24.7 弧长与扇形面积（3个知识点+6题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（沪科版）

24.7 弧长与扇形面积 课程标准 学习目标 会计算圆的弧长、扇形的面积 ①会运用弧长公式计算弧长，会计算扇形的面积； ②会根据弧长公式求点的弧形运动路径；会根据扇形的面积公式求“弓形”、“弯角”的面积； ③运用转化的数学思想，转化不规则图形的面积。 知识点01 弧长 ·弧长公式：设的半径为，圆心角所对弧长为， （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） 【即学即练1】（2024·安徽·中考真题）若扇形的半径为6，，则的长为（    ） A． B． C． D． 知识点02 扇形的面积 ·扇形面积公式： 【即学即练2】一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（　　） A．30πcm2 B．60πcm2 C．120πcm2 D．180πcm2 知识点03 圆锥的侧面积 ·母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。 圆锥表面积公式：（为母线） 【即学即练3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（　　） A．12π B．15π C．20π D．24π 【即学即练4】用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　） A．2πcm B．1.5cm C．πcm D．1cm 【即学即练5】若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　 　，侧面积为　 　． ·利用转化思想和割补法计算不规则图形的阴影部分面积 方法一：直接和差法： ①② 案例①：矩形ABCD中，E为BC中点，；案例②：连接OM， 方法二、割补法: ④ ⑤ ⑥ 三、等积变形 ⑦ ⑧ 四、整体法 ⑨ 如图，是6个半径相同的圆，设圆的半径为r，六边形的内角和为(6-2)×180°=720°， 【题型一：求圆上的弧长】 例1．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、C、D均在小正方形的顶点上，点C、A、D、B均在所画的弧上，若∠CAB＝75°，则的长为 　 　． 变式1．（2024·安徽合肥·二模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如图．已知矩形的宽为，对角线为，则改建后门洞的圆弧长是（    ）m A． B． C． D． 例2．（2024·河南漯河·二模）如图，在中，，，，以点C为圆心作半圆，其直径，点M，N在直线上．将向右平移5个单位长度，得到，则图中阴影部分的周长是 ． 例3.（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作恰好经过点B，交于点D，交于点E，若，，则劣弧的长为 ． 变式3．（2024·安徽六安·三模）如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．(结果保留) 例4.如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，点P为菱形内一动点，连接PA，PC．则阴影部分周长的最小值为 　 　． 变式4.如图，以BC为直径作圆O，A、D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠ABC＝60°．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为　 　． 【题型二：计算扇形面积】 例5．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ．（参考数据：，，） 【题型三：求“弓形”、“弯角”的面积】 例6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 例7.（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型四：利用“转化”思想计算不规则图形的面积】 例8．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，、是半圆弧的三等分点，点是直径所在直线上任意一点，若半圆的直径为，那么图中阴影部分的面积为( ) A． B． C． D． 例9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，直径为6的半圆，绕点逆时针旋转，此时点到了点处，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 例10．（2024·安徽合肥·一模）如图，是一个4×4的网格，小正方形边长为1，某同学在正方形网格上用圆规画了一段经过格点A，B，C的圆弧，则图中阴影部分的面积为 ． 例11.如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，OA＝2，点C为OB的中点，将扇形OAB绕点C顺时针旋转，点O的对应点为O'，连接O'B，当O'C∥OA时，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【题型五：计算点扫过的路径或线段扫过的面积】 例12．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)将向上平移4个单位、再向左平移2个单位得到； (2)画出绕点按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的，则点旋转过程中的路径长为　　　　　． 变式12．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1个单位，在平面直角坐标系内，的顶点 B、A 分别为，．先将沿一确定方向平移得到，点B 的对应点的坐标是，再将绕逆时针旋转得到，点的对应点为点． (1)画出和； (2)在（1）的条件下，求出旋转过程中点所经过的路径长（结果保留 ）． 例13．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）在下面的网格（每个小正方形的边长为1）中按要求画出图形并解答： (1)试在图中作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形，并求出线段在旋转过程中所扫过的面积； (2)作出关于原点对称的，并直接写出点的坐标 ． 变式13．（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）如图    (1)画出绕点逆时针旋转后的图形； (2)求线段扫过的面积？ 【题型六：求一点的弧形运动路径长度】 例14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 变式14.归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习： （1）如图1已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？ （2）如图2将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？ （3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图2）？请说明理由． （4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）． 通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来． 【题型七：实际应用中的弧长与面积公式】 例15．（2024·安徽合肥·二模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如图．已知矩形的宽为，对角线为，则改建后门洞的圆弧长是（    ）m A． B． C． D． 一、填空题 1．（2024·安徽阜阳·三模）在半径为5的圆中，的圆心角所对的弧长为 ． 2．已知弧的长是π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为 °． 3．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，内接于，是的直径且长为4，与相交于点E，，则劣弧的长为 ． 4．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，的正方形网格中，格点是半径为2的圆的圆心，则图中两个小扇形（阴影部分）的面积之和为 （结果保留）. 5．（2024·安徽宿州·二模）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，则的长度为 ． 6．（2024·安徽安庆·三模）如图，是正方形和正六边形的外接圆，的直径为12，则的长为 ． 二、解答题 7.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）根据“双减”工作要求，为丰富学生课余生活，促进学生全面成长，学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动，在一次综合实践活动中，华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为的扇形铁片，再制作成一个高的圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），求华华剪裁的扇形铁片的圆心角． 8．（2023·安徽滁州·二模）如图，是的外接圆，且是直径． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接、，若，，求阴影部分的面积． 9．（2023·安徽六安·二模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：    (1)画出将绕点B按逆时针方向旋转后所得到的； (2)求旋转到的过程中，点C所经过的路径长为_____；边扫过的图形面积为_____． 10．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到． (1)求点经过的路线的长度． (2)求阴影部分的面积． 11．（23-24九年级上·安徽·期末）如图．是以的边为直径的外接圆，且，是上一点，且在的下方． (1)求的度数． (2)若，．求劣弧的长． 12．（2023·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．    (1)证明：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 13.如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，求阴影部分周长的最小值是 。 14.（2023·安徽池州·三模）如图所示，一浇花喷壶，其中是喷壶的壶嘴，是喷壶的按压手柄，是弹簧式伸缩连杆，是喷壶的导管，，，，，，使用时，点随弹簧的伸缩在上滑动，假设手柄按压到底时，绕着点逆时针转动到，此时手柄与导管平行，试求： (1)手柄末端点转动到点的旋转角及其路径长； (2)手柄按压前末端点到导管所在直线的距离以及按压到底时末端点到导管的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，） 15．（2024·河北石家庄·一模）如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心旋转，叶片端点，，，将四等分，已知的半径为． (1)风车在转动过程中，当时，点在左侧，如图2所示，求点到桌面的距离（结果保留根号）； (2)在风车转动一周的过程中，求点到桌面的距离不超过时，点所经过的路径长（结果保留）； (3)连接，当与相切时，求切线长的值，并直接写出，两点到桌面的距离的差． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.7 弧长与扇形面积 课程标准 学习目标 会计算圆的弧长、扇形的面积 ①会运用弧长公式计算弧长，会计算扇形的面积； ②会根据弧长公式求点的弧形运动路径；会根据扇形的面积公式求“弓形”、“弯角”的面积； ③运用转化的数学思想，转化不规则图形的面积。 知识点01 弧长 ·弧长公式：设的半径为，圆心角所对弧长为， （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） 【即学即练1】（2024·安徽·中考真题）若扇形的半径为6，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求弧长 【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，的长为, 故选：C． 知识点02 扇形的面积 ·扇形面积公式： 【即学即练2】一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（　　） A．30πcm2 B．60πcm2 C．120πcm2 D．180πcm2 【分析】先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案． 【解答】解：根据题意可得， 设扇形的半径为rcm， 则l， 即10π， 解得：r＝12， ∴S60π（cm2）． 故选：B． 知识点03 圆锥的侧面积 ·母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。 圆锥表面积公式：（为母线） 【即学即练3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（　　） A．12π B．15π C．20π D．24π 【分析】运用公式s＝πlr（其中勾股定理求解得到的母线长l为5）求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， 由已知得，母线长l＝5，半径r为4， ∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×4×π＝20π． 故选：C． 【即学即练4】用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（　　） A．2πcm B．1.5cm C．πcm D．1cm 【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 【解答】解：设此圆锥的底面半径为rcm， 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得， 2πr， 解得：r＝1． 故选：D． 【即学即练5】若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　 　，侧面积为　 　． 【答案】6π；27π 【分析】利用弧长公式可得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长． 【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长为：6π， ∴圆锥的底面半径为：6π÷2π＝3， 侧面积＝π×3×9＝27π． ·利用转化思想和割补法计算不规则图形的阴影部分面积 方法一：直接和差法： ①② 案例①：矩形ABCD中，E为BC中点，；案例②：连接OM， 方法二、割补法: ④ ⑤ ⑥ 三、等积变形 ⑦ ⑧ 四、整体法 ⑨ 如图，是6个半径相同的圆，设圆的半径为r，六边形的内角和为(6-2)×180°=720°， 【题型一：求圆上的弧长】 例1．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、C、D均在小正方形的顶点上，点C、A、D、B均在所画的弧上，若∠CAB＝75°，则的长为 　 　． 【分析】取CD的中点O，连接OB、OA、AD，根据勾股定理求出AC和AD，根据勾股定理的逆定理求出∠CAD＝90°，得出等腰直角三角形CAD，求出∠ADC＝45°，根据圆周角定理求出∠ABC＝∠ADC，求出∠ACB，再根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠ACB，再根据弧长公式求出答案即可． 【解答】解：取CD的中点O，连接OB、OA、AD， ∵小正方形的边长为1， ∴CD＝6， 即CO＝OD＝3， 由勾股定理得：AC＝AD3， ∴AC2+AD2＝（3）2+（3）2＝18+18＝36， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△CAD是等腰直角三角形， ∴∠ADC＝45°，∠CAD＝90°， ∴CD是⊙O的直径，半径OA＝3， ∴∠ABC＝∠ADC＝45°， ∵∠BAC＝75°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∴的长是2π． 变式1．（2024·安徽合肥·二模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如图．已知矩形的宽为，对角线为，则改建后门洞的圆弧长是（    ）m A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求弧长、根据矩形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及等边三角形的性质和判定，从实际问题转化为数学模型是解题的关键． 利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解． 【详解】如图，连接，，交于点， ∵ ， ∴是直径， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为， ∴改建后门洞的圆弧长是， 故选：B． 例2．（2024·河南漯河·二模）如图，在中，，，，以点C为圆心作半圆，其直径，点M，N在直线上．将向右平移5个单位长度，得到，则图中阴影部分的周长是 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、利用平移的性质求解、求弧长、用勾股定理解三角形 【分析】该题主要考查了平移的性质，解直角三角形，弧长公式，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 记交半圆于点G，连接，如图所示．由题意，可知，，，得出，根据特殊角的三角函数得出，，，从而算出的长．根据平移可得，，即可解答； 【详解】解：记交半圆于点G，连接，如图所示． 由题意，可知，， ． ， ． ， ． ，． ，的长为． 根据平移可得，，． 阴影部分的周长为． 例3.（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作恰好经过点B，交于点D，交于点E，若，，则劣弧的长为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、求弧长 【分析】本题考查圆的基本知识，弧长公式，连接，，由，，可知，进而得，可知，易得，再利用弧长公式即可求解．根据等边对等角结合题意求得是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴劣弧的长为． 故答案为：． 变式3．（2024·安徽六安·三模）如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．(结果保留) 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、圆周角定理、求弧长 【分析】（1）根据四边形是正方形，为直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为的直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形 ∴ ∴的长度为． 【点睛】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 例4.如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，点P为菱形内一动点，连接PA，PC．则阴影部分周长的最小值为 　 　． 【分析】由于阴影部分的周长＝AP+PC的长，而的长为定值，所以当AP+PC取最小值时阴影部分周长最小，根据两点之间线段最短可知A、P、C三点共线时AP+PC有最小值． 【解答】解：如图，连接AC．由题意可知，A、P、C三点共线时阴影部分周长最小，此时周长为AC的长． ∵在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2， ∴∠ABC＝∠D＝60°，BC＝AB＝2， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝2， ∴的长， ∴阴影部分周长的最小值为2． 故答案为：2． 变式4.如图，以BC为直径作圆O，A、D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠ABC＝60°．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为　　． 【分析】根据对称的性质可知阴影部分的周长的最小值为BD+弧CD长，求出BD的长，弧CD的长即可． 【解答】解：根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为BD， 连接BD，OD，由题意可知，∠COD＝∠ABC＝60°＝∠BCD， ∵OC＝OD，∠DCO＝60°， ∴OC＝OD＝CD＝1， ∴BC＝2OC＝2， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴BD•BC， 又弧CD的长为， 所以阴影部分周长的最小值为BD+弧CD长，即， 故答案为：． 【题型二：计算扇形面积】 例5．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ． （参考数据：，，） 【答案】 16 34.54 【知识点】利用菱形的性质求线段长、求扇形面积、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，扇形的面积． （1）由题意可得，根据，令，，即可求解； （2）连接交于点H，根据菱形的性质，解直角三角形，求出，可得，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：（1）的直径为12， ． ∵． 令，． ∴． ∴． ∴， 故答案为：16； （2）如图．连接交于点H． ∵四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 【题型三：求“弓形”、“弯角”的面积】 例6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键． 连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，   ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， 四边形是正方形， ， ， ，． 故选：C． 例7.（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、求扇形面积 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，由是等边三角形，得，，过作于点，然后由勾股定理得，求出，，然后代入求值即可，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 设， 如图，过作于点， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∴，即， 则， ∴， 故选：． 【题型四：利用“转化”思想计算不规则图形的面积】 例8．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，、是半圆弧的三等分点，点是直径所在直线上任意一点，若半圆的直径为，那么图中阴影部分的面积为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求其他不规则图形的面积、求扇形面积、圆周角定理、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了不规则图形面积的求法，涉及圆的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、扇形面积公式等知识，连接、、，由圆周角定理、等边三角形的判定与性质得，从而与同底等高，即，则阴影部分的面积扇形的面积进而求出即可，本题中能够将不规则图形的面积进行转换成规则图形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接、、，如图所示： 、是半圆弧的三等分点， ， ， ， 是等边三角形， ， ，则， ， 故选：D． 例9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，直径为6的半圆，绕点逆时针旋转，此时点到了点处，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算．根据阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积．即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积． 则阴影部分的面积是：， 故选：B． 例10．（2024·安徽合肥·一模）如图，是一个4×4的网格，小正方形边长为1，某同学在正方形网格上用圆规画了一段经过格点A，B，C的圆弧，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了求扇形的面积．证明，利用勾股定理求得，再利用阴影部分的面积为，计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 例11.如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，OA＝2，点C为OB的中点，将扇形OAB绕点C顺时针旋转，点O的对应点为O'，连接O'B，当O'C∥OA时，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OO′，证明O，O′，A′三点共线，则阴影部分的面积为S扇形BOD﹣S△OBO′． 【解答】解：连接OO′， ∵O'C∥OA，∠AOB＝120°， ∴∠OCO′＝60°， ∵C是OB的中点， ∴OC＝CB＝CO′＝1， ∴△OCO′是等边三角形， ∴∠OO′C＝∠COO′＝60°，∠CBO′＝∠CO′B＝30°， ∴∠OO′B＝∠A′O′B＝90°， ∴O，O′，A′三点共线，BO′， 阴影部分的面积为S扇形BOD﹣S△OBO′ ． 故选：D． 【题型五：计算点扫过的路径或线段扫过的面积】 例12．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)将向上平移4个单位、再向左平移2个单位得到； (2)画出绕点按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的，则点旋转过程中的路径长为　　　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】用勾股定理解三角形、求某点的弧形运动路径长度、平移(作图)、画旋转图形 【分析】本题考查了平移与旋转的性质，勾股定理，弧长公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）按平移要求进行作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可，然后根据弧长公式计算解题． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）如图，即为所作； ， ∴点旋转过程中的路径长为． 故答案为：． 变式12．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1个单位，在平面直角坐标系内，的顶点 B、A 分别为，．先将沿一确定方向平移得到，点B 的对应点的坐标是，再将绕逆时针旋转得到，点的对应点为点． (1)画出和； (2)在（1）的条件下，求出旋转过程中点所经过的路径长（结果保留 ）． 【答案】(1)图见解析 (2)旋转过程中点所经过的路径长为 【知识点】画旋转图形、平移(作图)、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题主要考查平移旋转，弧长公式，熟练掌握旋转是解题的关键． （1）根据题意进行平行和旋转变化画出图形即可； （2）根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意画图： ； （2）解：， 旋转过程中点所经过的路径长为． 例13．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）在下面的网格（每个小正方形的边长为1）中按要求画出图形并解答： (1)试在图中作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形，并求出线段在旋转过程中所扫过的面积； (2)作出关于原点对称的，并直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析，， 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、画轴对称图形、画旋转图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了作图——旋转变换，轴对称变换，以及扇形的面积公式，掌握旋转的性质和关于原点对称的点的坐标特征是解题关键． （1）根据旋转的性质画出图形，再由扇形面积公式求出线段在旋转过程中所扫过的面积即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数，画出图形，再写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图为所求作的图形； 由题意可知，，， 线段在旋转过程中所扫过的面积； （2）解：如图，为所求作的图形，， 故答案为：． 变式13．（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）如图    (1)画出绕点逆时针旋转后的图形； (2)求线段扫过的面积？ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形 【分析】本题考查作图-旋转变换、扇形的面积，熟练掌握旋转以及扇形的面积公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）如图为所画三角形    （2）， ∴线段所扫过形成的图形的面积 【题型六：求一点的弧形运动路径长度】 例14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查正多边形和弧长、轨迹，根据弧长公式先求一段弧的长，再根据滚动一周等于一段弧长乘以即可得中心点所经过的路径长．解题的关键是掌握正六边形的性质． 【详解】解：如图， ∵正六边形的内角为， ∴， 又∵边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周， ∴， ∴，， ∴， ∴边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周， 则它的中心点所经过的路径长为：． 故选：B． 变式14.归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习： （1）如图1已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线l向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？ （2）如图2将半径为R的正方形沿直线l向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？ （3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径，可参看图2）？请说明理由． （4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）． 通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来． 【分析】（1）当正三角形ABC向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是三条等弧，根据弧长公式求出一条弧长，继而可得出答案． （2）滚过的路程相当于90°的圆弧的长，继而代入弧长公式计算即可． （3）当n边形向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是n条等弧，这些弧的半径为R，所对的圆心角为，继而代入计算即可． （4）是定值2πR，按照前面的计算思想进行证明即可． 【解答】解：（1）当正三角形ABC向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是三条等弧， 所以其中心O经过的路程为：． （2）中心O经过的路程为． （3）当n边形向右翻滚一周时，其中心O经过的路线是n条等弧，这些弧的半径为R，所对的圆心角为， 所以中心O经过的路程为． （4）是定值2πR，理由如下： 在△ABC中，设∠A＝α，∠B＝β，∠C＝γ，△ABC的外接圆⊙O的半径为R， 把△ABC沿直线l向右翻滚一周时，其外心O经过的路线是三条弧， 当AC边与直线l重合时，C与C'重合，A与A'重合，B与B'重合， 连接CO、C'O'，则∠ACO＝∠A'C'O'， 所以∠OCO'＝∠ACA'＝180°﹣γ， 所以， 同理，另两条弧长分别为：，， 所以外心O所经过的路程为2πR． 通过以上猜想可得结论为：把圆内接多边形翻滚一周时，多边形的外心所经过的路程是一个定值． 一、填空题 1．（2024·安徽阜阳·三模）在半径为5的圆中，的圆心角所对的弧长为 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查求弧长，根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：由题意，得：弧长为； 故答案为：． 2．已知弧的长是π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为 °． 【答案】100 【知识点】求圆心角 【分析】根据弧长公式l=代入计算即可． 【详解】解：∵l=，r=3， ∴=， 解得：n=100°， 故答案为：100． 【点睛】本题考查了求圆心角的问题，做题的关键是掌握弧长公式l=． 3．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，内接于，是的直径且长为4，与相交于点E，，则劣弧的长为 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、求弧长 【分析】本题考查弧长公式，圆周角定理，熟练掌握弧长公式是解题的关键，连接，根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵是的直径且长为4， ∴ ∴劣弧的长为：， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，的正方形网格中，格点是半径为2的圆的圆心，则图中两个小扇形（阴影部分）的面积之和为 （结果保留）. 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了中心对称，利用了扇形的面积公式，直角三角形的性质．根据圆的半径正方形边长的一半，可得两个扇形的半径都是圆的半径，根据直角三角形两锐角互余，可得两个扇形的圆心角的和等于，可得两个扇形的面积和等于圆的面． 【详解】解：由题意，得两个扇形的半径都是2， 由直角三角形两锐角互余，得两个扇形的圆心角的和等于， 两个扇形的面积的和等于圆的面积的，即小扇形的面积的和是． 故答案为：． 5．（2024·安徽宿州·二模）如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】求弧长、正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是正六边形的性质和弧长的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，，过作于，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，根据扇形的弧长公式即可得到结论． 【详解】解：正六边形的边长为2， ，， ， ， 过作于， ，， 在中，， ， 同理可证，， ， 的长度为 故答案为：． 6．（2024·安徽安庆·三模）如图，是正方形和正六边形的外接圆，的直径为12，则的长为 ． 【答案】 【知识点】求弧长、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆，以及弧长公式，掌握弧长公式，求出对应的圆心角是解决问题的关键．连接，，，由于是正方形和正六边形的外接圆，可得，，由此可求，利用弧长公式即可求解． 【详解】连接，，，如图所示， 四边形为正方形，多边形为正六边形， ，， ， 的长为． 故答案为：． 二、解答题 7.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）根据“双减”工作要求，为丰富学生课余生活，促进学生全面成长，学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动，在一次综合实践活动中，华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为的扇形铁片，再制作成一个高的圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），求华华剪裁的扇形铁片的圆心角． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求圆心角 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图中扇形的圆心角度数，勾股定理，设裁减的扇形圆心角为，制成烟囱帽的底面圆半径为，先利用勾股定理求出，再根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长列出方程求解即可． 【详解】解：设裁减的扇形圆心角为，制成烟囱帽的底面圆半径为， 由题意得 ∴， 解得， ∴裁减的扇形圆心角为． 8．（2023·安徽滁州·二模）如图，是的外接圆，且是直径． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接、，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用弧、弦、圆心角的关系求解、求弓形面积 【分析】（1）根据尺规作图：作的平分线，交于点； （2）根据圆周角定理可得，根据，，可求半径，进而根据扇形面积公式求阴影部分的面积． 【详解】（1）尺规作图如图所示； （2）连接，则． 是的直径，是的平分线 ，． ． 故， ，． ． ． 【点睛】本题考查了作图基本作图，解决本题的关键是利用三角形外接圆的性质、圆周角定理、扇形面积公式． 9．（2023·安徽六安·二模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：    (1)画出将绕点B按逆时针方向旋转后所得到的； (2)求旋转到的过程中，点C所经过的路径长为_____；边扫过的图形面积为_____． 【答案】(1)图见详解 (2)， 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置画出图形即可； （2）根据弧长计算公式求出点所经过的路径即可．根据线段旋转得到的过程中，线段所扫过的面积为，进而求出即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示：   ； （2）解：点所经过的路径长为：； 所扫过的面积． 故答案为，． 【点睛】此题主要考查了图形的平移与旋转和弧长公式、扇形面积公式应用，根据已知得出对应点位置是解题关键． 10．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到． (1)求点经过的路线的长度． (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据旋转的性质求解、求其他不规则图形的面积、求某点的弧形运动路径长度、用勾股定理解三角形 【分析】（1）首先求出，再根据旋转得性质得，之后根据弧长公式计算弧即可； （2）根据旋转得性质得，然后根据，即可得出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 由旋转得性质得， 弧； （2）解：由旋转得性质得：， ， ，， ． ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换及性质，弧长公式，扇形的面积，勾股定理等，熟练掌握图形的旋转变换及性质，弧长的计算公式以及扇形面积的计算公式是解答此题的关键． 11．（23-24九年级上·安徽·期末）如图．是以的边为直径的外接圆，且，是上一点，且在的下方． (1)求的度数． (2)若，．求劣弧的长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、求弧长 【分析】（1）根据是的直径可知，根据可求出，进而得出是等腰直角三角形，于是得到，最后根据同弧所对圆周角相等即可求解； （2）连接，，根据是等腰直角三角形得到是等腰直角三角形，进而得到， 根据，得到的度数，进而根据圆周角定理得到的度数，最后根据弧长计算公式即可求解． 【详解】（1）解：是的直径， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ． （2）解：如图，连接，． 由（1）知，， 是等腰直角三角形（底边上三线合一）， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的判定与性质，同弧所对圆周角相等，掌握相关定义以及定理是解题的关键． 12．（2023·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．    (1)证明：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、求弓形面积、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边对等角可得，，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得，从而得证； （2）根据扇形面积减三角形面积计算即可． 【详解】（1）证明：∵弦绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设的半径为， 由（1）知：是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， 解得：， ∴图中阴影部分的面积： ， ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理，扇形和三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形面积的计算是解题的关键． 13.如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，求阴影部分周长的最小值是 。 【答案】 【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可． 【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′， 此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′， 由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°， ∴∠COD′＝90°， ∴CD′2， 的长， ∴阴影部分周长的最小值为2． 14.（2023·安徽池州·三模）如图所示，一浇花喷壶，其中是喷壶的壶嘴，是喷壶的按压手柄，是弹簧式伸缩连杆，是喷壶的导管，，，，，，使用时，点随弹簧的伸缩在上滑动，假设手柄按压到底时，绕着点逆时针转动到，此时手柄与导管平行，试求： (1)手柄末端点转动到点的旋转角及其路径长； (2)手柄按压前末端点到导管所在直线的距离以及按压到底时末端点到导管的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)点到点的旋转角为，路径长为 (2)点到导管的距离约为，点到导管的距离为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据旋转的性质求解、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查解直角三角形、平行线的性质、弧长公式、旋转性质，读懂题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）先根据平行线的性质求得，进而求得旋转角，然后根据弧长公式可求得路径长； （2）过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，根据锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：， 又， ， 又， ， 又， 路径长为， 答：点到点的旋转角为，路径长为． （2）解：过点作交延长线于点，过点作交延长线于点， 由（1）得， 在中，， ， 又， ， 在中，， ， 答：点到导管的距离为，点到导管的距离约为． 15．（2024·河北石家庄·一模）如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心旋转，叶片端点，，，将四等分，已知的半径为． (1)风车在转动过程中，当时，点在左侧，如图2所示，求点到桌面的距离（结果保留根号）； (2)在风车转动一周的过程中，求点到桌面的距离不超过时，点所经过的路径长（结果保留）； (3)连接，当与相切时，求切线长的值，并直接写出，两点到桌面的距离的差． 【答案】(1) (2) (3)切线长的值为，，两点到桌面的距离的差为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、求某点的弧形运动路径长度、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点作于点，作于点，则四边形为矩形，易得，在中，利用三角函数解得的值，进而可得的值，即可获得答案； （2）设点在旋转过程中运动到点，的位置时，点到桌面的距离均为，过点作于H，则，作于点D，则四动形为矩形，在中，利用三角函数解得，进而可得，由圆的轴对称性可知，然后利用弧长公式求解即可； （3）如下图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于点，根据题意可得，在中，利用勾股定理解得；证明，利用相似三角形的性质解得的值，再证明，易得，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，过点作于点，作于点， 则四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：点到桌面的距离是； （2）如下图，设点在旋转过程中运动到点，的位置时，点到桌面的距离均为， 过点作于H，则，作于点D， 则四动形为矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由圆的轴对称性可知，， ∴． ∴符合条件的点所经过的路径长为； （3）如下图，连接，过点作，交延长线于点，过点作于点， ∵弧是半圆， ∴为的直径， ∵直线切于点，且经过点， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，两点到桌面的距离的差为． 答：切线长的值为，，两点到桌面的距离的差为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、弧长计算、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题意，正确作出辅助线是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$