第10讲 相似三角形的性质（3考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第10讲 相似三角形的性质 课程标准 学习目标 1 理解相似三角形对应角相等、对应边成比例的基本性质，掌握相似比的概念及作用。 2 熟悉相似三角形的其他性质，如周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等，并能运用这些性质进行几何计算、证明与推理。 3 培养学生运用相似三角形性质解决几何综合问题以及在实际生活中相关问题的能力，提升数学应用意识。 1. 牢记相似三角形的各项性质内容，明晰性质间的内在联系及推导依据。 2. 会灵活运用相似三角形性质去计算线段长度、角度大小、周长、面积等，能依据性质完成几何证明，解决复杂几何问题。 3. 感受相似三角形性质在几何学习中的重要性与实用性，激发深入探究几何知识的热情。 知识点一、相似三角形周长比的性质 1.相似三角形周长的比等于相似比； 2.相似多边形周长的比等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 知识点二、相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 知识点三、相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于相似比； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 题型01 利用相似三角形的性质解决周长、面积问题 1．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2： 2．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，DE：CE＝2：3，联结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于（　　） A．4：10：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．2：5：25 3．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DFC的面积比为（　　） A． B． C． D． 题型02 线段的比值问题 1．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，CD和BE交于点O，如果S△DOE，那么的比值是（　　） A． B． C． D． 2．在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足BC＝3CM，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得NP＝BN，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点D，使∠CBD＝∠BAC，延长BC至点E，使得DE＝DB．若，则等于（　　） A．k﹣1 B． C．k D． 题型03 相似变换作图 1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，点P（1，2），作△PQR，使△PQR与△ABC相似，以Q、R点必须要格点上　　．（不写作法） 2．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点都在小方格的格点上．现以点D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形． （1）在图甲中画出一个三角形与△ABC相似且相似比为1：2． （2）在图乙中画出一个三角形与△ABC的面积比为1：4但不相似． 3．在5×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上的三角形）． （1）将图1中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C； （2）在图2中画出与△ABC相似但相似比不为1的格点△PDE． 题型04 相似三角形的判定与性质 1．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB＝8，BM＝6，求AE的长． 2．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝mAC，AD＝mAE（m＞1），∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点O．求证： （1）△ABD∽△ACE； （2）∠BAC＝∠BOC． 3．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F． （1）求证：AP＝CP； （2）如果PE＝3，EF＝5，求的值． 1．在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE的面积：△BCD的面积＝（　　） A．1：6 B．1：4 C．2：3 D．1：3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是BD、CD边上一点，连接AE、AF，BD交AF于点G，若BE＝3，∠EAF＝∠ABD，则DG的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E在AC上，分别连接BE，DE．若ED⊥AD，BC⊥AC，，∠ABE＝30°，则BC：BE的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC＝60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交BD，AD于点G，F，则FG的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若，则 　 　． 7．如图，在△ABC中，DE∥BC，联结BE，如果△ADE和△BEC的面积都为1，则△DEB的面积为 　 　． 8．如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC＝60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交BD，AD于点G，F，则FG的长为 　 　． 9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是△ABC的一条角平分线，过点A作AE⊥BC交BC于点E，交BD于点F．若，△AFD的面积为 ，则BE＝　 　． 10．如图，点C是以AB为直径的半圆上的三等分点（BC＜AC），点E为上一动点，（不与点A、C重合），过点B作BF⊥AB与EC的延长线交于点F，过点B作BG⊥OC于点G，交EC于点H，若OG＝2，H为CE的三等分点，EH的长为 　 　． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，连接AC，点E，F分别在边AD，CD上，连接BE，BF分别交AC于点M，N．若∠EBF＝45°，CF＝2，则DE的长为　 　． 12．如图，在菱形ABCD中，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，过E作EF⊥AB交AB于点F． （1）求证△DEC∽△EFB； （2）若BC＝6，CE＝2，求AF的长． 13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC交于点E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若，求AD的长度． 14．如图，矩形EFGD的边EF在△ABC的边BC边上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知AB＝AC＝10，BC＝12． （1）当矩形EFGD为正方形时，求正方形的边长； （2）联结EG，当△GEC以GC为腰的等腰三角形时，求矩形EFGD的面积． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．有一点到终点运动即停止．问： （1）几秒后△PBQ的面积等于5； （2）几秒后PQ⊥DQ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过点C作CE⊥AD，垂足为E．连接BE并延长交AC于点F． （1）求证：CD2＝ED•AD； （2）已知D为BC的中点，求证：∠DBE＝∠DAB． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 相似三角形的性质 课程标准 学习目标 1 理解相似三角形对应角相等、对应边成比例的基本性质，掌握相似比的概念及作用。 2 熟悉相似三角形的其他性质，如周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等，并能运用这些性质进行几何计算、证明与推理。 3 培养学生运用相似三角形性质解决几何综合问题以及在实际生活中相关问题的能力，提升数学应用意识。 1. 牢记相似三角形的各项性质内容，明晰性质间的内在联系及推导依据。 2. 会灵活运用相似三角形性质去计算线段长度、角度大小、周长、面积等，能依据性质完成几何证明，解决复杂几何问题。 3. 感受相似三角形性质在几何学习中的重要性与实用性，激发深入探究几何知识的热情。 知识点一、相似三角形周长比的性质 1.相似三角形周长的比等于相似比； 2.相似多边形周长的比等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 知识点二、相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 知识点三、相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于相似比； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 题型01 利用相似三角形的性质解决周长、面积问题 1．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2： 【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4， ∴△ABC与△DEF的相似比为：：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为：：2． 故选：C． 【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，DE：CE＝2：3，联结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF等于（　　） A．4：10：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．2：5：25 【分析】先根据已知条件得出△EDF∽△ABF，进而可得，，，由此可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵DE：EC＝2：3， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠EDF＝∠ABF，∠DEF＝∠BAF， ∴△EDF∽△ABF， ∴， ∴，， ∴S△DEF：S△EBF：S△ABF＝4：10：25． 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 3．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DFC的面积比为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质和中点定义得出AB＝DC＝2BE，AB∥CD，证明△BEF∽△DCF，根据相似三角形的面积等于相似比的平方即可得到答案． 【解答】解：在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F， ∴AB＝DC＝2BE，AB∥CD， ∴∠EBF＝∠CDF，∠BEF＝∠DCF， ∴△BEF∽△DCF， ∴， ∴△BEF与△DFC的面积比为， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 题型02 线段的比值问题 1．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，CD和BE交于点O，如果S△DOE，那么的比值是（　　） A． B． C． D． 【分析】设点D到BE的距离为h，由S△DOES△BOD，得OE•hOB•h，则，由DE∥BC，证明△EOD∽△BOC，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：设点D到BE的距离为h， ∵S△DOES△BOD， ∴OE•hOB•h， ∴， ∵DE∥BC， ∴△EOD∽△BOC， ∴， 故选：B． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，求得并且证明△EOD∽△BOC是解题的关键． 2．在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足BC＝3CM，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得NP＝BN，则（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BD交AC于点E，由正方形的性质得AB＝BC＝DC，BE＝CE＝DE，AC＝2CE，∠CED＝90°，由AB＝BC＝3CM，得，由CM∥AB证明△CMN∽△ABN，得，推导出AC＝4CN，则2CE＝4CN，可证明CN＝EN，进而证明△CPN≌△EBN，则PC＝BE＝DE，∠PCN＝∠BEN，所以PC∥DE，则四边形PCED是正方形，所以DP＝DE＝BE，∠PDB＝90°，求得BPDP，则，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BD交AC于点E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝DC，AE＝CEAC，BE＝DEBD，且AC＝BD，AC⊥BD， ∴BE＝CE＝DE，AC＝2CE，∠CED＝90°， ∵AB＝BC＝3CM， ∴， ∵CM∥AB， ∴△CMN∽△ABN， ∴， ∵CNACAC， ∴AC＝4CN， ∴2CE＝4CN， ∴CE＝2CN， ∴CN＝EN， 在△CPN和△EBN中， ， ∴△CPN≌△EBN（SAS）， ∴PC＝BE＝DE，∠PCN＝∠BEN， ∴PC∥DE， ∴四边形PCED是平行四边形， ∵∠CED＝90°，CE＝DE， ∴四边形PCED是正方形， ∴DP＝DE＝BE，∠PDB＝90°， ∴BD＝2DP， ∴BPDP， ∴， ∵BP＝2BN， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】此题重点考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点D，使∠CBD＝∠BAC，延长BC至点E，使得DE＝DB．若，则等于（　　） A．k﹣1 B． C．k D． 【分析】由AB＝AC，得∠BCD＝∠ABC，而∠CBD＝∠BAC，可证明∠BDC＝∠ABC，则∠BDC＝∠BCD，即可推导出DE＝DB＝BC，∠CBD＝∠E，所以∠A＝∠E，再证明∠ADB＝∠ECD，则△ADB∽△ECD，所以，则k﹣1，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠BCD＝∠ABC， ∵∠CBD＝∠BAC， ∴∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABC， ∴∠BDC＝∠BCD， ∴DB＝BC， ∵DE＝DB， ∴DE＝DB＝BC，∠CBD＝∠E， ∴∠A＝∠E， ∵∠ADB+∠BDC＝180°，∠ECD+∠BCD＝180°， ∴∠ADB＝∠ECD， ∴△ADB∽△ECD， ∴， ∴1＝k﹣1， 故选：A． 【点评】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明DE＝DB＝BC及△ADB∽△ECD是解题的关键． 题型03 相似变换作图 1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，点P（1，2），作△PQR，使△PQR与△ABC相似，以Q、R点必须要格点上　　．（不写作法） 【分析】根据相似三角形的性质，利用平行，连接AP作PR∥AC，且PR＝2AC，同理作PQ∥AB，PQ＝2AC连接QR．三角形就画成了． 【解答】解： 【点评】本题主要根据平行的性质，利用三角形的相似来完成此图． 2．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点都在小方格的格点上．现以点D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形． （1）在图甲中画出一个三角形与△ABC相似且相似比为1：2． （2）在图乙中画出一个三角形与△ABC的面积比为1：4但不相似． 【分析】（1）根据三角形与△ABC相似且相似比为1：2，得出对应边长度即可得出答案； （2）根据三角形与△ABC的面积比为1：4但不相似，得出新三角形面积即可． 【解答】解：（1）如图甲所示： （2）如图乙所示． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出新三角形的对应边长是解题关键． 3．在5×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上的三角形）． （1）将图1中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C； （2）在图2中画出与△ABC相似但相似比不为1的格点△PDE． 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）结合相似三角形的判定，画△PDE的各边长分别为即可． 【解答】解：（1）如图1，△A′B′C即为所求； （2）如图2，分别取格点D，E，使PD，DE，PE， 此时△DPE∽△ABC，相似比为， 则△PDE即为所求． 【点评】本题考查作图﹣相似变换、作图﹣旋转变换，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解答本题的关键． 题型04 相似三角形的判定与性质 1．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB＝8，BM＝6，求AE的长． 【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论； （2）由勾股定理求出AM，可求出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，即可求出AE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠AMB＝∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE＝90°， ∴∠B＝∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，BM＝6， ∴∠B＝90°，AD＝AB＝8， ∴， ∵F是AM的中点， ∴， ∵△ABM∽△EFA， ∴， 即， ∴． 【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． 2．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝mAC，AD＝mAE（m＞1），∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点O．求证： （1）△ABD∽△ACE； （2）∠BAC＝∠BOC． 【分析】（1）先证明∠BAD＝∠CAE，再根据AB＝mAC，AD＝mAE得，由此可得出结论； （2）设AC与BD交于点F，根据△ABD和△ACE相似得∠ABD＝∠ACE，然后根据三角形内角和定理及对顶角相等可得出结论． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝mAC，AD＝mAE， ∴m，m， ∴， ∴， 又∵∠BAC＝∠DAE， ∴△ABD∽△ACE； （2）设AC与BD交于点F，如图所示： ∵△ABD∽△ACE； ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD+∠AFB+∠BAC＝180°，∠ACE+∠CFO+∠BOC＝180°， 又∵∠AFB＝∠CFO， ∴∠BAC＝∠BOC． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 3．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F． （1）求证：AP＝CP； （2）如果PE＝3，EF＝5，求的值． 【分析】（1）先根据菱形的性质得到DA＝DC，DB平分∠ADC，然后证明△ADP≌△CDP得到AP＝CP； （2）先根据菱形的性质得到CD∥AB，则∠DCP＝∠F，再证明∠DAP＝∠F，于是可判断△PAE∽△PFA，利用相似三角形的性质可计算出PA＝2，所以CP＝2，然后证明△PDE∽△PBC，从而根据相似三角形的性质可得到的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴DA＝DC，DB平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠CDB， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴AP＝CP； （2）解：∵四边形ABCD为菱形， ∴CD∥AB， ∴∠DCP＝∠F， ∵△ADP≌△CDP， ∴∠DCP＝∠DAP， ∴∠DAP＝∠F， ∵∠APE＝∠FPA， ∴△PAE∽△PFA， ∴AP：PF＝PE：AP， 即AP：（3+5）＝3：PA， 解得PA＝2或PA＝﹣2（舍去）， ∴CP＝AP＝2， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC， ∴△PDE∽△PBC， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△PAE∽△PFA是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质和菱形的性质． 1．在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE的面积：△BCD的面积＝（　　） A．1：6 B．1：4 C．2：3 D．1：3 【分析】由AD：DB＝1：2，推导出，由DE∥BC证明△ADE∽△ABC，得，则（）2，求得S△ADC＝3，S△ABC＝9，所以S△BCD＝6，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AD：DB＝1：2， ∴， ∵DE∥BC，△ADE的面积为1， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴S△ADC＝3S△ADE＝3×1＝3，S△ABC＝9S△ADE＝9×1＝9， ∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ADC＝9﹣3＝6， ∴△ADE的面积：△BCD的面积＝1：6， 故选：A． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，证明△ADE∽△ABC是解题的关键． 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是BD、CD边上一点，连接AE、AF，BD交AF于点G，若BE＝3，∠EAF＝∠ABD，则DG的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC，交BD于点O，先证明∠BAE＝∠CAF，∠ACF＝∠BAC＝∠ABD，进而可得△ABE∽△ACF，由，求出CF＝5，DF＝1，再由△ABE∽△ACF，得，即可求出DG的长． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是BD、CD边上一点，连接AC，交BD于点O； ∴AB＝CD＝6，∠BAD＝90°， 在直角三角形ABD中，， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝5， ∴∠ABD＝∠BAC， ∵∠EAF＝∠ABD， ∴∠BAC＝∠EAF， ∴∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAF． ∵AB∥CD， ∴∠ACF＝∠BAC＝∠ABD， ∴△ABE∽△ACF， ∴，即， 解得：CF＝5， ∴DF＝CD﹣CF＝6﹣5＝1， ∵AB∥CD， ∴△ABG∽△FDG， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E在AC上，分别连接BE，DE．若ED⊥AD，BC⊥AC，，∠ABE＝30°，则BC：BE的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据角平分线的性质可得∠DAE＝∠CAB，EF＝ED，再根据垂直定义可得∠BCA＝∠EDA＝90°，从而证明△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形的性质可得，最后再根据含30度角的直角三角形，进行计算即可解答． 【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F， ∵ED⊥AD，AC平分∠BAD， ∴EF＝ED，∠DAE＝∠CAB， ∵BC⊥AC， ∴∠EDA＝∠BCA＝90°， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∴， ∵∠ABE＝30°，∠EFB＝90°， ∴BE＝2EF， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH＝AB＝2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论． 【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2， ∵BF＝2FC，BC＝AD＝3， ∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1， ∴AF2， ∵OH∥AE， ∴， ∴OHAE， ∴OF＝FH﹣OH＝2， ∵AE∥FO， ∴△AME∽FMO， ∴， ∴AMAF， ∵AD∥BF， ∴△AND∽△FNB， ∴， ∴ANAF， ∴MN＝AN﹣AM． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键． 5．如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC＝60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交BD，AD于点G，F，则FG的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用菱形的性质得到AB＝CD＝AD＝3，∠ABC＝ADC＝60°，AB∥CD，则∠EAD＝60°，∠ABD＝30°，再在Rt△ADE中计算出AE，DE，则利用勾股定理可计算出CE，接着证明△BEG∽△DCG，利用相似三角形的性质和比例的性质得到EG，利用同样方法可计算出EF，然后计算EG﹣EF即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝CD＝AD＝3，∠ABC＝ADC＝60°，AB∥CD， ∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∠ABD∠ABC＝30°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝∠EDC＝90°， 在Rt△ADE中，∵AEAD， ∴DEAE， 在Rt△CDE中，CE， ∵BE∥CD， ∴△BEG∽△DCG， ∴， ∴， ∴EG， ∵AE∥CD， ∴△AEF∽△DCF， ∴， ∴， ∴EF， ∴FG＝EG﹣EF． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了等边三角形的判定与性质、菱形的性质． 6．如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若，则 　　． 【分析】根据AC∥BD．可以得到△AOC∽△BOD，然后相似三角形的相似比等于周长之比，即可得到的值． 【解答】解：∵AC∥BD． ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确相似三角形的相似比等于周长之比． 7．如图，在△ABC中，DE∥BC，联结BE，如果△ADE和△BEC的面积都为1，则△DEB的面积为 　　． 【分析】设△DEB的面积为S，利用三角形面积公式得到，则利用比例性质得到，再证明△ADE∽△ABC，则根据相似三角形的性质得（）2，整理得S2+S﹣1＝0，然后解方程求出S即可． 【解答】解：设△DEB的面积为S， ∵， ∴， ∴， 即， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴（）2， ∴（）2， 整理得S2+S﹣1＝0， 解得S1，S2（舍去）， 即△DEB的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 8．如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC＝60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交BD，AD于点G，F，则FG的长为 　　． 【分析】由DE⊥AB，得∠AED＝90°，因为四边形ABCD是边长为3的菱形，∠ADC＝60°，所以AD＝AB＝CD＝3，AB∥CD，则∠EDC＝90°，∠ADE＝30°，所以EAAD，求得EB，DE2＝AD2﹣EA2，则CE，可证明△CDG∽△EBG，得，则CGCE，再证明△EAF∽△CDF，得，则EFCE，即可求得FG，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵DE⊥AB，交BA的延长线于点E， ∴∠AED＝90°， ∵四边形ABCD是边长为3的菱形，∠ADC＝60°， ∴AD＝AB＝CD＝3，AB∥CD， ∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠ADC＝30°， ∴EAAD， ∴EB＝EA+AB3，DE2＝AD2﹣EA2＝32， ∴CE， ∵CD∥EB， ∴△CDG∽△EBG， ∴， ∴CGCECE， ∵EA∥CD， ∴△EAF∽△CDF， ∴， ∴EFCECE， ∴FG＝CE﹣CG﹣EF， 故答案为：． 【点评】此题重点考查菱形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△CDG∽△EBG及△EAF∽△CDF是解题的关键． 9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是△ABC的一条角平分线，过点A作AE⊥BC交BC于点E，交BD于点F．若，△AFD的面积为 ，则BE＝　14　． 【分析】过点A作AG⊥DF于点G，先证出△AFD是等腰三角形，从而得到，设参，设DG＝FG＝x，AD＝AF＝y，再证△DAG∽△DBA，得到，代入x、y得到y＝3x，进而利用面积求出x值，进而得解． 【解答】解：过点A作AG⊥DF于点G，则∠AGF＝∠AGD＝90°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠EAC＝90°﹣∠BAE， ∵∠AFG＝∠BFE，∠AGF＝∠BEF＝90°， ∴△GAF∽△EBF， ∴∠EBF＝∠GAF，， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBFABC， ∴∠GAF∠EAC， 即∠GAF＝∠GAD， ∵AG＝DG， ∴△AGF≌△AGD（ASA）， ∴GF＝GDDF，AF＝AD， ∵， ∴， 设DG＝FG＝x，AD＝AF＝y， 则BFy， ∴BDy+2x， ∵，∠AGD＝∠ABC＝90°， ∴△DAG∽△DBA， ∴， 即， 整理得y＝3x， ∴AD＝AF＝3x， 根据勾股定理可得AG＝2x， ∴S△AFDDF•AG＝2x2＝18， 解得x＝3（负值舍去）， ∴AG＝6， ∵， ∴BE＝14． 故答案为：14． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10．如图，点C是以AB为直径的半圆上的三等分点（BC＜AC），点E为上一动点，（不与点A、C重合），过点B作BF⊥AB与EC的延长线交于点F，过点B作BG⊥OC于点G，交EC于点H，若OG＝2，H为CE的三等分点，EH的长为 　或　． 【分析】先证△OBC为等边三角形，得到∠COB＝∠OBC＝∠OCB＝60°，进而得到∠CEB＝∠CBG＝30°，证△BCE∽△HCB，得到CE•CH＝BC2＝16，然后分类讨论计算即可得解． 【解答】解：∵点C是以AB为直径的半圆上的三等分点（BC＜AC）， ∴∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠COB＝∠OBC＝∠OCB＝60°， ∵， ∴∠CEB∠COB＝30°， ∵BG⊥OC， ∴OC＝CGOC，∠OBG＝∠CBG＝30°， ∵OG＝2， ∴OC＝4＝BC＝OB， ∵∠CEB＝∠CBG＝30°，∠BCE＝∠HCB， ∴△BCE∽△HCB， ∴， ∴CE•CH＝BC2＝16， ∵H为CE的三等分点， ∴可以分两种情况讨论，设CE＝3x， ①EH时，则EH＝x，CH＝2x， ∴2x•3x＝16， 解得x（负值舍去）， ∴EH， ②EHCE时，EH＝2x，CH＝x， ∴x•3x＝16， 解得x， ∴EH＝2x； 综上，EH的长为或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理等相关内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，连接AC，点E，F分别在边AD，CD上，连接BE，BF分别交AC于点M，N．若∠EBF＝45°，CF＝2，则DE的长为　　． 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BF，证明△CFN∽△ABN，求出BN，再证明△BCF∽△ABC，△BCN∽△ABC，△AME∽△CBM，对应边成比例即可解决问题． 【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝4， ∴BC＝AD＝4， ∵CF＝2， 在Rt△CBF中，BF2， ∵CD∥AB， ∴△CFN∽△ABN， ∴， ∵AB＝CD＝8，FN＝FB﹣BN＝2BN， ∴， ∴BN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AB∥CD， ∵AB＝8，AD＝4， 由勾股定理得：AC4， ∵AB＝8，BC＝AD＝4，CF＝2， ∴， ∵∠BCF＝∠ABC＝90°， ∴△BCF∽△ABC， ∴∠CBF＝∠BAC， ∵∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠CBF+∠ACB＝90°， ∴∠CNB＝90°， ∴CA⊥BF， ∵∠EBF＝45°， ∴∠BMN＝45°， ∴MN＝BN， ∵∠CBF＝∠BAC，∠BNC＝∠ABC＝90°， ∴△BCN∽△ABC， ∴， ∴CNBN， ∴AB＝AC﹣MN﹣CN＝4，CM＝CN+MN， ∵AD∥BC， ∴△AME∽△CBM， ∴， ∴， ∴AE， ∴DE＝AD﹣AE＝4． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 12．如图，在菱形ABCD中，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，过E作EF⊥AB交AB于点F． （1）求证△DEC∽△EFB； （2）若BC＝6，CE＝2，求AF的长． 【分析】（1）由菱形的性质得CD∥AB，则∠DCE＝∠EBF，由DE⊥BC交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，得∠DEC＝∠EFB＝90°，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△DEC∽△EFB； （2）由BC＝6，CE＝2，得AB＝CD＝BC＝6，BE＝8，由相似三角形的性质得，求得BF，则AF＝AB﹣BF． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥AB， ∴∠DCE＝∠EBF， ∵DE⊥BC交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F， ∴∠DEC＝∠EFB＝90°， ∴△DEC∽△EFB． （2）解：∵BC＝6，CE＝2， ∴AB＝CD＝BC＝6，BE＝BC+CE＝6+2＝8， ∵△DEC∽△EFB， ∴， ∴BF， ∴AF＝AB﹣BF＝6， ∴AF的长是． 【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，适当选择相似三角形的判定定理证明△DEC∽△EFB是解题的关键． 13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC交于点E，过点D作DF⊥AC于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若，求AD的长度． 【分析】（1）连接OD交BC于点G，由AB是⊙O的直径，DF⊥AC于点F，得∠ACB＝∠F＝90°，则DF∥BC，由点D是的中点，根据垂径定理得OD垂直平分BC，则∠ODF＝∠OGC＝90°，即可证明DF为⊙O的切线； （2）连接CD，作EI⊥CD于点I，CH⊥CB于点H，由，，得∠CAB＝∠B＝45°，则∠ADC＝∠B＝45°，∠BCD＝∠CAD＝∠BAD＝22.5°，所以∠IED＝∠IDE＝∠HCD＝45°，则ID＝IE，CH＝DH，∠BCD＝∠BCH＝22.5°，所以IE＝HE，由DEIE＝22，求得IE＝HI＝2，则DH，再证明△CDE∽△ADC，得，求得AD＝22． 【解答】（1）证明：如图1，连接OD交BC于点G， ∵AB是⊙O的直径，DF⊥AC于点F， ∴∠ACB＝∠F＝90°， ∴DF∥BC， ∵点D是的中点， ∴OD垂直平分BC， ∴∠ODF＝∠OGC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD， ∴DF为⊙O的切线． （2）解：如图2，连接CD，作EI⊥CD于点I，CH⊥CB于点H，则∠DIE＝∠DHC＝90°， ∵点C是的中点，点D是的中点， ∴，， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠B＝45°， ∴∠ADC＝∠B＝45°，∠BCD＝∠CAD＝∠BAD∠CAB＝22.5°， ∴∠IED＝∠IDE＝∠HCD＝45°， ∴ID＝IE，CH＝DH，∠BCD＝∠BCH＝22.5°， ∴IE＝HE， ∵DEIE＝22， ∴IE＝HI＝2， ∴DH＝DE+IE＝22+2， ∴CD2＝CH2+DH2＝2DH2＝2×（）2＝4， ∵∠ECD＝∠CAD，∠CDE＝∠ADC， ∴△CDE∽△ADC， ∴， ∴AD22， ∴AD的长是22． 【点评】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定定理、角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．如图，矩形EFGD的边EF在△ABC的边BC边上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知AB＝AC＝10，BC＝12． （1）当矩形EFGD为正方形时，求正方形的边长； （2）联结EG，当△GEC以GC为腰的等腰三角形时，求矩形EFGD的面积． 【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，交DG于O，利用△ADG∽△ABC，得，设DE＝x，则DG＝x，AO＝8﹣x，代入解方程即可； （2）分GC＝GE或CE＝CG两种情形，分别根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质可求出矩形的长和宽，从而解决问题． 【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于H，交DG于O， ∵AB＝AC＝10，BC＝12， ∴BH， ∴AH8， ∵四边形EFGD为正方形，设DE＝x， ∴DG＝x，AO＝8﹣x， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴， ∴， 解得：x， ∴正方形的边长为； （2）当GC＝GE时，如图，作AH⊥BC于H， ∴EF＝CF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BED＝∠CFG，DE＝FG， ∴△BDE≌△CGF（AAS）， ∴BE＝CF＝EF＝4， ∴GFCF， ∴S矩形DEFG＝4； 当CE＝CG时，如图，作AH⊥BC于H， 设BE＝CF＝x，则CG＝CE＝12﹣x， ∴， ∴， 解得x， ∴CF， ∴GFCF， ∴S矩形DEFG＝6×3＝18， 综上：矩形EFGD的面积为或18． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的根据． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．有一点到终点运动即停止．问： （1）几秒后△PBQ的面积等于5； （2）几秒后PQ⊥DQ． 【分析】（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8cm2列式求值即可； （2）如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，对应边成比例，再设AP＝y cm，QB＝2y cm，求出y即可． 【解答】解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于5cm2． 则AP＝x cm，QB＝2x cm， ∴PB＝（6﹣x）cm， ∴（6﹣x）2x＝5， 解得x1＝1，x2＝5， 答：1秒或5秒后△PBQ的面积等于5cm2； （2）设y秒后PQ⊥DQ，则∠DQP为直角， ∴∠BQP+∠DQC＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠B＝90°， ∴∠BQP+∠QPB＝90°， ∴∠DQC＝∠QPB， ∴△BPQ∽△CQD， ∴， 设AP＝y cm，QB＝2y cm， ∴， ∴2y2﹣15y+18＝0， 解得：y或6， 经检验y是原分式方程的根，y＝6不是原分式方程的根， 当y＝6时，P点到达B点、Q点到达C点，此时PQ⊥DQ． 答：秒或6秒后PQ⊥DQ． 【点评】此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据三角形相似的性质列出方程． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过点C作CE⊥AD，垂足为E．连接BE并延长交AC于点F． （1）求证：CD2＝ED•AD； （2）已知D为BC的中点，求证：∠DBE＝∠DAB． 【分析】（1）证明△DCE和△DAC中相似，根据相似三角形的性质即可得出结论； （2）根据点D为BC的中点及CD2＝ED•AD，得BD2＝ED•AD，则，再根据∠BDE＝∠ADB可判定△DEB和△DBA相似，再根据相似三角形的性质即可得出结论；． 【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，∠ACB＝90°， ∴∠DEC＝∠ACB＝90°， 又∵∠EDC＝∠CDA， ∴△DCE∽△DAC中， ∴， ∴CD2＝ED•AD； （2）证明：∵点D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∴CD2＝ED•AD， ∴BD2＝ED•AD， 即， 又∵∠BDE＝∠ADB， ∴△DEB∽△DBA， ∴∠DBE＝∠DAB． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$