的倾斜角为. 故选：A. 2．（23-24高二上·河北·期末）直线的倾斜角为（      ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】化成斜截式方程得斜率为，进而根据斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：， 所以直线的斜率为， 所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为. 故选：C 3．（23-24高二上·河北·期末）过两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角与斜率及两点坐标的关系可求. 【详解】设直线斜率为，则， 故选：D. 4．（23-24高二上·河北·期末）若直线的倾斜角为30°,则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：由直线的一般式方程求得直线的斜率，由斜率等于倾斜角的正切值列式求得a的值． 详解：直线的倾斜角为, 故选A． 点睛：本题考查了直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题． 5．（23-24高二上·河北保定·期末）已知直线与直线夹角为，则的倾斜角为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】 先求直线斜率及倾斜角，再根据夹角为求出的倾斜角即可. 【详解】直线斜率则倾斜角为， 直线与直线夹角为，则的倾斜角为或. 故选：C. 6．（23-24高二上·河北·期末）已知，直线l过且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据两点斜率公式，即可求解. 【详解】由题意得，， 若直线l过点且与线段相交，则或, 故选：A.    7．（23-24高二上·河北·期末）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点斜率公式可求解斜率，进而得，然后求解三角不等式得答案． 【详解】设直线的倾斜角为， , 所以，即， 由题意知：， 解得：或． 倾斜角的取值范围是 故BCD错误，A正确， 故选：A 直线的方法向量 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方向向量的概念求解即可. 【详解】直线的斜率，其一个方向向量为， 故选：C 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得与共线，为直线上的点，且不与重合，由此即可得解. 【详解】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线， 所以，整理得的方程为， 又点在直线上，且点满足方程， 综上所述，的方程为. 故选：B. 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线l过点且一个方向向量为，则l在y轴上的截距为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】设l在y轴上的截距为，根据斜率公式列式求解即可. 【详解】因为直线l一个方向向量为，可知直线l的斜率， 设l在y轴上的截距为，即直线l过点， 则，解得. 故选：A. 直线方程 1．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线经过点. (1)若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得. （2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得. 【详解】（1）由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率， 又经过点，则方程为：，即：， 所以直线的方程为. （2）依题意，当直线过原点时，而直线又过点， 则直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则有，解得，即直线的方程为， 所以直线的方程为或. 2．（23-24高二上·河北·期末）经过点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直求出斜率，再利用直线的点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为， 所以所求直线的方程为，即. 故选：B 两直线平行 1．（23-24高二上·河北·期末）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为　(　　) A．1 B．0 C．0或2 D．0或1 【答案】D 【详解】当AB与CD斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行； 此时AB∥CD，当kAB=kCD时，，得到m=1，此时AB∥CD. 故答案选D． 点睛：解答本题易出现选A的错误，导致出现这种错误的原因是忽略了直线AB与CD的斜率不存在的情况.在已知直线的位置关系，求参数时，在用到了直线的斜率时，首先要考虑直线的斜率是否存在，然后再列式子． 2．（23-24高二上·河北·期末）直线与直线平行，则的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由两条直线平行可得，求出的值，再检验. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得或， 当时，两直线方程都是，则两直线重合，不满足题意； 当时，两直线方程分别为：，，满足题意； 综上，. 故选：B 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（    ） A．或1 B．1 C． D．6 【答案】C 【分析】利用直线平行与斜率的关系可构造方程解得符合题意. 【详解】根据题意可知，两直线斜率均存在，由两直线平行可得，即， 解得或；经检验，当时，两直线重合，不合题意，舍去； 所以可得. 故选：C 4．（23-24高二上·河北·期末）若直线与直线平行，则 . 【答案】/ 【分析】两直线与平行，满足且或 【详解】由题意得：，解得：，经检验符合要求. 故答案为： 5．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线与互相平行，则 ，与之间的距离为 . 【答案】 【分析】根据直线平行的充要条件和平行直线的距离公式可得. 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 则， 所以与之间的距离. 故答案为：；. 6．（22-23高二上·河北唐山·期末）已知直线与直线互相平行，则 . 【答案】 【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】解：因为直线与直线互相平行， 所以，解得. 故答案为： 两直线垂直 1．（23-24高二上·河北·期末）若直线与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用垂直关系列式计算即得. 【详解】直线与垂直，则，解得， 所以实数. 故选：C 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知直线与，则（    ） A．若，则两直线垂直 B．若两直线平行，则 C．直线恒过定点 D．直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【分析】由，判断A；由平行关系求出，判定B；由直线的点斜式方程判断C；求出截距判断D. 【详解】当时，， ，则，所以两直线垂直，A正确； 若两直线平行，则，解得， 经检验，当时，两直线平行，B错误； 由，即， 所以直线恒过定点，C正确； 由，与两坐标轴的截距分别为，不相等，D错误. 故选：AC 3．（23-24高二上·河北·期末）已知直线：，直线： (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求. 【详解】（1）由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题设； 当，，，符合题设； 综上， （2）由，则，即， 所以，即或. 点、线距离问题 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）（多选）已知点到直线的距离相等，则斜率的值可以是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】AC 【分析】解法1：利用点到直线距离公式得到方程，求出斜率的值； 解法2：分直线与平行和直线经过的中点两种情况，求出答案. 【详解】解法1：点到的距离相等，即， 解得或； 解法2：直线过定点，线段的斜率为， 直线与平行时，点到直线的距离相等，此时； 直线经过的中点时，点到直线的距离相等， 此时， 综上，或. 故选：AC. 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知点，，直线：，则下列结论正确的是（    ） A．当时，点，到直线距离相等 B．当时，直线的斜率不存在 C．当时，直线在轴上的截距为 D．当时，直线与直线平行 【答案】CD 【分析】利用点线距离公式判断A，由直线方程得斜率判断B，取，则，从而判断C，计算得判断D，由此得解. 【详解】对于A：当时，直线为， 此时，，显然不满足题意，故A错误； 对于B：时，直线为，直线斜率为，故B错误； 对于C：时，直线为，取，则，故C正确； 对于D：时，直线为，，不过A点， 而，，所以直线与直线平行，故D正确； 故选：CD. 对称问题 1．（23-24高二上·河北·期末）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆的圆心和半径，得到圆心关于直线对称的点的坐标，从而得到对称的圆的方程. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 故，解得， 故关于直线对称的点为， 所以所求的圆的方程为． 故选：C 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如果在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则将军所经过的最短路程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出点关于直线的对称点M的坐标，然后将距离和的最值问题转化成圆外一点到圆上一点距离的最值问题求解，即可得到本题的答案． 【详解】 如图，设关于直线的对称点为，则解得． 圆的圆心为，半径，所以将军所经过的路程为 ． 故答案为:． 圆的方程 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程. 【详解】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）（多选）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 【答案】AB 【分析】将代入曲线的方程化简，可判断A选项；利用圆的一般方程可判断B选项；求出圆的半径，利用圆的面积公式结合基本不等式可判断C选项；利用圆的半径公式可求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错. 故选：AB. 3．（23-24高二上·河北·期末）已知的三个顶点分别为，则外接圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设出圆的标准方程，待定系数法求解即可. 【详解】设的外接圆标准方程为， 将代入得：， 解得：，故圆的标准方程为. 故答案为： 4．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出边上的高线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程； （2）设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程． 【详解】（1）∵直线AB的斜率， ∴AB边上的高所在直线的斜率， 又AB边上的高所在直线过原点O， ∴AB边上的高所在直线的方程为． （2）设的外接圆的方程为（）， 则，解得， ∴的外接圆方程为． 直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·河北·期末）已知直线l与圆相切，且切点的横、纵坐标均为整数，则直线l的方程为 .（写出一个满足条件的方程即可） 【答案】或或或（任写一个都对） 【分析】根据直线与圆的位置关系找出圆上所有符合题意的切点，求出切线斜率即可求得切线方程. 【详解】易知圆C的圆心为点，半径为； 圆C经过的整点有4个，即，，，. ①切点为时，圆心与切点连线的斜率为， 则切线斜率为1，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为； ②切点为时，圆心与切点连线的斜率为， 则切线斜率为，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为； ③切点为时，圆心与切点连线的斜率为， 则切线斜率为，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为； ④切点为时，圆心与切点连线的斜率为， 则切线斜率为，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为； 故答案为：或或或（任写其一） 2．（23-24高二上·河北·期末）已知圆过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点的直线与圆相切，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，分直线的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：设圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以圆的方程为. （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆：. (1)当时，求直线被圆截得的弦长； (2)若直线与圆没有公共点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长； （2）求出圆心和半径，根据圆心到的距离大于半径得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，圆：，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 设直线与圆交于A、B两点，则弦长 故直线被圆C截得的弦长为. （2）圆方程为， 恒成立， 因为直线与圆C没有公共点， 圆心到的距离， 所以，即， 解得：， 故的取值范围是. 4．（23-24高二上·河北·期末）已知圆C过点且圆心在直线上 (1)求圆C的方程，并求过点的切线方程． (2)若过点的直线与圆C交于A，B两点，且三角形ABC的面积为10，求直线l的方程． 【答案】(1)，切线方程为 (2)或或 【分析】 （1）求出的垂直平分线方程，与联立求出圆心坐标，进而求出半径，得到圆的方程，并设出切线方程，由点到直线距离公式得到方程，求出切线方程； （2）设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理得到弦长，从而根据面积列出方程，求出或，分两种情况，求出相应直线的斜率，得到直线方程. 【详解】（1）由对称性可知圆心C在线段的垂直平分线上， 线段的中点坐标为， 又，故的垂直平分线的斜率为， 故的垂直平分线方程为，即， 联立与，解得， 故圆心坐标为，半径为， 故圆C的方程为， 当过点的直线斜率不存在时，不是圆C的切线， 设过点的切线方程为， 则，解得， 故过点的切线方程为，即； （2）将代入圆C，， 故点在圆C外， 当过点的直线斜率不存在时，此时直线与圆无交点，舍去， 设过点的直线方程为， 则圆心到直线的距离， 又半径，故由垂径定理得， 又三角形ABC的面积为10， 所以， 解得或， 由于，故或均满足要求， 当时，，解得或， 当时，，解得， 综上，直线l的方程为或或. 利用点与圆的位置判断直线与圆的位置关系 1．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交 C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切 【答案】AC 【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案. 【详解】解：直线过定点， 又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交， 所以A正确，B，D错误， 因为圆心与点间的距离为，圆半径为2. 所以最短弦长为，故C正确，        故选：AC. 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知直线，圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在直线上 B．点在圆上 C．直线与圆相离 D．直线与圆相切 【答案】ABD 【分析】将点M代入直线和圆的方程，根据是否满足方程即可判断在不在直线和圆上，根据距离等于半径，可推断直线与圆相切. 【详解】解：将点代入直线l的方程，满足， 所以点M在圆C上，A选项正确； 将点代入圆C的方程，满足， 所以点M在圆C上，B选项正确； 圆心到直线的距离 直线与圆相切，C选项错误，D选项正确； 故选：ABD. 直线与圆的弦长问题 1．（23-24高二上·河北·期末）若圆心坐标为的圆被直线截得的弦长为，则该圆的一般方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设圆的半径为，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案. 【详解】根据题意，设圆的半径为， 圆心坐标为，到直线的距离， 该圆被直线截得的弦长为，则有， 则圆的方程为，变形可得， 故选：A. 2．（23-24高二上·河北·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设圆心C到直线AB的距离为d，可得，利用点到直线距离公式求a. 【详解】设圆心C到直线AB的距离为d， ∵圆的方程为∴  圆心，圆的半径为3，， 又，∴， 即点到直线的距离为， 所以， 所以解得或. 故选：D． 3．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知直线：被圆截得的弦长为，点是直线上的任意一点，则的值有可能为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】求出圆心和半径，利用垂径定理和点到直线距离公式求出，得到直线方程，进而求出，计算出，得到答案. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 故到直线的距离为， 由垂径定理得，解得， 即，解得， 则点在直线， 故， 则， 故A错误，BCD正确. 故选：BCD 4．（23-24高二上·河北沧州·期末）直线被圆截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，最后利用弦长公式求出结果. 【详解】由已知得圆的半径，圆心为， 圆心到直线的距离，所以弦长为． 故答案为：. 5．（23-24高二上·河北·期末）已知圆C经过坐标原点，且与直线x﹣y+2＝0相切、切点为A（2，4）． (1)求圆C的方程； (2)已知斜率为﹣1的直线l与圆C相交于不同的两点M、N，若直线l被圆截得的弦MN的长为14，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据垂直得到直线方程，设圆心为，半径为，将两点带入圆方程解得答案. （2）设直线方程为，计算圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式得到答案. 【详解】（1）直线x﹣y+2＝0斜率为1，故，故直线方程为， 设圆心为，半径为，则， 将原点和带入原方程得到，解得， 故原方程为：. （2）设直线方程为，即， 弦长为，故圆心到直线的距离为， 即，解得， 故直线方程为和. 6．（22-23高二上·河北唐山·期末）已知圆C与y轴相切，圆心在x轴下方并且与x轴交于，两点. (1)求圆C的方程； (2)若直线过点且被圆C所截弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)，或. 【分析】（1）根据已知条件及弦长、半径、弦心距三者的关系，结合圆的标准方程即可求解； （2）根据（1）的结论及直线的点斜式方程，再利用弦长、半径、弦心距三者的关系及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，设圆心坐标为，则 ，解得或， 因为，所以， 所以圆C的方程为. （2）因为直线过点且被圆C所截弦长为6， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故所求线的方程为，或. 7．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心的坐标为，根据直线与圆相切，可得出关于的等式，解出实数的值，即可得出圆的方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）解：由题意，设圆心的坐标为， 因为直线，半径为的圆与相切， 则，因为，解得，因此，圆的方程为. （2）解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为， 合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 8．（23-24高二上·河北·期末）已知圆过点和． (1)求圆的方程； (2)求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）假设圆的一般方程，代入即可得到圆的方程. （2）先求出直线的方程，进而设出与垂直的直线的方程，求出圆心到直线的距离和线段的长相等求解即可得到直线的方程. 【详解】（1）设圆的一般方程为：， 分别代入点和. ，解得, 故圆的方程为：. （2）因为、 所以直线的方程为：， 故设直线的方程为：. 由题意可知，圆心， 被圆截得弦长等于 则可知到直线与直线的距离相等. 故有， 解得或 所以直线的方程：或 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·河北·期末）圆与圆的位置关系为（    ）． A．外切 B．相交 C．相离 D．内切 【答案】A 【分析】根据两圆的方程确定圆心坐标和半径，判断圆心距离和两圆半径的关系，即可知两圆的位置关系. 【详解】由题设，，， ∴，半径；，半径， ∴，则两圆外切. 故选：A. 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量. 【详解】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条， 故选：C 3．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出两圆圆心距离即半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线条数. 【详解】由可知圆心为，半径， 由，即， 则圆心为，半径， 则两圆圆心距离为，，， 故，即两圆相交，故公切线条数为2条. 故选：B. 4．（23-24高二上·河北·期末）已知圆与圆外切，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交或相离 【答案】C 【分析】 根据两圆外切求出a值，再借助点到直线的距离判断作答. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为3， 因为两圆外切，于是得，解得， 圆的圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故选：C 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆相切，则r的值为 . 【答案】6或2 【分析】根据题意结合两圆的位置关系列式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为2； 圆的圆心为，半径为； 由题意可得：或， 且，解得或． 故答案为：6或2. 圆与圆的公共弦 1．（23-24高二上·河北·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可. 【详解】联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 2．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知圆和圆是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．的最大值为12 D．若，则过点且与圆相切的直线方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，判断两圆的位置关系即可；对于B，两圆方程相减即可；对于C，由验算即可；对于D，点在圆上，利用垂直关系得切线斜率，进一步即可验算. 【详解】对于A，圆、的圆心、半径依次分别为， 圆心距满足，所以两圆相交，圆与圆有两条条公切线，故A错误； 对于B，两圆、方程相减得， ，化简并整理得两圆的公共弦所在的直线方程为，故B正确； 对于C，由题意，当且仅当四点共线，取最大值，故C正确， 对于D，，即点在圆上面， 又，所以过点且与圆相切的直线方程为， 化简并整理得，过点且与圆相切的直线方程为，故D正确. 故选：BCD. 中点弦问题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知圆的圆心是抛物线的焦点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程； （2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程. 【详解】（1）圆的方程可化为， 故圆心的坐标为． 设抛物线的方程为()，所以，所以， 所以抛物线的方程为． （2）设，，则两式相减， 得，即， 所以直线的斜率． 因为点是的中点，所以，所以． 所以直线的方程为，即． 圆的轨迹方程 1．（23-24高二上·河北·期末）已知，，若直线上存在一点M使得，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得点M在以AB为直径的圆上，则以AB为直径的圆与直线有公共点，然后利用点到直线的距离公式列不等式可求得结果. 【详解】∵，∴， ∴点M在以AB为直径的圆上， ∴以AB为直径的圆与直线有公共点． ∵以AB为直径的圆的圆心为、半径为1， ∴， 化简整理得， 解得， 故选：A． 2．（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【详解】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意不妨取，进而求点的轨迹方程，结合方程分析求解. 【详解】对于曲线，令，即， 可得，不妨取，可知， 设，因为，则， 整理得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以面积的最大值是. 故选：D. 4．（23-24高二上·河北邯郸·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点距离之比为常数且）的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆.已知中，. (1)求的顶点的轨迹方程； (2)若圆和顶点的轨迹交于两点，求直线的方程和圆心到的距离. 【答案】(1) (2)， 【分析】 （1）解法1：设出，根据得到方程，求出轨迹方程； 解法2：由阿波罗尼圆的定义得到，顶点的轨迹为圆，圆心在直线上，求出该圆与轴的两交点，故的轨迹是以为直径的圆，求出轨迹方程； （2）两圆相减得到直线的方程，并利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）解法1：设顶点，则， 故，化简得的轨迹方程为. 解法2：由阿波罗尼圆的定义，顶点的轨迹为圆，圆心在直线上， 设圆与轴的两交点为， 根据得，，解得或9， 故当或时，都满足， 所以顶点的轨迹是以为直径的圆，其方程为. （2）将圆和相减可得， 即所求直线的方程为. 圆心到的距离. 圆相关最值专题 1．（23-24高二上·河北·期末）已知直线与交于点，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得点为圆上动点，用三角换元求的最大值. 【详解】由题意可得直线恒过坐标原点，直线恒过定点， 且，所以， 所以与的交点在以为直径的圆上， 则点的坐标满足（不含点）． 可设，且， 则， 所以当时，的最大值为． 故选：D 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的切线性质，四边形的面积，当时，最小，即可求出. 【详解】由圆的切线性质，四边形的面积    。 当时，最小，所以四边形的面积最小， 此时 所以. 故选：B. 3．（23-24高二上·河北·期末）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解. 【详解】根据题意画出图形，如图所示:      由题意可得，曲线的图象为以为圆心，2为半径的半圆，直线恒过， 由图当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得； 当直线过点时，直线的斜率， 则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的取值范围为. 故选:C. 4．（23-24高二上·河北·期末）（多选）已知过点作圆的两条切线，切点分别为，两点，下列说法正确的是（    ） A．其中一条切线方程是 B．切线长 C．点到圆上一点的距离最小值为 D．四边形的面积为2 【答案】ABD 【分析】利用圆心到切线距离判断A，根据切线长定理判断B，由圆的性质判断C，根据四边形面积为两全等直角三角面积判断D. 【详解】由题意，切线斜率存在，设切线方程为：， 则圆心到切线距离，解得：或， 所以切线方程为：或，选项A正确； 由切线长定理：，选项B正确； 点P到圆上一点的距离最小值为 ，C选项错； 由知四边形的面积为2，选项D正确． 故选：ABD 5．（12-13高一上·河北衡水·期末）已知点是直线（）上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则 ． 【答案】2 【分析】根据圆的方程得出圆心和半径，由圆的性质，得到四边形的面积，再确定的面积的最小值,得出当取最小值时，最小；根据点到直线距离公式，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】圆的圆心为，半径为，    由圆的性质可知，四边形的面积， 又四边形的最小面积是2，则的最小值为， 则， 因为，所以当取最小值时，最小； 又点是直线上的动点， 当垂直于直线时，最小，即为圆心到直线的距离； 所以，解得， 因为，所以． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、圆的切线长公式，圆的性质和四边形的性质等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于常考题型. 6．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知直线与圆相交于A，B两点. (1)若P为圆C上一点，求点P到直线l的最大距离； (2)求弦的长度. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）计算圆心到直线的距离，加上半径即为最大距离； （2）由圆中弦长公式可解. 【详解】（1）圆，圆心，半径，             圆心到直线的距离，                     所以点P到直线l的最大距离为. （2），即，         解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$