专题07 平行线的证明（12基础题型+7提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（陕西专用）

专题07 平行线的证明 命题及命题的改写 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）下列句子是命题的是（   ） A．连接CD B．画 C．小于的角是锐角？ D．相等的角是对顶角 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的识别，表示判断的语句叫做命题，命题通常由条件（题设）和结论（题断）两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知的事项推断出的事项.一般地，判断某一件事情的句子叫做命题.即对事件作出判断，不论正确与否，且是一句陈述句. 【详解】A. 连接CD是作图语句，不是命题，故A不符合题意； B. 画是作图语句，不是命题，故B不是命题，故B不符合题意； C. 小于的角是锐角？是问句，不是命题，故C不符合题意； D. 相等的角是对顶角是命题，故D符合题意. 故选D. 2. （20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）下列语句是命题的是（    ） A．画两条相等的线段 B．等于同一个角的两个角相等吗？ C．两直线平行，内错角相等 D．延长线段AO到C，使OC＝OA． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、画两条相等的线段，没有作出判断，不是命题； B、等于同一个角的两个角相等吗？没有作出判断，不是命题； C、两直线平行，内错角相等，是命题； D、延长线段AO到C，使OC=OA，没有作出判断，不是命题； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 3. （21-22八年级上·陕西西安·期末）下列语句：①钝角小于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（　　） A．①②③ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②④ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的概念判断即可． 【详解】解：①钝角大于90°，是命题； ②两点之间，线段最短，是命题； ③明天可能下雨，没有对一件事情作出判断，不是命题； ④作AD⊥BC，没有对一件事情作出判断，不是命题； ⑤同旁内角不互补，两直线不平行，是命题； 是命题的为：①②⑤． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 4. （20-21八年级上·陕西西安·期末）命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(     ) A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】把命题改写成如果那么的形式,如果后面跟的即为条件，那么后面跟的是结论． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是两条直线垂直于同一条直线, 故选D. 【点睛】本题考查了命题条件的判断,属于简单题,熟悉命题的构成是解题关键． 5. （21-22八年级上·陕西西安·期末）把命题“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 【答案】如果两个数互为相反数，那么它们的和为零 【难度】0.94 【知识点】相反数的定义、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题与定理、命题写成“如果…，那么…”的形式，熟练掌握“如果”后面接的部分是条件，“那么”后面接的部分是结论是解题的关键．找出命题中的条件和结论，再改写成“如果…，那么…”的形式即可． 【详解】解：把“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零， 故答案为：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零． 6. （20-21八年级上·陕西西安·期末）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 . 【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【难度】0.94 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 7. （19-20八年级上·陕西渭南·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【难度】0.94 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 真命题、假命题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．内错角相等 D．如果，那么 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对顶角的定义、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、判断命题真假 【分析】本题考查的是命题的真假判断，熟练掌握对顶角、平行线的性质是解题的关键．先根据对顶角的定义，平行线的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题错误，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等，原命题错误，不符合题意； D、如果，那么，是真命题，符合题意． 故选：D． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．正比例函数的图象一定经过原点 B．一组数据的平均数和众数都只有一个 C．轴上的点的纵坐标均为0 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正比例函数的图象、两直线平行内错角相等、判断命题真假、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了命题的判断，涉及一次函数的性质、平均数与中位数、平行线的性质及坐标平面内点的坐标的特点，掌握相关的性质定理是解题的关键． 根据一次函数的性质、平均数与中位数、平行线的性质及坐标平面内点的坐标的特点逐项分析即可． 【详解】解：A. 正比例函数的图象一定经过原点，故该选项是真命题，不符合题意； B. 一组数据的平均数只有一个，众数不止有一个或没有，故该选项是假命题，符合题意； C. 轴上的点的纵坐标均为0，故该选项是真命题，不符合题意； D. 两直线平行，内错角相等,是真命题，不符合题意． 故选B． 3. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．三角形的内角和等于 B．平行于同一直线的两条直线互相平行 C．没有平方根的数是负数 D．轴上的点的横坐标均为0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查了，三角形内角和定理，平行公理推论，平方根的性质，坐标轴上的点的性质，解题的关键是：熟记并理解相关定义，定理及性质． 【详解】、依据三角形内角和定理，该命题是真命题，不符合题意； 、依据平行公理推论，该命题是真命题，不符合题意； 、依据负数没有平方根，该命题是真命题，不符合题意； 、依据轴上的点的纵坐标均为0，该命题是假命题，符合题意； 故选：． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果，则 B．如果，，则 C．平方根等于本身的数有0和1 D．如果，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、判断命题真假 【分析】本题考查了平方根、立方根的性质．利用平方根、立方根的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、如果，则或，故本选项不符合题意； B、如果，，不能判断和的关系，故本选项不符合题意； C、平方根等于本身的数只有0，故本选项不符合题意； D、如果，则，故本选项符合题意； 故选：D． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）下列命题中，是假命题的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．直角的补角仍然是直角 D．内错角相等 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断命题真假 【分析】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据线段、对顶角、补角、平行线的性质判断即可． 【详解】解：A. 两点之间，线段最短，是真命题，不符合题意；     B. 对顶角相等，是真命题，不符合题意； C. 直角的补角仍然是直角，是真命题，不符合题意；     D. 内错角相等，是假命题，符合题意； 故选D． 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）下列命题是真命题的是（　　） A．在平面直角坐标系中，点在轴上 B．若，则 C．同旁内角互补 D．在一次函数中，随着的增大而增大 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、判断一次函数的增减性、两直线平行同旁内角互补、判断命题真假 【分析】本题主要考查命题真假的判断，实数的平方根、函数基础知识、平面直角坐标系的基本概念以及同旁内角的定义，根据定义，性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、在平面直角坐标系中，点在x轴上，故本选项是假命题，不符合题意； B、若，则且，故，，，故本选项是真命题，符合题意； C、当且仅当两直线平行时，同旁内角才互补，故本选项是假命题，不符合题意； D、在一次函数中，，y随x的增大而减小，故本选项是假命题，不符合题意． 故选：B． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）下列语句中，是真命题的是（    ） A．带根号的数都是无理数 B．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．直角三角形两边的平方和等于第三边的平方 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数、两直线平行内错角相等、用勾股定理解三角形、判断命题真假 【分析】本题考查真假命题的判断，根据无理数的定义,即可判断A项，根据平行的判定,即可判断B项，根据勾股定理，即可判断C项，根据平行线性质，即可判断D项． 【详解】解：A、带根号的数都是无理数，错误，如为有理数，所以A为假命题，不符合题意． B、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，正确，所以B为真命题，符合题意． C、直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方，所以C错误，是假命题，不符合题意． D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，所以D错误，是假命题，不符合题意． 故选：B． 8. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．7的算术平方根是49 B．同旁内角互补 C．相等的角是对顶角 D．若，则，都是正数或，都是负数 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、对顶角相等、两直线平行同旁内角互补、判断命题真假 【分析】本题考查了判断命题的真假、算术平方根、平行线的性质、对顶角、有理数的乘法，根据算术平方根的定义可以判断A；根据平行线的性质可以判断B；根据对顶角的性质可以判断C；根据有理数的乘法可以判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、7的算术平方根是，故原选项错误，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故原选项错误，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故原选项错误，不符合题意； D、若，则，都是正数或，都是负数，故原选项正确，符合题意； 故选：D． 9. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）下列命题属于真命题的是（    ） A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义、平行公理的应用、判断命题真假 【分析】本题考查了同位角的定义，对顶角的定义，平行线的判定，平行公理的推论等知识，真命题与假命题的判断等知识，分别根据同位角的定义，对顶角的定义，平行线的判定，平行公理的推论等知识逐项判断即可求解，熟知相关概念是解题关键． 【详解】解：A. 同位角相等是假命题，故原选项不合题意； B. 相等的角是对顶角是假命题，故原选项不合题意； C. 垂直于同一条直线的两条直线平行是假命题，故原选项不合题意； D. 平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故原选项符合题意． 故选：D． 10. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．若，则 C．垂线段最短 D．过两点可以画很多条直线 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果．．那么．．．”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据平行线的性质对A进行判断；根据平方根的定义对B进行判断；根据垂线段公理对C进行判断；根据直线公理对D进行判断． 【详解】解：A、两直线平行同位角相等，所以A选项为假命题； B、若，则或， 所以B选项为假命题； C、垂线段最短，所以C选项为真命题； D、过两点有且只有一条直线，所以D选项为假命题． 故选：C． 11. （23-24八年级上·陕西铜川·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．不相交的两条直线是平行线 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．全等三角形对应边上的高相等 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】两直线平行同位角相等、全等三角形的性质、判断命题真假 【分析】本题考查的是真假命题的判断，对顶角的定义，平面内，两条直线的位置关系，平行线的性质，全等三角形的性质，熟记定义与性质是解本题的关键． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角，原来命题为假命题， 在同一平面内，不相交的两条直线是平行线， 原来命题为假命题， 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原来命题为假命题， 全等三角形对应边上的高相等，真命题， 故选D 12. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）下列四个n的值，能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握说明一个命题是假命题的方法：满足命题条件，但不能得到命题的结论．根据说明一个命题是假命题的方法逐项判断即可． 【详解】解：A．是5的整数倍，是5的整数倍，故A不能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题，不符合题意； B．是5的整数倍，是5的整数倍，故B不能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题，不符合题意； C．不是5的整数倍，不是5的整数倍，故C能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题，符合题意； D．是5的整数倍，是5的整数倍，故D不能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题，不符合题意． 故选：C． 13. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是8的倍数”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】有理数除法的应用、判断命题真假、举例说明假（真）命题 【分析】 本题考查命题与定理，解题的关键是掌握说明一个命题是假命题的方法：满足命题条件，但不能得到命题的结论．根据说明一个命题是假命题的方法逐项判断即可． 【详解】解：是偶数，也是8的倍数，故A不能说明命题“对于任意偶数k，都是8的倍数”是假命题，不符合题意； 是偶数，也是8的倍数，故B不能说明命题“对于任意偶数k，都是8的倍数”是假命题，不符合题意； 是偶数，但不是8的倍数，故C能说明命题“对于任意偶数k，都是8的倍数”是假命题，符合题意； 不是偶数，故D不满足命题“对于任意偶数k，都是8的倍数”的条件，不能说明命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 14. （23-24八年级上·陕西西安·期末）下列可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】此题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论． 【详解】解：∵当，时，，而， ∴，但是， ∴，是假命题的反例． 其他选项不能说明； 故选：C． 逆命题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（      ） A．若，那么 B．若，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等、两直线平行内错角相等、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、若，那么的逆命题是若，那么，是假命题，不符合题意； B、若，那么的逆命题是若，那么，是假命题，不符合题意； C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； 故选：D． 2. （21-22八年级上·陕西渭南·期末）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ． 【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形 【难度】0.94 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此求解即可． 【详解】解；命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形， 故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形。 3. （21-22八年级上·陕西汉中·期末）命题“如果是整数，那么一定是有理数”；则它的逆命题是 命题（填写“真”或“假”）． 【答案】假 【难度】0.85 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】先交换原命题的题设和结论写出其逆命题，再根据有理数的定义判断即可． 【详解】解：原命题的逆命题是：“如果m是有理数，那么m是整数”，是假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了逆命题和真假命题，正确写出原命题的逆命题是解题的关键． 反证法 1. （21-22八年级上·陕西汉中·期末）用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（    ） A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【详解】解：“若，则中至少有一个为0”．第一步应假设：． 故选：B． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 2. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设 ． 【答案】∠B=∠C 【难度】0.94 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：∠B≠∠C的反面是∠B=∠C． 故可以假设∠B=∠C． 故答案为：∠B=∠C． 【点睛】本题主要考查了反证法的基本步骤，正确确定∠B≠∠C的反面，是解决本题的关键． 添加一条件说明两直线平行 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，添加下列一个条件后，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， 不能判定， 故B符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵，即， ∴， 故D不符合题意； 故选：B． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，添加下列一个条件后，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判断定理是解题的关键，逐一验证即可． 【详解】A. ，则，不符合题意；     B. ，无法判定，不符合题意； C. ，无法判定，不符合题意； D. ，则，符合题意； 故选D． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，将一款教室护眼灯用两根电线吊在天花板上，A、B是护眼灯上的两个固定点，C、D是天花板上的两个固定点，已知，为保证护眼灯与天花板平行（即），下面添加的条件中，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行，内错角线段，两直线平行，同位角相等，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：根据平行线的判定条件可知，当，有，则，故D符合题意； A、B、C中的条件都不能证明， 故选：D． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，点D、E、F分别是上的点，连接，则下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．由不能判定任何直线平行； B．由可判定； C．可判定； D．可判定． 故选D． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在三角形中，点E，D，F分别在上，连接，下列条件中，能推理出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】根据“同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，内错角相等两直线平行”进行判断即可． 【详解】解：A、不能得到平行，不符合题意； B、由，得到，不符合题意； C、由，得到，符合题意； D、由，得到，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理；熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点是延长线上一点，请添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，根据内错角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 7. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，直线经过点A，请写出一个能判定的条件 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】由平行线的判定，即可得到答案． 本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】能判定的条件有，，，． 故答案为：（答案不唯一）． 平行线的判定 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线、分别与相交于点、，已知，，试说明：．    【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等、同位角相等两直线平行 【分析】根据对顶角相等得出，进而根据，即可得证． 【详解】解：如图所示，    ∵，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知平分，求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查的是平行线的判定，角平分线的定义，证明，最后再利用内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：平分， ． 又， ． ． 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，∠1＝∠C，AC平分∠DAB，求证：． 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】根据角平分线的定义得出∠1＝∠2，再利用内错角相等，两直线平行证明即可． 【详解】证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠C， ∴∠2＝∠C， ∴． 【点睛】此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义得出∠1＝∠2． 4. （21-22八年级上·陕西榆林·期末）在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】根据垂直于同一直线的两直线平行得出，CF∥AG，得出∠BGA=∠BCF，等量代换得到∠BGA=∠DAG，即可判定AD∥BC． 【详解】证明：∵CF⊥BD，AG⊥BD， ∴CF∥AG， ∴∠BGA=∠BCF， ∵∠DAG=∠BCF， ∴∠BGA=∠DAG， ∴AD∥BC． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记“垂直于同一直线的两直线平行”及“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 5. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知直线分别交直线于点G、H，平分交于点M，若，，求证：． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质以及平行线的判定，根据三角形外角的性质求出，根据角平分线的定义求出，可得，再根据同位角相等可判定． 【详解】解：∵且，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∴． 6. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，与相交于点，，且平分．试说明：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．根据角平分线的定义结合对顶角得到，则可证明，根据平行线的判定即可证明． 【详解】证明：因为平分， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知，，，求证：ab． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、内错角相等两直线平行 【分析】先根据三角形外角性质，求得，再根据，即可得到，进而判定． 【详解】证明：如下图： 是，所在三角形的外角， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角性质，解题时注意：内错角相等，两直线平行． 8. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等两直线平行是解题的关键；先证明，通过等量代换可证，再根据平行线的判定可证． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 尺规作图---平行线 1. （21-22八年级上·陕西西安·期末）尺规作图，如图过点A作直线l的平行线（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】尺规作一个角等于已知角、同位角相等两直线平行 【分析】利用同位角相等两直线平行，作出图形即可． 【详解】解：如图，直线AB即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 2. （21-22八年级上·陕西铜川·期末）如图，点是射线上一点，请用尺规作图法，求出线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【难度】0.94 【知识点】作线段(尺规作图)、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【分析】以点A为圆心，任意长为半径作弧，交、于F、G，以点B为圆心，为半径作弧，交于点H，以点H为圆心，为半径作弧，交前弧于点P，连接，如图1，延长到点E，可得，则；如图2，反向延长到点E，可得，则． 【详解】解：如图1，线段为所作．    如图2，线段为所作．    【点睛】此题考查了尺规作图，作角等于已知角，平行线的判定定理，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，延长至点D，请用尺规作图法求作射线，使得，且点E在上方．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了角的基本作图，利用同位角相等，两直线平行，画一个角等于，且是一对同位角即可． 【详解】根据题意，画图如下： 则即为所求． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知△ABC，点P在△ABC内，利用尺规在BC上找一点Q，使得直线PQ∥AC（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【分析】过点P作直线TM交AC于点T，作∠QPM＝∠CTM，PQ交BC于点Q，直线PQ即为所求． 【详解】解：如图，直线PQ即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 平行线的性质与判定 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，，可推得，请说明理由． 【答案】见详解 【难度】0.85 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先证明，得到，即可证明． 【详解】证明：如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键． （1）由证得，得到，结合可得，由此可证得； （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，由平分求出 ，根据两直线平行，内错角相等，得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3. （20-21八年级上·陕西西安·期末）如图， ，， ．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握平行线的性质和判定定理，并能正确识别同位角、同旁内角、内错角是解题关键．先根据已给的角度判断，从而可得，再根据等量代换可得，从而可证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，连接、交于点．连接并延长到点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）由已知可得，再找到的同位角，结合已知，通过等量代换，即可得出结论， （2）通过三角形外角定理，求得的同旁内角的度数，进而求得的度数， 本题考查了平行线的性质和判定，以及通过其求角度，解题的关键是：熟练应用平行线的性质和判定，结合已知条件，找到角度间的等量关系． 【详解】（1）证明：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又， ， （内错角相等，两直线平行）， （2）解：， ． ， ， ， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， 故答案为：． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，点，，分别在直线，，上，已知，．      (1)与平行吗？请说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质和判定的应用， （1）根据内错角相等，两直线平行得，根据平行线的性质得出，等量代换得，根据平行线的判定得出即可； （2）由平角的定义，根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出即可； 能灵活运用性质进行推理是解题的关键． 【详解】（1）解：平行． 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 6. （22-23八年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，. (1)求证：； (2)若，是的平分线，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据平行线的性质及等量代换即可证明结论； （2）根据平行线的性质求出，进而求出，即可得出，最后根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． ∴． 7. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，分别交、于点E、F，点H、M是上的点，，于点G，求证：．    【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】同位角相等两直线平行、两直线平行同旁内角互补 【分析】利用，得到，推出，进而推出，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴． ∵于点G， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，同位角相等，两直线平行，是解题的关键． 8. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键． （1）要证明，可通过与互补求得，利用平行线的性质说明可得结论； （2）要求的度数，可通过平角和求得，利用（）的结论及角平分线的性质求出及的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ． ∵， ． ∴； （2）解：， ， 平分，， ． ∵，， ， ． ． 9. （21-22八年级上·陕西铜川·期末）如图，已知，， 交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键． （1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论； （2）根据，，得到，，进而得出，又根据，得到，最后根据平角的定义可求出的度数，从而可求得的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 10. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，已如，．求证：．    【答案】见解析 【难度】0.94 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查平行线的判定及性质，可证得，进而可求得，即可求得答案． 【详解】∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 11. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知，．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】先证明∠2=∠DFE，得到BD∥EF，进而得到∠BDE+∠3=180°，最后进行角的代换，问题得证． 【详解】证明：∵，， ∴∠2=∠DFE， ∴BD∥EF， ∴∠BDE+∠3=180°， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质等知识，熟知平行线的判定与性质定理是解题关键． 三角形内角和定理及三角形的外角 1. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，与AC交于点F，∠A=40°，∠D=30°，则∠FCD的度数是(   ) A．100° B．110° C．120° D．140° 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】三角形内角和定理的应用、对顶角相等 【分析】根据三角形的内角和求出∠AFE，根据对顶角相等求出∠CFD，根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵DE⊥AB， ∴∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°－∠A=90°－40°=50°， ∴∠CFD=∠AFE =50°， ∴∠FCD=180°－∠D－∠CFD=180°－30°－50°=100°； 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，是的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和与外角的性质，解题的关键在于求出的度数，通过三角形的内角和为即可求解． 【详解】在中，可得： 可化为： 即： 解得： 是的外角． 故选：C． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期末）三角形三个内角的比为，则这个三角形最大的外角是 度． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据比例设三个内角分别为、、，然后利用三角形的内角和定理列出方程求出k值，再根据与最大的外角相邻的内角最小解答． 【详解】设三个内角分别为、、， 由题意得，， 解得， 所以，三个内角分别为、、， 所以，最小的内角是，最大的外角是 故答案为： 【点睛】此题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题关键在于列出方程求出k值． 4. （20-21八年级上·陕西榆林·期末）如图，则的度数是 ．    【答案】/180度 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图，    ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期末）叙述并证明三角形内角和定理． 【答案】定理：三角形的内角和为，证明见解析 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的证明、两直线平行内错角相等、两直线平行同位角相等 【分析】首先写出定理、已知、求证，再证明，延长到D，过点C作，根据两直线平行，同位角相等可得，两直线平行，内错角相等可得，再根据平角的定义列式整理即可得证． 【详解】解：定理：三角形的内角和为； 已知：的三个内角分别为、、； 求证：． 证明：如图：延长到D，过点C作， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键． 6. （23-24八年级上·陕西延安·期末）在中，，，求的度数． 【答案】． 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理．根据题意得出，再由三角形内角和为列式进行计算即可，熟练掌握三角形内角和为是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 7. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 平行线与三角形内角和 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ 故选：D． 2. （22-23八年级上·陕西铜川·期末）如图，已知l1l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．55° C．45° D．60° 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】根据平角的定义得出∠ACB＝80°，根据三角形内角和得到∠ABC＝55°，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：∵∠2＝100°， ∴∠ACB＝180°−100°＝80°， ∵∠A＝45°， ∴∠ABC＝180°−45°−80°＝55°， ∵l1l2， ∴∠1＝∠ABC＝55°， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线，线段交，于，两点，过点作交直线于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了垂直定义、平行线的性质等知识点．利用三角形内角和定理可得的度数，再利用平行线的性质可得的度数，即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，，垂足为E，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】 本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得到，求出，根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选C． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】由，得到，根据已知条件得到，然后由三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．80° 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出． 【详解】解：连接AC并延长交EF于点M． ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型． 角平分线与三角形内角和 1. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，是的角平分线，交于点D．若，，求的度数．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，． 2. （23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，平分，求的度数． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【详解】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【解答】解：∵， ∴（三角形内角和定义）． ∵平分， ∴， ∴． 3. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，与分别是的角平分线和高，若，，求的度数． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先求解，，，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 为的平分线， ， ． 4. （20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2． (1)求证：AB∥CD； (2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数． 【答案】(1)见解析；(2)56° 【难度】0.85 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先证∠1=∠CGF即可，然后根据平行线的判定定理证明即可； （2）先根据平行线的性质、角平分线的性质以及垂直的性质得到∠1+∠4=90°，再求出∠4即可． 【详解】(1)证明：∵FG∥AE， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AB∥CD． (2)解：∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠D=180°， ∵∠D=112°， ∴∠ABD=180°﹣∠D=68°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠4=∠ABD=34°， ∵FG⊥BC， ∴∠1+∠4=90°， ∴∠1=90°﹣34°=56°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练应用相关性质和定理． 5. （23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，，平分，求与的度数． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线是解题的关键． 由题意知，，由角平分线的定义可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∴， ∴与的度数分别为，． 6. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于点，若，求的度数． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形内角和定理得出，根据已知条件得出，，根据三角形角平分线的定义得出，然后根据垂直的定义以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 7. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，于点，若，，求及的度数． 【答案】，． 【难度】0.65 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义和已知得到，进而根据直角三角形的锐角互余求出即可，熟练掌握三角形内角和等于和角平分线的定义是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. （21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，是的角平分线，点E在线段上，于点平分交的延长线于点M，若． (1)_________；（用含的式子表示） (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.85 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、同位角相等两直线平行 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）根据得到∠EFC=90°，可得∠CEF=∠ABC，再由，可得，从而得到∠M=∠ABD，即可求证． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵EM平分， ∴； 故答案为： （2）解：∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°， ∴∠C+∠CEF=90°， ∵∠A=90°， ∴∠C+∠ABC=90°， ∴∠CEF=∠ABC， ∵， ∴， ∴， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴， ∵， ∴∠M=∠ABD， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，有关角平分线的计算，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键． 9. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，中，BE为AC边上的高，CD平分，CD、BE相交于点F．若，，求的度数． 【答案】． 【难度】0.85 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、与三角形的高有关的计算问题 【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据垂直的定义可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， 为边上的高， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 三角形内角定理应用 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据对顶角相等，三角形的内角和为180度，进行求解即可． 【详解】解：∵与是对顶角，与是对顶角， ∴， ∵三角形是直角三角形， ∴，即． 故选B． 2. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）把一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数为 ． 【答案】55°/55度 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】根据平行线的性质得到∠BFC=∠DEC，然后分别利用三角形外角的性质和三角形内角和定理求出∠BFC=∠A+∠1=95°，∠DEC=180°-∠C-∠2=150°-∠2，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，∠A=60°，∠C=30° ，， ∴∠BFC=∠DEC， ∵∠BFC=∠A+∠1=95°，∠DEC=180°-∠C-∠2=150°-∠2， ∴150°-∠2=95°， ∴∠2=55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）枣庄市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．当为 度时，AM与CB平行． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，点是一点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连结交、于点和点，连结、．若，则的大小为 度． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用 【分析】由，可得结论． 【详解】解：连接，，， 点关于直线的对称点为点、关于直线的对称点为点， ，，， ， ． ． 故答案是：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质，属于中考常考题型． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期末）请解答下列各题： （1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，． ①由条件可知：，依据是 ，，依据是 ． ②反射光线与平行，依据是 ． （2）解决问题：如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则 ； ． 【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）84°；90°； 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）根据平行线的判定与性质逐一求解可得； （2）根据入射角等于反射角得出∠1=∠4，∠5=∠7，求出∠6，根据平行线性质即可求出∠2，求出∠5，根据三角形内角和求出∠3即可． 【详解】解：（1）①由条件可知：∠1=∠3，依据是：两直线平行，同位角相等； ∠2=∠4，依据是：等量代换； ②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行； 故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行． （2）如图， ∵∠1=42°， ∴∠4=∠1=42°， ∴∠6=180°42°42°=96°， ∵m∥n， ∴∠2+∠6=180°， ∴∠2=84°， ∴∠5=∠7=， ∴∠3=180°48°42°=90°． 故答案为：84°；90°； 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 平行线与拐点问题 1. （21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，已知，求之间有什么数量关系． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由①-②，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点C，D作， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过点作，根据平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）通过第5章的学习，我们知道：已知直线，若直线，则．这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题．已知直线，点E在之间，点P，Q分别在直线上，连接．    (1)如图①，作，运用上述结论，探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若，，探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，直接写出、、、、之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3). 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论： （1）先证明，再根据“两直线平行，内错角相等”得出，，得出即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而利用平角定义可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点F作，然后利用（1）的结论可得：，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：， 理由：过点F作，    由（1）可得：， ∴， ∴，即 平行线的性质和判断（提高） 1. （20-21八年级上·陕西铜川·期末）如图，在中，点在上，点在上，点在上，且，．    (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）由平行线的性质和已知可得到与的关系，再利用平行线的判定得结论； （2）利用角平分线的性质和三角形内角和定理的推论求解． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴；    （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握平行线的性质和判定及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． 2. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，点F在DC上，且∠1+∠2=180°，∠3=∠B．求证：DE∥BC． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】由题意直接根据平行线的判定定理以及平行线的性质进行分析证明即可. 【详解】解：证明：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠ADC=180°． ∴∠1=∠ADC， ∴EF∥AB（同位角相等，两直线平行）, ∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）, 又∵∠3=∠B(已知）， ∴∠ADE=∠B, ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）. 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，为的角平分线，点E、F、G分别在的边、、上，连接、，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平行线的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键． （1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，已知． (1)求证：； (2)若平分，于点A，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定，得到，等量代换得出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解； （2）由，得出，再根据平行线的性质即可求出，再根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵于E， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础． 5. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）已知：如图，∠BAP+∠APD =180°，∠1 =∠2.求证：AE∥PF．    【答案】见解析 【难度】0.4 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】由∠BAP+∠APD =180°可得AB∥CD，进而得到∠BAP=∠CPA,然后根据角的和差可得∠EAP=∠FPA运用内错角相等、两直线平行证明即可. 【详解】证明：∵∠BAP+∠APD =180° ∴AB∥CD ∴∠BAP=∠CPA ∵∠1 =∠2 ∴∠BAP-∠1=∠CPA-∠2，即∠EAP=∠FPA ∴AE∥PF 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是灵活应用平行线的性质定理和判定定理. 6. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，点E，F在边上，点D在边上，点G在边上，连接与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由同位角相等，两直线平行可得，从而得，则可求得，即可证得； （2）由平行线的性质可得，再利用平行线的性质可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∵，， ∴ ∴． 7. （22-23八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点D，E分别在上，点G，F在CB上，连接．，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定定理得出即可； （2）根据平行线的性质得出，，根据求出，再求出答案即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练掌握平行线的性质和判定定理是解此题的关键． 三角形折叠角度计算 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴, 故选：C． 2. （20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，把纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED的外部，，，则的度数为（    ） A．32° B．30° C．28° D．26° 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据翻折的性质可得，再利用三角形外角的性质表示出，然后根据角的和差整理即可得解． 【详解】解：如图，由翻折的性质得， ∴， ∴在△ADE中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形外角的性质，理解折叠前后对应角相等是解题关键． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的内角和，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，则，根据三角形外角性质即可得到结论． 【详解】解：∵ 由折叠的性质得， 故选：C． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．    【答案】或 【难度】0.65 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 【详解】解：由折叠的性质得：； ∵， ∴； ①当在下方时，如图， ∵， ∴， ∴；    ②当在上方时，如图， ∵， ∴， ∴；    综上，的度数为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 5. （21-22八年级上·陕西商洛·期末）如图所示，将三角形纸片沿折叠，点A落在点P处，已知，则是 度．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】根据折叠的性质可知，，利用平角是，求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：将纸片沿折叠，点落在点处， ，， ， ， 又， ， ． 故答案是：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），解题的关键是挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是、平角的度数也是． 6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）将按如图所示翻折，为折痕，试写出，和之间的数量关系 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题考查图形的折叠和三角形的内角和定理的应用，根据折叠的性质得出，，然后根据三角形的内角和定理和对顶角相等即可得出结论．解题的关键是明确题意，列出相等关系的式子． 【详解】解：，理由如下： 设交于点，交于点， 由折叠得：，， ∵，且，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E为的延长线上一点，过点E作于点F，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和，三角形外角的性质，以及三角形的角平分线，数形结合是解答本题的关键．先求出的度数，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 平行线中的角度计算 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，CD是的角平分线，点E在AC上，，若，，求的度数． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据三角形的内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质可得，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ， 2. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，于点，交于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和性质，垂直定义； （1）由平行线的性质得，证明得出，等量代换，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理得出，结合垂直定义得出，再运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ 3. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）根据两直线平行，内错角相等得出，再根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，根据三角形内角和是即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴． 故的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，于点D，于点F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行线性质及判定，三角形内角和定理． （1）根据题意利用平行线判定证出，再利用角平分线性质即可得，再利用题干即可得到本题答案； （2）利用三角形内角和定理得，再利用即可得到本题答案． 【详解】（1）证明：∵于点D，于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 5. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，过点作边上的高，交的延长线于点，平分，交于点．    (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形内角和是解答本题的关键． （1）利用角平分线得，然后根据内错角相等，两直线平行得答案； （2）根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】（1）平分， ， ， ， （内错角相等，两直线平行） （2）， ， ， 6. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，，点是的延长线上的一点，交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，从而得出，即可得证； （2）由平行线的性质可得，由三角形内角和定理求出，，再由平行线的性质可得，最后由进行计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，D、E、F三点分别在上，过点D的直线与线段相交于点M，已知    (1)说明： (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据邻补角及题意得出，再由平行线的判定证明即可； （2）根据平行线的判定和性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴， ∵ ∴ ， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质及三角形内角和定理，找准各角之间的关系是解题关键． 三角形中的双角平分线 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据三角形内角和定理计算出，则利邻补角定义计算出，再根据角平分线定义得到，，所以，然后再利用三角形内角和计算的度数. 【详解】解：在中，， ， ，， ， 平分，平分， ， ． 故答案为： 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据，求出，再求出，根据三角形内角和求出． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是灵活应用整体思想，求出． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，分别平分，，若，，则 ． 【答案】/68度 【难度】0.85 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】由三角形的内角和定理可求得，再由角平分线的定义求得，，利用三角形的外角性质即可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质．解答的关键是明确三角形的内角和为． 4. （21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【难度】0.85 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，即可得出答案． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴， 又∵是的外角， ∴， 即，故①正确； ∵、分别平分，， ∴， ∴ ，故④错误； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，故②错误、③正确； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 5. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，则∠BD2C的度数是 ． 【答案】84°/84度 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】利用角平分线的定义∠ABD2= ∠ABD1=，∠ACD2= ∠ACD1=，求出∠CBD2=，，再根据三角形的内角和定理以及，再把∠A代入即可求∠BD2C的度数． 【详解】解：∵BD1、CD1分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠D1BA=∠D1BC= ∠ABC，∠D1CA=∠D1CB= ∠ACB， ∵BD2、CD2分别平分∠ABD1和∠ACD1， ∴∠ABD2= ∠ABD1=，∠ACD2= ∠ACD1=， ∴∠CBD2=， ∴， ∴∠BD2C=180°-(∠D2BC+∠D2CB)=180°-( ∠ABC+ ∠ABC)， 当∠A=52°时， ∠BD2C=180°-×（180°-52°）， =84°． 故答案为84°． 【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于利用角平分线的定义进行有关计算． 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)当，时， _____， ____； (2)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)当的大小变化时，的值不发生变化，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查角平分线的性质及三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键． （1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得，利用邻补角求出，，再结合角平分线的性质和三角形内角和定理可得； （2）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得，利用邻补角求出，，再结合角平分线的性质和三角形内角和定理可得，由此即可得到答案． 【详解】（1）∵，分别是，的平分线，，， ∴，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）当的大小变化时，的值不发生变化，， 理由如下： ∵，分别是，的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当的大小变化时，的值不发生变化，． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，分别平分，且交于点O，为外角的平分线，交的延长线于点E．记，已知．求与的度数． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 由角平分线的定义和外角的性质，可得，，，进而即可求解 【详解】解：为的平分线，平分， ，． 是的外角，是的外角， ， ． 平分，平分， ，， ， 是的外角， ． 平行线性质与判定综合探究 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)如图1，求证； (2)如图2，与的角平分线交于点P，的延长线与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，交于点Q，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，找出角度之间的关系是解题关键． （1）根据同位角相等，即可证明结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质，得出，进而得到，再利用平行即可证明结论； （3）设，则，，根据平行线的性质，得到，进而得出，再结合角平分线的定义，得到，由（2）得：，解得，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）证明：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， 设，则，， ， ， ， 又平分， ， 由（2）得：， ， 解得：， ． 2. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)观察猜想，与的数量关系是　　；与的数量关系是　　； (2)类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当等于多少度时，画出图形并简要说明理由； (3)拓展应用，若，求的度数；并直接写出此时与的位置关系． 【答案】(1)；； (2)当等于或时，； (3)，或 【难度】0.4 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）依据，可得；依据，即可得到； （2）分两种情况讨论，画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，； （3）根据，即可求出的度数；根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】（1），， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）分两种情况： ①如图1，当时，， ； ②如图2，当时，， ； 综上，当等于或时，； （3）设，则． 由（1）可知，， ， ，即， 此时，或 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图1，，在、内有一条折线． （1）求证：； （2）在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；见解析；（3） 【难度】0.4 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）过点作，根据平行线性质可得； （2）由（1）结论可得：，，再根据角平分线性质可得； （3）由（２）结论可得：． 【详解】（1）证明：如图1，过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2）如图2， 由（1）可得：，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴ ， ∴； （3）由（２）可得：，， ∵，， ∴ ， ∴； 【点睛】考核知识点：平行线性质和判定的综合运用．熟练运用平行线性质和判定是关键． 4. （21-22八年级上·陕西西安·期末）已知，，直线与直线，分别交于点E，F． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，H是上一点，且．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 【答案】(1)122° (2)见解析 (3)45° 【难度】0.4 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠1=∠EFD，再利用邻补角的定义可求∠2的度数； （2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF=90°，进而证明PF∥GH； （3）根据角平分线定义计算即可求得∠HPQ的度数． 【详解】（1）解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠EFD， ∵∠EFD+∠2=180°， ∴∠1+∠2=180°， ∵∠1=58°， ∴∠2=122°； （2）证明：由（1）知，AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD=180°． 又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P， ∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°， ∴∠EPF=90°，即EG⊥PF． ∵GH⊥EG， ∴PF∥GH； （3）解：∵∠PHK=∠HPK， ∴∠PKG=2∠HPK． 又∵GH⊥EG， ∴∠KPG=90°-∠PKG=90°-2∠HPK． ∴∠EPK=180°-∠KPG=90°+2∠HPK． ∵PQ平分∠EPK， ∴∠QPK＝∠EPK＝45°+∠HPK． ∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK=45°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角． 5. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由； (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)； (2)定值为；理由见详解； (3)； 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质解答； （2）过点作，由此可得，进而可得出结论； （3）根据平分，可知，过点作，则，根据，，可知，，则，进而可知，则． 【详解】（1）解：如图标出， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：定值为：，理由如下： 过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 过点作， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质，掌握连续性的性质定理是解题的关键． 三角形内角、外角综合探究题 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】(1)61 (2) (3)∠F的大小不变， 【难度】0.4 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1） 分别为，的平分线 故答案为：61． （2）， 分别为，的平分线 故答案为：． （3）的大小不变，． 理由如下： 又是的平分线，是的平分线， ． 2. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）综合与探究：    (1)如图，、分别是的内角，的平分线，证明：． (2)如图，，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是______． (3)如图，，分别是的一个内角和一个外角的平分线，，交于点，探究与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，理由见解析． 【难度】0.4 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可； （2）根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （3）根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：；，理由如下： ∵分别是的两个外角，的平分线， ∴，， ∵，， ∴ ， 故答案为：； （3）解：与之间的等量关系是：，理由如下： ∵分别是的一个内角和一个外角的平分线， ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 3. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图，A，两点同时从原点出发，点A以每秒个单位长度沿轴的负方向运动，点以每秒个单位长度沿轴的正方向运动．    (1)若，分别求出1秒后A，两点的坐标； (2)如图①，设的两外角平分线相交于点．点A、在运动的过程中，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由； (3)如图②，若的平分线与的外角平分线的反向延长线相交于点，随着A，两点的运动，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3)不变， 【难度】0.65 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、加减消元法 【分析】（1）由得，解得，得； （2）由外角及角平分线得，，于是，所以； （3）由（2）知，于是，由外角得，所以． 【详解】（1）解：由得 ，解得 1秒后， ∴， （2）解：如图，， ∵是的平分线 ∴ 同理，得 ∴． ∴．    （3）解：由（2）知 而 ∴． 而，， ∴．    【点睛】本题考查二元一次方程组求解，三角形内角和定理，外角的性质；灵活运用三角形内角和定理，外角定理确定角之间的关系是解题的关键． 4. （20-21八年级上·陕西铜川·期末）探究：如图①，，OF平分，OH平分，且点O、E、G均在直线EG上，直线EG分别与AB、CD交于点E、G． (1)若，，则______． (2)若，求的度数． (3)如图②，和的平分线FO、HO交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)120° (2)125° (3) 【难度】0.65 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠OFH，∠FHO 的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数； （2）先根据角平分线的定义求出∠OFH+∠FHO 的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠FOH的度数； （3）先根据角平分线的定义求出∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI＝（180°-∠CHF），再根据两直线平行内错角相等得∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH即可． 【详解】（1）∵OF平分，， ∴． ∵， ∴． ∵OH平分，， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：120°． （2）∵FO平分，HO平分， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）∵FO平分，HO平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、平行线的性质，解题的关键是熟练应用． 5. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． (1)特例探索：若，则______度；______度； (2)类比探索：求，，的关系，并说明理由； (3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由． 【答案】(1)90；40 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用． （1）利用三角形内角和定理即可解决问题． （2）结论：．利用三角形内角和定理即可证明． （3）结论：．利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：90，40； （2）解：结论：， 证明：， ， ， ． 故答案为：； （3）解：结论：， 理由是：设交于，如图   ， ，即， ， 故答案为：． 6. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，是的平分线，，点和点在直线的同侧，设，． (1)如图1：若，求证：． (2)若，且，求的度数． (3)设，若，且，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）如图1中，延长交于，利用三角形的内角和定理即可解决问题； （2）在中，利用三角形内角和定理即可解决问题； （3）构建方程组，利用整体代入的思想解决问题即可． 【详解】（1）证明：如图1中，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， ∴； （2）解：如图2中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数为； （3）∵， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴①， ∵②， 由①＋②，得： ， ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，二元一次方程组等知识，运用了整体代入和方程的思想．解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理． 7. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D． (1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °． (2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数． 【答案】(1)110 (2)27° 【难度】0.4 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】（1）由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°，进而得到∠1+∠3=60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案． 【详解】（1）解：由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D， 在△AOB中，∠A+∠B=180°∠AOB=180°70°=110°， ∴∠C+∠D=110°； （2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， 又∵∠C=60°， ∴∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°， ∴2∠1+2∠3=120°， ∴∠1+∠3=60°， 由图知△ABF与△DEF为对顶三角形， ∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①， 又∵∠ADE比∠BED大6°， ∴∠ADE∠BED=6°②， 联立①②得， 解得：， ∴∠BED=27°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平行线的证明 命题及命题的改写 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）下列句子是命题的是（   ） A．连接CD B．画 C．小于的角是锐角？ D．相等的角是对顶角 2. （20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）下列语句是命题的是（    ） A．画两条相等的线段 B．等于同一个角的两个角相等吗？ C．两直线平行，内错角相等 D．延长线段AO到C，使OC＝OA． 3. （21-22八年级上·陕西西安·期末）下列语句：①钝角小于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（　　） A．①②③ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②④ 4. （20-21八年级上·陕西西安·期末）命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(     ) A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 5. （21-22八年级上·陕西西安·期末）把命题“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 6. （20-21八年级上·陕西西安·期末）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 . 7. （19-20八年级上·陕西渭南·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 真命题、假命题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．内错角相等 D．如果，那么 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．正比例函数的图象一定经过原点 B．一组数据的平均数和众数都只有一个 C．轴上的点的纵坐标均为0 D．两直线平行，内错角相等 3. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．三角形的内角和等于 B．平行于同一直线的两条直线互相平行 C．没有平方根的数是负数 D．轴上的点的横坐标均为0 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果，则 B．如果，，则 C．平方根等于本身的数有0和1 D．如果，则 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）下列命题中，是假命题的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．直角的补角仍然是直角 D．内错角相等 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）下列命题是真命题的是（　　） A．在平面直角坐标系中，点在轴上 B．若，则 C．同旁内角互补 D．在一次函数中，随着的增大而增大 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）下列语句中，是真命题的是（    ） A．带根号的数都是无理数 B．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．直角三角形两边的平方和等于第三边的平方 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 8. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．7的算术平方根是49 B．同旁内角互补 C．相等的角是对顶角 D．若，则，都是正数或，都是负数 9. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）下列命题属于真命题的是（    ） A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 10. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．若，则 C．垂线段最短 D．过两点可以画很多条直线 11. （23-24八年级上·陕西铜川·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．不相交的两条直线是平行线 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．全等三角形对应边上的高相等 12. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）下列四个n的值，能说明命题“对于任意的实数n，均能被5整除”是假命题的是（    ） A． B． C． D． 13. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是8的倍数”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 14. （23-24八年级上·陕西西安·期末）下列可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 逆命题 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（      ） A．若，那么 B．若，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，内错角相等 2. （21-22八年级上·陕西渭南·期末）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ． 3. （21-22八年级上·陕西汉中·期末）命题“如果是整数，那么一定是有理数”；则它的逆命题是 命题（填写“真”或“假”）． 反证法 1. （21-22八年级上·陕西汉中·期末）用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（    ） A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0 2. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设 ． 添加一条件说明两直线平行 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，添加下列一个条件后，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，添加下列一个条件后，能判定的是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，将一款教室护眼灯用两根电线吊在天花板上，A、B是护眼灯上的两个固定点，C、D是天花板上的两个固定点，已知，为保证护眼灯与天花板平行（即），下面添加的条件中，正确的是（    ）    A． B． C． D． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，点D、E、F分别是上的点，连接，则下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在三角形中，点E，D，F分别在上，连接，下列条件中，能推理出的是（    ） A． B． C． D． 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点是延长线上一点，请添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）． 7. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，直线经过点A，请写出一个能判定的条件 ．（写出一个即可） 平行线的判定 1. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线、分别与相交于点、，已知，，试说明：．    2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知平分，求证：． 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，∠1＝∠C，AC平分∠DAB，求证：． 4. （21-22八年级上·陕西榆林·期末）在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC． 5. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知直线分别交直线于点G、H，平分交于点M，若，，求证：． 6. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，与相交于点，，且平分．试说明：． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知，，，求证：ab． 8. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 尺规作图---平行线 1. （21-22八年级上·陕西西安·期末）尺规作图，如图过点A作直线l的平行线（不写作法，保留作图痕迹）． 2. （21-22八年级上·陕西铜川·期末）如图，点是射线上一点，请用尺规作图法，求出线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹）    3. （23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，延长至点D，请用尺规作图法求作射线，使得，且点E在上方．（保留作图痕迹，不写作法） 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知△ABC，点P在△ABC内，利用尺规在BC上找一点Q，使得直线PQ∥AC（不写作法，保留作图痕迹）． 平行线的性质与判定 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，，可推得，请说明理由． 2. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 3. （20-21八年级上·陕西西安·期末）如图， ，， ．求证：． 4. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，连接、交于点．连接并延长到点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 5. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，点，，分别在直线，，上，已知，．      (1)与平行吗？请说明理由． (2)若，，求的度数． 6. （22-23八年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，. (1)求证：； (2)若，是的平分线，试判断与的位置关系，并说明理由． 7. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，分别交、于点E、F，点H、M是上的点，，于点G，求证：．    8. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，为上一点，为上一点，连接，，若，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的度数． 9. （21-22八年级上·陕西铜川·期末）如图，已知，， 交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 10. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，已如，．求证：．    11. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知，．求证：． 三角形内角和定理及三角形的外角 1. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在△ABC中，点D是BC延长线上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，与AC交于点F，∠A=40°，∠D=30°，则∠FCD的度数是(   ) A．100° B．110° C．120° D．140° 2. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，是的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期末）三角形三个内角的比为，则这个三角形最大的外角是 度． 4. （20-21八年级上·陕西榆林·期末）如图，则的度数是 ．    5. （22-23八年级上·陕西西安·期末）叙述并证明三角形内角和定理． 6. （23-24八年级上·陕西延安·期末）在中，，，求的度数． 7. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 平行线与三角形内角和 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2. （22-23八年级上·陕西铜川·期末）如图，已知l1l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．55° C．45° D．60° 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线，线段交，于，两点，过点作交直线于点，若，则（    ） A． B． C． D． 4. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，，垂足为E，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．80° 角平分线与三角形内角和 1. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，是的角平分线，交于点D．若，，求的度数．    2. （23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，平分，求的度数． 3. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，与分别是的角平分线和高，若，，求的度数． 4. （20-21八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2． (1)求证：AB∥CD； (2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数． 5. （23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，，平分，求与的度数． 6. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于点，若，求的度数． 7. （22-23八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是的角平分线，于点，若，，求及的度数． 8. （21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，是的角平分线，点E在线段上，于点平分交的延长线于点M，若． (1)_________；（用含的式子表示） (2)求证：． 9. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，中，BE为AC边上的高，CD平分，CD、BE相交于点F．若，，求的度数． 三角形内角定理应用 1. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则等于（  ） A． B． C． D． 2. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）把一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数为 ． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）枣庄市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．当为 度时，AM与CB平行． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，点是一点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连结交、于点和点，连结、．若，则的大小为 度． 5. （22-23八年级上·陕西西安·期末）请解答下列各题： （1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，． ①由条件可知：，依据是 ，，依据是 ． ②反射光线与平行，依据是 ． （2）解决问题：如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则 ； ． 平行线与拐点问题 1. （21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，已知，求之间有什么数量关系． 2. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图1，，点C、B分别在直线、上，点A在直线、之间． (1)求证：； (2)如图2，已知直线，P为平面内一点，连接，．若，，求的度数． 3. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）通过第5章的学习，我们知道：已知直线，若直线，则．这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题．已知直线，点E在之间，点P，Q分别在直线上，连接．    (1)如图①，作，运用上述结论，探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若，，探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，直接写出、、、、之间的数量关系． 平行线的性质和判断（提高） 1. （20-21八年级上·陕西铜川·期末）如图，在中，点在上，点在上，点在上，且，．    (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 2. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，点F在DC上，且∠1+∠2=180°，∠3=∠B．求证：DE∥BC． 3. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，为的角平分线，点E、F、G分别在的边、、上，连接、，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，已知． (1)求证：； (2)若平分，于点A，，求的度数． 5. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）已知：如图，∠BAP+∠APD =180°，∠1 =∠2.求证：AE∥PF．    6. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，点E，F在边上，点D在边上，点G在边上，连接与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 7. （22-23八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点D，E分别在上，点G，F在CB上，连接．，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 三角形折叠角度计算 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2. （20-21八年级上·陕西西安·期末）如图，把纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED的外部，，，则的度数为（    ） A．32° B．30° C．28° D．26° 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．    5. （21-22八年级上·陕西商洛·期末）如图所示，将三角形纸片沿折叠，点A落在点P处，已知，则是 度．    6. （23-24八年级上·陕西西安·期末）将按如图所示翻折，为折痕，试写出，和之间的数量关系 ． 7. （23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，平分交于点D，点E为的延长线上一点，过点E作于点F，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 平行线中的角度计算 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，CD是的角平分线，点E在AC上，，若，，求的度数． 2. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，于点，交于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 3. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 4. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，于点D，于点F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，过点作边上的高，交的延长线于点，平分，交于点．    (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 6. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，，点是的延长线上的一点，交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 7. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，D、E、F三点分别在上，过点D的直线与线段相交于点M，已知    (1)说明： (2)若，，，求的度数． 三角形中的双角平分线 1. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的外角和的平分线交于点，则的度数为 ． 2. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，分别平分，，若，，则 ． 4. （21-22八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 5. （21-22八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，则∠BD2C的度数是 ． 6. （23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)当，时， _____， ____； (2)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 7. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，分别平分，且交于点O，为外角的平分线，交的延长线于点E．记，已知．求与的度数． 平行线性质与判定综合探究 1. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)如图1，求证； (2)如图2，与的角平分线交于点P，的延长线与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，交于点Q，，求的度数． 2. （23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)观察猜想，与的数量关系是　　；与的数量关系是　　； (2)类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当等于多少度时，画出图形并简要说明理由； (3)拓展应用，若，求的度数；并直接写出此时与的位置关系． 3. （23-24八年级上·陕西西安·期末）如图1，，在、内有一条折线． （1）求证：； （2）在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系． 4. （21-22八年级上·陕西西安·期末）已知，，直线与直线，分别交于点E，F． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，H是上一点，且．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 5. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由； (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系． 三角形内角、外角综合探究题 1. （23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 2. （22-23八年级上·陕西宝鸡·期末）综合与探究：    (1)如图，、分别是的内角，的平分线，证明：． (2)如图，，分别是的两个外角，的平分线，与之间的等量关系是______． (3)如图，，分别是的一个内角和一个外角的平分线，，交于点，探究与之间的等量关系，并说明理由． 3. （22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图，A，两点同时从原点出发，点A以每秒个单位长度沿轴的负方向运动，点以每秒个单位长度沿轴的正方向运动．    (1)若，分别求出1秒后A，两点的坐标； (2)如图①，设的两外角平分线相交于点．点A、在运动的过程中，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由； (3)如图②，若的平分线与的外角平分线的反向延长线相交于点，随着A，两点的运动，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 4. （20-21八年级上·陕西铜川·期末）探究：如图①，，OF平分，OH平分，且点O、E、G均在直线EG上，直线EG分别与AB、CD交于点E、G． (1)若，，则______． (2)若，求的度数． (3)如图②，和的平分线FO、HO交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 5. （23-24八年级上·陕西渭南·期末）阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系． (1)特例探索：若，则______度；______度； (2)类比探索：求，，的关系，并说明理由； (3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由． 6. （22-23八年级上·陕西西安·期末）如图，是的平分线，，点和点在直线的同侧，设，． (1)如图1：若，求证：． (2)若，且，求的度数． (3)设，若，且，求的度数． 7. （21-22八年级上·陕西咸阳·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D． (1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °． (2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$