专题03 位置与坐标（7基础题型+6提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（陕西专用）

专题03 位置与坐标 有序数对表示位置 1. （19-20八年级上·陕西西安·期末）下列数据不能确定物体位置的是（    ） A．电影票排号 B．北偏东 C．希望路号 D．东经，北纬 2. （21-22八年级上·陕西西安·期末）2021年6月17日神舟十二号飞船于在甘肃酒泉发射升空，在太空驻留90天后于9月14日返回地球，下列描述能确定飞船着陆位置的是（    ） A．内蒙古中部 B．酒泉卫星发射中心东南方向处 C．东经 D．北纬 3. （22-23八年级上·陕西汉中·期末）电影票排号记为，则表示 ． 4. （20-21八年级上·陕西西安·期末）已知小红从点O出发，先向西走20米，再向北走10米，到达点C，如果点C的位置用表示，那么用表示的位置的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 平面直角坐标系内坐标轴上点、象限点特征 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限为(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）在下列所给的坐标中，在第三象限的点是（ ） A． B． C． D． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若点在轴上．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在y轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若点在x轴上，则点所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6. （22-23八年级上·陕西·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7. （21-22八年级上·陕西西安·期末）已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）设，为实数，且，则点在第 象限． 9. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知平面直角坐标系． (1)在图中描出点，，． (2)写出图中点E，G的坐标． 平面坐标系内点到坐标轴的距离 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）已知第三象限的点，那么点P到x轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．5 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知点在第二象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知在平面直角坐标系中，点在第三象限，且点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 4. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点在第三象限，且Р到x轴和y轴的距离分别为8和5，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 5. （21-22八年级上·陕西榆林·期末）已知在平面直角坐标系中，点在第一象限，且点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为1，若点N的坐标为，则点N到坐标原点O的距离的长为（    ） A．3 B． C． D．5 6. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，则点A的坐标为 ． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等，则m的值是 ． 8. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知点在第二象限，且到轴的距离与它到轴的距离相等，则 ． 9. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，则的值为 ． 10. （22-23八年级上·陕西西安·期末）已知平面直角坐标系中，点到坐标原点距离为10，则m的值为 ． 平面直角坐标系平行于坐标轴的直线上点的特征 1. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）已知点，点，且直线轴，则a的值为（　　） A． B．7 C．1 D． 2. （21-22八年级上·陕西西安·期末）已知在平面直角坐标系中，有，两点，若轴，则、两点间的距离为 ． 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知所在直线与轴平行，且点A在点的左侧，若点A的坐标为，，则点的坐标是 ． 4. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若轴于点，则点的坐标为 ． 建立坐标系表示位置 1. （20-21八年级上·陕西西安·期末）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用，表示教学楼，，表示旗杆，则实验楼的位置可表示成(　　)    A． B． C． D． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）小美家（A）、小明家（B）、小丽家（C）在同一个小区，位置如图所示，如果小美家（A）的位置用表示，小明家（B）的位置用表示，那么小丽家（C）的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，这是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，黑棋①的坐标为，则白棋④的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若长方形的三个顶点坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标是 ． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图是象棋盘的一部分，若“帅”用有序实数对表示，“相”用有序实数对表示，则“炮”用有序实数对 表示． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）某中学参加运动会开幕式表演，为了使表演方队整齐有序，需要在操场上标记若干个关键点，如图是几个关键点的位置，若建立平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 7. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图所示的是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部 两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶“翅膀顶端” 点的坐标为 ． 8. （19-20八年级上·陕西宝鸡·期末）已知，如图所示，在长方形中，，． （1）建立适当的平面直角坐标系，直接写出顶点、、、的坐标； （2）写出顶点关于直线对称的点的坐标． 9. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点在图中的位置如图所示，点的坐标为． (1)根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； (2)在图中画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标． 10. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在正方形网格中，点A的坐标为，点B 的坐标为 (1)在图中建立适当的坐标系，则点C的坐标为 ； (2)画出关于x轴对称的． 11. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、在图中的位置如图所示，点C的坐标为． (1)根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； (2)在图中画出关于y轴对称的，并写出点C的对应点的坐标． 12. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、在图中的位置如图所示，点C的坐标为． (1)根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； (2)在图中画出关于y轴对称的，并写出点C的对应点的坐标． 轴对称与坐标 1. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）点和点关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 2. （23-24八年级上·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．8 B． C．0 D． 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，A，两处灯笼的位置关于轴对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 5. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ． 6. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）已知点与点关于x轴对称，则的值为 ． 7. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）若，则点关于y轴对称的点的坐标为 ． 坐标系内画轴对称图形 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，在图中作出关于轴对称的，并分别写出点，的对应点、的坐标． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且点A、B、C的坐标分别为，，. (1)在图中画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别是，，； (2)在（1）的条件下，分别写出点，，的坐标. 3. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)请画出关于轴的对称图形，点，，的对应点分别为，，； (2)在（1）的条件下，直接写出，，三点的坐标． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为点、、，与关于轴对称，其中、、分别是点、、的对应点．    (1)画出； (2)写出点、、的坐标． 5. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)在图中建立适当的坐标系，并写出点C的坐标； (2)画出关于y轴对称的． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，按下列要求作图： (1)描出下列各点：，，，并顺次连接得到； (2)作关于轴对称的图形． 7. （23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，A，B，C三点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形，点A，B，C的对应点分别是点，，； (2)在（1）的条件下，请直接写出三个顶点的坐标． 8. （23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的，点的对应点分别为，，； (2)请写出点，的坐标：（______，______），（______，______）． 9. （23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为、、，与关于y轴对称，其中点、、分别是点A、B、C的对应点． (1)画出； (2)写出点、、的坐标． 根据点特征求点坐标 1. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）若点和点都在过点且与轴平行的直线上，且，求点的坐标． 2. （20-21八年级上·陕西西安·期末）已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为16，求点的坐标． (2)若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 3. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）已知点，试分别根据下列条件，求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点到两坐标轴的距离相等． 4. （21-22八年级上·陕西西安·期末）已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点P为“新奇点”． (1)判断点是否为“新奇点”，并说明理由； (2)若点是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 6. （22-23八年级上·陕西西安·期末）已知点，解答下列各题． (1)若点P在x轴上方，且到x轴的距离为4个单位，试求出点P的坐标； (2)若Q（5，8），且轴，试求出点P的坐标． 平面坐标系内面积问题 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知，，点是轴上一点，且的面积为12，则点的坐标为 ． 2. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知，，. (1)作关于x轴对称的； (2)写出点的坐标：________； (3)________. 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，    (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______． (3)已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)画出关于x轴对称的图形,并写出点的坐标． (2)求的面积． 线段和最小问题 1. （23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)在x轴上找一点P，使得的值最小，标出点P的位置． 2. （23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)在图中画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在图中轴上求作一个点，使得的值最小． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点位置如图所示． (1)请画出关于x轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； (2)直接写出三点的坐标：__________，__________，__________； (3)求的长为__________． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标，，． (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)在y轴上找一个点P，使得的周长最小，在图中标出点P的位置； (3)求的面积． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)求的面积． (3)在y轴上找出点Q，使的周长最小． 6. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的； (3)点的坐标为__________； (4)直接写出的周长为__________． 坐标系内全等三角形 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，，，点，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2. （21-22八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 3. （22-23八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在x轴上运动（不与点A重合），点D在y轴上运动（不与点B重合），当以点C、O、D为顶点的三角形与全等时，则点D的坐标为 ． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使以A，B，D为顶点的三角形与全等（点D不与点C重合），那么点D的坐标是 . 轴对称综合 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ．    2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，以为边在外作，且，则的最小值是 ． 3. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，AC＝12，BC＝5，若M，N分别是AD，AC上的动点，则CM＋MN的最小值为 ． 坐标系内综合探究题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点点点．当P是边上的一点（点P不与点A，B重合），沿着折叠该纸片，得点A的对应点． (1)如图①，当点在第一象限，且满足时，则点的坐标为________； (2)如图②，当在y轴上时，求P点坐标_______． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，点在第一象限，点在轴负半轴上． (1)求的面积． (2)坐标轴上是否存在点（不和点重合），使？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与轴正半轴形成的夹角为，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，当转动一周时两者都停止运动．若两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过多长时间，？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 位置与坐标 有序数对表示位置 1. （19-20八年级上·陕西西安·期末）下列数据不能确定物体位置的是（    ） A．电影票排号 B．北偏东 C．希望路号 D．东经，北纬 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、电影票排号，物体的位置明确，故本选项错误； B、北偏东30°，无法确定物体的具体位置，故本选项正确； C、希望路25号，物体的位置明确，故本选项错误； D、东经118°，北纬40°，物体的位置明确，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键． 2. （21-22八年级上·陕西西安·期末）2021年6月17日神舟十二号飞船于在甘肃酒泉发射升空，在太空驻留90天后于9月14日返回地球，下列描述能确定飞船着陆位置的是（    ） A．内蒙古中部 B．酒泉卫星发射中心东南方向处 C．东经 D．北纬 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】根据坐标确定位置需要两个数据解答． 【详解】解：酒泉卫星发射中心东南方向1000km处能确定位置． 故选：B． 【点睛】本题考查了确定位置，理解确定位置需要两个数据是解题的关键． 3. （22-23八年级上·陕西汉中·期末）电影票排号记为，则表示 ． 【答案】排号 【难度】0.94 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中，点与有序实数对一一对应．根据题意知第一个数字表示排数、第个数字表示号数，由此解答可得． 【详解】解：根据题意，排号记为， 则表示排号， 故答案为：排号． 4. （20-21八年级上·陕西西安·期末）已知小红从点O出发，先向西走20米，再向北走10米，到达点C，如果点C的位置用表示，那么用表示的位置的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据C点的坐标以及点的移动可判断横坐标向西为负东为正，纵坐标向北为正南为负，据此即可得出用表示的位置的点． 【详解】解：∵从点O出发，先向西走20米，再向北走10米，到达点C，点C的位置用表示， ∴表示由O点向东走10米，向下走10米，表示的点是D点． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解横纵坐标的意义是解题关键． 平面直角坐标系内坐标轴上点、象限点特征 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限为(   ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点的横坐标小于，纵坐标大于判断即可． 【详解】解：∵ ∴在第四象限 故选：D． 2. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）在下列所给的坐标中，在第三象限的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：、在第四象限，故A不符合题意； B、在第一象限，故B不符合题意； C、在第三象限，故C符合题意； D、在第二象限，故D不符合题意； 故选：C． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若点在轴上．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是掌握在轴上的点的特征．由点在轴上可得，求出值即可求解． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， 将代入中，得， 点的坐标为， 故选：B． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在y轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，根据轴上的点横坐标为0，可得，从而求出点的坐标，即可解答．熟练掌握轴上的点横坐标为0是解题的关键． 【详解】解：∵在y轴上， ∴，则，， ∴点在第四象限． 故选：D． 5. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）若点在x轴上，则点所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】根据点P在x轴上，可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：点在x轴上， ∴， ∴， ∴点所在象限是第二象限， 故选：B． 6. （22-23八年级上·陕西·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断点所在的象限 【分析】由题意知，则，进而可得答案． 【详解】解：由题意知， ∴， ∴在第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了象限中的点坐标．解题的关键在于熟练掌握各象限中点坐标的特征． 7. （21-22八年级上·陕西西安·期末）已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】由第二象限点坐标特点：横坐标小于0，求出m的范围即可． 【详解】解：∵点P（2m-3，1）在第二象限， ∴2m-3＜0， 解得：m＜， 故选B． 【点睛】此题考查了根据点所在的象限求参数取值范围，弄清第二象限点坐标特征是解本题的关键． 8. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）设，为实数，且，则点在第 象限． 【答案】四 【难度】0.65 【知识点】判断点所在的象限、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查判断点所在的象限，二次根式有意义的条件，根据题意，得到，进而求出的值，根据象限内点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在第四象限； 故答案为：四． 9. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知平面直角坐标系． (1)在图中描出点，，． (2)写出图中点E，G的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中描点 【分析】本题考查了坐标系中点的坐标特点， （1）根据四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，即可求解； （2）根据四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点A，B，C即为所求． （2）解：点，． 平面坐标系内点到坐标轴的距离 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）已知第三象限的点，那么点P到x轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：点到x轴的距离为． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标到坐标轴的距离，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知点在第二象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，熟记相关基础知识是解决本题的关键．根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为3，到轴的距离为1， ∴点P的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3， 点在第二象限， ， 故选：． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知在平面直角坐标系中，点在第三象限，且点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】绝对值方程、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，根据点在第三象限，且点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，建立等式，即可求解． 【详解】解：点在第三象限， ，， 点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍， ，即，整理得， 故选：C． 4. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点在第三象限，且Р到x轴和y轴的距离分别为8和5，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】根据点的坐标的几何意义及点在第三象限内的坐标符号的特点解答即可． 【详解】解：∵点P在第三象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为8，5， ∴点P的横坐标是，纵坐标是，即点P的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点在第三象限时点的坐标的符号，以及横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离． 5. （21-22八年级上·陕西榆林·期末）已知在平面直角坐标系中，点在第一象限，且点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为1，若点N的坐标为，则点N到坐标原点O的距离的长为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、已知两点坐标求两点距离 【分析】先根据点M在第一象限，且点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为1，求得，的值，再根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：∵点在第一象限，且点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为1， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查点的坐标，两点间的距离公式，解题的关键是正确得出，的值． 6. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，则点A的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键．由于点A在第二象限，故横坐标为负数，纵坐标为正数即可得到答案． 【详解】解：由于点A在第二象限，且到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度， 故点A的坐标为． 故答案为：． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等，则m的值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第四象限内点的坐标特点，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，第四象限内的点纵坐标为负，据此得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等， ∴， ∴， 故答案为：． 8. （23-24八年级上·陕西西安·期末）已知点在第二象限，且到轴的距离与它到轴的距离相等，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了点的坐标．根据点在第二象限，且到轴的距离与它到轴的距离相等，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， 根据题意得： ， 所以， 解得（舍去）或． 故答案为：． 9. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，则的值为 ． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，根据点A的特点列出关于m、n的关系式是解题的关键．根据点在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，可得出，即可求解． 【详解】解：∵点在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：0． 10. （22-23八年级上·陕西西安·期末）已知平面直角坐标系中，点到坐标原点距离为10，则m的值为 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与图形 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意列出关于的方程是解题的关键．在平面直角坐标系中，利用勾股定理得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得： 两边平方得： 移项： 解得：或 故答案为或 平面直角坐标系平行于坐标轴的直线上点的特征 1. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）已知点，点，且直线轴，则a的值为（　　） A． B．7 C．1 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】坐标与图形 【分析】根据平行于y轴的直线上的点的坐标特征：横坐标相等进行解答即可． 【详解】解：∵点，点，且直线轴， ∴，解得， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解答的关键． 2. （21-22八年级上·陕西西安·期末）已知在平面直角坐标系中，有，两点，若轴，则、两点间的距离为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、两点间的距离 【分析】利用与轴平行的直线上点的坐标特征得到，求出得到、点的坐标，然后计算它们的纵坐标之差得到、两点间的距离； 【详解】解：∵轴， ∴ 点和点的横坐标相等， ∴， 解得：， ∴，， ∴、两点间的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查两点间的距离公式，与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征．理解和掌握两点间的距离公式是解题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）已知所在直线与轴平行，且点A在点的左侧，若点A的坐标为，，则点的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，根据点的特征求解是解题的关键；由所在直线与轴平行可知，B点的纵坐标与A点纵坐标相同，可求出的纵坐标，由，可求出的横坐标． 【详解】解：所在直线与轴平行，点A的坐标为， ∴B点的纵坐标与A点纵坐标相同，即的纵坐标是2， ，点A在点的左侧， 的横坐标是， 点的坐标是， 故答案为：． 4. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是掌握坐标轴上点的坐标特点．根据点在轴上且轴，即可求出点坐标． 【详解】解：轴于点，点A的坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 建立坐标系表示位置 1. （20-21八年级上·陕西西安·期末）如图所示的是一所学校的平面示意图，若用，表示教学楼，，表示旗杆，则实验楼的位置可表示成(　　)    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示：实验楼的位置可表示成． 故选：D．    2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）小美家（A）、小明家（B）、小丽家（C）在同一个小区，位置如图所示，如果小美家（A）的位置用表示，小明家（B）的位置用表示，那么小丽家（C）的位置可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，再建立坐标系，进而得出答案． 【详解】解：如图，建立坐标系如下： ∴， 故选B 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，这是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为，黑棋①的坐标为，则白棋④的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标的应用；根据白棋②的坐标得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，可建立如图所示平面直角坐标系：    则黑棋④的坐标是， 故选：C． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，若长方形的三个顶点坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形 【分析】本题考查了平行线的坐标特点．设第四个顶点的坐标为，根据题意可求出长方形的宽为，长为，从而得到，计算即可． 【详解】解：设第四个顶点的坐标为， ∵长方形的三个顶点坐标分别是，，， ∴长方形的宽为，长为， ∴， 解得， 即第四个顶点坐标为， 故答案为：． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图是象棋盘的一部分，若“帅”用有序实数对表示，“相”用有序实数对表示，则“炮”用有序实数对 表示． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】根据“帅”用有序实数对表示，“相”用有序实数对表示，进而写出“炮”的坐标即可求解． 【详解】解：∵“帅”用有序实数对表示， “相”用有序实数对表示， ∴“炮”用有序实数对表示． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）某中学参加运动会开幕式表演，为了使表演方队整齐有序，需要在操场上标记若干个关键点，如图是几个关键点的位置，若建立平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了点坐标．熟练掌握平面直角坐标系的建立是解题的关键． 根据点A的坐标为，点B的坐标为，建立平面直角坐标系，进而可求点C的坐标． 【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如下： ∴点C的坐标为， 故答案为：． 7. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图所示的是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部 两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶“翅膀顶端” 点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查点的坐标，先根据点A、B坐标画出平面直角坐标系，进而可得点C的坐标． 【详解】解：由两点的坐标分别为，，可得如图所示的平面直角坐标系， 则点C坐标为， 故答案为：． 8. （19-20八年级上·陕西宝鸡·期末）已知，如图所示，在长方形中，，． （1）建立适当的平面直角坐标系，直接写出顶点、、、的坐标； （2）写出顶点关于直线对称的点的坐标． 【答案】（1）见解析，；（2） 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索、实际问题中用坐标表示位置 【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，然后写出各点的坐标即可； （2）根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答． 【详解】解：（1）建立平面直角坐标系如图， ； （2）∵点C（4，3）， C和E关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称，比较简单，确定出坐标原点的位置是解题的关键． 9. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点在图中的位置如图所示，点的坐标为． (1)根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； (2)在图中画出关于轴对称的，并写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形： （1）根据A、B的坐标确定出原点和坐标轴的位置，进而建立坐标系，再描出点C，最后顺次连接A、B、C即可； （2）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点，然后描出，最后顺次连接即可． 【详解】（1）解：坐标系及如图所示， （2）解：如图所示， ． 10. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在正方形网格中，点A的坐标为，点B 的坐标为 (1)在图中建立适当的坐标系，则点C的坐标为 ； (2)画出关于x轴对称的． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了作图，轴对称变换，坐标与图形． （1）根据点A的坐标建立坐标系即可，故可得到点C的坐标； （2）根据图形，找出关于x轴对称的对应点即可画出图形． 【详解】（1）解：直角坐标系如图所示， ； 故答案为：； （2）解：如图所示． 11. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、在图中的位置如图所示，点C的坐标为． (1)根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； (2)在图中画出关于y轴对称的，并写出点C的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，点C的对应点的坐标为 【难度】0.94 【知识点】坐标与图形、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查根据题中已知点建立平面直角坐标系及轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质． （1）根据点、坐标可建立坐标系； （2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可． 【详解】（1）建立平面直角坐标系如图所示； 如图所示． （2）如图所示； 点C的对应点的坐标为． 12. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、在图中的位置如图所示，点C的坐标为． (1)根据题目信息，在图中建立平面直角坐标系，并画出； (2)在图中画出关于y轴对称的，并写出点C的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标和图形，作轴对称图形，解题的关键是作出对应点的位置． （1）根据点A、B的坐标，建立平面直角坐标系，然后画出即可； （2）先作点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形，点的坐标为． 轴对称与坐标 1. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）点和点关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于轴对称的点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出的值，再代入到中计算即可求解，掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴， 故选：． 2. （23-24八年级上·陕西安康·期末）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标．根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标为． 故选：B． 3. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．8 B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的特征，根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴ ∴ ∴ 故选：A． 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，A，两处灯笼的位置关于轴对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特点，如果两个点关于轴对称，那么这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，则关于轴对称的点的坐标为． 故选：B 5. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 6. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）已知点与点关于x轴对称，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的两点的坐标特征，根据关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标不变，纵坐标变为其相反数，即可求得a与b的值，从而求得其和． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 7. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）若，则点关于y轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，先利用非负性求出a，b的值，再利用关于y轴对称的点的特征即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 点关于y轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 坐标系内画轴对称图形 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，在图中作出关于轴对称的，并分别写出点，的对应点、的坐标． 【答案】作图见解析，点的坐标为，点的坐标为． 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图、写出轴对称变化的点的坐标，作出点，关于轴的对称点，，顺次连接即可得到，解题的关键是运用轴对称的性质得到对称点的位置． 【详解】如图，作出点，，关于轴的对称点，， ∴即为所求． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，且点A、B、C的坐标分别为，，. (1)在图中画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别是，，； (2)在（1）的条件下，分别写出点，，的坐标. 【答案】(1)见解析 (2)点，，的坐标分别为，，． 【难度】0.85 【知识点】画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】 （1）本题考查轴对称作图，根据与关于y轴对称，找出点A，B，C关于y轴对称的对应点，，，再依次连接对应点，即可解题． （2）本题考查平面直角坐标系中点的坐标，根据（1）中的图，写出坐标即可． 【详解】（1）解：所画的如图所示： （2）解：由图知，点，，的坐标分别为，，． 3. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)请画出关于轴的对称图形，点，，的对应点分别为，，； (2)在（1）的条件下，直接写出，，三点的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)、、 【难度】0.85 【知识点】画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查利用轴对称变换作图，写出坐标系中点的坐标， （1）根据轴对称变换的定义和性质作出点，，关于轴的对称点，再顺次连接可得； （2）根据点、、在坐标系中的位置写出坐标即可； 熟练掌握平面直角坐标系并根据轴对称变换的定义和性质准确找出各点的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，点、、分别是点、、关于轴对称的对称点， 连接、、， 则即为所作； （2）如图，的坐标为、的坐标为、的坐标为． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为点、、，与关于轴对称，其中、、分别是点、、的对应点．    (1)画出； (2)写出点、、的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)、、 【难度】0.85 【知识点】画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查利用轴对称变换作图，写出坐标系中点的坐标， （1）根据轴对称变换的定义和性质作出点，，关于轴的对称点，再顺次连接可得； （2）根据点、、在坐标系中的位置写出坐标即可； 熟练掌握平面直角坐标系并根据轴对称变换的定义和性质准确找出各点的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，点、、分别是点、、关于轴对称的对称点， 连接、、， 则即为所作；    （2）如图，的坐标为、的坐标为、的坐标为． 5. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)在图中建立适当的坐标系，并写出点C的坐标； (2)画出关于y轴对称的． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形 【分析】本题主要考查了作图，轴对称变换，坐标与图形，解决本题的关键是根据点的坐标建立平面直角坐标系． （1）根据点A的坐标建立坐标系即可，故可得到点C的坐标； （2）根据图形，找出关于y轴对称的对应点即可画出图形． 【详解】（1）解：如图，； （2）解：如图． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，按下列要求作图： (1)描出下列各点：，，，并顺次连接得到； (2)作关于轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.85 【知识点】坐标系中描点、画轴对称图形 【分析】本题主要考查坐标与图形及轴对称的性质； （1）先在坐标系中描点，然后连线即可； （2）根据轴对称的性质得出点的坐标，然后连线即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 7. （23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，A，B，C三点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的图形，点A，B，C的对应点分别是点，，； (2)在（1）的条件下，请直接写出三个顶点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查关于y轴对称点坐标特点，画轴对称图形． （1）根据题意可知关于y轴对称纵坐标不变横坐标互为相反数，分别求出A，B，C的对应点，并连接即可得到； （2）由（1）知即可得到三个顶点的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴关于y轴对称：，，， 画图如下： ； （2）解：由（1）知：，，． 8. （23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的，点的对应点分别为，，； (2)请写出点，的坐标：（______，______），（______，______）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【难度】0.65 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作出点的对应点分别为，，，再顺次连接即可； （2）由图即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：由图可得：，， 故答案为：，，，． 9. （23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为、、，与关于y轴对称，其中点、、分别是点A、B、C的对应点． (1)画出； (2)写出点、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)、、 【难度】0.85 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）根据（1）所求，写出对应点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可知，、、． 根据点特征求点坐标 1. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）若点和点都在过点且与轴平行的直线上，且，求点的坐标． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、已知点所在的象限求参数、两点间的距离 【分析】与x轴平行的直线上点的特点是纵坐标都相等，根据这个性质即可求解． 【详解】∵点Q在过点且与x轴平行的直线上， ∴点P和点Q的纵坐标均为3， ∴，解得， ∴ 又∵， ∴Q点的横坐标为0或， ∴Q点的坐标为或． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的特点；熟练掌握平面直角坐标系中与坐标轴平行的直线上点的特点是解题的关键． 2. （20-21八年级上·陕西西安·期末）已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在第三象限，且到两坐标轴的距离之和为16，求点的坐标． (2)若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点或 【难度】0.65 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特点和点到坐标轴的距离等知识． （1）根据点在第三象限得到，，根据点到两坐标轴的距离之和为16，列出方程，解方程，即可求出点的坐标； （2）根据点到两坐标轴的距离相等得到，进而得到或，从而求出或，即可得到点或． 【详解】（1）解：点在第三象限， ，， ，， ∵点到两坐标轴的距离之和为16， ， 解得， ，， 故点的坐标为； （2）解：点到两坐标轴的距离相等， ， 或， 解得或， 当时，，， 当时，，， 点或． 3. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）已知点，试分别根据下列条件，求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点到两坐标轴的距离相等． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为或 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离 【分析】（1）根据横坐标为0列方程求出的值，再求解即可； （2）根据点到两坐标轴的距离相等，横坐标与纵坐标相等或互为相反数列方程求出的值，再求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解之得，， ， 点的坐标为， 故点在轴上时，点的坐标为； （2）解：根据题意得：或， 解之得：或， 或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于轴的直线上的点的坐标特征，难点在于（2）要考虑两种情况． 4. （21-22八年级上·陕西西安·期末）已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点P为“新奇点”． (1)判断点是否为“新奇点”，并说明理由； (2)若点是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由． 【答案】(1)点是“新奇点”，理由见解析 (2)点M在第三象限，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算、判断点所在的象限 【分析】（1）根据“新奇点”的定义判定即可； （2）根据“新奇点”的定义，得方程．求解得出m的值，从而求出点M的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：点是“新奇点”， 理由如下：已知点，因为， 所以． 所以点是“新奇点”． （2）解：点M在第三象限．理由如下： 因为点是“新奇点”，所以． 解得． 所以，． 所以点M在第三象限． 【点睛】本题考查新定义，根据点的坐标确定点所在的象限．解题关键是理解新定义，掌握平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征： （1）根据题意得到，解答即可； （2）根据题意得到点横、纵坐标互为相反数，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， （2）解：在第二、四象限的角平分线上， ， ， ． 6. （22-23八年级上·陕西西安·期末）已知点，解答下列各题． (1)若点P在x轴上方，且到x轴的距离为4个单位，试求出点P的坐标； (2)若Q（5，8），且轴，试求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】（1）根据题意列出等式求出m的值即可解决问题； （2）根据轴，可得点P的横坐标为5，结合题意，列出等式即可解决问题． 【详解】（1）∵点P在x轴上方，且到x轴的距离为4个单位， ∴，即， ∴，， ∴点P的坐标为； （2）∵轴， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查坐标轴内点的特征和坐标轴内平行线的性质，解题的关键是掌握坐标轴内点的特征和坐标轴内平行线的性质． 平面坐标系内面积问题 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知，，点是轴上一点，且的面积为12，则点的坐标为 ． 【答案】或/或 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离 【分析】根据题意得出，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：如图， 过点作轴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了坐标与图形，分类讨论是解题的关键． 2. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知，，. (1)作关于x轴对称的； (2)写出点的坐标：________； (3)________. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】利用网格求三角形面积、画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）分别作出点、、关于轴的对称点，再顺次连接可得； （2）根据图示得出坐标即可； （3）根据割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）解：； 故答案为：； （3）解：， 故答案为：7． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，    (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______． (3)已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 【答案】(1)图形见解析 (2) (3)或 【难度】0.85 【知识点】坐标系中描点、写出直角坐标系中点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，轴对称的性质， （1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形 （2）根据关于y轴对称的点的坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案 （3）由P为x轴上一点，的面积为1，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：如下图所示．    （2）∵点D与点C关于y轴对称，， ∴点的坐标与C点的坐标横坐标相反，纵坐标相同，即为. （3）∵P为x轴上一点，且的面积为1， 即 ∴ ∴ ∵， ∴点P的横坐标为：或， ∴点P的坐标为或． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)画出关于x轴对称的图形,并写出点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)11.5 【难度】0.65 【知识点】利用网格求三角形面积、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、割补法求三角形面积，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数找到对顶点的位置，然后顺次连接即可得出，由图即可得出的坐标； （2）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：． 线段和最小问题 1. （23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)在x轴上找一点P，使得的值最小，标出点P的位置． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、两点之间线段最短 【分析】本题考查了坐标的对称问题，熟练掌握对称点坐标的计算，正确作图是解题的关键． (1)根据纵不变，横相反，计算坐标，并画图即可． (2)作出点C关于x轴的对称点M，连接，交x轴于点P，点P即为所求． 【详解】（1）∵与关于y轴成轴对称，，，， ∴，画图如下： 则即为所求，且． （2）作出点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，画图如下： 则点P即为所求． 2. （23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)在图中画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在图中轴上求作一个点，使得的值最小． 【答案】(1)，画图见解析，点的坐标为 (2)画图见解析 【难度】0.85 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形 【分析】此题考查了作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）根据轴对称的性质确定，，三点，再顺次连接即可； （2）由，关于x轴对称，再连接与x轴交点即为点P． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； ． 点的坐标为． （2）如图，P即为所求，   ． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点位置如图所示． (1)请画出关于x轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； (2)直接写出三点的坐标：__________，__________，__________； (3)求的长为__________． 【答案】(1)见解析； (2)，，； (3) 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）根据轴对称的性质先确定点，，，再顺次连接即可； （2）根据画出的图形即可写出答案； （3）根据勾股定理求解． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）由图形可得：，，； （3）如图，． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中轴对称作图以及勾股定理等知识，属于基础题目，熟练掌握上述基本知识是解题关键． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标，，． (1)在图中作出关于y轴对称的图形； (2)在y轴上找一个点P，使得的周长最小，在图中标出点P的位置； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【难度】0.85 【知识点】利用网格求三角形面积、线段问题(轴对称综合题)、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质，连接，交y轴于点P，点P即为所求； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求； （3）解：； 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)求的面积． (3)在y轴上找出点Q，使的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形、坐标与图形 【分析】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得； （2）先写出点的坐标，再根据点坐标关于轴对称的变换规律即可得； （3）连接，交轴于点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）的面积； （3）如图，点即为所求． 理由：由轴对称的性质得：， 的周长为， 当取最小值时，的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则与轴的交点即为所求． 6. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的； (3)点的坐标为__________； (4)直接写出的周长为__________． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)（2,1）； (4)/． 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据C点坐标确定原点位置，然后作出坐标系即可； （2）首先确定A、B、C三点关于y轴对称的点的位置，再连接即可； （3）根据第（2）步即可确定点的坐标； （4）根据勾股定理求出， ，，即可求出△ABC的周长，进而求出的周长． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图； （2）解：如图所示，即为所求作 的三角形； （3）解：由图得的坐标为（2,1）； 故答案为：（2,1）； （4）解根据勾股定理得， ，， ∴△ABC的周长为， ∴的周长为． 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了轴对称与平面直角坐标系，勾股定理等知识，熟知平面直角坐标系中点的对称的特点，画出，熟知勾股定理是解题关键． 坐标系内全等三角形 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，，，点，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过C和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过C和B分别作于D，于E， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴ ∴则B点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是作垂线构造全等三角形． 2. （21-22八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、图形的全等 【分析】根据题意画出图形，分别以为边、根据直角三角形全等的判定定理作出符合条件的三角形即可． 【详解】解：如图：分别以为边作与全等的三角形各有4个，其中有5个是重合的， 则所有符合条件的三角形个数为7． 故选：D． 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定，坐标与图形的性质，灵活运用分情况讨论思想、根据直角三角形全等的判定定理不重不漏的找出所有符合条件的三角形是解题的关键． 3. （22-23八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在x轴上运动（不与点A重合），点D在y轴上运动（不与点B重合），当以点C、O、D为顶点的三角形与全等时，则点D的坐标为 ． 【答案】或或 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、全等三角形的性质 【分析】根据题意可得，然后根据全等三角形的性质分两种情况解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 当时，， 此时点D的坐标为或（舍去）； 当时，， ∴点D的坐标为或； 综上所述，点D的坐标为或或． 故答案为：或或 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，熟练掌握坐标与图形的性质，全等三角形的性质是解题的关键． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使以A，B，D为顶点的三角形与全等（点D不与点C重合），那么点D的坐标是 . 【答案】或或 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、全等三角形的概念 【分析】根据题意画出图形，根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：符合题意的有3个，如图， ∵点A、B、C坐标为，，， ∴的坐标是，的坐标是，的坐标是， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大． 轴对称综合 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、勾股定理与折叠问题 【分析】首先由折叠的性质可知，，然后根据勾股定理可解得，易得点的坐标，设点坐标为，则有，，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案． 【详解】解：由折叠可知，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设点坐标为， 则，， 在中，可有， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，以为边在外作，且，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】与线段有关的动点问题、用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】根据，，求出点D到线段的距离为2，根据对称性，可求得的最小值即为的长度． 【详解】∵， ∴点D到线段的距离为2 过点D作直线，作点A关于直线的对称点，连接，与交于点，此时点的位置使的值最小， 根据对称性可知 ∴的最小值即为 ∵点D到线段的距离为2 ∴ 过点A、点B构造直角三角形， ，，， 四边形为矩形 ∴， ∴ 根据勾股定理得 ∴的最小值是 故答案为：． 【点睛】本题考查线段和最小值的问题，解题的关键是明确的最小值即为的长度． 3. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，AC＝12，BC＝5，若M，N分别是AD，AC上的动点，则CM＋MN的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】两点之间线段最短、三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】在AB上作点N关于AD的对称点F，连接MF，CF，过点C作CE⊥AB于点E，那么，当点F与点E重合，且点M在CE上时，，此时CM+MN取得最小值，根据勾股定理求出AB，根据，求得，即CM+MN的最小值为． 【详解】如图，∵AD平分∠BAC， ∴作点N关于AD的对称点F，连接MF，CF， 过点C作CE⊥AB于点E， ∴MN=MF， ∴， 当点F与点E重合，且点M在CE上时， ， 此时CM+MN的值最小， ∵∠C=90°， ∴， ∵AC=12，BC=5， ∴AB=13， ∵， ∴， ∴CM+MN的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称，最小值，勾股定理，解决问题的关键是熟练运用对称轴上的点到两个对称点的距离相等，三角形中任意两边的和大于第三边，两点之间线段最短，直角三角形中斜边大于直角边，垂线段最短，勾股定理． 坐标系内综合探究题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点点点．当P是边上的一点（点P不与点A，B重合），沿着折叠该纸片，得点A的对应点． (1)如图①，当点在第一象限，且满足时，则点的坐标为________； (2)如图②，当在y轴上时，求P点坐标_______． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、坐标与图形 【分析】本题考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）利用勾股定理求出，可得结论； （2）如图，过点作于点于点，利用角平分线的性质定理证明，再利用面积法求出，可得结论； 【详解】（1）解：∵， 故答案为：； （2）如图，过点作于点于点， 由翻折的性质可知，， 设， 解得 故答案为：． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，点在第一象限，点在轴负半轴上． (1)求的面积． (2)坐标轴上是否存在点（不和点重合），使？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与轴正半轴形成的夹角为，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，当转动一周时两者都停止运动．若两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过多长时间，？ 【答案】(1) (2)存在点（不和点重合），点D的坐标是或或； (3)秒或秒 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用、几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形 【分析】（1）由点，得又由即可求得的面积； （2）分点D在x轴上和点D在y轴上，根据分别列方程进行求解即可； （3）设两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过秒，，根据平行线的判定列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴的面积, 即的面积为． （2）当点D在x轴上时，设点， 则， ∵， ∴，即， ， 或， ∴点坐标为或； 当点D在y轴上时，设点， 则， ∵， ∴，即， ， 或（不合题意，舍去）， ∴， 综上所述，存在点（不和点重合），点D的坐标是或或； （3）解：设两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过秒，， 如图1， 根据同位角相等，两直线平行得，， 解得，， 即经过秒时，； 如图2， 根据内错角相等，两直线平行得，， 解得，， 即经过秒时，； 综上所述，在旋转过程中，经过秒或秒，． 【点睛】此题考查了平行线的判定、一元一次方程的应用、坐标与图形等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$