5.2.2 同角三角函数的基本关系（5大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

5.2.2 同角三角函数的基本关系 知识点1 同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的基本关系 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 2、基本关系式的要点剖析 （1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如成立，但是就不一定成立． （2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立． 知识点2 常用等价变形 1、平方关系变形： 2、商数关系变形： 【注意】使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题． 1、已知某个三角函数值求其它三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值． 2、弦化切求齐次式的值的方法 已知角的正切值， （1）求形如的分式的值，可将分子、分母同时除以；求形如的分式的值，可将分子、分母同时除以，将正、余弦转化为正切形式，从而求值． （2）求形如的整式的值，可将整式看成分母为1的分式，再将分母1变形为，转化为的分式求解． 3、三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 4、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 题型一 sinα、cosα、tanα知一求二 【例1】（24-25高一上·天津·月考）已知，是第二象限角，则= 【变式1-1】（24-25高二上·云南·期中）已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 【变式1-2】（24-25高一上·河北保定·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·福建莆田·月考）（1）已知，求，的值； （2）已知，，求的值． 题型二 正余弦齐次式的应用 【例2】（24-25高一上·天津·月考）若角的终边经过点，则的值为 . 【变式2-1】（23-24高一下·海南·期末）已知，则 ． 【变式2-2】（23-24高一上·安徽·期末）已知，则 . 【变式2-3】（22-23高一上·河南开封·期末）已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 题型三 sinα·cosα、sinα±cosα关系 【例3】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·天津·月考）已知，则 ． 【变式3-2】（22-23高一上·河北保定·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·广东汕头·期末）（多选）已知α为锐角，且则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 题型四 三角函数式的化简求值 【例4】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·上海·期末）化简： ． 【变式4-2】（23-24高一上·江苏扬州·期末）若为第二象限角，则可化简为 ． 【变式4-3】化简： (1)； (2)． 题型五 三角恒等式的证明 【例5】证明：. 【变式5-1】求证：． 【变式5-2】求证： (1)； (2). 【变式5-3】求证： (1)； (2). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.2 同角三角函数的基本关系 知识点1 同角三角函数的基本关系 1、同角三角函数的基本关系 基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 2、基本关系式的要点剖析 （1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如成立，但是就不一定成立． （2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立． 知识点2 常用等价变形 1、平方关系变形： 2、商数关系变形： 【注意】使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题． 1、已知某个三角函数值求其它三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值． 2、弦化切求齐次式的值的方法 已知角的正切值， （1）求形如的分式的值，可将分子、分母同时除以；求形如的分式的值，可将分子、分母同时除以，将正、余弦转化为正切形式，从而求值． （2）求形如的整式的值，可将整式看成分母为1的分式，再将分母1变形为，转化为的分式求解． 3、三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 4、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 题型一 sinα、cosα、tanα知一求二 【例1】（24-25高一上·天津·月考）已知，是第二象限角，则= 【答案】 【解析】由，是第二象限角，得， 所以. 【变式1-1】（24-25高二上·云南·期中）已知，且为锐角，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，且为锐角， 所以.故选：A. 【变式1-2】（24-25高一上·河北保定·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故，则， 故.故选：A 【变式1-3】（24-25高一上·福建莆田·月考）（1）已知，求，的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【解析】因为，且，所以是第二或第三象限的角． 当是第二象限角时，有，． 当是第三象限角时，同理有 ，． 由已知得 由①得，代入②得， 所以．又，所以，所以． 题型二 正余弦齐次式的应用 【例2】（24-25高一上·天津·月考）若角的终边经过点，则的值为 . 【答案】 【解析】因为角的终边经过点， 所以，所以. 故答案为： 【变式2-1】（23-24高一下·海南·期末）已知，则 ． 【答案】 【解析】，故答案为： 【变式2-2】（23-24高一上·安徽·期末）已知，则 . 【答案】 【解析】 . 【变式2-3】（22-23高一上·河南开封·期末）已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 【答案】C 【解析】 故选：C. 题型三 sinα·cosα、sinα±cosα关系 【例3】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以，所以， 又， 所以.故选：A. 【变式3-1】（24-25高一上·天津·月考）已知，则 ． 【答案】 【解析】由两边平方得：. 故答案为： 【变式3-2】（22-23高一上·河北保定·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ，又， ，，即， .故选：B. 【变式3-3】（23-24高一上·广东汕头·期末）（多选）已知α为锐角，且则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为，所以，而α为锐角，所以，故A错误； 由，两边平方可得，故C正确； 因为α为锐角， 所以，故D正确； 由，故B错误.故选：CD 题型四 三角函数式的化简求值 【例4】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选：A. 【变式4-1】（23-24高一上·上海·期末）化简： ． 【答案】 【解析】， 故答案为： 【变式4-2】（23-24高一上·江苏扬州·期末）若为第二象限角，则可化简为 ． 【答案】 【解析】因为为第二象限角，所以，， 所以原式 . 故答案为：. 【变式4-3】化简： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）原式=． （2）原式 ． 题型五 三角恒等式的证明 【例5】证明：. 【答案】证明见解析. 【解析】左边右边. 所以. 【变式5-1】求证：． 【答案】证明见解析 【解析】左边右边， ∴原等式成立． 【变式5-2】求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）等式左边 . （2）等式左边 . 【变式5-3】求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】（1） . 所以原式成立. （2） . 所以原式成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$