第09讲：函数的零点和函数的模型期末高频考点题型讲与练【10大题型】-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

第09讲:函数的零点和函数的模型期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 考点01：函数零点存在定理 · 考点02：用二分法求函数f(x)零点近似值 · 考点03：函数的零点所在区间求参数问题 · 考点04：零点的个数或根个数问题 · 考点05：比较零点大小或者求和问题 · 考点06：零点个数求参数问题 · 考点07：二次函数零点分布求参数问题 · 考点08：对指幂函数零点分布求参数问题 · 考点09：函数模型的应用 · 考点10：函数与方程的综合问题 【知识梳理】 知识点01．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根． 知识点02．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 知识点03．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 【题型归纳】 题型一：函数零点存在定理 1．（24-25高一上·全国·期末）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东深圳·期末）函数 的零点所在的区间为（      ） A． B． C． D． 题型二：用二分法求函数f(x)零点近似值 4．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 6．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 题型三：函数的零点所在区间求参数问题 7．（21-22高一上·海南·期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一上·内蒙古包头·期末）已知为幂函数，（，且）的图象过点．，若的零点所在区间为，那么（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．（20-21高一上·北京·期末）已知函数，若函数在上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：零点的个数或根个数问题 10．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，则方程的根的个数是（    ）． A． B． C． D． 11．（23-24高一上·天津·期末）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 12．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D．函数有6个零点 题型五：比较零点大小或者求和问题 13．（21-22高一上·湖北鄂州·期末）已知方程、、的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 14．（21-22高一上·福建宁德·期末）已知函数，，的零点分别为则的大小顺序为（  ） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：零点个数求参数问题 16．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·福建南平·期末）若函数在恰好有3个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·河南南阳·期末）设集合，，函数.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：二次函数零点分布求参数问题 19．（21-22高一上·安徽合肥·期末）函数有两个零点，且分别在与内，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 20．（2023高一·全国·专题练习）已知关于的方程，存在两个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高一上·广东茂名·期末）已知函数，若关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八：对指幂函数零点分布求参数问题 22．（21-22高一上·贵州毕节·期末）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 23．（22-23高一上·江苏南京·期末）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九：函数模型的应用 25．（24-25高一上·安徽池州·期中）为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产千台智能按摩椅，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完. (1)求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千台）的函数解析式； (2)更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 26．（23-24高一上·广东汕尾·期末）物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为，空气温度为（），则分钟后物体的温度满足（为常数）．实验测算，当时满足． (1)求的值； (2)茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面．经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚沏出来时茶水温度为75℃，等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳．已知空气温度为25℃，则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果保留一位小数，参考数值：，，） 27．（23-24高一上·贵州遵义·期末）金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②；③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：） 题型十：函数与方程的综合问题 28．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数． (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围． 29．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数，，. (1)当时，判断函数的奇偶性并证明； (2)当且时，利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增； (3)求证：当且时，方程在内有实数解. 30．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知函数对一切实数，都有成立，且，其中． (1)求的解析式； (2)若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围. 【强化精练】 一、单选题 31．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）函数的零点属于区间（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（    ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 34．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）若关于的方程有4个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 37．（23-24高一上·江苏南通·期中）火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ） （参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 38．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若函数与函数的图象有两个不同的交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 41．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数，有且，则下列选项成立的是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知函数，若函数有5不同的零点，则实数的值可能是（ ） A． B． C． D． 44．（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，，，，是函数的4个零点，且，则（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的最大值是 45．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．若有个零点，则或 C．若有个零点，则或 D．若的个零点分别为：，，，则的取值范围为 三、填空题 46．（22-23高一上·辽宁大连·期末）已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 . 47．（23-24高一上·河南·期末）已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 . 48．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则函数的零点个数为 . 49．（23-24高一上·上海·期末）设，若定义域为的函数的图象关于直线、直线、直线都成轴对称，且在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数的最小值是 . 四、解答题 50．（24-25高一上·浙江宁波·期中）文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元. (1)写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系； (2)求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本） 51．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数（，且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值； (2)若关于t方程在有且仅有一个根，求实数k的取值范围． 52．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 53．（23-24高一上·广东湛江·期末）设，函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)若函数恰有两个零点，求证：． 54．（23-24高一上·广西贺州·期末）设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲:函数的零点和函数的模型期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 考点01：函数零点存在定理 · 考点02：用二分法求函数f(x)零点近似值 · 考点03：函数的零点所在区间求参数问题 · 考点04：零点的个数或根个数问题 · 考点05：比较零点大小或者求和问题 · 考点06：零点个数求参数问题 · 考点07：二次函数零点分布求参数问题 · 考点08：对指幂函数零点分布求参数问题 · 考点09：函数模型的应用 · 考点10：函数与方程的综合问题 【知识梳理】 知识点01．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根． 知识点02．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 知识点03．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 【题型归纳】 题型一：函数零点存在定理 1．（24-25高一上·全国·期末）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点的存在性定理的应用即可求解. 【详解】由题意知，， ， 所以，而函数为上的增函数， 由零点的存在性定理知函数的零点在区间. 故选：C 2．（23-24高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数零点存在定理即可直接判断选项. 【详解】函数为上的增函数，， 又，且，因为， 所以所在区间为. 故选：B 3．（23-24高一下·广东深圳·期末）函数 的零点所在的区间为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可． 【详解】函数的定义域为， 函数在上单调递增， 又，， 根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为． 故选：B . 题型二：用二分法求函数f(x)零点近似值 4．（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 5．（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 【答案】C 【分析】由二分法的定义直接求解即可. 【详解】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为， 故没有达到精确的要求，应该接着计算的值. 故选：C 6．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【分析】由参考数据可得，区间满足题干要求精确到，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以不必考虑端点； 因为，所以不必考虑端点和； 因为，，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度0.1； 所以方程的一个近似根（精确度0.1）是区间内的任意一个值（包括端点值）， 根据四个选项可知：. 故选：C. 题型三：函数的零点所在区间求参数问题 7．（21-22高一上·海南·期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理知，代入解不等式即可得解. 【详解】函数在区间内存在零点，且函数在定义域内单调递增， 由零点存在性定理知，即，解得 所以实数的取值范围是 故选：B 8．（21-22高一上·内蒙古包头·期末）已知为幂函数，（，且）的图象过点．，若的零点所在区间为，那么（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得的解析式，求得的解析式，可得的解析式，再根据函数的零点存在性定理，求得的值． 【详解】解：为幂函数，，， 的图象过点， ，，， 故在上单调递增， 由于（1），（2），故在区间上存在唯一零点， 的零点所在区间为，，那么， 故选：C． 9．（20-21高一上·北京·期末）已知函数，若函数在上有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据该分段函数的性质，由函数零点问题转化为函数图像交点问题，由的奇函数的性质，转化为时有两解，结合函数图像即可得解. 【详解】   由， 所以为奇函数，根据对称性可得时有两个零点即可，令， 可得，若则，即有两解， 结合对称性可得：如图所示可得：，所以.故选：A 题型四：零点的个数或根个数问题 10．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，则方程的根的个数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，可求出所有的根. 【详解】设，由方程. 若，则. 再由，若，则或；若，则或. 若，则或. 再由，若，则，无解；若，则或； 由，若，则，无解；若，则或. 综上可知，方程有8个根. 故选：B 【点睛】方法点睛：分段函数的问题一般要分段解决. 11．（23-24高一上·天津·期末）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】B 【分析】根据奇偶性和周期性画出的图象，再结合的图象来求得正确答案. 【详解】依题意，，所以是周期为的周期函数， 由于是偶函数，且当时，， 由此画出与的图象如下图所示，时，， 由图可知，两个函数有个交点， 所以函数的零点个数是. 故选：B 12．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D．函数有6个零点 【答案】B 【分析】作出函数的图象，对于A：直接观察即可；对于B：通过求解；对于C：根据图像得到，，进一步计算求解；对于D：令，求出的根，代入，继续根据图像可求根的个数. 【详解】作出函数的图象如下： 对于A：关于x的方程有四个不同的根，即函数与的图象有4个交点，由图象可得，A错误； 对于B：由图可知，解得，B正确； 对于C：由图象知，所以，且， 所以， 又由， 所以，C错误； 对于D：对于函数函数，令，则， 可得， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 综合得函数有个零点，D错误. 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于零点个数问题，可以转化为函数图像的交点个数来求解，直观，方便. 题型五：比较零点大小或者求和问题 13．（21-22高一上·湖北鄂州·期末）已知方程、、的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断结果. 【详解】由得，， 由方程得的根为 a，由方程得的根为b. 在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，    由图象知，，，. 故选：B 14．（21-22高一上·福建宁德·期末）已知函数，，的零点分别为则的大小顺序为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可． 【详解】函数，，的零点转化为，，与的图象的交点的横坐标，因为零点分别为 在坐标系中画出，，与的图象如图： 可知，，， 满足． 故选：． 15．（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果. 【详解】由题意作函数与的图象， ∵方程有四个不同的解且， ∴关于对称，即， 当得或，则， 由题知，，故， 所以， 故， 因为， 设，则由对勾函数的性质可知， 在单调递增，所以， 的取值范围是 故选：B. 题型六：零点个数求参数问题 16．（23-24高一上·安徽·期末）已知数若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出的取值范围． 【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且， 由，得，则， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减， 在上单调递增，且，， ， 所以的取值范围是． 故选：B． 17．（23-24高一上·福建南平·期末）若函数在恰好有3个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数在恰好有3个零点转化为函数在上恰有条对称轴，利用正弦曲线列不等式求解即可. 【详解】令得， 因为函数在恰好有3个零点， 所以函数在上恰有条对称轴， 当时，， 函数在上恰有条对称轴，如图：   ， 则，解得. 故选：C. 18．（23-24高一上·河南南阳·期末）设集合，，函数.若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数恰有两个零点转化有两个根，设，，即与函数有两个交点，作出的图象，结合图象分析实数的取值范围. 【详解】函数恰有两个零点转化有两个根，设，，则与 函数有两个交点， 由题可得：，作出的图象如下：    由题可得，，， 所以要使与函数有两个交点，则实数的取值范围. 故选：B 题型七：二次函数零点分布求参数问题 19．（21-22高一上·安徽合肥·期末）函数有两个零点，且分别在与内，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，可解得实数a的取值范围． 【详解】由题意可得：， 解得. 故选：C. 20．（2023高一·全国·专题练习）已知关于的方程，存在两个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性与最值，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】由题意可得，即在时有2个不同的解， 设，根据双勾函数的性质可知， 在单调递减，单调递增， 且， 要使在时有2个不同的解， 则， 故选:D. 21．（22-23高一上·广东茂名·期末）已知函数，若关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式画出函数的图象，将方程根的个数转化成函数图象交点的个数，再利用一元二次函数根的分布即可求得参数的取值范围. 【详解】由函数的解析式画出函数图象如下： 若方程有6个不同的实数根， 令，结合图象可知与函数的图象有三个交点，则； 等价于关于的一元二次方程在上有两个不同的实数根， 所以需满足，解得， 即的取值范围是. 故选：C 题型八：对指幂函数零点分布求参数问题 22．（21-22高一上·贵州毕节·期末）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于x的方程有两个不同的实数根，即与有两个不同的交点，作函数与函数的图象，数形结合即可求出m的范围. 【详解】关于x的方程有两个不同的实数根，即与有两个不同的交点，作函数与函数的图象如图， 结合图象知，当与有两个不同的交点时，. 故选：C． 23．（22-23高一上·江苏南京·期末）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数单调性,再由确定范围,即可确定实数的取值范围. 【详解】 已知,, 函数的零点为，可得, 函数的零点为， 则 又因为,这两函数均单调递增， 当时，,解得. 故选:D. 24．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 因为关于的方程有个不同的实数根， 则关于的方程在内有两个不等的实根， 设，则函数在内有两个不等的零点， 所以，，解得. 故选：A. 题型九：函数模型的应用 25．（24-25高一上·安徽池州·期中）为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产千台智能按摩椅，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完. (1)求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千台）的函数解析式； (2)更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 【分析】（1）根据题意，由条件可得，即可得到函数关系式； （2）分别求得与的利润最大值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由已知，， 又 所以； （2）当时，， 则当时，； 当时，， 当且仅当，即时，. 因为，所以的最大值为390， 故当产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 26．（23-24高一上·广东汕尾·期末）物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为，空气温度为（），则分钟后物体的温度满足（为常数）．实验测算，当时满足． (1)求的值； (2)茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面．经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚沏出来时茶水温度为75℃，等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳．已知空气温度为25℃，则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果保留一位小数，参考数值：，，） 【答案】(1)； (2)8.6分钟 【分析】（1）将代入和即可求解； （2）根据题意，得到，，，代入函数的解析式，结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知， ，得，即， 所以； （2）设刚沏出来的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感， 由题意可知，，，， 所以，即， 所以， 所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6分钟才能达到最佳饮用口感． 27．（23-24高一上·贵州遵义·期末）金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②；③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：） 【答案】(1)选模型②，且； (2)6.5min； (3). 【分析】（1）通过表格数据，发现水温随着时间变化逐渐降低，且降低的速度逐渐变慢，所以是第②个函数模型，只需将具体数值代入，即可求得解析式； （2）最佳饮用口感温度为，代入解析式，利用对数式求得； （3）求出的最小值，即为答案. 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，即，可得， 所以且. （2）令，则. 所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为6.5min. （3）由，即，所以进行实验时的室温约为. 题型十：函数与方程的综合问题 28．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数． (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)在上单调递增， 【分析】（1）根据函数奇偶性定义可求得； （2）根据函数单调性定义化简计算可得结论； （3）利用复合函数单调性可判断在上单调递增，再根据零点存在定理解不等式可得实数m的取值范围． 【详解】（1）由函数为奇函数可得， 即，所以， 可得，解得； 又当时，无意义，舍去； 经检验，时，为奇函数，满足题意； 可得 （2）由（1）可知， 取，且， 则， 显然，所以， 可得， 因此函数在上是减函数. （3）由（2）可得函数在上是减函数， 根据复合函数单调性可知在上单调递增， 又因为为单调递增， 所以函数在上的单调递增； 若在上只有一个零点，可得， 即，解得； 可得实数m的取值范围为． 29．（23-24高一上·北京东城·期末）已知函数，，. (1)当时，判断函数的奇偶性并证明； (2)当且时，利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增； (3)求证：当且时，方程在内有实数解. 【答案】(1)为奇函数；证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先判断定义域是否关于原点对称，在利用判断函数为奇函数； （2）利用定义判断函数的单调性； （3）先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理判断方程在内有实数解. 【详解】（1）当时，，，定义域关于原点对称； ，即， 所以为定义在上的奇函数. （2）当且时，， 当时，设， ， 因为，所以，，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）当且时，， 设， ， 因为，所以， ，， 则，，， 所以，即， 所以在上单调递增； 因为，， 所以根据零点存在性定理：使； 所以当且时，方程在内有实数解. 30．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知函数对一切实数，都有成立，且，其中． (1)求的解析式； (2)若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）令，，求得，再令，求得，即可得解； （2）令，可得则，方程可化，由题意可得方程有两个不等实根，作出函数的图象，进而可得出答案. 【详解】（1）∵， 令，，得， 又，所以， 在中， 令，得， ∴， 所以且； （2）令，可得则， 函数的图象如图： 方程可化为， 即， 因为方程有三个不同的实数解， 由函数的图象可知，方程有两个不等实根， 不妨设，则，，令， 则，此时解得，或，此时无解， 综上所述：实数的取值范围是. 【强化精练】 一、单选题 31．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）函数的零点属于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用单调性结合零点存在性定理判断即可. 【详解】依题意，函数在上单调递增， 而， 所以函数的零点属于区间是. 故选：D 32．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C 33．（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（    ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案. 【详解】物实验中，血液中药物含量为的浓度为， 设至少经过个小时才会“药物失效”，根据题意 ，两边取对数得， 可得. 所以至少经过个小时才会“药物失效”. 故选：D. 34．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）若关于的方程有4个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，作出函数的图象与直线，结合图象即可求出实数a的取值范围. 【详解】令，问题转化为函数的图象与直线有四个不同交点. 由得为偶函数，函数图象关于轴对称. 当时，，作出函数的图象与直线，如图所示：    由图可知，当时，满足条件. 故选：A . 35．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】 的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数， 故， 故选：D. 36．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和. 【详解】由题知 是奇函数,则有： ,  关于对称， 且 , 时， , 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据 对称性及解析式画出图象如下： 由图像可知 有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5. 故选：C. 37．（23-24高一上·江苏南通·期中）火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（   ） （参考数据，） A．22.1 B．22.3 C．22.5 D．22.7 【答案】C 【分析】首先将条件中的数据代入速度公式求，再估算，即可判断选项. 【详解】由题意可得，，， 代入题目公式，可得：，， ，， 代入值可得：，， 需装载的推进剂的吨数约为， ， ， ， ， 结合选项，选择C． 故选：C 38．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，即可得出答案. 【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得. 所以. 故选：B. 39．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若函数与函数的图象有两个不同的交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意方程有两个不同的解，利用韦达定理得，则转化为求的范围即可. 【详解】，作出函数图象如图：    因为函数与函数的图像有两个不同的交点，所以或， 且方程即有两个不同的解. 故，所以， 因为或，所以或， 所以. 故选：B 40．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得函数与有四个不同的交点，作出函数与的图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可. 【详解】因为函数有四个不同的零点， 所以有四个不同的解，即函数与有四个不同的交点， 作出函数与的图象如图所示： 又时，，由图象可得，故B不正确， 由，得或，所以由图象可得，故A正确； 由图象可得，所以，即， 即，所以，故C错误； 又，关于对称，故，故D错误， 故选：A. 关键点点睛：此题考查对数函数图象的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将问题转化为函数与有四个不同的交点，然后作出函数图象，结合图象分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题. 二、多选题 41．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】由所给的函数值表知， 由零点存在定理可知：在区间内各至少有一个零点， 故选：BCD. 42．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数，有且，则下列选项成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用对数性质判断选项A；再利用零点存在定理判断得，从而判断选项B、C、D. 【详解】因为有且 所以，即，得 所以，且 所以A正确 （因为）， 故即 ， 令 当时， 当时，， 而 故在之间必有解，所以存在，使得所以C正确 ，所以B不正确 ，所以D正确    故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 43．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知函数，若函数有5不同的零点，则实数的值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， ，解得：或， 如图，画出函数的图象， 时，与的图象有4个交点， 所以与的图象只能有1个交点，则，得， 由选项判断或成立. 故选：CD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 44．（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，，，，是函数的4个零点，且，则（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的最大值是 【答案】BD 【分析】作出函数的图象，结合图象判断A，对方程化简，利用基本不等式求出范围判断B，由对数的运算性质得出，利用函数单调性和基本不等式可判断C，D. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 对选项A，由条件，函数有4个零点，即有4个不等实数根， 即与的图象有四个交点，由图象知，故选项A错误； 对选项B，因为，，，是函数的4个零点， 且，所以，，所以， 所以，， 由，所以， 即，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 又因为，所以， 即，所以， 所以，即，故选项B正确； 对选项C，因为，，，所以由图可知，， 由，，得， 因为，所以， 所以，所以，  即 ， 所以  ， 因为 ，且在 单调递减， 所以，即的取值范围不为，故选项C错误； 对选项D，由选项B可得，，所以， 由选项C可知，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以 ， 所以 的最大值是，故选项D正确. 故选：BD. 45．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数，则（    ） A．的值域为 B．若有个零点，则或 C．若有个零点，则或 D．若的个零点分别为：，，，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】作出分段函数的图象，通过观察并验证易得函数值域；对于的零点问题，可以转化成与的图象公共点问题，易于判断B,C两项，对于D项，则需要就这条等高线确定函数零点，，对应的函数值得到，结合即得的取值范围. 【详解】 对于A选项，先作出的图象如图，可得时，；时，. 则的值域为，故A项正确； 对于B选项，由，即，由图知当或时，与只有一个交点， 即有一个零点，故B项错误； 对于C选项，同理由图知，当或时，与有两个交点，即有两个零点，故C项正确； 对于D选项，如图，当时，与有三个交点，即有三个零点，，， 则,且,则，于是， 因，可得，故.故D项正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：解决的关键在于要作出函数的图象，并会利用函数的零点与方程的根及对应的两函数图象的交点进行转化的观点来处理，有时还需要利用等高线选设未知数列出方程来求解. 三、填空题 46．（22-23高一上·辽宁大连·期末）已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，则，再分和两种情况讨论，结合图象即可得出答案. 【详解】如图，作出函数的图象， 令，则， 当时，由，得或， 即或， 若方程只有一个解， 则，解得， 若方程只有一个解， 则，解得， 此时方程必有解，与题意矛盾，所以， 当时，由，得，即， 令，解得， 要使方程只有一个解， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 47．（23-24高一上·河南·期末）已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用换元法结合二次函数的零点计算即可 【详解】易知，令， 则满足条件需关于的方程在上有两个不相等的实数根， 由，解得. 故答案为：. 48．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】 【分析】画出函数的图象，令，可得，求得的值，结合图象，根据交点的个数，即可求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 令，即，令，可得， 若，令，解得或； 若，令，解得， 当时，即，此时函数和的图象有4个交点，即4个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点. 综上可得，函数的零点个数为7个. 故答案为：. 49．（23-24高一上·上海·期末）设，若定义域为的函数的图象关于直线、直线、直线都成轴对称，且在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数的最小值是 . 【答案】13 【分析】根据函数的多对称性得出周期，尽可能减少零点个数并作出图象说明其存在性即可. 【详解】因为函数关于直线对称，又直线为对称轴， 所以也是函数的对称轴，又是的对称轴， 则直线也是函数的对称轴，进而也是函数的对称轴. 又由关于直线对称，则； 由关于直线对称，则， 则，故是以为周期的函数. 所以由在有5个零点，则在有5个零点， 且在至少有5个零点， 当在有5个零点时，则在无零点， 由函数关于直线对称可知， 必有，即为其中一个零点，且在无零点， 故在各有2个零点. 由函数以为周期可知，也是函数的零点， 且函数在，，无零点，故在， 各有2个零点， 由上分析，在有5个零点，在无零点， 此时在区间上的零点个数为个. 如图，可作出满足题意的函数的图象，其在上有13个零点， 所以在上的零点个数的最小值是13. 故答案为：13.    四、解答题 50．（24-25高一上·浙江宁波·期中）文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t（天）的函数，其中，.每件汉服的日综合成本为20元. (1)写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系； (2)求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照“租赁利润＝租赁收入－租赁成本”可以写出利润Y与时间t之间的函数关系； （2）应用二次函数性质与对勾函数性质分段求出最大值，再比较两值大小即可得到利润Y的最大值. 【详解】（1）解：依题意可知，， 即 （2）解：因为， 所以当时，， 所以当时； 当时， ， 当且仅当,， 即时等号成立，而， 由对勾函数性质可知在单调递减， 所以当，即时，， 又因为， 所以当时，该店日租赁利润Y的最大值为. 51．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数（，且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值； (2)若关于t方程在有且仅有一个根，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义可确定的值. （2）先确定函数的单调性，结合函数的奇偶性，班函数方程转化为代数方程，再求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是上的奇函数，所以恒成立. 所以恒成立恒成立恒成立， 即恒成立，所以. （2）， 设，则 因为在上单调递增，所以， 又，所以即， 所以是上的增函数. 在上只有一解. 问题转化为：关于的一元二次方程在只有一解. 设. ①若或. 当时，，故符合题意； 当时，，故不符合题意； ②若，或，在只有一解，故符合题意； 若，方程或，在上有两解，故不符合题意； ③若，此时方程在上只有一解. 综上可知：. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性求参数，常用的方法有： （1）利用特殊点的函数值的关系求出参数的值，该方法需要验证； （2）直接利用函数奇偶性的概念求参数，该方法不需要验证. 52．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数 (1)若，当时，求函数的值域； (2)若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解. （2）换元，转化成二次函数零点分布问题求解. 【详解】（1）当时，. 设，因为，所以. 则，. 因为该函数在上单调递减，在上单调递增. 且， ， 所以，所求函数的值域为： （2）设，因为，所以. 问题转化为：方程在上有两个不等实根. 所以. 所以，实数的取值范围是： 53．（23-24高一上·广东湛江·期末）设，函数． (1)讨论函数的零点个数； (2)若函数恰有两个零点，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）化简函数由，令，得到，结合，得到，分类讨论，结合余弦函数的性质，即可求解； （2）设两个零点，转化为，分和，两种情况讨论，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由， 令，因为，可得，且， 令，即，又因为， 当或，即时，此时无解； 当，即时，仅有一解，此时仅有一解； 当，即时，有两解， 因为各有一解，此时恰有两个零点， 综上可得，当时，无零点；当时，恰有一个零点；当时，恰有两个零点. （2）解：若恰有两个零点时， 令，所以为的两解， 所以，所以，所以， 由，可得，所以，则， 所以； 由，可得，所以， 因为在上单调递减，可得，所以． 54．（23-24高一上·广西贺州·期末）设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，即可得到，解得，从而求出即可； （2）依题意可得在上有解，令，，则问题转化为在上有解，令，，根据单调性求出的取值范围，从而求出的取值范围. 【详解】（1）由“不动点”定义知：当时，， 所以，即， 解得或（舍去），所以，且 所以函数在上的不动点为. （2）根据已知，得在上有解， 所以在上有解， 令，， 所以，即在上有解， 所以在上有解， 设，，则在上单调递增，故， 所以，可得， 又在上恒成立， 所以在上恒成立，则，则 ， 综上，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“不动点”的定义，将问题转化为方程有解问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$