专题04 一次函数（16基础题型+8提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（陕西专用）

专题04 一次函数 函数的概念 1. （20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）下列各式中，y不是x的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数的概念 【分析】在运动变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数，x是自变量． 【详解】A. ，B. ，C. ，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义，不符合题意， D. ，对于x的每一个值，y都有两个确定的值与之对应，故不是函数，本选项符合题意. 故选D 【点睛】本题考核知识点：函数. 解题关键点：理解函数的定义. 2. （23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中表示不是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数的概念 【分析】利用函数的定义，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，进而判断得出结论． 【详解】解：A、由图象可知，对于给定的的值，都有2个值与其对应，故此选项能表示不是的函数，符合题意； B、由图象可知，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，故此选项能表示是的函数，不符合题意； C、由图象可知，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，故此选项能表示是的函数，不符合题意； D、由图象可知，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，故此选项能表示是的函数，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量和，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量，熟练掌握此定义是解题的关键． 3. （22-23九年级上·陕西西安·期末）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数图象识别 【分析】根据函数的定义即可得出答案． 【详解】解：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C不满足条件． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的定义，理解对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应是解答本题的关键． 4. （21-22九年级上·陕西西安·期末）函数中，自变量的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 从函数图象获取信息 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折销售；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后．超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克．若在甲园采摘的总费用是元，在乙园采摘的总费用是元． ，与x之间的函数图象如图所示．则下列说法中错误的是（     ）    A．乙园草莓优惠前的销售价格是元/千克 B．甲园的门票费用是元 C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按六折销售 D．顾客用元在乙园采摘的草莓比在甲园采摘的草莓多 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由图象可知，乙园草莓优惠前的销售价格是元/千克，可判断A的正误；甲园的门票费用是元，可判断B的正误；乙园超过5千克后，超过部分的价格为元/千克，由，可知超过部分的价格按五折销售，可判断C的正误；由图象可知，顾客用元在乙园采摘的草莓比在甲园采摘的草莓多，可判断D的正误． 【详解】解：由图象可知，乙园草莓优惠前的销售价格是元/千克，A正确，故不符合要求； 甲园的门票费用是元，B正确，故不符合要求； 乙园超过5千克后，超过部分的价格为元/千克， ∵， ∴乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折销售，C错误，故符合要求； 由图象可知，顾客用元在乙园采摘的草莓比在甲园采摘的草莓多，D正确，故不符合要求； 故选：C． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）小逸从家出发去早餐店吃早餐，吃完后原路返回．如图，这是小逸离家的路程与时间之间的函数关系，已知小逸吃早餐用时，返回速度是去早餐店速度的1.2倍，则的值为（    ）    A．42 B．42.5 C．45 D．47.5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，理解题意，设小逸家距早餐店的路程为，用含s的式子表示相关量是解题关键．设小逸家距早餐店的路程为，结合图象得到小逸从家到早餐店速度为，返回速度为，返回时间为，即可求出． 【详解】解：设小逸家距早餐店的路程为， ∵小逸吃早餐用时， ∴小逸从家到早餐店时间为， ∴小逸从家到早餐店速度为， ∴小逸从早餐店回家速度为， ∴小逸从早餐店回家时间为， ∴． 故选：B 3. （22-23八年级上·陕西西安·期末）某施工队修一段长度为360米的公路，施工队每天的效率相同，如表根据每天工程进度制作而成 施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 …… 累计完成施工量/米 30 60 90 120 150 180 210 …… 下列说法错误的是（    ） A．随着施工时间的逐渐增大，累计完成施工量也逐渐增大 B．当施工时间为9天时，累计完成施工量为270米 C．若累计完成施工量为330米，则施工时间为10天 D．施工时间每增加1天，累计完成施工量就增加30米 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据题中所给表格可知施工时间与累计完成施工量满足函数关系为，结合题中选项逐个判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可知施工时间与累计完成施工量满足函数关系为， A、由表可知随着施工时间的逐渐增大，累计完成施工量也逐渐增大正确，不符合题意； B、当时，，当施工时间为9天时，累计完成施工量为270米正确，不符合题意； C、当时，，解得，若累计完成施工量为330米，则施工时间为10天错误，符合题意； D、由表可知施工时间每增加1天，累计完成施工量就增加30米正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查函数的三种表示，读懂题意，从表格中得到函数关系式是解决问题的关键． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为千克，若在甲园采摘需总费用元，在乙园采摘需总费用元．、与之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克 B．甲园的门票费用是60元 C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠 D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 草莓优惠前的销售价格是（元/千克），故选项A正确； 甲园的门票费用是60元，故选项B正确； 乙园超过5千克后，超过的部分价格是（元/千克），，故选项C正确； 若顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更少，故选项D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的陌数关系，下列结论错误的是（　　） A．小王骑车的速度为10km/h B．小李骑车的速度为20km/h C．a的值为15 D．走完全程，小李所用的时间是小王的 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据题意和函数图象中的数据进行计算即可． 【详解】从AB可以看出：两人从相距30千米的两地相遇用了一个小时时间，则千米/时， 小王用了3个小时走完了30千米的全程， ∴千米/时，故A选项正确； ∴千米/时，故B选项正确； C点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了小时，此时小王和小李的距离是 ∴，故C选项正确； 走完全程，小李所用的时间（小时）． 走完全程，小王所用的时间是：小时． ∴走完全程，小李所用的时间是小王的，故D选项错误; 故选：D． 【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，看懂图像所表达的意思和数形结合的思想解答． 6. （20-21八年级上·陕西咸阳·期末）A，B两地相距30km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图，反映的是两人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，①甲始终是匀速运动，乙的行进不是匀速的；②乙用了5个小时到达目的地；③乙比甲迟出发0.5小时，④甲在出发5小时后被乙追上．以上说法正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据甲、乙函数图像一个是直线一个不是直线即可判断①；根据甲从t=0开始出发，乙从t=0.5出发即可判断②③；根据甲、乙函数图像的交点的横坐标小于5可以判断④． 【详解】解：由函数图像可知，甲的函数图像是一条直线，乙的函数图像不是直线，故甲是匀速运动，乙不是匀速运动，故①正确； 乙在第0.5小时出发，在第5小时到达，则乙的行进时间为5-0.5=4.5小时，故②错误； 根据函数图像可知乙比甲迟出发0.5小时，故③正确， 根据函数图像可知，当乙追上甲时，两人的行进路程相同，即在函数图像中的甲、乙函数图像的交点处乙追上甲，则乙追上甲时，甲出发的时间小于5小时，故④错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息，解题的关键在于能够准确读懂函数图像． 7. （20-21八年级上·陕西西安·期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示，则下列说法：①客车比出租车晚4小时到达目的地；②两车出发后3.75小时相遇；③两车相遇时客车距乙地还有225千米；④客车的速度为60千米/时，出租车的速度为100千米/时，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】观察图象可发现客车出租车行驶路程均为600千米，客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时，然后可求得客车和出租车行驶的速度，进而判断①④；设两车出发后x小时相遇，根据两车的速度和甲乙两地的距离列方程求解即可得到相遇的时间，然后计算出相遇时客车行驶的距离，进而可判断②③． 【详解】解：①由函数图象可知，客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时， 所以客车比出租车晚4小时到达目的地， 故①正确； ④由函数图象可知，甲乙两地相距600千米，客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时， 所以客车速度为＝60千米/时，出租车速度为＝100千米/时， 故④正确； ②设两车出发后x小时相遇， 由题意得：60x＋100x＝600， 解得：， 即两车出发后3.75小时相遇， 故②正确； ③因为3.75小时客车行驶了60×3.75＝225千米， 所以两车相遇时客车距乙地还有600−225＝375千米， 故③错误，正确的有3个； 故选：C． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，读懂函数图象是解题的关键． 8. （20-21八年级上·陕西咸阳·期末）甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（  ）． A．两人出发1小时后相遇 B．赵明阳跑步的速度为 C．王浩月到达目的地时两人相距 D．王浩月比赵明阳提前到目的地 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】根据图像可得两地之间的距离，再分别算出两人的行进速度，据此可得各项数据进而判断各选项. 【详解】解：由图可知：当时间为0h时，两人相距24km， 即甲乙两地相距24km， 当时间为1h时，甲乙两人之间距离为0， 即此时两人相遇，故A正确； ∵24÷1=24，可得两人的速度和为24km/h， 由于王浩月先到达目的地，故赵明阳全程用了3h， ∴赵明阳的速度为24÷3=8km/h，故B正确； 可知王浩月的速度为24-8=16km/h， ∴王浩月到达目的地时，用了24÷16=h， 此时赵明阳行进的路程为：×8=12km， 即此时两人相距12km，故C错误； 赵明阳到达目的地时，用了3h， 则3-==1.5h， ∴王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地，故D正确. 故选C. 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，解题时要充分理解题意，读懂函数图像的意义. 9. （22-23九年级上·陕西西安·期末）小明骑自行车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小明骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小明离家的距离s（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的对应关系如图所示，则小明骑自行车的速度是 米/分．    【答案】300 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据题意可知小张骑车5分钟所走路程为1500米，据此即可求出小张骑车的速度． 【详解】解：由题意可知，小张骑车的速度为： （米/分钟）． 故答案为：300． 【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键，利用了路程、速度、时间之间的关系． 10. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）甘肃地震牵动全国，甲、乙两人沿同一条路用货车从地匀速开往相距的灾区地运送救灾物资.如图，和分别表示甲、乙与地的距离与行驶的时间之间的关系． (1)甲出发______后，两人相遇，这时他们与地的距离为______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)乙从地出发______时到达地． 【答案】(1)， (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了由函数图象获取信息，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象即可得出答案； （2）根据速度路程时间，结合函数图象计算即可得出答案； （3）由函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：甲出发后，两人相遇，这时他们与地的距离为， 故答案为：，； （2）解：由图象可得：甲的速度为：， 乙的速度为：， 故答案为：，； （3）解：由图象可得：， 乙从地出发时到达地， 故答案为：． 11. （22-23八年级上·陕西榆林·期末）一辆货车和一辆轿车从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段和线段分别表示货车和轿车离甲地的距离与货车出发时间之间的函数关系． (1)货车的速度是________，两车相遇时，它们距甲地________； (2)轿车的速度是________；轿车出发时，两车相距________； (3)轿车从甲地出发到乙地所用的时间是________． 【答案】(1)60，210 (2)100，84 (3)3 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据速度=路程÷时间可求出货车的速度，然后货车的速度乘以相遇的时间可求出两车相遇时，它们距甲地的路程； （2）根用相遇时走的路程÷相遇时时间轿车用的时间可求出轿车的速度，然后货车的速度乘以轿车出发时的时间可求出轿车出发时，两车相距的路程； （3）用甲乙两地的路程除以轿车的速度即可． 【详解】（1）， ． 故答案为：60，210； （2）， ． 故答案为：100，84； （3）， 故答案为：3． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图是解题的关键． 用函数关系表示实际问题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知一个等腰三角形的周长为cm，腰长为xcm，底边长为ycm． (1)请写出底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式； (2)当腰长为cm时，求这个等腰三角形的底边长． 【答案】(1) (2)8cm 【难度】0.85 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了函数解析式的求解以及函数值的求解，正确理解题意是解题关键． （1）根据周长腰长底边长，即可求解； （2）将代入函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：当时，， ∴这个等腰三角形的底边长为． 2. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费11元；超过3千米的部分，每千米收费3元． (1)写出应收车费，（元）与出租车行驶路程（千米）之间的关系式（其中）； (2)小明从家到体育馆乘出租车行驶6千米应付多少元？ (3)小明从体育馆到图书馆乘出租车，付车费23元，从体育馆到图书馆出租车行驶了多少千米？ 【答案】(1) (2)20元 (3)7千米 【难度】0.85 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】（1）由费用等于基础费用加上超过3千米的费用即可； （2）把代入（1）中的函数式可得答案； （3）把代入（1）中的函数式可得答案； 【详解】（1）解：由题意可得：当时， ； （2）当时，（元）； （3）当时，， 解得：； 答：从体育馆到图书馆出租车行驶了7千米． 【点睛】本题考查的是列一次函数关系式，求解一次函数函数值或自变量的值，理解题意，列出正确的函数关系式是解本题的关键． 3. （21-22八年级上·陕西榆林·期末）设地面气温为，如果每升高1千米，气温下降． (1)若距地面高度用h（千米）表示，气温用（）表示，求t与h之间的函数关系式； (2)当千米时，则气温是多少？ 【答案】(1) (2)当高度千米时，气温是 【难度】0.85 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据题意直接列出函数关系式即可； （2）将代入（1）中函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵地面气温为，如果每升高1千米，气温下降， ∴t与h之间的函数关系式为：． （2）将代入中，得： ． 答：当高度千米时，气温是． 【点睛】题目主要考查根据题意列函数关系式，理解题意，得出函数关系式是解题关键． 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）东明一中门口有甲乙两个图书超市，他们都经营同一种练习本，两个超市的标价都是1元． 甲超市的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖； 乙超市的优惠条件是：从第1本开始就按标价的折卖． (1)请分别求出购买的数量x（本）与所花的钱数（元），（元）之间的函数表达式； (2)小明要买22的练习本，到哪家超市购买较省钱？ 【答案】(1)在甲超市中，不超过10本时，，当超过10本时，， (2)到甲超市购买较省钱 【难度】0.85 【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式和求函数值，正确理解题意列出对应的关系式是解题的关键． （1）在甲超市中分不超过10本时，超过10本时两种情况求解，在乙超市直接用单价乘以数量乘以折扣即可； （2）根据（1）所求代入，求出，，然后比较即可得到答案． 【详解】（1）解：在甲超市中，不超过10本时，则，当超过10本时，则，； （2）解：当时，（元），（元）， 到甲超市购买较省钱． 5. （21-22八年级上·陕西渭南·期末）某剧院举行新年专场音乐会，成人票每张40元，学生票每张10元，为增加上座率，剧院制定了一种优惠方案：即购买一张成人票赠送一张学生票．某校有4名老师与x（）名学生去观赏这次音乐会，设付款的总金额为y（元）． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)当学生人数为20名时，请计算付款的总金额为多少． 【答案】(1) (2)320元 【难度】0.85 【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据题目所给的优惠方案进行求解即可； （2）根据（1）所求关系式，代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：当时，， ∴付款的总金额为320元． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式和求函数值，正确列出函数关系式是解题的关键． 正比例函数 1. （20-21八年级上·陕西咸阳·期末）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，1﹣k），则k的值为（　　） A．1 B．﹣ C．﹣1 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据一次函数的定义求参数 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，1﹣k）， ∴1﹣k＝2k， ∴k＝． 故选：D． 【点睛】本题考查正比例函数图象上的坐标特征，一元一次方程的求解，熟练地掌握概念和正确地计算能力是解决问题的关键． 2. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）若函数是正比例函数，则的值是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义．据此解答即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 即的值是． 故答案为：． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若是关于x的正比例函数，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的定义 【分析】利用正比例函数的定义分析得出，再代入计算即可求解． 【详解】解：是关于的正比例函数， 且， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键． 4. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知y与x成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值是解题的关键． （1）设正比例函数为，将，代入得，，计算求解，然后作答即可； （2）将代入得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：设正比例函数为， 将，代入得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得，， 解得，， ∴a的值为． 5. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知y与x成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了求正比例函数关系式， （1）设关系式为，再将数值代入求值即可； （2）将点代入关系式，求出解即可． 【详解】（1）∵y与x成正比例， ∴设． ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 正比例函数图象及性质 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）一个正比例函数的图象经过点（4，-2），它的表达式为  （    ） A．y=-2x B．y=2x C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象 【分析】设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），然后将点（4，-2）代入该函数解析式即可求得k的值． 【详解】设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）．则根据题意，得 ， 解得，， 所以，该正比例函数解析式为：． 故选C． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 2. （20-21八年级上·陕西西安·期末）已知正比例函数的图象经过点，则下列四个点中在这个函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】将点（3，-6）代入正比例函数的解析式y=kx，求得k值，然后再判断点是否在函数图象上． 【详解】解：∵正比例函数y=kx经过点（3，-6）， ∴-6=3k， 解得k=-2； ∴正比例函数的解析式是y=-2x； A、∵当x=1时，y=-2，∴点（1，-3）不在该函数图象上；故A不符合题意； B、∵当x=2时，y=-4，∴点（2，-4）在该函数图象上；故B符合题意； C、∵当x=4时，y=-8，∴点（4，-7）不在该函数图象上；故C不符合题意； D、∵当x=5时，y=-10，∴点（5，-8）不在该函数图象上；故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征．点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知正比例函数的图象经过点，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由，利用正比例函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小． ， ． 故选：A． 4. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若正比例函数的图象经过点，且经过第二、四象限，则k的值是（　　） A． B． C．3 D．或3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的性质 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，结合正比例函数图象经过第二、四象限，即可确定k的值． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 又∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k的方程是解题的关键． 5. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）若点，在正比例函数的图象上，当时，，则的值可以是（    ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的性质 【分析】根据当时，，可得，即可求解． 【详解】解：∵点，在正比例函数的图象上，当时，， ∴， ∴的值可以是， 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握是正比例函数的性质解题的关键． 6. （21-22八年级上·陕西汉中·期末）若点A（3，-5）和点B（-6，a）都在正比例函数y=kx的图象上，则a的值为（     ） A．-10 B．10 C．5 D．-3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】正比例函数的性质 【分析】先把A点坐标代入y=kx中求出k的值，从而得到正比例函数解析式，然后把B（-6，a）代入正比例函数解析式即可求出a的值． 【详解】解：把A（3，-5）代入y=kx得3k=-5，解得k=-， 所以正比例函数解析式为y=-x， 把B（-6，a）代入y=-x得a=-×（-6）=10． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 7. （22-23八年级上·陕西西安·期末）已知点，都在过第一、三象限的同一条直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的性质 【分析】设直线的关系式为，则根据直线过第一、三象限可得，再根据正比例函数的性质解答即可. 【详解】因为直线过第一、三象限，可设直线的关系式为， 所以， 所以y的值随x的增大而增大， 因为点，都在这条直线上，， 所以； 故选：A. 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，属于基础题目，熟练掌握正比例函数的性质是关键. 一次函数定义 1. （22-23八年级上·陕西汉中·期末）函数 y=2x-1的图象不经过的点是（　　） A．（1，1） B．（2，3） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣5） 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】将各选项中的点的坐标分别代入y=2x-1，根据图象上点的坐标性质即可得出答案． 【详解】解：A、将（1，1）代入y=2x-1．当x=1时，y=1，此点在图象上； B、将（2，3）代入y=2x-1．当x=2时，y=3，此点在图象上； C、将（-1，-1）代入y=2x-1．当x=-1时，y=-3，此点不在图象上； D、将（-2，-5）代入y=2x-1．当x=-2时，y=-5，此点在图象上． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 2. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）若函数y=（k+3）x∣k∣-2+3是一次函数，则k的值是 【答案】k=3 【难度】0.94 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数的定义可得：k+3≠0 且|k|﹣2＝1，求出k即可． 【详解】解：由函数y＝（k+3）x|k|﹣2+4是一次函数得： k+3≠0 且|k|﹣2＝1， 解得：k≠-3 且k＝±3， ∴k＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 3. （20-21八年级上·陕西西安·期末）已知是一次函数，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】先根据一次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴ 解得：m=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于m的不等式是解答此题的关键． 4. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）直线过点，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，运用了整体代入的数学思想．把点代入直线后变形即可求解． 【详解】∵直线过点， ∴ ∴． 故答案为： 5. （20-21八年级上·陕西西安·期末）如果点在直线上，那么点到轴的距离为 ． 【答案】7 【难度】0.94 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】把点代入直线求出k，即可点到轴的距离． 【详解】解：把点代入直线得 k=-2×5+3=-7， ∴点P到x轴的距离为． 故答案为：7 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特征，熟知一次函数性质是解题关键．7 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上，则代数式4a﹣b﹣2的值等于 ． 【答案】﹣5 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值 【详解】解：∵点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上， ∴b=4a+3， ∴4a﹣b﹣2=4a﹣（4a+3）﹣2=﹣5， 故答案为：﹣5 一次函数图象及性质 1. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）关于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点是 C．将一次函数的图象向左平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D．点和在一次函数的图象上，若，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较一次函数值的大小、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握一次函数的图像与性质是解答本题的关键． 根据一次函数的图像与性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A．、，则一次函数图像经过第一、二、四象限，故本项说法错误，不符合题意； B．图像与y轴的交点是，故本项说法错误，不符合题意； C．将一次函数的图像向左平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为，故本项说法正确，符合题意； D.点和在一次函数的图像上，若，则，故本项说法错误，不符合题意． 故选：C． 2. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．根据正比例函数的函数值随的增大而增大，得到，进一步判断出经过的象限，即可．掌握一次函数的图象和性质，是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而增大， ∴， ∵，， ∴直线经过一，三，四图象； 故选：B． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）若点在第四象限，则函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知点所在的象限求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的图象，根据点所在象限求参，解答本题的关键是判断出、的正负情况，利用一次函数的图象与系数的关系解答． 根据点在第四象限，可以得到、的正负情况，从而可以得到函数的图象经过哪几个象限． 【详解】解：点在第四象限， ，， ，， 函数的图象一、二、三象限， 故选：A． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）已知，两点都在关于的一次函数的图象上，则，的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】根据一次函数的解析式可得，则随的增大而减小，进而根据的坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵，两点都在关于的一次函数的图象上，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）若一次函数的函数值随自变量的减小而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象的增减性来确定的符号即可，解题的关键是正确理解直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【详解】∵一次函数的函数值随自变量的减小而增大， ∴，解得： 故选：． 6. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末） ，是一次函数图象上的两点，且，则与的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】根据一次函数中，，得到y随x的增大而减小，根据，得到． 【详解】∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵，是一次函数图象上的两点，且， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，解决问题的关键是熟练掌握根据x系数的正负判定y随x的变化而变化的情况． 7. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若一次函数的图像经过点，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】根据一次函数的增减性即可解答；掌握一次函数自变量的系数大于零，y随x的增大而增大是解答本题的关键． 【详解】解：∵在中， ∴y随x的增大而增大，即． 故选A． 8. （23-24八年级上·陕西西安·期末）函数的图象如图所示，则函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．根据正比例函数图象判定，故，判定的图象一定不经过第四象限． 【详解】解：∵正比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴， ∴的图象一定不经过第四象限． 故选：D． 9. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，若，，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，图象与轴的交点坐标为，根据一次函数的性质逐项判断即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 一次函数的图象经过一、二、三象限， 故选：B． 10. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）规定：是一次函数（、为实数，）的“特征数”，若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则下列关于一次函数的结论不正确的是（  ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为4 D．若两点，在该函数图象上，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的定义、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、比较一次函数值的大小 【分析】根据“特征数”是的一次函数是正比例函数，求出，得出，根据一次函数的性质，判断A、D选项即可；求出直线与x轴、y轴的交点坐标，即可判断B、C选项． 【详解】解：∵“特征数”是的一次函数是正比例函数， ∴， 解得：， ∴一次函数； A．∵，， ∴一次函数图象过一、二、四象限，不经过第三象限，故A正确，不符合题意； B．把代入得：，解得：， ∴函数的图象与轴的交点坐标是，故B正确，不符合题意； C．把代入得：， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是， ∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：，故C正确，不符合题意； D．∵， ∴y随x的增大而减小， ∵，在该函数图象上，， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数的解析式，解题的关键是根据题目中给出的信息，求出m的值，得出一次函数解析式． 11. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）下表中列出的是一个一次函数的自变量与函数值的几组对应值（    ） x … 0 1 2 3 … y … … 则下列关于该一次函数的说法中，正确的是（    ） A．该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为 B．该一次函数的图象向上平移2个单位后不经过第二象限 C．该一次函数的图象与轴的交点在轴负半轴上 D．若点、均在该一次函数图象上，且，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的平移规律、一次函数与几何综合，以及一次函数图像与性质，由表格的几组数据求得一次函数的解析式，根据一次函数的图象与坐标轴的交点，求出一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积，即可判断A，根据一次函数的平移规律，即可判断B，根据一次函数图像与性质，即可判断C、D． 【详解】解：A、根据表格设一次函数的解析式为， 将，代入，解得，即， 一次函数的图象与轴的交点坐标为， 一次函数的图象与轴的交点坐标为， 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：，故不符合题意． B、将一次函数的图象向上平移2个单位后的函数解析式为：，平移后的函数图像经过第二象限，故不符合题意． C、一次函数的图象与轴的交点坐标为， 交点在轴负半轴上，故符合题意． D、该一次函数的解析式为：， 随的增大而减小，故不符合题意． 故答案为：C． 12. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知直线经过第二、四象限，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、正比例函数的图象 【分析】本题考查正比例函数的性质和一次函数的性质，先利用正比例函数的性质得到，然后根据一次函数的性质求解即可．熟练掌握相关函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过第二、四象限， ∴， ∴， 又∵， ∴直线经过第一、二、四象限， 即直线不经过第三象限． 故答案为：三． 13. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数（k为常数）经过一、三、四象限，则k的值可以是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的经过的象限与系数的关系是解答的关键． 【详解】解：∵一次函数中的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：， 故只需写出的任意一个数即可， 故答案为：（答案不唯一）． 14. （21-22八年级上·陕西西安·期末）已知，一次函数的图象不经过第三象限，且点，在该函数图象上，则 0（用“＞、＜、＝”连接） 【答案】＜ 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的图象、判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】由一次函数y＝kx＋b的图象不经过第三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出k＜0，b＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合1＞−1，即可得出y1＜y2． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴k＜0，b＞0， ∴y随x的增大而减小． 又∵点（1，y1），（−1，y2）在一次函数的图象上，且1＞−1， ∴y1＜y2， ∴ ， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质，牢记“k＜0，b＞0⇔的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 一次函数图象共存问题 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的图象、正比例函数的图象 【分析】本题考查正比例函数和一次函数的函数图像，解题的关键在于对进行分情况讨论，找出符合题意的函数图像即可． 【详解】当时，正比例函数经过第一、三象限，一次函数经过第一、三、四象限； 当时，正比例函数经过第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限； 对照各选项中的图象，只有A符合． 故选：A． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）一次函数与正比例函数的图象在同一坐标系中不可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项符合题意； C、由一次函数的图象可知， ，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的图象 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确. 【详解】解：A、若函数图象经过第一、三、四象限，则，，此时函数的图象应经过第一、二、三象限；若函数图象经过第一、二、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第二、三、四象限，故选项A错误，不符合题意； B、若函数图象经过第一、二、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第二、三、四象限，故选项B错误，不符合题意； C、若函数图象经过第一、二、三象限，则，，此时函数的图象应经过第一、二、四象限；若函数图象经过第二、三、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第一、三、四象限，故选项C错误，不符合题意； D、若函数图象经过第一、二、三象限，则，，此时函数的图象应经过第一、三、四象限；若函数图象经过第一、三、四象限时，则，时，此时函数的图象应经过第一、二、三象限，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，正确记忆一次函数图象经过象限与系数关系是解题关键. 4. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：正比例函数与一次函数的自变量系数都是，则两直线相互平行．故B、C不符合题意； A、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限，故本选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限，故本选项符合题意； 故选：D． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象； 分和，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可． 【详解】解：当时，函数过二、四象限，函数过一、二、三象限，选项B中函数图象符合； 当时，函数过一、三象限，函数过一、三、四象限，均不符合； 故选：B． 一次函数图象平移规律 1. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）将直线向上平移4个单位长度，所得直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了一次函数的平移，根据上加下减即可得到答案． 【详解】解：函数平移，由“上加下减”可得到， 直线向上平移4个单位长度，所得直线的函数表达式是． 故选A． 2. （22-23八年级上·陕西汉中·期末）若把正比例函数图象向上平移个单位长度，得到图象解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】 本题考查了一次函数平移的特点，上加下减．直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化．据此解答即可． 【详解】 解：原直线的，；向上平移个单位长度得到了新直线，那么新直线的，． 新直线的解析式为． 故选D 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，直线平移后的解析式有这样的规律“左加右减，上加下减”，熟记一次函数平移规律是解题的关键． 根据平移规律可得，直线向下平移6个单位后得，然后把代入即可求出k的值． 【详解】直线向下平移6个单位 平移后所得解析式为， 平移后的直线正好经过点， ， 解得： 故选：A 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若将直线向上平移个单位长度得到直线，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减”，可得，即，即可求得． 【详解】解：若将直线向上平移个单位长度得到直线， ， ， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 5. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数（m为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则a的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数图象的平移．根据平移求出新的函数的解析式，根据图象过原点，求出的值，再将点代入函数解析式，求出的值即可．掌握一次函数图象的平移规则：上加下减，是解题的关键． 【详解】解：将一次函数（m为常数）的图象向上平移2个单位，得到， ∵平移后的图象经过原点， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得：； 故选D． 6. （22-23八年级上·陕西·期末）将直线向上平移1个单位后，所得直线与x轴交点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】 先根据一次函数图象的平移规律求出平移后的直线的解析式，再令，求出的值，由此即可得． 【详解】 解：将直线向上平移1个单位后，所得直线的解析式为， 当时，，解得， 即直线与轴交点的坐标为， 故答案为： 【点睛】 本题考查了一次函数图象的平移、一次函数与轴的交点，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 7. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）将直线向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数的平移．根据直接利用一次函数平移规律“左加右减”的原则求解． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将一次函数的图象向右平移2个单位，所得图象的解析式为，即． 故答案是：． 8. （23-24八年级上·陕西西安·期末）将直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到的函数关系式是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：依题意，直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到的函数关系式是即， 故答案为：． 一函数图象与坐标轴交点问题 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）若一次函数与的图象交轴于同一点，则的值为（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题关键．先求出一次函数与轴的交点，再根据题意，将点代入一次函数，求出的值即可． 【详解】解：在一次函数中， 当时，，解得：， 一次函数与轴的交点为， 一次函数与的图象交轴于同一点， 点也在一次函数的图象上， ， 解得：， 故选：B． 2. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）一次函数的图象与y轴的交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题．令，求出y值，即可得解． 【详解】解：令， ， 一次函数的图象与y轴的交点是， 故选：C． 3. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）直线和相交于x轴上同一点，则的值为（ ） A． B． C．3 D．-3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】据题意求出交点的坐标，代入直线解析式求出，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， 将(代入， 得 解得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数交点问题，理解题意是解题的关键． 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）函数的图象与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．令，解得即为函数与y轴交点坐标． 【详解】解：令，即， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 5. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点B为圆心、长为半径画弧，与y轴正半轴交于点C，则点C的坐标为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形 【分析】把代入直线解析式求出点坐标，把代入直线解析式求出点坐标，通过勾股定理求出长度，进而求解． 【详解】解：把代入得， 点坐标为，， 把代入得， 点坐标为，， 在中，由勾股定理得， ， ， 点坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点、勾股定理，解题关键是掌握一次函数与方程的关系． 6. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为线段 的中点，若点D是经过点A，且与y轴平行的直线上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、两点之间线段最短、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，两点之间线段最短，确定点D的位置是解题的关键．先求出点A，B的坐标，进而求出点C的坐标，再求出点O关于直线的对称点，即可确定的最小值，根据勾股定理求出答案． 【详解】当时，， ∴点． 当时，， ∴点， ∴点， 即． 点O关于直线的对称点， ∴． 根据两点之间线段最短，可知最小，即． 过点C作，于点E， ∴，，， ∴， 根据勾股定理，得． 所以的最小值为3． 故答案为：3． 一次函数图象与方程（组） 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图一次函数的图象分别交轴，轴于点、，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】根据方程的解即为一次函数与x轴交点的横坐标进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象交轴于点， ∴方程的解为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟知一次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元一次方程的解是解题的关键． 2. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）若直线与x轴交于点，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系，即可解答． 【详解】解：直线与x轴交于点， 方程的解是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握和运用一次函数与一元一次方程的关系是解决本题的关键． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期末）下表是一次函数（）的部分自变量和相应的函数值，方程的解所在的范围是（    ） 0 1 2 1 3 5 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】利用自变量和相应的函数值变化关系，自变量x由-1到0变化而函数值由-1到1变化，可知在自变量x由-1到0必有x的值使y的值为0即可． 【详解】自变量x由-1到0变化而函数值由-1到1变化， 说明函数图像与x轴的交点在-1与0之间， ∴方程的解所在的范围是， 故选择：B． 【点睛】本题考查函数与方程的关系，掌握函数值由负变正或由正变负函数图像都会与x轴相交是解题关键． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）一次函数和的图象如图所示，则方程组的解为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题主要考查二元一次方程组和一次函数的关系，一个一次函数解析式可以看作是一个二元一次方程，两个一次函数解析式可以组合成一个二元一次方程组，方程组的解就是两函数图象的交点，因此找出两图象的交点即可． 【详解】解：一次函数和交点的横坐标为， 将代入，得， ∴一次函数和图象的交点是， 方程组的解为． 故选A． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关键，熟练掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．根据方程可知当，从而得到答案． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，， 故直线一定经过点． 故答案为：． 6. （21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，已知y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，根据图象可得关于x、y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】根据两直线交点坐标即可求解． 【详解】解：∵y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2）， ∴方程组的解是． 故答案为． 【点睛】本题考查了两直线交点与方程组的解的关系，理解交点坐标为方程组的解是解题的关键． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 8. （21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，已知直线，则方程的解为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用图象法解一元一次方程 【分析】根据一次函数图象中的信息可得到方程的解． 【详解】解：根据图象可知：在的图象中，当时， ， 则的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用函数图象解一元一次方程，能够掌握数形结合思想是解决本题关键． 待定系数法求函数解析式 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图是温度计的示意图，图中左边的温度表示摄氏温度，右边的温度表示华氏温度．小明观察温度计发现，两个刻度x，y之间的关系如表．据此可知，摄氏温度为15时，对应华氏温度为（　　） x/℃ 10 20 25 30 y/℉ 50 68 77 86 A．15 B．59 C． D．54 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据题意和表格中的数据可以求得相应的函数解析式，将代入求出的函数解析式，即可求得相应的华氏温度． 【详解】解：设该一次函数的表达式为， 经过点和， ， 解得， ， 当时，， 即摄氏温度为15时，对应的华氏温度应为59． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）一个正比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】，． 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，以及正比例函数图象上的点的特征．将点代入解析式，求出的值，再将点分别代入解析式，求出的值即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， ∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∵正比例函数的图象经过点， ∴，， ∴． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期末）已知一次函数的图象经过点(3，3)，(1，－1)． (1)求这个一次函数的表达式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)观察函数图象，直接写出取什么值时，函数值大于0． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【难度】0.94 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象 【分析】（1）利用待定系数法及可求出解析式； （2）列表得出函数图象与坐标轴的交点，进行描点连线即可； （3）根据函数图象即可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为，把点（3，3），（1，-1）代入得：， 解得：， ∴这个一次函数的表达式为：； （2）列表为： x 0 y -3 0 描点并连线，函数图象如图所示： . （3）由图可知：当时，函数值大于0． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的基础应用以及画图，掌握一次函数的基础性质是解题的关键． 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，且经过点． (1)求一次函数的表达式． (2)求的长． 【答案】(1) (2)10 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得点的坐标为，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，解得． 一次函数的表达式为． （2）令，则， 解得， 点的坐标为， ． 令，则， 点的坐标为， ． ． 5. （19-20八年级上·陕西渭南·期末）如图，直线l1：y＝kx＋4（k关0）与x轴，y轴分别相交于点A，B，与直线l2:y＝mx（m≠0）相交于点C（1，2）． （1）求k，m的值； （2）求点A和点B的坐标． 【答案】（1）k＝－2，m＝2；（2）点A（2，0），点B（0，4） 【难度】0.65 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】(1)将点C (1,2)的坐标分别代入y=kx+4和y= mx中,即可得到k，m的值; (2)在y=-2x+4中，令y=0，得x=2;令x=0，得y=4，即可得到点A和点B的坐标． 【详解】解：（1）将点C（1，2）的坐标分别代入y＝kx＋4和y＝mx中， 得2＝k＋4，2＝m， 解得k＝－2，m＝2． （2）在y＝－2x＋4中，令y＝0，得x＝2， 令x＝0，得y＝4， 点A（2，0），点B（0，4）． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数y=kx+b (k≠0，且k,b为常数)与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 一次函数应用---行程问题（基础） 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ，故①正确， 甲的速度是：，故②正确， 设乙刚开始的速度为，则，得， 则设经过，乙追上甲， ， 解得，，故③正确， 乙刚到达货站时，甲距B地：，故④正确， 综上，四个选项都是正确的， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 2. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）已知小林、小慧两人沿同一条公路从甲地出发到乙地，小慧骑自行车，小林骑摩托车，小慧先行1小时后小林才出发．图中的折线表示小林、小慧两人之间的距离与时间的函数关系的图象，根据图象提供的信息可知，小林骑摩托车的速度为（    ） A． B． C．48km/h D．60km/h 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【详解】由图像可知，小惠骑自行车的速度为：， 当时，小林追上小惠，此时小惠行驶的路程为：， 小林比小惠晚出发1小时， 小林的速度为：． 故选D． 【点睛】本题考查利用一次函数图象解决实际问题，正确理解函数图象纵坐标表示的意义，准确识图并获取有用信息是解题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两车从A城出发前往B城，其中甲先出发，如图是甲、乙行驶路程（km），（km）与时间x（h）变化的图像，下列说法不正确的是（    ） A．乙车开始行驶时，甲车在乙车前处 B．乙车的平均速度是 C．在距离A城处，乙车追上甲车 D．乙车比甲车早到B城 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】先分别确定函数解析式，利用解析式，结合函数图像判断即可． 【详解】设甲的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故甲的解析式为， ∴甲车的速度为， ∵甲先出发， ∴乙车开始行驶时，甲车在乙车前处， 故A正确，不符合题意； 当时，， 故乙车的速度为， 故B正确，不符合题意； 根据图像，得到乙车出发3小时追上甲车， 故在距离A城处，乙车追上甲车正确， 故C正确，不符合题意； 根据图像，乙车到达目的地， 故乙车比甲车早到B城 故D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了函数图像，一次函数解析式，正确确定解析式，获取函数图像信息是解题的关键． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从地到达地．如图，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系． (1)在甲出发______时，两人相遇，这时他们离开地______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)乙从地出发______时到达地． 【答案】(1)， (2)， (3) 【难度】0.94 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查函数图象，解题的关键是根据函数图象得到基本的信息，然后进行求解即可． （1）根据图象可直接进行求解； （2）由图象可直接进行求解； （3）由图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：由图象可得在甲出发时，两人相遇，这时他们离开地， 故答案为：，； （2）解：甲的速度是，乙的速度是， 故答案为：，； （3）解：乙从地出发时到达地， 故答案为：． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）元旦期间，明明一家人开车到距家千米的外婆家，当行驶千米时，发现汽车油箱内有油升；当行驶千米时，发现油箱内有油升．已知油箱中剩余油量（升）是行驶路程（千米）的一次函数． (1)求在整个行驶过程中，油箱中剩余油量（升）与行驶路程（千米）之间的函数表达式； (2)当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警，如果开车途中不加油，试说明他们能否在汽车报警前到达外婆家． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数的解析式，已知自变量求函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）设油箱中剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间的函数表达式为，利用待定系数法求出解析式； （2）将代入（1）的解析式求出y与4比较即可判断． 【详解】（1）解：设油箱中剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间的函数表达式为， 则，解得， ∴， 答：油箱中剩余油量（升）与行驶路程（千米）之间的函数表达式为； （2）当时，， 答：如果开车途中不加油，他们不能在汽车报警前到达外婆家． 6. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）周六，李叔叔从西安驾车回宝鸡，全程共，他以的速度从西安匀速行驶到宝鸡．设表示李叔叔行驶的时间，表示李叔叔与宝鸡的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当时，求的值． 【答案】(1)，y是x的一次函数 (2)84 【难度】0.85 【知识点】求一次函数自变量或函数值、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用．解答关键是理解题意，正确列出函数关系式． （1）根据速度、路程、时间关系列函数关系式，然后利用一次函数定义判断即可； （2）将代入（1）中函数关系式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 根据一次函数的定义，y是x的一次函数； （2）解：当时，， 即y的值为84． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）寒假期间，小华一家开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升．已知剩余油量y（升）是行驶路程x（千米）的一次函数． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当汽车行驶60千米时，求剩余油量； (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】(1) (2)升 (3)他们能在汽车报警前回到家，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时，y的值即可得到答案； （3）求出当时，y的值，看是否大于3即可得到答案. 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， 把代入中得：， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为， （2）解：当时，， ∴当汽车行驶60千米时，剩余油量升； （3）解：他们能在汽车报警前回到家，理由如下： 当时，， ∴他们能在汽车报警前回到家。 8. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图，线段、折线分别表示两车离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间的函数关系． (1)图中表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系的是________；（填“线段”或“折线”） (2)求线段的函数关系式； (3)货车出发多长时间两车相遇？ 【答案】(1)线段 (2) (3)小时 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）根据题意，结合图象，即可求解； （2）设线段的函数解析式为，将两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解； （3）根据题意可以求得对应的函数解析式，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：线段表示货车货车离甲地的距离y与时间x之间的函数关系， 故答案为：线段； （2）设线段函数解析式为． ∵在其图象上， ∴， 解得：， ∴线段函数解析式：； （3）设线段的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， 即线段的函数解析式为， 联立得：， 解得：， 即货车出发小时两车相遇． 9. （21-22八年级上·陕西西安·期末）某市出租车计费方法如图示，表示行驶里程，y（元）表示车费． (1)当时，求y与x之间的函数关系式； (2)若该市某乘客有一次乘出租车的车费为36元，求这位乘客乘车的里程． 【答案】(1) (2)这位乘客乘车的里程为 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据函数图象可以得出出租车的起步价是8元，设当时，y与x的函数关系式为，运用待定系数法求出一次函数解析式； （2）将代入解析式就可以求出x的值． 【详解】（1）设当时，y与x之间的函数关系式为， 由函数图象，得 解得 故y与x之间的函数关系式为． （2）36元元， 在中，令，得， 解得． ∴这位乘客乘车的里程为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键． 10. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡底跑到坡顶再原路返回坡底．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的倍．设两人出发后距出发点的距离为．图中折线表示小亮在整个训练中与的函数关系，其中点在轴上，点坐标为． (1)小亮下披的速度是______ (2)求出所在直线的函数关系式； 【答案】(1)180 (2) 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）通过图像得到M点的坐标，利用路程，速度，时间的关系解题即可． （2）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解析式即可． 【详解】（1）解：∵， 由图象得点的坐标为：， ∴小亮上坡的速度为：分钟． ∴小亮的下坡速度为：分钟 故答案为：180； （2）解：， ∴． 设直线的解析式为：， 由题意，得， 解得， 直线的解析式为：． 【点睛】本题主要考查一次函数在行程问题上的应用，能够利用条件求点的坐标并利用待定系数法求解析式是解题关键． 一次函数应用---销售、利润问题（基础） 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件，假定每月的销售件数y（件）是每件商品销售价格x（元）的一次函数，且． (1)求每月的销售件数y（件）关于每件商品销售价格x（元）的函数表达式； (2)若要使这种商品每月销售件数是300件，每件商品的销售价格应定为多少元？ 【答案】(1) (2)22 【难度】0.65 【知识点】求自变量的值或函数值、求一次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值． （1）设每月的销售件数y（件）关于每件商品销售价格x（元）的函数表达式为，根据“每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件”代入求解即可． （2）把代入函数解析式，求解即可． 【详解】（1）设每月的销售件数y（件）关于每件商品销售价格x（元）的函数表达式为， ∵当时，，当时，， ∴， 解得， ∴每月的销售件数y（件）关于每件商品销售价格x（元）的函数表达式为． （2）当时，， 解得． 答：每件商品的销售价格应定为22元． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）某超市分析营业数据发现将某商品销售时，日销售数量（件）和售价（元/件）在一定范围内呈一次函数关系．当售价为50元/件时每天能卖100件；当售价为80元/件时每天能卖40件． (1)求日销售数量（件）和售价（元/件）之间的函数关系式； (2)当该商品的售价为60元/件时，日销售数量为多少件？ 【答案】(1) (2)80件 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程． （1）设日销售数量y和售价x的一次函数关系式为，可得，求出k、b的值，即可解得； （2）根据题意代入解答即可； 【详解】（1）解：设日销售数量y和售价x的一次函数关系式为， 则 解得：， ， 日销售数量（件）和售价（元/件）之间的函数关系式为：． （2）根据题意得： 将代入得， 当该商品的售价为60元/件时，日销售数量为80件． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）某药店以每袋8元的成本价调进一批口罩，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋（元）是一次函数关系，如图所示． (1)求销售量与定价之间的函数关系式； (2)如果药店将该口罩的销售价定为每袋15元，不考虑其它因素，求药店每天销售这种口罩所获得的利润． 【答案】(1)； (2)药店每天销售这种口罩所获得的利润为56元． 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）由图象可知y与x是一次函数关系，由函数图象过点和，用待定系数法即可求得y与x的函数关系式； （2）根据（1）求出的函数关系式，再求出每袋该口罩的利润，即可求得求药店每天销售这种口罩所获得的利润． 【详解】（1）解：设，由图象可知， ，解得， ∴销售量y与定价x之间的函数关系式是：； （2）解：药店每天销售这种口罩所获得的利润是： ， 答：药店每天销售这种口罩所获得的利润为56元． 4. （20-21八年级上·陕西西安·期末）纺织厂生产某种产品，每件出厂价定为80元，每件的成本是60元，由于在生产过程中平均每生产一件此种产品，就会有0.5立方米的污水排出，为了保护环境，工厂需要对污水净化处理后才能排出．已知处理1立方米污水的费用为2元，另外每月排污设备物资损耗为8000元．设该厂每月生产此产品x件（且x是整数），每月获得纯利润y元．（纯利润=总收入-总支出） （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）如果该厂本月获得的纯利润是106000元，请求出该厂在本月生产此产品的件数． 【答案】（1）y＝19x−8000（x＞0且x是整数）；（2）这个月该厂生产产品6000件． 【难度】0.65 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）本题的等量关系是：纯利润＝产品的出厂单价×产品的数量−产品的成本价×产品的数量−生产过程中的污水处理费−排污设备的损耗．可根据此等量关系来列出总利润与产品数量之间的函数关系式． （2）根据（1）中得出的式子，将y的值代入其中，求出x即可． 【详解】解：（1）依题意得：y＝80x−60x−2×0.5x−8000， 化简得：y＝19x−8000． ∴函数关系式为y＝19x−8000（x＞0且x是整数）； （2）当y＝106000时，代入得：106000＝19x−8000， 解得：x＝6000． 答：这个月该厂生产产品6000件． 【点睛】本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，可根据题意找出等量关系，列出函数式进行求解． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x(人)与每天利润(利润=票款收入-支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的乘车票价固定不变)： x(人) … 200 250 300 350 400 … y(元) … 0 100 200 … (1)观察表中数据可知，若要保证不亏本，该公交车每天乘客应达到多少人？ (2)请你估计一天乘客人数为500人时，利润是多少？ (3)写出y与x的关系表达式． 【答案】(1)300人 (2)400元 (3) 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由表格的数据即可求解； （2）由表格可得，每增加50人，利润增加100元，即可求解； （3）利用待定系数法求表达式即可． 【详解】（1）解：由题意可得，要保证不亏本，即， ∴该公交车每天乘客应达300人； （2）解：由表格可得，每增加50人，利润增加100元， ∴乘客人数为500人时，利润是400元； （3）解：设y与x的关系表达式为， ∴， 解得， ∴y与x的关系表达式为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）贴春联是中国春节特有的习俗之一，它以工整、对偶、简洁的文字描绘时代背景，抒发美好愿望，贴春联不仅是为了庆祝节日，也是为了表达人们对新年的美好期许和祝福春节来临之际，某超市购进一批春联进行销售，经调查发现：在一段时间内，某种春联的日销售量y（副）与售价x（元/副）成一次函数关系，其部分对应值如表所示，请根据表中信息，解答下列问题： 售价x（元/副） … 12 15 18 … 日销售量y（副） … 60 54 48 … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若这种春联的进价为5元/副，当日销售量为66副时，求这种春联的日销售利润为多少元？ 【答案】(1) (2)264元 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查求一次函数关系式和一次函数的应用： （1）根据题意和表格中的数据设售价和日销售量之间的函数关系式为，运用待定系数法求出的值即可； （2）把代入，求出，再计算出获得利润即可 【详解】（1）设售价和日销售量之间的函数关系式为， 把代入得， ， 解得，， ∴售价和日销售量之间的函数关系式为； （2）当时，， 解得，， ∴这种春联的日销售利润为（元）， 答：这种春联的日销售利润为264元 7. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）紫阳富硒茶是陕西省著名特产茶叶，此茶叶硒元素含量高，具有特种保健功效．某公司采购员到紫阳茶叶市场购买该种茶叶，商家推出了下表中的两种购买方式，设该公司此次购买茶叶的质量为，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/） 方式一：金卡会员 500 1300 方式二：银卡会员 200 1500 (1)分别求出，与x之间的函数关系式； (2)若按方式一和方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量． 【答案】(1)，; (2)． 【难度】0.65 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、求一次函数解析式 【分析】（1）本题考查了一次函数的实际应用，根据方式一、方式二的“总费用会员卡费用茶叶费用”列式，即可解题． （2）本题考查了一次函数的实际应用，根据方式一、方式二的费用相等列出方程，解方程，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 关于的函数解析式为：， 关于的函数解析式为：， 故答案为：，． （2）解：根据题意得，， ， ， 该公司此次购买茶叶的质量为． 8. （23-24八年级上·陕西西安·期末）某农业生态园引进种植一种新品种水果，这种水果成本为10元/千克，现将这种水果投放超市进行销售．经过调查，得到如表数据： 销售单价x（元/千克） … 10 20 25 30 … 每天销售量y（千克） … 500 400 350 300 … (1)把如表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式； (2)若该水果销售单价为32元/千克，每天的销量是多少？每天获得的利润是多少？ 【答案】(1)画图见解析， (2)销售单价定为32元时，每天的销量是280千克，每天获得的利润是6160元． 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，准确作图，掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据表格数据在平面直角坐标系中描出相应的点，即可猜想y与x的函数关系，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据销售问题利润每千克的利润乘以销售量代数即可求解． 【详解】（1）如图所示： 观察图象可知：y与x的函数关系为一次函数，设， 将，代入得， ， 解得， ∴y与x的函数关系式为． （2）当时， 每天的销量， 每天获得的利润， 答：销售单价定为32元时，每天的销量是280千克，每天获得的利润是6160元． 一次函数应用---分配方案问题 1. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为（）件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠 【难度】0.65 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了列一次函数关系式和最优方案问题． （1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可； （2）由函数解析式分别求出时的函数值，即可得解． 读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得， ． （2）当时，， ， ∵， ∴所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠． 2. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）某省疾控中心将一批10万剂疫苗运往A，B两城市，根据预算，运往A城的费用为800元/万剂，运往B城的费用为600元/万剂．结合A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，设运输这批10万剂疫苗的总费用为y（元），运往A城x（万剂）． (1)求y与x的函数关系式； (2)在满足A城市最低需求量的情况下，求运输费用最少的方案，最少费用是多少？ 【答案】(1) (2)运往A城4万剂，运往B城6万剂，最低费用是6800元． 【难度】0.85 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、根据一次函数增减性求参数 【分析】（1）根据题意总费用=运往A城费用运往B城费用列出函数关系式整理即可求解． （2）根据一次函数的性质和自变量的取值范围即可求出当时，y取最小值，费用为6800元，即可解答． 【详解】（1）解：设运往A城x万剂，运往B城万剂， 依据题意可得 答：运输这批10万剂疫苗的费用y与x的函数关系式为； （2）根据A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，可得 因为，所以y随着x的增大而增大， 所以，当时，y取最小值，（元） 答：在满足A城市需求量的情况下，费用最低的调运方案是：运往A城4万剂，运往B城6万剂，最低费用是6800元． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用和一次函数的性质，根据题意列函数解析式是解题的关键． 3. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买本以上，从第本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的折卖． (1)分别写出两商店优惠后的价格y（元）与购买数量x（本）之间的关系式； (2)小明要买本练习本，到哪个商店购买较省钱？请说明理由． 【答案】(1)； (2)甲商店购买合算，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意，可以写出当购买数量超过本时，在甲、乙两商店购买练习本的费用y（元）与购买数量x（本）之间的关系式； （2）将代入（1）中的函数关系式，可以分别求得在甲、乙两家商定的花费情况，然后比较大小即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得，； 当时，， 当0时，， ∴； （2）当时， （元），（元）， ∵， ∴在甲商店购买合算． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答． 4. （20-21八年级上·陕西西安·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金万元，购买、两种型号的机器人共10台，其中购进型机器人台．下表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息： 型号 分拣速度 单价 100件/分钟 6万元/台 80件/分钟 4万元/台 （1）求出与之间的函数关系式； （2）若要使这10台机器人每分钟分拣快递件数总和为920件，该公司需要投入资金多少万元？ 【答案】（1）；（2）52万元． 【难度】0.65 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）A型机器人购进x台，则B型机器人购进（10-x）台．再根据题意即可列出y与x之间的函数关系式． （2）根据题意可列方程：，解出x，即可求出A型机器人和B型机器人分别购进多少台，最后即可求出该公司需要投资的金额． 【详解】（1）A型机器人购进x台，则B型机器人购进（10-x）台， 根据题意，可列函数关系式： ， 即． （2）根据题意可列方程：， 解得：x=6， 即A型机器人购进6台，B型机器人购进10-6=4台， ∴该公司需要投资金额为：万元． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次方程的实际应用．根据题意正确的列出函数关系式和一元一次方程是解答本题的关键． 一次函数应用---其他问题 5. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）为了鼓励小刚做家务，妈妈给他每月的费用都是由上个月小刚的家务劳动时间所得奖励和基本生活费组成．观察发现小刚下个月可获得的总费用（元）是上个月的家务劳动时间（时）的一次函数．已知当小刚上个月的家务劳动时间为小时，他下个月可获得元；当小刚上个月的家务劳动时间为小时，他下个月可获得元． (1)求与之间的函数表达式； (2)如果小刚下个月想获得元，他这个月的家务劳动时间应该是多少小时？ 【答案】(1) (2)20小时 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数，解题的关键是求出一次函数的表达式． （1）设与之间的函数表达式为：，然后用待定系数法，即可求解； （2）将代入与的表达式中，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为：． 根据题意，得， 解得：， ； （2）当元时， 由题意得：， 解得：， 答：他这个月的家务劳动时间应该是小时． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）数学就在身边．为保护学生的身心健康，现在的学生课桌、椅的高度都是可以调节的．小敏测量了一套课桌、椅原设计的四个档位桌椅高度，得到如下数据，课桌：，椅子：，他组织全班大部分同学试坐，要求根据自己身高，调节适合自己的课桌、椅高度，得到了如下对应数据： 高度/档 第一档 第二档 第三档 第四档 椅高 桌高 (1)经过对上表数据研究，小敏发现：桌高是椅高的一次函数，小敏给符合这种条件的课桌椅起了一个名字叫科学配套桌椅，请你帮助他求出一个一次函数的关系式．（不要求写出的取值范围） (2)小敏回家后，测量了自己家里的写字桌和椅子，写字桌的高度为，椅子的高度为，请你判断它们是否科学配套？说明理由． 【答案】(1) (2)该写字桌与椅子不科学配套，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题考查一次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． （1）设，利用表中的数据，建立方程组，即可求解． （2）把代入（1）求得的解析式，求出y值，进行比较，作出判断即可． 【详解】（1）设桌高与椅高关系式为， 依题意得 解得 桌高与椅高的关系式为． （2）不科学配套，理由如下： 当时，， ， 该写字桌与椅子不科学配套． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球x（）盒． (1)请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式． (2)如果学校需要购买盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ (3)如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 【答案】(1) (2)方案甲更省钱 (3)学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据购买费用=单价×数量，建立关系表示的函数关系式即可； （2）将分别代入，计算求解，然后比较作答即可； （3）当元，当元，分别计算对应的的值，然后比较作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ∴； （2）解：由题意知，当时，（元）， （元）， ∵， ∴方案甲更省钱； （3）解：由题意知，当元时，，解得：， 当元时，， 解得：， ∵， ∴学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球． 8. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）随着科技的发展，人们生活节奏的加快，美团、饿了么等公司快捷方便的购物形式越来越受人们的青睐，公司订单也大量增加．某公司负责招聘外卖送餐员，具体方案如下：每月不超出750单，每单收入4元；超出750单的部分每单收入m元． (1)若某“外卖小哥”某月送了600单，收入________元； (2)若“外卖小哥”每月收入为y(元)，每月送单量为x单，y与x之间的关系如图所示，求y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)2400； (2)当时，；当时，． 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式， （1）利用收入等于每单收入乘以数量即可得到答案； （2）先求解的值，当时，设再利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】（1）解∶ 每月不超出单，每单收入元； ， 所以某“外卖小哥”某月送了单，收入元． 故答案为： （2）当时，； 当时，设 当时， 所以把代入解析式得： 根据题意得 解得 ； 综上可得：当时，；当时，． 9. （23-24八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘延西高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)当时，求甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式； (2)当时，甲组挖掘了多少天？ 【答案】(1) (2)40天 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，设甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式为， 把，代入解析式得：， 解得：， 甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， 解得：， 当时，甲组挖掘了天． 10. （22-23八年级上·陕西西安·期末）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过210度时，按元/度计费；月用电量超过210度时，其中的210度仍按元/度计费，超过部分按元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)小李家12月份交电费元，则小李家这个月用电多少度? 【答案】(1)当时，；时， (2)小明家12月份用电260度 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，关键是根据题意得到函数关系式，然后代值计算即可． （1）根据题意可直接列出函数关系式； （2）由（1）可直接代值计算求解． 【详解】（1）解：当时，y与x的函数解析式是； 当时，y与x的函数解析式：， 即； （2）因为小明家5月份的电费超过元， 所以把代入中， 解得． 答：小明家12月份用电260度． 11. （22-23八年级上·陕西榆林·期末）在水果销售旺季，某水果店购进一批优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 售价（元/千克） …… 22.6 24 25.2 26 …… 销售量（千克） …… 34.8 32 29.6 28 …… (1)求销售量与售价之间的函数关系式； (2)某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天销售该水果获得的利润． 【答案】(1) (2)元 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出销售量，再用销售量乘以每千克的利润即可． 【详解】（1）设销售量与售价之间的函数关系式为，将、代入得 解得 ∴销售量与售价之间的函数关系式为． （2）当时，， 当天销售该水果获得的利润为（元）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． 12. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为 (元），在乙采摘园所需总费用为 (元），图中折线表示与x之间的函数关系． (1)求与x之间的函数关系式、与x（只求时直线）的函数关系式； (2)当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？ 【答案】(1) (2)甲家草莓园采摘更划算 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意得出草莓销售价格，进而求得甲的函数关系式；根据函数图象待定系数法求得乙的解析式； （2）将分别代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格： （元/千克）． ； 当时，设， 由题意的：， 解得， ， 与之间的函数关系式为：； （2）当时， ， ， ， 他在甲家草莓园采摘更划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数关系式是解题的关键． 13. （22-23八年级上·陕西西安·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌10分钟后，每分钟收费______； (2)求出品牌的函数关系式； (3)求两种收费相差1.4元时，的值． 【答案】(1)元 (2) (3)8或34 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）由图象可知，第10至20分钟，品牌收费元，由此可解； （2）利用待定系数法求解； （3）根据题意和图象可知：两种收费相差1.4元时分两种情况，列出相应的方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，品牌10分钟后，每分钟收费： （元）， 故答案为：元； （2）解：设品牌的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， 解得， 品牌的函数关系式为； （3）解：由图可知，两种收费相差1.4元时，可能在分钟内或分钟以后， 在分钟内时，， 解得； 在分钟以后时，， 解得； 因此x的值为8或34． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是从图象中获取信息，求出相关直线的函数解析式． 14. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1． 表1 沉沙时间 0 2 4 6 8 电子秤读数y（克） 6 18 30 42 54 探索发现： (1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算： (3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？ (4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？ 【答案】(1)作图见解析 (2)在同一直线上．函数表达式为： (3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克 (4)下午6:30 【难度】0.94 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可． （2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，利用待定系数法求解函数表达式． （3）根据（2）中的表达式可求出当时，精密电子秤的读数． （4）根据（2）中的表达式可求出当时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时间． 【详解】（1）解：如图所示 （2） 解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像． 设一次函数表达式为： 将点，代入解析式中可得 解得 函数表达式为： （3）解：由（2）可知函数表达式为： 当时， 漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克． （4）解：由（2）可知函数表达式为： 当时， 起始时间是上午7:30 经过11小时的漏沙时间为下午6:30． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数自变量或函数值是解决本题的关键． 动点函数图象 1. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数图象识别、动点问题的函数图象 【分析】根据特殊点和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高不变所以面积y不变，在BA段时面积y逐渐减小为0， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图①，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴．直线沿轴正方向平移，被矩形截得的线段的长度与平移的距离之间的函数图象如图②，那么矩形的周长为（    ） A．6 B．10 C．12 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一次函数与几何综合、动点问题的函数图象 【分析】根据图象折线中各个端点的位置，判断与长方形顶点的关系，求出矩形的长和宽，再计算周长． 【详解】解：由图可知，当时，直线过点． 当时，直线经过点． 当时，直线过点经过点． 当时，直线过点经过点． ∴当在上移动时，， ∴． 当在上移动时，， 则， 故矩形的周长为． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键在于判断怎么用图中的数据表示矩形的长和宽． 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图1，在长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，．设点的运动时间为x，的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围． (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的两条性质． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】动点问题的函数图象、用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查动点的函数图象问题，根据题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键。 （1）分点在和点在上，两种情况进行讨论，求出函数关系式即可； （2）描点，连线画出函数图象，结合图象确定函数的性质即可。 【详解】（1）解：当时．． ． 如图，当时，， ． 综上所述． （2）列表如下： 0 1 2 3 6 7 8 9 10 0 2 4 6 12 9 6 3 0 画出函数图象如图所示． 由图象可知： ①当时，的值随值的增大而增大； 当时，y的值随x值的增大而减小． ②该函数在自变量的取值范围内有最大值：时，函数取得最大值，最大值为12． 函数图象探究 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值． … … … … 的值为_____； (2)在如图平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)小明根据画出的函数图象，得出了以下几条结论，其中正确的结论是_____．（只填序号） ①函数有最大值为； ②当时，随的增大而增大； ③函数图象关于直线对称． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①③ 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）根据函数解析式可以得到m的值； （2）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【详解】（1）解：将，代入，得， 故答案为：； （2）解：列表 … … … … 描点连线，如图所示， （3）根据函数图象可知，①函数有最大值为，故①正确； ②当时，随的增大而减小，故②错误； ③函数图象关于直线对称，故③正确． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 乐乐根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是乐乐的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值 x … 0 1 2 3 4 … y … 2 m 0 0 1 … m的值为____________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)结合函数图象，写出该函数的两条性质． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)①当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；②函数图象关于直线对称（答案不唯一，合理即可） 【难度】0.65 【知识点】用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性 【分析】（1）把代入求出m的值即可； （2）先描点，然后再连线画出函数图象即可； （3）结合函数图象写出函数的性质即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 故答案为：1． （2）解：如图所示： （3）解：①当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； ②函数图象关于直线对称． 【点睛】本题主要考查了函数的图象和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质． 一次函数应用---行程问题（提高） 1. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）年月日凌晨，甘肃省积石山发生级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜教，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．王阿姨一家也想为灾区尽自己的一份力，于是她与丈夫决定开车前往外的灾区进行支援，如图表示王阿姨离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求王阿姨与丈夫离开家多久后，离家的距离为千米？ 【答案】(1)； (2)王阿姨与丈夫离开家小时后，离家的距离为千米． 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）把代入（）中所求的函数解析式计算即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设图中段与之间的函数关系式为， ∵图象经过、两点， ∴， 解得， ∴图中段与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴王阿姨与丈夫离开家小时后，离家的距离为千米． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）小辉，小辰两人分别从、两地去同一城市，他们离地的路程随时间变化的图象如图所示． (1)求小辰离地的路程关于时间的函数表达式； (2)求当他们两人在途中相遇时离地的路程． 【答案】(1) (2)当他们两人在途中相遇时离地的路程为 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析，由函数图像读取信息． （1）根据图中数据，设小辰离A地的路程为关于时间的函数表达式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出小辉离A地的路程关于时间的函数表达式，再联立方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设小辰离A地的路程为关于时间的函数表达式， 则， 解得：， 则小辰离A地的路程为关于时间的函数表达式； （2）设小辉离A地的路程为关于时间的函数表达式， 把代入得：， 解得：， 小辉离A地的路程为关于时间的函数表达式， 联立方程组得：， 解得：， 当他们两人在途中相遇时离地的路程为． 3. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： (1)______先到达终点（填“甲”或“乙”）；甲的速度______米/分钟； (2)求出乙比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式； (3)甲与乙何时相遇？ 【答案】(1)乙；； (2)； (3)甲与乙在分钟时相遇． 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了从图象中获得信息，待定系数法求一次函数，一元一次方程的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数是解题的关键． （1）依据函数图象可得到两人跑完全程所用的时间，从而可知道谁先到达终点，依据速度路程时间可求得甲的速度； （2）利用待定系数法即可求解； （3）设甲与乙在x分钟时相遇，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知甲跑完全程需要分钟，乙跑完全程需要分钟，所以乙先到达终点； 甲的速度米/分钟． 故答案为：乙；； （2）解：设时，， 把代入得，解得， ∴时，， 设时，， 把和代入得 ， 解得， ∴时，， 综上得； （3）解：设甲与乙在分钟时相遇， 依题意得， 解得， 答：甲与乙在分钟时相遇． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）某校甲、乙两位老师住同一小区，该小区距离学校米，甲从小区步行去学校，出发10分钟后，乙从小区先骑共享单车与甲同路，途经学校，又骑行一段路程后到还车点，之后立即步行回学校．设甲步行的时间为x（分钟），图中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与时间x（分钟）的关系图象．    (1)分别求出甲步行、乙骑车时离开小区的路程y（米）与时间x（分钟）的函数表达式； (2)已知乙步行速度为米/分钟，则乙从还车点走到学校用了多长时间？ 【答案】(1)直线的表达式为，直线的表达式为 (2)乙从还车点走到学校用了4分钟 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的表达式，再求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）求出当时，的函数值，再根据路程除以速度得到答案． 【详解】（1）解：设直线的表达式为，将代入，得： ， 得， ∴直线的表达式为． 当时，． 设直线的表达式为，将，代入，得： ， ∴， ∴直线的表达式为． （2）当时，， （分钟）． 答：乙从还车点走到学校用了4分钟． 【点睛】此题是一次函数的实际应用，考查了待定系数法、求函数值等知识，读懂题意，准确求出函数解析式是解题的关键． 5. （23-24八年级上·陕西延安·期末）骑行，是心灵的洗涤，每一步都踏着自由与梦想．周末，小宇爸爸和小轩爸爸一起骑行．他们从永宁门出发，沿着相同的道路骑行去秦岭山脚下．小宇爸爸从永宁门先出发，小时后，小轩爸爸再出发，同时，小宇爸爸减慢骑行速度继续向前骑行．小宇爸爸和小轩爸爸各自与永宁门的距离（千米）与小宇爸爸出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． 请你根据图中信息，解答下列问题． (1)小轩爸爸骑行的速度为______千米/小时． (2)求小时后小宇爸爸与永宁门的距离与之间的函数解析式，并写出的取值范围． (3)当小轩爸爸到达秦岭山脚下时，小宇爸爸还需要多长时间才能到秦岭山脚下？ 【答案】(1) (2)， (3)小时 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由图象即可得出小轩爸爸骑行的速度． （2）利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数图象，即可出的取值范围． （3）利用待定系数法求出小轩爸爸骑行的函数解析式，将代入解析式，可得，故根据图象可得两人到达时间差小时，即可求解． 【详解】（1）解：由图象可得小轩爸爸在开始骑行一小时内，骑行了千米， ∴小轩爸爸骑行的速度为千米/小时， 故答案为：． （2）设小时后小宇爸爸与永宁门的距离与之间的函数解析式为， 由图象可得其经过，， 将其代入中，可得， 解得， 故函数解析式为，的取值范围是． （3）设小轩爸爸小时出发时，与永宁门的距离与之间的函数解析式为， 由图象可得其经过，， 将其代入中，可得， 解得， 故函数解析式为， 将代入上式，可得， 解得， 由图像可得小宇爸爸小时到达秦岭山脚下，而小轩爸爸小时到达秦岭山脚下， 故两人到达时间差（小时）， ∴当小轩爸爸到达秦岭山脚下时，小宇爸爸还需要小时才能到秦岭山脚下． 6. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）A、B两地相距260km，甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了h，甲车休息前后速度一样，如图是甲、乙两车行驶的路程与甲车的行驶时间的函数图象． (1)直接写出和的值； (2)甲车从A地到B地共用多少小时？ (3)乙车出发后，当两车相距50km时，乙车行驶了多长的时间？ 【答案】(1)， (2)7小时 (3)小时或小时 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据“路程时间速度”由函数图象就可以求出甲的速度，求出的值和的值； （2）先根据由待定系数法得出与之间的函数关系式，把代入得出的值，再根据甲车途中休息了，可以求出结论； （3）先求出乙车行驶的路程与时间之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ． ， ． ∴，； （2）当时，设与之间的函数关系式为，由题意，得 ，解得：， ， 当时，甲车与之间的函数关系式为， 当时，， 解得：， 甲车共行驶时间是7小时； （3）设乙车行驶的路程与时间之间的解析式为，由题意，得 ， 解得：， ． 当时， 解得：． 当时， 解得：， ，， 答：乙车行驶小时或小时，两车恰好相距． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． 7. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，两车同时出发并以各自的速度匀速行驶．乙车中途因汽车故障停下来修理，修好后立却以原速的两倍继续前进到达B地：如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的大致图象．    (1)求B、C两地之间的距离． (2)什么时候乙追上甲 (3)当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间？ 【答案】(1)60千米 (2)4.5小时 (3)小时或3.5小时或小时 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】 （1）用A、C两地的距离减去A、B两地的距离即可； （2）先求出甲和乙的速度，然后列方程求解即可； （3）利用待定系数法分别求出时甲行驶的距离与x的关系式 以及时，乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式，再列方程解答即可． 【详解】（1） 解：（千米）， 即B、C两地之间的距离为60千米； （2） 解：甲的速度：千米/小时， 乙开始的速度：千米/小时， 乙后来的速度：千米/小时， 由题意得 ， 解得， ∴4.5小时后乙追上甲； （3） 解：当时，由题意得 ， 解得，不合题意，舍去； ①当时， 设甲距离A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系式为， 代入可得， ∴， ，解得； ②当时， 由（1）可得，A、B两地之间的距离为：（km）， 设乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式为， 代入和，得： ， 解得， ∴， 解方程得（不合题意，舍去）， 解方程得； ③当时， 解方程得． 答：当两车相距40千米时，甲车行驶了小时或3.5小时或小时． 【点睛】 本题考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系． 一次函数应用---最大利润问题 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）某服装店一次性购进甲、乙两种保暖内衣共100件进行销售，甲，乙两种保暖内衣的进价与售价分别如下表所示： 甲 乙 进价 80元/件 100元/件 售价 120元/件 150元/件 设购进甲种保暖内衣的数量为x（件）． (1)除了进货成本以外，从进货到销售完这批内衣的过程中还要支付运费和销售员工工资共1000元．设销售完这批保暖内衣的总利润为y（元），请求出y与x之间的函数关系式； (2)在（1）的情况下，根据市场需求调研发现，甲种保暖内衣的购进数量x大于或等于50件，求购进甲种内衣多少件时，这批保暖内衣销售完获利最多?最多可获利多少元? 【答案】(1)y与x之间的函数关系式为 (2)购进甲种内衣50件时，这批保暖内衣销售完获利最多，最多可获利3500元 【难度】0.65 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】考查一次函数性质，确定自变量的取值范围和函数的关系式是解决问题的关键． （1）总利润等于甲种保暖内衣的利润加乙种保暖内衣的利润减去工人工资，据此列出函数解析式即可； （2）根据题意，确定自变量的取值范围，再根据一次函数的性质，确定何时获得最大利润． 【详解】（1）根据题意，得 ， 即y与x之间的函数关系式为． （2）， y随x的增大而减小， x大于或等于50， 当时，， 故购进甲种内衣50件时，这批保暖内衣销售完获利最多，最多可获利3500元．根据一次函数的增减性进行分析即可． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）在某中学团支部爱心义卖活动中，准备了无人机模型和玩具车模型共100台，若售出3台无人机模型和2台玩具车模型收入130元，售出4台无人机模型和3台玩具车模型收入180元． (1)问两种模型的售价各是多少元？ (2)已知无人机模型的数量不超过66，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台时总收入最多？并求出总收入的最大值． 【答案】(1)无人机模型的售价是30元，玩具车模型的售价是20元 (2)准备无人机模型66台，玩具车模型34台时总收入最多，总收入的最大值为2660元 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）设无人机模型的售价是元，玩具车模型的售价是元，根据售出3台无人机模型和2台玩具车模型收入130元，售出4台无人机模型和3台玩具车模型收人180元，可以列出相应的方程组，然后求解即可； （2）设准备无人机模型台，总收入为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的性质求得结果． 【详解】（1）设无人机模型的售价是元，玩具车模型的售价是元． 根据题意得，解得 答：无人机模型的售价是30元，玩具车模型的售价是20元． （2）设准备无人机模型台，总收入为元， 则根据题意得． ∵，， ∴的值随值的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 此时，， 所以准备无人机模型66台，玩具车模型34台时总收入最多，总收入的最大值为2660元． 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元． (1)若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人多少人？ (2)由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m． ①请用含m的式子表示该车间每天的获利w（元）； ②若，求当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？ 【答案】(1)25人 (2)①；②当时，w最大为17200 【难度】0.65 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有人，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）①根据利润的表示方法求解即可； ②根据①中求出的表达式，结合一次函数的性质和求解即可． 【详解】（1）设这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有人， 根据题意可得，， 解得 ∴这天加工甲种零件的工人有25人； （2）①∵加工甲种零件的人数为m， ∴加工乙种零件的人数为， ∴根据题意可得，； ②∵， ∴w随m的增大而减小， ∵ ∴当时，w最大，此时． 【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4. （20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）某超市出售甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为每件120元，售价为每件130元；乙种商品的进价为每件100元，售价为每件150元． （1）若超市花费了36000元购进这两种商品，售完后可获得利润6000元，则该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）若超市要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品件，售完后获得的利润为元，试写出利润（元）与（件）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． （3）在（2）的条件下，若甲种商品最少购进100件，请你设计出使利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲种商品240件，乙种商品72件；（2）W=-40x+10000；（3）购进甲、乙种商品的件数各为100件，利润最大，最大利润为6000元 【难度】0.65 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据销售问题的数量关系建立方程组求出其解即可； （2）由购进甲种商品x件，则购进乙种商品（200一x）件，由利润等于售价-进价建立函数关系式就可以得出结论； （3）根据一次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，由题意，得 ，解得： 答：该商场购进甲种商品240件，乙种商品72件．    （2）已知购进甲种商品x件，则购进乙种商品（200一x）件，根据题意，得 W=（130-120）x+（150-100）（200-x）=-40x+10000， （3）∵k=-40＜0， ∴W随x的增大而减小． 又∵甲种商品最少购进100件 ∴当购进甲种商品的件数为100件时利润最大， ∴进货方案为购进甲、乙种商品的件数各为100件，利润最大， 最大利润=-40×100+10000=6000元． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据方程组的解求函数的解析式是关键． 5. （20-21八年级上·陕西西安·期末）为了落实政府的“精准扶贫”政策，某县政府准备购买、两种类型的化肥，通过市场调研得知：购买2袋种化肥和3袋种化肥共需560元；购买3袋种化肥比购买2袋种化肥多用60元． （1）每袋种化肥和种化肥各多少元？ （2）现某村组需要购买，两种类型的化肥共30袋，设购买种化肥袋，购买种化肥和种化肥的总费用为元，如果购买种化肥的数量不超过15袋，求购买这批化肥的最少费用． 【答案】（1）种化肥100元一袋，种化肥120元一袋；（2）3300元． 【难度】0.65 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设种化肥x元一袋，种化肥y元一袋，根据“购买2袋种化肥和3袋种化肥共需560元；购买3袋种化肥比购买2袋种化肥多用60元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）购买种化肥袋，则购买种化肥（３0-ａ）袋，根据购买种化肥和种化肥的总费用为元，即可得出关一次函数解析式，再根据且购买种化肥的数量不超过15袋，即可得出函数值． 【详解】解：（1）设种化肥x元一袋，种化肥y元一袋， 依题意，得： ， 解得：． 答：种化肥100元一袋，种化肥120元一袋． （2）由题意得，w=100a+120(30-a)=-20a+3600， ∵-20<0，∴w随a的增大而减小， 又∵0<a≤15， ∴当a=15时，w最小， 即= -20×15+3600=3300(元)， ∴购买这批化肥的最少费用为3300元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式． 一次函数应用---图形面积问题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点的坐标为，是该直线上一个动点．    (1)试写出的面积与的函数 表达式； (2)当点运动到什么位置时，的面积为，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合 【分析】本题综合考查了坐标与图形面积，列一次函数关系式，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）设点，将的面积表示出来，并分点P在第一、二象限和点P在第三象限两种情况进行讨论即可； （2）分别把代入（1）中两种情况下的函数关系式，求出点P的横坐标，再分别代入中可求出点P纵坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴P到x轴的距离为， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， 令=0， 解得， ∴， ①当点P在第一、二象限时， ，      ②当点P在第三象限时，      ∴点P在运动过程中，的面积S与x的函数关系式为： ； （2）当，的面积为， ∴，解得， 代入，得， ∴， 当），的面积为， ∴， 解得， 代入，得， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 2. （20-21八年级上·陕西铜川·期末）如图，直线与轴交于点，直线经过点、，点的坐标为，且两直线相交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）点的坐标是；（2） 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】（1）先利用待定系数法求出直线的解析式，再联立，即可求解； （2）先求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）设直线的解析式为， ∵直线过，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得，解得， ∴点的坐标是； （2）∵直线与轴交于点， ∴令，得，解得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，掌握一次函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上有一点． (1)求点A、B、Q的坐标； (2)若点P在x轴上，且，求的面积． 【答案】(1)，， (2)的面积为88或104 【难度】0.85 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）分别当和时求出A和B的坐标，将代入即可求出点Q的坐标； （2）首先根据题意得到点P的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B ∴当时，， ∴ 当时，，解得 ∴ 将代入得 ∴； （2）∵点P在x轴上，且 ∴P点坐标为或 ∴当P点坐标为时， 的面积； ∴当P点坐标为时， 的面积； 综上所述，的面积为88或104． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求三角形面积，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 4. （21-22八年级上·陕西铜川·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为4．    (1)求，，三点的坐标； (2)若动点在线段和射线上运动，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 【难度】0.85 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】（1）先求出点A的坐标为，再利用待定系数法求出一次函数的解析式为，即可求出点B、C的坐标； （2）先求出，然后分两种情况讨论：当点M在线段上运动时，当点M在射线上运动时，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ， ∴点A的坐标为， 把点代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，，当时，， ∴， ∴点； （2）解：由（1）得：， ∴， 当点M在线段上运动时，设点M的坐标为， ∵， ∴，即， 解得： ， ∴点M的坐标为； 当点M在射线上运动时，设点M的坐标为， ∵， ∴，即， 解得： ， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 5. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将向下平移3个单位长度得到直线，直线与x轴交于点C，直线与x轴、y轴交于A、B两点． (1)求点A和点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)在直线上是否存在点E，使？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)直线上存在点E，使，点E的坐标为或 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）令直线中，或，即可求得，的坐标； （2）根据一次函数的平移规律：左加右减；上加下减即可求解； （3）分别表示出，，利用列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在直线中， 令，则，∴； 令，则，∴． （2）解：∵向下平移3个单位长度得到直线， ∴直线的函数表达式为：． （3）解：∵， ∴． ∵，∴，即． 在直线中，令，得，即， ∴，∴． ①当时，， 解得， ∴此时点E的坐标为； ②当时，， 解得， ∴此时点E的坐标为． 综上可知，直线上存在点E，使，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合，一次函数的平移规律，面积的计算等，求得直线的表达式是解题的关键． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与直线交于点，，分别与轴交于点，． (1)请直接写出点，，的坐标； (2)点为直线上一点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)或 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积问题； （1）联立直线解析式，即可得出的坐标，分别令，即可得出的坐标； （2）根据的坐标，即可得出，进而分类讨论，根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：联立， 解得：， ∴， 由直线，当时，，则， 直线，当时，，则； （2）解：∵；；，则，边上的高为， ∴， ∵， ∴， ∵点为直线上一点， 设， 当点在上方时，， ∴，即， 解得：， ∴； 当点在下方时，， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述，或． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，直线l经过点A，并将分成而积相等的两部分，求直线l的表达式． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，设直线l与交于点D，根据题意可知是的中线，即可根据中点公式求得D点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：设直线l与交于点D． 直线l经过点A，并将分成面积相等的两部分， 是的中线． 又点，， 点D的坐标为． 设直线l的表达式为，把点，代入， 可得， 解得， 直线l的表达式为． 8. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知直线与直线交于点A． (1)求点A和点C的坐标； (2)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【难度】0.65 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查一次函数的图象与性质； （1）联立两个函数解析式即可求出交点坐标，直线，令，解得，即可得到； （2）先求出，再设，分别求出和，最后列方程求解即可． 【详解】（1）联立方程组，解得， ∴A点坐标为； 直线，令，解得， ∴； （2）直线，令，解得, ∴， ∴， 设， ∴，， ∵ ， ∴， ∴点P的坐标为或． 9. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C． (1)求点C的坐标； (2)在直线上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点C的坐标为 (2)存在；点M的坐标为或 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）联立两直线解析式成方程组，解方程组即可求解； （2）先求出，设，当M在x轴下方时的面积是面积的2倍，的面积等于的面积，；当M在x轴上方时的面积是面积的2倍，的面积等于的面积的3倍，；即可求解． 【详解】（1）解：联立两直线解析式成方程组，得：， 解得：， ∴点C的坐标为； （2）解：存在； 当时，有， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， 设， 当M在x轴下方时， ∵的面积是面积的2倍， ∴的面积等于的面积， ∴， 解得：， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 当M在x轴上方时， ∵的面积是面积的2倍， ∴的面积等于的面积的3倍， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，面积的计算，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏． 10. （20-21八年级上·陕西西安·期末）平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m+1，m﹣1）． （1）试判断点P是否在直线l1：y＝x﹣2的图象上，并说明理由； （2）如图，直线l2：y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点C是l1与l2的交点，点D为l1与x轴的交点，求四边形OBCD的面积． 【答案】（1）点P（m+1，m﹣1）在函数y＝x﹣2图象上，理由见解析；（2）S四边形OBCD＝． 【难度】0.85 【知识点】求直线围成的图形面积 【分析】（1）要判断点（m+1，m﹣1）是否在函数图象上，只要把这个点的坐标代入函数解析式，观察等式是否成立即可； （2）利用函数的解析式求得A、B、C、D的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：（1）∵当x＝m+1时，y＝m+1﹣2＝m﹣1， ∴点P（m+1，m﹣1）在函数y＝x﹣2图象上． （2）∵直线l2：y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B， ∴令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝3， ∴A（6，0），B（0，3）， 直线l1：y＝x﹣2中，令y＝0，则x＝2， ∴D（2，0）， 解得， ∴C（，）， ∴S四边形OBCD＝S△AOB﹣S△ACD ＝﹣ ＝． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形的面积，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键． 11. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，直线与轴交于点，已知直线的函数表达式为． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上的一个动点，当的面积为3时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积， （1）把代入求出的值，再运用待定系数法可求出直线的函数表达式； （2）设，根据三角形面积公式列出方程，求出的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ∴ ∴ 设直线的函数表达式为 把，代入得 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）∵是直线上的一个动点， ∴设 对于，令，则， 解得，，则 ∴ 又的面积为3 ∴ 解得，或 当时， 当时， 所以，点P的坐标为：或． 12. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，点在线段上，直线轴于点，交直线于点． (1)求直线的函数关系式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了一次函数综合应用，掌握勾股定理及待定系数法是解题的关键． （1）将点代入得出，再代入一次函数求解即可； （2）设的横坐标，得出，，根据勾股定理求出，的坐标，然后计算面积即可． 【详解】（1）解：直线和直线相交于点． ∴， ∴， 将点，代入得： ， ∴，， ∴； （2）解：如图，设的横坐标，则，，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 作轴， 则； 同理，当时，， 综上，； 13. （20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，直线经过点，． （1）求直线的表达式； （2）求直线：与直线及轴围成图形的面积． 【答案】（1）；（2）． 【难度】0.65 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标，然后结合三角形面积公式求解； 【详解】解：（1）将点，代入 得解得 ∴直线的表达式为 （2）联立解得 ∴交点． 由直线的表达式为可知 直线的表达式为可知 ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息． 14. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k、b的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点D的坐标为或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与三角形的面积等知识，熟练掌握函数图象和性质是解题的关键． （1）由正比例函数表达式求出交点，将两个点坐标代入一次函数即可； （2）识别出方程组就是一次函数与正比例函数的表达式组成的，故解为其交点坐标； （3）先由题意算出一个三角形的面积，根据等式即可求出答案． 【详解】（1）解：点C在上，且点C的横坐标为1 的图象经过点 解得 ； （2）由图象和方程组知 其解为函数与的交点坐标，即 ； （3）点D在y轴上，设 由（1）知一次函数的表达式为 当时，即 故点D的坐标为或． 15. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．    (1)求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解； (2)求的面积； (3)若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，两条直线相交或平行问题以及三角形面积，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将点代入，求出点的坐标，再将点代入直线，求出的值，即可得到答案； （2）根据解析式求出的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出答案； （3）根据题意求出的坐标，结合的长为2，得到关于的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ． 把点P坐标代入，得， ， 直线的表达式为， 则方程组的解为； （2）解：：，：， ，， ， ； （3）解：直线与直线的交点C为， 与直线的交点D为． ， ， 即， ∴或， 或． 16. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知点，在直线l：的图象上，直线l和一次函数的图象交于点B． (1)求直线l的表达式； (2)若点B的横坐标是1，求点B的坐标．并直接写出关于 x，y 的方程组的解； (3)在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）将点，代入得，计算求解，然后作答即可； （2）将代入得，，则，根据二元一次方程组的解是直线交点的坐标，进行作答即可； （3）如图，由轴对称的性质可知，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， 解得，， ∴直线l的表达式为； （2）解：将代入得，， ∴， 由题意知，关于 x，y 的方程组的解为； （3）解：如图，点A关于x轴的对称点为， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二元一次方程组的解与直线交点的关系，轴对称的性质，坐标与图形．熟练掌握一次函数解析式，二元一次方程组的解与直线交点的关系，轴对称的性质，坐标与图形是解题的关键． 一次函数应用---全等三角形问题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为，连接，过点作于点，点为线段上一个动点．    (1)的长为_____________，的长为_____________； (2)上是否存在一点，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点或 【难度】0.65 【知识点】已知两点坐标求两点距离、全等三角形的性质、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先求出点点坐标，由勾股定理和面积法可求解； （2）分两种情况讨论，先求出解析式，由全等三角形的性质可求解； 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，，当时，， 点，点， ， ∴， 点的坐标为， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 设直线的解析式为则：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 当时，， ， ， 点在第二象限， 点， 当时， ， ， 点在第二象限， 点， 综上所述：点坐标为：或． 2. （22-23八年级上·陕西榆林·期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作长方形． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，求点D的坐标； (3)在第一象限内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、一次函数与几何综合 【分析】（1）利用解析式中，，求出点A、C的坐标，即可得到点B的坐标； （2）根据折叠得到．设，则，由勾股定理得，求出x即可． （3）先求出直线解析式，由得，则点P在直线上．过P作于点Q，在中，，由面积法得到， 求出，代入，得到点P的坐标． 【详解】（1）解：令中，得，解得； 令，得， ∴， ∵以为边在第一象限内作长方形． ∴轴，轴， ∴, 故答案为：； （2）由折叠知：． 设，则， 根据题意得：， 解得：． 此时，， ∴； （3）存在点P， 设直线为，把代入，得 ， 解得：． ∴直线解析式为． 由得，则点P在直线上． 过P作于点Q， 在中， 由得： ∴． ∴， 把代入，得． 此时． 【点睛】此题考查了一次函数图像的应用，勾股定理，等腰三角形的性质及全等三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知一次函数（k、b为常数，且）的图象与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该一次函数的表达式； (2)点C为点B上方y轴上的点，在该一次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点P的坐标为或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据待定系数法求出函数不等式； （2）分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：存在； ∵，， ∴，， ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴，，， ∴， ∴此时点P的坐标为：； 当时，过点P作轴，如图所示： ∵， ∴，，，， ∵， ∴， 把代入得：， ∴ 此时点P的坐标为：； 综上分析可知，点P的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析，坐标与图形，勾股定理，三角形面积的计算，三角形全等的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 一次函数应用---特殊三角形存在问题 1. （23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，且在点D的上方，设． (1)求直线的解析式； (2)当时，在第一象限内找一点C，使为等腰直角三角形，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、求一次函数解析式、全等三角形综合问题、一次函数与几何综合 【分析】（1）把A的坐标代入直线的解析式，即可； （2）过点A作，垂足为M，求得的长，再由和可求出点P的坐标，然后分三种情况讨论：若，过点C作于点N；若，过点C作轴于点F；若，即可求解． 【详解】（1）解：∵经过， ∴， ∴直线的解析式是； （2）解：当时，，解得， ∴点． ∴， 过点A作，垂足为M，则有， ∵时，，P在点D的上方， ∴， ∴； ∵， ∴，解得， ∴点． 根据题意得：，， ∴， ∴． 若，过点C作于点N，如图， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，如图，过点C作轴于点F． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴； 若，如图， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； ∴点C的坐标是或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知直线（k、b为常数，且）经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该直线的函数表达式和点B的坐标； (2)在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该直线的函数表达式为， (2)在y轴上存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点C的坐标为或 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了解析式的求解、勾股定理等知识点，掌握待定系数法是解题关键． （1）将点、代入即可求解； （2）由题意得，分类讨论当点C为直角顶点时和当点A为直角顶点时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点、， ∴ 解得 ∴该直线的函数表达式为． 在中，令，得， ∴． （2）解：∵点C在y轴上， ∴， ∴点B不能成为直角顶点． ①当点C为直角顶点时，点C在的位置，如图． ∵点A在x轴上，点B在y轴上， ∴， ∴点与点O重合， ∴点的坐标为； ②当点A为直角顶点时，点C在的位置，如图． 设，则，，，， ∴，，． ∵， ∴， 解得， ∴． 综上可知，在y轴上存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点C的坐标为或． 4. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，勾股定理等， （1）先求出点的坐标，再依据点是的中点，可求出点的坐标； （2）根据（1）中的结论得出，的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案； （3）存在，点在轴上时，设点的坐标为，分两种情况讨论：①，②；点在轴上时，设点的坐标为，分两种情况讨论：①，②，由勾股定理可求解； 利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （2）∵，，， ∵，，， ∴， ∴， 即的面积为； （3）存在， 点在轴上时，设点的坐标为， ①时，点与原点重合，此时点坐标为； ②时，则， ∵，，， ∴， 解得：， ∴； 点在轴上时，设点的坐标为，， ①时，点与原点重合，此时点坐标为； ②时，则， ∵，，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，当点的坐标为或或时，是直角三角形． 5. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）已知直线：与轴交于点，直线与轴交于点直线、交于点且点的横坐标为． (1)如图甲，过点作轴的垂线，为垂线上的一个点，是轴上的一个动点，连结、、，若，求此时点的坐标； (2)若点在过点作轴的垂线上，为轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)如图乙，点的坐标为，将直线绕点旋转，使旋转后得到的直线刚好过点，过点作平行于轴的直线，、分别为直线、上的两个动点，是否存在点、，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的坐标为或 (2)P的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）确定，即，，即可求解； （2）确定关于过垂线的对称点、关于轴的对称点，连接交过点的垂线与点，交轴于点，此时，的值最小，即可求解， （3）分点在直线上方，点在下方，两种情况分别求解． 【详解】（1）解：直线：，令，则，故， 把代入直线：，得：， 则为：， 所以， 所以点坐标为， 如图，设直线交轴于点， 设得：，解得， ，即 ， ，解得：或， 的坐标为或； （2）解：确定关于过垂直于x轴的垂线的对称点、关于轴的对称点， 连接交过点的垂线与点，交轴于点，此时，的值最小， 将点、点的坐标代入一次函数表达式：得：， 解得， 则直线的表达式为：， 点的坐标为； （3）解：将，点坐标代入一次函数表达式，同理可得直线表达式为：， 当点在直线上方时，设点，点，点， 过点、分别作轴的平行线交过点与轴的平行线分别交于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，解得：， 故点的坐标为， 当点在下方时， 同理可得：， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点的对称性、三角形全等、面积的计算，等腰直角三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且与交于点． (1)求点和点的坐标 (2)求直线的表达式； (3)在线段上是否存在一点使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1), (2) (3)或 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数在几何问题中的应用，掌握待定系数法求解函数解析式是解题关键． （1）令，，即可求解； （2）将、代入即可求解； （3）设点，分类讨论，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：令，则； ∴ 令，则，得； ∴ （2）解：∵ ∴ 将、代入得： ， 解得： ∴直线的表达式为： （3）解：∵直线的表达式为： ∴ 设点 则： ： ， 解得： ∴ ： ， 解得：（舍）或 ∴ ： ， 解得：（舍）或（舍） ∴综上所述：或 7. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)直接写出点，的坐标：（ ， ），（ ， ） (2)点是轴上一点，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，过轴正半轴上的动点作直线轴，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出的值． 【答案】(1)4，0；； (2)或； (3)或或. 【难度】0.4 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（）把代入求点的坐标，把代入求点的坐标； （）过点作轴，垂足为，由的面积为，求的长度，从而得到点的坐标； （）由条件分，；②，； ，，再通过全等三角形的判定和性质求出边的长度，从而得到的值； 本题考查求一次函数与坐标轴的交点坐标，通过三角形的面积求坐标，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论． 【详解】（1）把代入，解得， ∴点的坐标为 把代入， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：4，0；； （2）过点作轴，垂足为， ∵的面积为， ∴ ，即，解得， ∵点，， ∴点的坐标为或； （3）当，时，过点作轴，垂足为，交直线于点， ∵轴，直线轴, ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 当，时，过点作轴, 垂足为，过点作轴，垂足为 同理可证 ， ∵， ∵，， ∴， ∴， 当，时，过点C作直线，垂足为，过点作, 垂足为， 同理可证 ， ∴， 设， ∵，， ∵， ∴， ∴，解得： ， ∴， 综上所述，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，或或. 一次函数与几何综合 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，线段所在直线的函数表达式为，C是的中点，P是上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一次函数与几何综合、求最短路径(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称最短路径的确定方法是解题的关键． 作点O关于的对称点，连接交于点D，连接，与交于点，再求出，C的坐标，根据勾股定理求出的值，即为的最小值． 【详解】解：作点O关于的对称点，连接，与交于点，连接交于点D，如图： 此时，的值最小，最小值为的长， 线段所在直线的解析式为， ，， ， C是的中点， ， 是点O关于的对称点， ，，， 四边形是正方形， ， 的最小值是． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知直线和，点在直线上，点在直线上，作轴于点，轴于点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，点的横坐标为 ．    【答案】或 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的性质，分类讨论；设，，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设，    ∵在 ∴ 解得：， 当在点的左侧时， ∵四边形是正方形， ∴ ∴ 解得： ∴ 当在点的右侧时， ∴ 解得： ∴， 故答案为：或． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．      【答案】 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、解一元一次方程（二）——去括号、垂线段最短 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了两条直线相交问题，三角形的 面积公式，两点间距离公式，求出交点坐标是解本题的关键．判断出时，最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：由， ∴， 由一次函数， 令，解得， ∴， ∴，， ∵当时，最小， 此时， ∴， ∴， 故答案为：． 4. （21-22八年级上·陕西西安·期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B（m，4-m）与点C分别是直线l及x轴上的动点，则△ABC周长的最小值为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、一次函数与几何综合 【分析】作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点．则，，所以周长的最小值为的长．根据，可知点在直线上运动，据此解答即可． 【详解】解：作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点． 则，， 周长的最小值为的长． ， 点在直线上运动， ∴直线与x、y轴的交点坐标分别为， ∴， 连接，则根据轴对称图形的性质可知， ， 的坐标为， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查点、直线关于直线对称知识的应用，三角形的周长的最小值，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力． 5. （21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点B的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】先求出四边形ABCD的面积为14，然后根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，可设直线l的解析式为，即可求出直线l的解析式为，则直线l与x轴的交点坐标为（，0），求出直线CD的解析式为，则直线l与直线CD的交点坐标为（，），再由过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵A（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3）， ∴AC=7， ∴， ∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积， ∴可设直线l的解析式为， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， ∴直线l与x轴的交点坐标为（，0） ∵点C坐标为（3，0），点D坐标为（0，3）， ∴直线CD的解析式为， ∵当时，直线l与直线DC平行，此时直线l不可能平分四边形ABCD的面积 ∴联立， 解得， ∴直线l与直线CD的交点坐标为（，）， ∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分， ∴， 解得或（舍去）， ∴直线l的解析式为 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． 6. （20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，，点E在边上． （1）若点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M，将纸片沿直线折叠，顶点C恰好落在上，并与上的点G重合． ①求点G、点E的坐标； ②若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围． （2）若点E为上的一动点，点C关于直线的对称点为G，连接，请求出线段的最小值． 【答案】（1）①G（3，4），E（，5）；②-15≤n≤-4；（2） 【难度】0.4 【知识点】一次函数与几何综合、最短路径问题、折叠问题 【分析】（1）①根据折叠的性质求出OG，根据勾股定理计算求出GN，得到点G的坐标，设CE=x，根据勾股定理求出x，求出点E的坐标； ②利用待定系数法求出OE所在直线的解析式，根据平行的性质求出m，分别把点M、点A的坐标代入解析式求出n，得到答案； （2）连接OB，OG，求出BC=，OC=OG=5，推出当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，从而计算． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，OG=OC=5， 由勾股定理得，GN=， ∴点G的坐标为（3，4）； 设CE=x，则EM=3-x，由折叠的性质可知：EG=CE=x， ∵GN=4， ∴GM=5-4=1， 在Rt△EMG中，， 即， 解得：x=， ∴点E的坐标为（，5）； 设OE所在直线的解析式为：y=kx， 则k=5， 解得，k=3， ∴OE所在直线的解析式为：y=3x， ∵直线l：y=mx+n平行于直线OE， ∴m=3，即直线l的解析式为y=3x+n， 当直线l经过点M（3，5）时，5=3×3+n， 解得，n=-4， 当直线l经过点A（5，0）时，0=3×5+n， 解得，n=-15， ∴直线l与长方形ABMN有公共点时，-15≤n≤-4； （3）连接OB，OG， ∵OC=BC=5，∠OCB=90°， ∴BC=OC=， ∵点C关于直线OE的对称点为点G， ∴OC=OG=5， ∴BG≥OB-OG， ∴当O、B、G三点共线时，BG取得最小值， ∴BG的最小值为． 【点睛】本题考查的是一次函数的知识、折叠的性质、最短路径问题，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤，得到O、B、G三点共线时，BG取得最小值是解题的关键． 7. （22-23八年级上·陕西西安·期末）（1）如图①，在中，，，点D为线段上的动点，则最小值为 ． （2）如图②，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，D为线段上的一点且平分的面积，请求出D点坐标． （3）如图③，在平面直角坐标系中，是某地市政施工的一块区域示意图，其中，米，点D坐标为．按设计要求在线段上任取一点C，以为底，在右侧作等腰直角三角形区域，取中点F，连接．现对区域进行围挡施工，为节约材料，设计要求围挡区域的周长最小，请你根据以上信息求出符合设计的的周长，并说明理由． 【答案】（1）6；（2）；（3）的周长的最小值为：米 【难度】0.4 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形、写出直角坐标系中点的坐标、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据垂线段最短即可得出答案； （2）先根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得出此时点D为线段的中点，最后根据中点坐标公式，求出结果即可； （3）过点E作轴于点M，轴于点N，证明，得出，说明点在直线上，根据中点坐标公式说明点F在直线上，作点D关于直线的对称点，连接交直线于一点F，连接，，此时最小，求出其最小值，即可得出的周长最小值． 【详解】解：（1）∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． （2）解：把，代入得， 把代入得，解得， ∴点A坐标为，点B坐标为， ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴当D为中点时，将分成面积相等的两部分， ∴点D的坐标为：，即． （3）过点E作轴于点M，轴于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在直线上， 设点， ∵点为的中点，， ∴，即， 令，， 则， ∴点F在直线上， 设直线与轴交于点P，与轴交于点Q， 则P点坐标为，Q点坐标为， ∴，， ∴， ∴， 作点D关于直线的对称点，连接交直线于一点F，连接，，此时最小，如图所示： ∵， ∴， ∴轴， ∵， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵， 又∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∴的周长的最小值为：米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，中点坐标公式，垂线段最短，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使周长最小时，点F的位置． 8. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线（k、b为常数，且）与x轴交于点，直线与交于点． (1)求点C的坐标及直线的函数表达式； (2)若点D是线段上一个动点，点D的横坐标是m，的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式； (3)在y轴上是否存在点P，使得的值最小?若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；直线的函数表达式为 (2) (3)在y轴上存在点使得的值最小，最小值为 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数解析式，轴对称-最短路线问题： （1）把点代入，求得点C的坐标，然后根据待定系数法即可求得k，b的值； （2）求出点A的坐标，得出，根据点D在直线上可得，再根据三角形面积公式可得结论； （3）如图，作点B关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为P点，此时，的值最小；由勾股定理可求出的最小值为，再运用待定系数法求出直线的函数表达式为，令，求出，从而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：直线过点 ， ． 直线过， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：直线与x轴交于点A， 令，则， ， ∵， ． 点D在线段上． ． ． （3）解：在y轴上存在点P，使得的值最小，理由如下： 如图，作点B关于y轴的对称点，连接， 与y轴的交点即为P点，此时，的值最小， ，则， ， 即的最小值为． 设直线的函数表达式为， ， 解得 直线的函数表达式为． 令，则， ． 故在y轴上存在点使得的值最小，最小值为． 9. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，一动直线轴分别与直线，交于P，Q两点，l与y轴交于点M． ①若，求M的坐标． ②若，求出此时点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②点坐标为：， 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出直线的函数表达式即可． （2）①当时，点，的坐标分别为：，，故，由此得到答案． ②在点下方取点使，则点，由此得到点的坐标，在点上方取点使，则点，由此得到点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为：，把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：． （2）解：①设直线l的解析式为，此时点，的坐标分别为：，， 则， 解得：或， 当时，； 当时，； 综上分析可知，点M的坐标为或； ②设直线和轴交于点，则点， 过点作直线，交轴于点， 则此时，， ∵， ∴设直线m的解析式为，把点代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 则点， ∴， 在点下方取点使， 则点， 设过点T，平行于的直线t的解析式为， 联立， 解得：， 点， 在点上方取点使， 则点， 设过点R，平行于的直线r的解析式为， 联立， 解得：， 则点， 综上，点坐标为：，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，平行线的性质，一次函数平移，求两条直线的交点坐标，求一次函数解析式，根据题意，分类求解，熟悉相关性质是解答本题的关键． 10. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，与x、y轴分别交于点C、D，直线的函数表达式为，与x、y轴分别交于点、B，与直线交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交、于点M、点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②当，且点N是的中点时，请求出m的值． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)①；② 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】（1）由直线的函数表达式求得点P，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）①表示出M、N的坐标，即可求得； ②由题意可知，解方程即可． 本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点的坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）∵直线的函数表达式为，且它过点， ∴， ∴， 把、代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①令，由，解得， ∴， 设点Q的横坐标为m，则，， ∴； ②当，且点N是的中点时，则， ∴， 解得， 11. （23-24八年级上·陕西铜川·期末）如图，在平面直角坐标系中，、、为坐标轴上的三个点，且，过点的直线交直线于点，交轴于点，的面积为18． (1)求点D的坐标； (2)求直线的表达式及点E的坐标； (3)过点C作，交直线于点F，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)，点的坐标为 (3)点的坐标为 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了一次函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． （1）过点作，垂足为，利用面积公式得，求出DE，代入直线BC的解析式即可得到点D的坐标； （2）利用待定系数法求解即可； （3）证明，得到，即可得到点F的坐标． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． ∵， ∴． ∵的面积为18，即， ∴． ∵， ∴，， ∴直线的表达式为． ∵点在直线上，且， ∴，解得， ∴点的坐标为． （2）∵，， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为． （3）∵， ∴． ∵， ∴． ∵，． ∴， ∴． 由（2）知， ∴点的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数 函数的概念 1. （20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）下列各式中，y不是x的函数的是　　 A． B． C． D． 2. （23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中表示不是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   3. （22-23九年级上·陕西西安·期末）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 4. （21-22九年级上·陕西西安·期末）函数中，自变量的取值范围是 . 从函数图象获取信息 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折销售；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后．超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克．若在甲园采摘的总费用是元，在乙园采摘的总费用是元． ，与x之间的函数图象如图所示．则下列说法中错误的是（     ）    A．乙园草莓优惠前的销售价格是元/千克 B．甲园的门票费用是元 C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按六折销售 D．顾客用元在乙园采摘的草莓比在甲园采摘的草莓多 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）小逸从家出发去早餐店吃早餐，吃完后原路返回．如图，这是小逸离家的路程与时间之间的函数关系，已知小逸吃早餐用时，返回速度是去早餐店速度的1.2倍，则的值为（    ）    A．42 B．42.5 C．45 D．47.5 3. （22-23八年级上·陕西西安·期末）某施工队修一段长度为360米的公路，施工队每天的效率相同，如表根据每天工程进度制作而成 施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 …… 累计完成施工量/米 30 60 90 120 150 180 210 …… 下列说法错误的是（    ） A．随着施工时间的逐渐增大，累计完成施工量也逐渐增大 B．当施工时间为9天时，累计完成施工量为270米 C．若累计完成施工量为330米，则施工时间为10天 D．施工时间每增加1天，累计完成施工量就增加30米 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为千克，若在甲园采摘需总费用元，在乙园采摘需总费用元．、与之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克 B．甲园的门票费用是60元 C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠 D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多 5. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的陌数关系，下列结论错误的是（　　） A．小王骑车的速度为10km/h B．小李骑车的速度为20km/h C．a的值为15 D．走完全程，小李所用的时间是小王的 6. （20-21八年级上·陕西咸阳·期末）A，B两地相距30km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图，反映的是两人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，①甲始终是匀速运动，乙的行进不是匀速的；②乙用了5个小时到达目的地；③乙比甲迟出发0.5小时，④甲在出发5小时后被乙追上．以上说法正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7. （20-21八年级上·陕西西安·期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示，则下列说法：①客车比出租车晚4小时到达目的地；②两车出发后3.75小时相遇；③两车相遇时客车距乙地还有225千米；④客车的速度为60千米/时，出租车的速度为100千米/时，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8. （20-21八年级上·陕西咸阳·期末）甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（  ）． A．两人出发1小时后相遇 B．赵明阳跑步的速度为 C．王浩月到达目的地时两人相距 D．王浩月比赵明阳提前到目的地 9. （22-23九年级上·陕西西安·期末）小明骑自行车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小明骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小明离家的距离s（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的对应关系如图所示，则小明骑自行车的速度是 米/分．    10. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）甘肃地震牵动全国，甲、乙两人沿同一条路用货车从地匀速开往相距的灾区地运送救灾物资.如图，和分别表示甲、乙与地的距离与行驶的时间之间的关系． (1)甲出发______后，两人相遇，这时他们与地的距离为______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)乙从地出发______时到达地． 11. （22-23八年级上·陕西榆林·期末）一辆货车和一辆轿车从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地．图中的线段和线段分别表示货车和轿车离甲地的距离与货车出发时间之间的函数关系． (1)货车的速度是________，两车相遇时，它们距甲地________； (2)轿车的速度是________；轿车出发时，两车相距________； (3)轿车从甲地出发到乙地所用的时间是________． 用函数关系表示实际问题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知一个等腰三角形的周长为cm，腰长为xcm，底边长为ycm． (1)请写出底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式； (2)当腰长为cm时，求这个等腰三角形的底边长． 2. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费11元；超过3千米的部分，每千米收费3元． (1)写出应收车费，（元）与出租车行驶路程（千米）之间的关系式（其中）； (2)小明从家到体育馆乘出租车行驶6千米应付多少元？ (3)小明从体育馆到图书馆乘出租车，付车费23元，从体育馆到图书馆出租车行驶了多少千米？ 3. （21-22八年级上·陕西榆林·期末）设地面气温为，如果每升高1千米，气温下降． (1)若距地面高度用h（千米）表示，气温用（）表示，求t与h之间的函数关系式； (2)当千米时，则气温是多少？ 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）东明一中门口有甲乙两个图书超市，他们都经营同一种练习本，两个超市的标价都是1元． 甲超市的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖； 乙超市的优惠条件是：从第1本开始就按标价的折卖． (1)请分别求出购买的数量x（本）与所花的钱数（元），（元）之间的函数表达式； (2)小明要买22的练习本，到哪家超市购买较省钱？ 5. （21-22八年级上·陕西渭南·期末）某剧院举行新年专场音乐会，成人票每张40元，学生票每张10元，为增加上座率，剧院制定了一种优惠方案：即购买一张成人票赠送一张学生票．某校有4名老师与x（）名学生去观赏这次音乐会，设付款的总金额为y（元）． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)当学生人数为20名时，请计算付款的总金额为多少． 正比例函数 1. （20-21八年级上·陕西咸阳·期末）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，1﹣k），则k的值为（　　） A．1 B．﹣ C．﹣1 D． 2. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）若函数是正比例函数，则的值是 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若是关于x的正比例函数，则的值为 ． 4. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知y与x成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 5. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知y与x成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． 正比例函数图象及性质 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）一个正比例函数的图象经过点（4，-2），它的表达式为  （    ） A．y=-2x B．y=2x C． D． 2. （20-21八年级上·陕西西安·期末）已知正比例函数的图象经过点，则下列四个点中在这个函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知正比例函数的图象经过点，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 4. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若正比例函数的图象经过点，且经过第二、四象限，则k的值是（　　） A． B． C．3 D．或3 5. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）若点，在正比例函数的图象上，当时，，则的值可以是（    ） A．2 B．0 C． D．1 6. （21-22八年级上·陕西汉中·期末）若点A（3，-5）和点B（-6，a）都在正比例函数y=kx的图象上，则a的值为（     ） A．-10 B．10 C．5 D．-3 7. （22-23八年级上·陕西西安·期末）已知点，都在过第一、三象限的同一条直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 一次函数定义 1. （22-23八年级上·陕西汉中·期末）函数 y=2x-1的图象不经过的点是（　　） A．（1，1） B．（2，3） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣5） 2. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）若函数y=（k+3）x∣k∣-2+3是一次函数，则k的值是 3. （20-21八年级上·陕西西安·期末）已知是一次函数，则 ． 4. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）直线过点，则的值为 ． 5. （20-21八年级上·陕西西安·期末）如果点在直线上，那么点到轴的距离为 ． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上，则代数式4a﹣b﹣2的值等于 ． 一次函数图象及性质 1. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）关于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点是 C．将一次函数的图象向左平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D．点和在一次函数的图象上，若，则 2. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）已知正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）若点在第四象限，则函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）已知，两点都在关于的一次函数的图象上，则，的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法确定 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）若一次函数的函数值随自变量的减小而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末） ，是一次函数图象上的两点，且，则与的大小关系是（      ） A． B． C． D． 7. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若一次函数的图像经过点，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 8. （23-24八年级上·陕西西安·期末）函数的图象如图所示，则函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，若，，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 10. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）规定：是一次函数（、为实数，）的“特征数”，若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则下列关于一次函数的结论不正确的是（  ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为4 D．若两点，在该函数图象上，则 11. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）下表中列出的是一个一次函数的自变量与函数值的几组对应值（    ） x … 0 1 2 3 … y … … 则下列关于该一次函数的说法中，正确的是（    ） A．该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为 B．该一次函数的图象向上平移2个单位后不经过第二象限 C．该一次函数的图象与轴的交点在轴负半轴上 D．若点、均在该一次函数图象上，且，则 12. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知直线经过第二、四象限，则直线不经过第 象限． 13. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数（k为常数）经过一、三、四象限，则k的值可以是 （写出一个即可） 14. （21-22八年级上·陕西西安·期末）已知，一次函数的图象不经过第三象限，且点，在该函数图象上，则 0（用“＞、＜、＝”连接） 一次函数图象共存问题 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）一次函数与正比例函数的图象在同一坐标系中不可能是（    ） A．B．C．D． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 一次函数图象平移规律 1. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）将直线向上平移4个单位长度，所得直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2. （22-23八年级上·陕西汉中·期末）若把正比例函数图象向上平移个单位长度，得到图象解析式是（   ） A． B． C． D． 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若将直线向上平移个单位长度得到直线，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 5. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数（m为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则a的值为（    ） A．1 B． C． D． 6. （22-23八年级上·陕西·期末）将直线向上平移1个单位后，所得直线与x轴交点的坐标为 ． 7. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）将直线向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为 . 8. （23-24八年级上·陕西西安·期末）将直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到的函数关系式是 ． 一函数图象与坐标轴交点问题 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）若一次函数与的图象交轴于同一点，则的值为（   ） A．2 B． C． D．6 2. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）一次函数的图象与y轴的交点是（    ） A． B． C． D． 3. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）直线和相交于x轴上同一点，则的值为（ ） A． B． C．3 D．-3 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）函数的图象与y轴的交点坐标是 ． 5. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点B为圆心、长为半径画弧，与y轴正半轴交于点C，则点C的坐标为 . 6. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为线段 的中点，若点D是经过点A，且与y轴平行的直线上的一个动点，则的最小值为 ． 一次函数图象与方程（组） 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图一次函数的图象分别交轴，轴于点、，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 2. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）若直线与x轴交于点，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期末）下表是一次函数（）的部分自变量和相应的函数值，方程的解所在的范围是（    ） 0 1 2 1 3 5 A． B． C． D． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）一次函数和的图象如图所示，则方程组的解为（    ）    A． B． C． D． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点 ． 6. （21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，已知y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，根据图象可得关于x、y的二元一次方程组的解是 ． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 8. （21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，已知直线，则方程的解为 ． 待定系数法求函数解析式 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图是温度计的示意图，图中左边的温度表示摄氏温度，右边的温度表示华氏温度．小明观察温度计发现，两个刻度x，y之间的关系如表．据此可知，摄氏温度为15时，对应华氏温度为（　　） x/℃ 10 20 25 30 y/℉ 50 68 77 86 A．15 B．59 C． D．54 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）一个正比例函数的图象经过点，求的值． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期末）已知一次函数的图象经过点(3，3)，(1，－1)． (1)求这个一次函数的表达式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)观察函数图象，直接写出取什么值时，函数值大于0． 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，且经过点． (1)求一次函数的表达式． (2)求的长． 5. （19-20八年级上·陕西渭南·期末）如图，直线l1：y＝kx＋4（k关0）与x轴，y轴分别相交于点A，B，与直线l2:y＝mx（m≠0）相交于点C（1，2）． （1）求k，m的值； （2）求点A和点B的坐标． 一次函数应用---行程问题（基础） 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）已知小林、小慧两人沿同一条公路从甲地出发到乙地，小慧骑自行车，小林骑摩托车，小慧先行1小时后小林才出发．图中的折线表示小林、小慧两人之间的距离与时间的函数关系的图象，根据图象提供的信息可知，小林骑摩托车的速度为（    ） A． B． C．48km/h D．60km/h 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两车从A城出发前往B城，其中甲先出发，如图是甲、乙行驶路程（km），（km）与时间x（h）变化的图像，下列说法不正确的是（    ） A．乙车开始行驶时，甲车在乙车前处 B．乙车的平均速度是 C．在距离A城处，乙车追上甲车 D．乙车比甲车早到B城 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从地到达地．如图，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系． (1)在甲出发______时，两人相遇，这时他们离开地______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)乙从地出发______时到达地． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）元旦期间，明明一家人开车到距家千米的外婆家，当行驶千米时，发现汽车油箱内有油升；当行驶千米时，发现油箱内有油升．已知油箱中剩余油量（升）是行驶路程（千米）的一次函数． (1)求在整个行驶过程中，油箱中剩余油量（升）与行驶路程（千米）之间的函数表达式； (2)当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警，如果开车途中不加油，试说明他们能否在汽车报警前到达外婆家． 6. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）周六，李叔叔从西安驾车回宝鸡，全程共，他以的速度从西安匀速行驶到宝鸡．设表示李叔叔行驶的时间，表示李叔叔与宝鸡的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当时，求的值． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）寒假期间，小华一家开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升．已知剩余油量y（升）是行驶路程x（千米）的一次函数． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当汽车行驶60千米时，求剩余油量； (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 8. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图，线段、折线分别表示两车离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间的函数关系． (1)图中表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系的是________；（填“线段”或“折线”） (2)求线段的函数关系式； (3)货车出发多长时间两车相遇？ 9. （21-22八年级上·陕西西安·期末）某市出租车计费方法如图示，表示行驶里程，y（元）表示车费． (1)当时，求y与x之间的函数关系式； (2)若该市某乘客有一次乘出租车的车费为36元，求这位乘客乘车的里程． 10. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡底跑到坡顶再原路返回坡底．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的倍．设两人出发后距出发点的距离为．图中折线表示小亮在整个训练中与的函数关系，其中点在轴上，点坐标为． (1)小亮下披的速度是______ (2)求出所在直线的函数关系式； 一次函数应用---销售、利润问题（基础） 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件，假定每月的销售件数y（件）是每件商品销售价格x（元）的一次函数，且． (1)求每月的销售件数y（件）关于每件商品销售价格x（元）的函数表达式； (2)若要使这种商品每月销售件数是300件，每件商品的销售价格应定为多少元？ 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）某超市分析营业数据发现将某商品销售时，日销售数量（件）和售价（元/件）在一定范围内呈一次函数关系．当售价为50元/件时每天能卖100件；当售价为80元/件时每天能卖40件． (1)求日销售数量（件）和售价（元/件）之间的函数关系式； (2)当该商品的售价为60元/件时，日销售数量为多少件？ 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）某药店以每袋8元的成本价调进一批口罩，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋（元）是一次函数关系，如图所示． (1)求销售量与定价之间的函数关系式； (2)如果药店将该口罩的销售价定为每袋15元，不考虑其它因素，求药店每天销售这种口罩所获得的利润． 4. （20-21八年级上·陕西西安·期末）纺织厂生产某种产品，每件出厂价定为80元，每件的成本是60元，由于在生产过程中平均每生产一件此种产品，就会有0.5立方米的污水排出，为了保护环境，工厂需要对污水净化处理后才能排出．已知处理1立方米污水的费用为2元，另外每月排污设备物资损耗为8000元．设该厂每月生产此产品x件（且x是整数），每月获得纯利润y元．（纯利润=总收入-总支出） （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）如果该厂本月获得的纯利润是106000元，请求出该厂在本月生产此产品的件数． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x(人)与每天利润(利润=票款收入-支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的乘车票价固定不变)： x(人) … 200 250 300 350 400 … y(元) … 0 100 200 … (1)观察表中数据可知，若要保证不亏本，该公交车每天乘客应达到多少人？ (2)请你估计一天乘客人数为500人时，利润是多少？ (3)写出y与x的关系表达式． 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）贴春联是中国春节特有的习俗之一，它以工整、对偶、简洁的文字描绘时代背景，抒发美好愿望，贴春联不仅是为了庆祝节日，也是为了表达人们对新年的美好期许和祝福春节来临之际，某超市购进一批春联进行销售，经调查发现：在一段时间内，某种春联的日销售量y（副）与售价x（元/副）成一次函数关系，其部分对应值如表所示，请根据表中信息，解答下列问题： 售价x（元/副） … 12 15 18 … 日销售量y（副） … 60 54 48 … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若这种春联的进价为5元/副，当日销售量为66副时，求这种春联的日销售利润为多少元？ 7. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）紫阳富硒茶是陕西省著名特产茶叶，此茶叶硒元素含量高，具有特种保健功效．某公司采购员到紫阳茶叶市场购买该种茶叶，商家推出了下表中的两种购买方式，设该公司此次购买茶叶的质量为，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/） 方式一：金卡会员 500 1300 方式二：银卡会员 200 1500 (1)分别求出，与x之间的函数关系式； (2)若按方式一和方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量． 8. （23-24八年级上·陕西西安·期末）某农业生态园引进种植一种新品种水果，这种水果成本为10元/千克，现将这种水果投放超市进行销售．经过调查，得到如表数据： 销售单价x（元/千克） … 10 20 25 30 … 每天销售量y（千克） … 500 400 350 300 … (1)把如表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式； (2)若该水果销售单价为32元/千克，每天的销量是多少？每天获得的利润是多少？ 一次函数应用---分配方案问题 1. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为（）件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 2. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）某省疾控中心将一批10万剂疫苗运往A，B两城市，根据预算，运往A城的费用为800元/万剂，运往B城的费用为600元/万剂．结合A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，设运输这批10万剂疫苗的总费用为y（元），运往A城x（万剂）． (1)求y与x的函数关系式； (2)在满足A城市最低需求量的情况下，求运输费用最少的方案，最少费用是多少？ 3. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买本以上，从第本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的折卖． (1)分别写出两商店优惠后的价格y（元）与购买数量x（本）之间的关系式； (2)小明要买本练习本，到哪个商店购买较省钱？请说明理由． 4. （20-21八年级上·陕西西安·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金万元，购买、两种型号的机器人共10台，其中购进型机器人台．下表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息： 型号 分拣速度 单价 100件/分钟 6万元/台 80件/分钟 4万元/台 （1）求出与之间的函数关系式； （2）若要使这10台机器人每分钟分拣快递件数总和为920件，该公司需要投入资金多少万元？ 一次函数应用---其他问题 5. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）为了鼓励小刚做家务，妈妈给他每月的费用都是由上个月小刚的家务劳动时间所得奖励和基本生活费组成．观察发现小刚下个月可获得的总费用（元）是上个月的家务劳动时间（时）的一次函数．已知当小刚上个月的家务劳动时间为小时，他下个月可获得元；当小刚上个月的家务劳动时间为小时，他下个月可获得元． (1)求与之间的函数表达式； (2)如果小刚下个月想获得元，他这个月的家务劳动时间应该是多少小时？ 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）数学就在身边．为保护学生的身心健康，现在的学生课桌、椅的高度都是可以调节的．小敏测量了一套课桌、椅原设计的四个档位桌椅高度，得到如下数据，课桌：，椅子：，他组织全班大部分同学试坐，要求根据自己身高，调节适合自己的课桌、椅高度，得到了如下对应数据： 高度/档 第一档 第二档 第三档 第四档 椅高 桌高 (1)经过对上表数据研究，小敏发现：桌高是椅高的一次函数，小敏给符合这种条件的课桌椅起了一个名字叫科学配套桌椅，请你帮助他求出一个一次函数的关系式．（不要求写出的取值范围） (2)小敏回家后，测量了自己家里的写字桌和椅子，写字桌的高度为，椅子的高度为，请你判断它们是否科学配套？说明理由． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球x（）盒． (1)请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式． (2)如果学校需要购买盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ (3)如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 8. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）随着科技的发展，人们生活节奏的加快，美团、饿了么等公司快捷方便的购物形式越来越受人们的青睐，公司订单也大量增加．某公司负责招聘外卖送餐员，具体方案如下：每月不超出750单，每单收入4元；超出750单的部分每单收入m元． (1)若某“外卖小哥”某月送了600单，收入________元； (2)若“外卖小哥”每月收入为y(元)，每月送单量为x单，y与x之间的关系如图所示，求y与x之间的函数关系式． 9. （23-24八年级上·陕西西安·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘延西高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)当时，求甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式； (2)当时，甲组挖掘了多少天？ 10. （22-23八年级上·陕西西安·期末）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过210度时，按元/度计费；月用电量超过210度时，其中的210度仍按元/度计费，超过部分按元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)小李家12月份交电费元，则小李家这个月用电多少度? 11. （22-23八年级上·陕西榆林·期末）在水果销售旺季，某水果店购进一批优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 售价（元/千克） …… 22.6 24 25.2 26 …… 销售量（千克） …… 34.8 32 29.6 28 …… (1)求销售量与售价之间的函数关系式； (2)某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天销售该水果获得的利润． 12. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为 (元），在乙采摘园所需总费用为 (元），图中折线表示与x之间的函数关系． (1)求与x之间的函数关系式、与x（只求时直线）的函数关系式； (2)当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？ 13. （22-23八年级上·陕西西安·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌10分钟后，每分钟收费______； (2)求出品牌的函数关系式； (3)求两种收费相差1.4元时，的值． 14. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1． 表1 沉沙时间 0 2 4 6 8 电子秤读数y（克） 6 18 30 42 54 探索发现： (1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点． (2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算： (3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？ (4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？ 动点函数图象 1. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(   ) A． B． C． D． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图①，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴．直线沿轴正方向平移，被矩形截得的线段的长度与平移的距离之间的函数图象如图②，那么矩形的周长为（    ） A．6 B．10 C．12 D．4 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图1，在长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，．设点的运动时间为x，的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围． (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的两条性质． 函数图象探究 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值． … … … … 的值为_____； (2)在如图平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)小明根据画出的函数图象，得出了以下几条结论，其中正确的结论是_____．（只填序号） ①函数有最大值为； ②当时，随的增大而增大； ③函数图象关于直线对称． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 乐乐根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是乐乐的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值 x … 0 1 2 3 4 … y … 2 m 0 0 1 … m的值为____________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数图象； (3)结合函数图象，写出该函数的两条性质． 一次函数应用---行程问题（提高） 1. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）年月日凌晨，甘肃省积石山发生级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜教，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．王阿姨一家也想为灾区尽自己的一份力，于是她与丈夫决定开车前往外的灾区进行支援，如图表示王阿姨离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段与之间的函数关系式； (2)求王阿姨与丈夫离开家多久后，离家的距离为千米？ 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）小辉，小辰两人分别从、两地去同一城市，他们离地的路程随时间变化的图象如图所示． (1)求小辰离地的路程关于时间的函数表达式； (2)求当他们两人在途中相遇时离地的路程． 3. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题： (1)______先到达终点（填“甲”或“乙”）；甲的速度______米/分钟； (2)求出乙比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系式； (3)甲与乙何时相遇？ 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）某校甲、乙两位老师住同一小区，该小区距离学校米，甲从小区步行去学校，出发10分钟后，乙从小区先骑共享单车与甲同路，途经学校，又骑行一段路程后到还车点，之后立即步行回学校．设甲步行的时间为x（分钟），图中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与时间x（分钟）的关系图象．    (1)分别求出甲步行、乙骑车时离开小区的路程y（米）与时间x（分钟）的函数表达式； (2)已知乙步行速度为米/分钟，则乙从还车点走到学校用了多长时间？ 5. （23-24八年级上·陕西延安·期末）骑行，是心灵的洗涤，每一步都踏着自由与梦想．周末，小宇爸爸和小轩爸爸一起骑行．他们从永宁门出发，沿着相同的道路骑行去秦岭山脚下．小宇爸爸从永宁门先出发，小时后，小轩爸爸再出发，同时，小宇爸爸减慢骑行速度继续向前骑行．小宇爸爸和小轩爸爸各自与永宁门的距离（千米）与小宇爸爸出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． 请你根据图中信息，解答下列问题． (1)小轩爸爸骑行的速度为______千米/小时． (2)求小时后小宇爸爸与永宁门的距离与之间的函数解析式，并写出的取值范围． (3)当小轩爸爸到达秦岭山脚下时，小宇爸爸还需要多长时间才能到秦岭山脚下？ 6. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）A、B两地相距260km，甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了h，甲车休息前后速度一样，如图是甲、乙两车行驶的路程与甲车的行驶时间的函数图象． (1)直接写出和的值； (2)甲车从A地到B地共用多少小时？ (3)乙车出发后，当两车相距50km时，乙车行驶了多长的时间？ 7. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，两车同时出发并以各自的速度匀速行驶．乙车中途因汽车故障停下来修理，修好后立却以原速的两倍继续前进到达B地：如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的大致图象．    (1)求B、C两地之间的距离． (2)什么时候乙追上甲 (3)当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间？ 一次函数应用---最大利润问题 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）某服装店一次性购进甲、乙两种保暖内衣共100件进行销售，甲，乙两种保暖内衣的进价与售价分别如下表所示： 甲 乙 进价 80元/件 100元/件 售价 120元/件 150元/件 设购进甲种保暖内衣的数量为x（件）． (1)除了进货成本以外，从进货到销售完这批内衣的过程中还要支付运费和销售员工工资共1000元．设销售完这批保暖内衣的总利润为y（元），请求出y与x之间的函数关系式； (2)在（1）的情况下，根据市场需求调研发现，甲种保暖内衣的购进数量x大于或等于50件，求购进甲种内衣多少件时，这批保暖内衣销售完获利最多?最多可获利多少元? 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）在某中学团支部爱心义卖活动中，准备了无人机模型和玩具车模型共100台，若售出3台无人机模型和2台玩具车模型收入130元，售出4台无人机模型和3台玩具车模型收入180元． (1)问两种模型的售价各是多少元？ (2)已知无人机模型的数量不超过66，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台时总收入最多？并求出总收入的最大值． 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元． (1)若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人多少人？ (2)由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m． ①请用含m的式子表示该车间每天的获利w（元）； ②若，求当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？ 4. （20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）某超市出售甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为每件120元，售价为每件130元；乙种商品的进价为每件100元，售价为每件150元． （1）若超市花费了36000元购进这两种商品，售完后可获得利润6000元，则该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）若超市要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品件，售完后获得的利润为元，试写出利润（元）与（件）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． （3）在（2）的条件下，若甲种商品最少购进100件，请你设计出使利润最大的进货方案，并求出最大利润． 5. （20-21八年级上·陕西西安·期末）为了落实政府的“精准扶贫”政策，某县政府准备购买、两种类型的化肥，通过市场调研得知：购买2袋种化肥和3袋种化肥共需560元；购买3袋种化肥比购买2袋种化肥多用60元． （1）每袋种化肥和种化肥各多少元？ （2）现某村组需要购买，两种类型的化肥共30袋，设购买种化肥袋，购买种化肥和种化肥的总费用为元，如果购买种化肥的数量不超过15袋，求购买这批化肥的最少费用． 一次函数应用---图形面积问题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点的坐标为，是该直线上一个动点．    (1)试写出的面积与的函数 表达式； (2)当点运动到什么位置时，的面积为，并求出此时点的坐标． 2. （20-21八年级上·陕西铜川·期末）如图，直线与轴交于点，直线经过点、，点的坐标为，且两直线相交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上有一点． (1)求点A、B、Q的坐标； (2)若点P在x轴上，且，求的面积． 4. （21-22八年级上·陕西铜川·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为4．    (1)求，，三点的坐标； (2)若动点在线段和射线上运动，当时，求点的坐标． 5. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将向下平移3个单位长度得到直线，直线与x轴交于点C，直线与x轴、y轴交于A、B两点． (1)求点A和点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)在直线上是否存在点E，使？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与直线交于点，，分别与轴交于点，． (1)请直接写出点，，的坐标； (2)点为直线上一点，当时，求点的坐标． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，直线l经过点A，并将分成而积相等的两部分，求直线l的表达式． 8. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知直线与直线交于点A． (1)求点A和点C的坐标； (2)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 9. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C． (1)求点C的坐标； (2)在直线上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10. （20-21八年级上·陕西西安·期末）平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m+1，m﹣1）． （1）试判断点P是否在直线l1：y＝x﹣2的图象上，并说明理由； （2）如图，直线l2：y＝﹣x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点C是l1与l2的交点，点D为l1与x轴的交点，求四边形OBCD的面积． 11. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，直线与轴交于点，已知直线的函数表达式为． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上的一个动点，当的面积为3时，求点的坐标． 12. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，点在线段上，直线轴于点，交直线于点． (1)求直线的函数关系式； (2)当时，求的面积． 13. （20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，直线经过点，． （1）求直线的表达式； （2）求直线：与直线及轴围成图形的面积． 14. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k、b的值； (2)请直接写出方程组的解； (3)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 15. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．    (1)求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解； (2)求的面积； (3)若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值． 16. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知点，在直线l：的图象上，直线l和一次函数的图象交于点B． (1)求直线l的表达式； (2)若点B的横坐标是1，求点B的坐标．并直接写出关于 x，y 的方程组的解； (3)在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求的面积． 一次函数应用---全等三角形问题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为，连接，过点作于点，点为线段上一个动点．    (1)的长为_____________，的长为_____________； (2)上是否存在一点，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2. （22-23八年级上·陕西榆林·期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以为边在第一象限内作长方形． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点，交于点D，求点D的坐标； (3)在第一象限内，是否存在点P（点B除外），使得与全等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知一次函数（k、b为常数，且）的图象与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该一次函数的表达式； (2)点C为点B上方y轴上的点，在该一次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数应用---特殊三角形存在问题 1. （23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交AB于点D，交x轴于点E，P是直线上一动点，且在点D的上方，设． (1)求直线的解析式； (2)当时，在第一象限内找一点C，使为等腰直角三角形，求点C的坐标． 3. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知直线（k、b为常数，且）经过点，与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该直线的函数表达式和点B的坐标； (2)在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由． 4. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）已知直线：与轴交于点，直线与轴交于点直线、交于点且点的横坐标为． (1)如图甲，过点作轴的垂线，为垂线上的一个点，是轴上的一个动点，连结、、，若，求此时点的坐标； (2)若点在过点作轴的垂线上，为轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)如图乙，点的坐标为，将直线绕点旋转，使旋转后得到的直线刚好过点，过点作平行于轴的直线，、分别为直线、上的两个动点，是否存在点、，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且与交于点． (1)求点和点的坐标 (2)求直线的表达式； (3)在线段上是否存在一点使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 7. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)直接写出点，的坐标：（ ， ），（ ， ） (2)点是轴上一点，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，过轴正半轴上的动点作直线轴，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出的值． 一次函数与几何综合 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，线段所在直线的函数表达式为，C是的中点，P是上一动点，则的最小值是 ． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知直线和，点在直线上，点在直线上，作轴于点，轴于点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，点的横坐标为 ．    3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．      4. （21-22八年级上·陕西西安·期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B（m，4-m）与点C分别是直线l及x轴上的动点，则△ABC周长的最小值为 5. （21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点B的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 ． 6. （20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，，点E在边上． （1）若点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M，将纸片沿直线折叠，顶点C恰好落在上，并与上的点G重合． ①求点G、点E的坐标； ②若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围． （2） 若点E为上的一动点，点C关于直线的对称点为G，连接，请求出线段的最小值． 7. （22-23八年级上·陕西西安·期末）（1）如图①，在中，，，点D为线段上的动点，则最小值为 ． （2）如图②，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，D为线段上的一点且平分的面积，请求出D点坐标． （3）如图③，在平面直角坐标系中，是某地市政施工的一块区域示意图，其中，米，点D坐标为．按设计要求在线段上任取一点C，以为底，在右侧作等腰直角三角形区域，取中点F，连接．现对区域进行围挡施工，为节约材料，设计要求围挡区域的周长最小，请你根据以上信息求出符合设计的的周长，并说明理由． 8. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线（k、b为常数，且）与x轴交于点，直线与交于点． (1)求点C的坐标及直线的函数表达式； (2)若点D是线段上一个动点，点D的横坐标是m，的面积是S，请求出S与m之间的函数关系式； (3)在y轴上是否存在点P，使得的值最小?若存在，求出点P的坐标及这个最小值；若不存在，请说明理由． 9. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，一动直线轴分别与直线，交于P，Q两点，l与y轴交于点M． ①若，求M的坐标． ②若，求出此时点Q的坐标． 10. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，与x、y轴分别交于点C、D，直线的函数表达式为，与x、y轴分别交于点、B，与直线交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交、于点M、点N，设点Q的横坐标为m． ①求线段的长（用含m的代数式表示）； ②当，且点N是的中点时，请求出m的值． 11. （23-24八年级上·陕西铜川·期末）如图，在平面直角坐标系中，、、为坐标轴上的三个点，且，过点的直线交直线于点，交轴于点，的面积为18． (1)求点D的坐标； (2)求直线的表达式及点E的坐标； (3)过点C作，交直线于点F，求点F的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$