第08讲：幂函数期末高频考点题型讲与练【10大题型】-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

第08讲：幂函数期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 题型一：幂函数的定义 · 题型二：幂函数的定义域和值域问题 · 题型三：幂函数的定点和图像问题 · 题型四：幂函数的单调性问题 · 题型五：幂函数单选性解不等式 · 题型六：幂函数比较大小问题 · 题型七：幂函数的奇偶性问题 · 题型八：幂函数的综合问题 【知识梳理】 知识点01：.幂函数 (1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 知识点02：五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点03　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【题型归纳】 题型一：幂函数的定义 1．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知幂函数的图象不经过第二象限，则（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（23-24高一上·河南漯河·期末）已知幂函数在上为减函数，则等于（    ） A．3 B．4 C． D．或4 3．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 题型二：幂函数的定义域和值域问题 4．（21-22高一上·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．为减函数 6．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则（    ） A．时，是偶函数 B．时，的值域为 C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数 题型三：幂函数的定点和图像问题 7．（23-24高一上·浙江衢州·期末）函数在的图象如图所示，则曲线对应的函数分别为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·上海浦东新·期末）关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（    ） A．幂函数的图象一定经过和 B．幂函数的图象一定关于y轴或原点对称 C．幂函数的图象一定不经过第四象限 D．两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点 9．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 题型四：幂函数的单调性问题 10．（23-24高一上·重庆·期末）是幂函数在上单调递减的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要件 11．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数（    ） A．-1 B．-1或2 C．2 D．3 题型五：幂函数单选性解不等式 13．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（21-22高一上·宁夏·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（21-22高一上·浙江·期末）设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：幂函数比较大小问题 16．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·湖北武汉·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·湖南郴州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型七：幂函数的奇偶性问题 19．（2022高三·全国·专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（    ） A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6 20．（21-22高一上·广东广州·期中）已知幂函数图像经过点．则下列命题正确的有（    ） A．函数在上为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 21．（23-24高一上·辽宁大连·期末）写出一个幂函数的解析式，使之同时具有以下三个性质：①定义域为；②是偶函数；③当时，．则函数的解析式为 ． 题型八：幂函数的综合问题 22．（23-24高一上·湖北·期末）已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减． (1)求和的值； (2)求满足的实数的取值范围． 23．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知幂函数是定义在R上的偶函数． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值． 24．（23-24高一上·天津·期末）若函数为幂函数，且在单调递减． (1)求实数的值； (2)若函数，且， （ⅰ）写出函数的单调性，无需证明； （ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围． 【强化精练】 一、单选题 25．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 26．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A．B． C． D． 27．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一上·云南昭通·期末）（且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 二、多选题 33．（22-23高一上·宁夏银川·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 34．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ）． A．函数为增函数 B．当时， C．函数为偶函数 D． 35．（21-22高一上·广西玉林·期末）已知函数的图象经过点则（   ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．在内的值域为 36．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．的解集为 D． 37．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（    ） A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 三、填空题 38．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 39．（23-24高一上·江苏常州·期末）写出一个在区间上单调递增且为奇函数的幂函数： . 40．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 41．（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 . 42．（23-24高一上·江西九江·期末）若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 43．（23-24高一上·上海·期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 四、解答题 44．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知幂函数的图象关于原点对称． (1)求实数m的值； (2)设，（且），若不等式对任意恒成立，求t的取值范围． 45．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数的图象经过点 (1)求函数的解析式； (2)设函数，求恒成立的的取值范围. 46．（23-24高一上·安徽六安·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 47．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并证明. 48．（23-24高一上·湖南·期中）已知幂函数既不是奇函数，也不是偶函数. (1)求的值； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 49．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递增. (1)求的值，并写出的解析式； (2)解关于的不等式 ，其中. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲：幂函数期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 题型一：幂函数的定义 · 题型二：幂函数的定义域和值域问题 · 题型三：幂函数的定点和图像问题 · 题型四：幂函数的单调性问题 · 题型五：幂函数单选性解不等式 · 题型六：幂函数比较大小问题 · 题型七：幂函数的奇偶性问题 · 题型八：幂函数的综合问题 【知识梳理】 知识点01：.幂函数 (1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 知识点02：五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点03　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【题型归纳】 题型一：幂函数的定义 1．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知幂函数的图象不经过第二象限，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的概念求出，再由函数图象不经过第二象限得出即可． 【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意； 当时，，其图象经过第二象限，不满足题意； 综上，． 故选：D． 2．（23-24高一上·河南漯河·期末）已知幂函数在上为减函数，则等于（    ） A．3 B．4 C． D．或4 【答案】C 【分析】由题意可得且，从而可求出的值. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得或， 因为幂函数在上为减函数， 所以，得， 所以， 故选：C 3．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再分析其性质即可得出答案. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又因为在上单调递增， 故，所以. 故选：B 题型二：幂函数的定义域和值域问题 4．（21-22高一上·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案. 【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 5．（21-22高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．为减函数 【答案】C 【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】解：因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又 在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误； 故选：C 6．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则（    ） A．时，是偶函数 B．时，的值域为 C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A，当时定义域为， 且，所以为偶函数，故A正确； 对于B，当时，，则的值域为，故B错误； 对于C，当时，定义域为，函数不过点，故C错误； 对于D，当时，在上单调递增，故D错误； 故选：A 题型三：幂函数的定点和图像问题 7．（23-24高一上·浙江衢州·期末）函数在的图象如图所示，则曲线对应的函数分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用特例法进行判断即可. 【详解】， 因为， 所以曲线对应的函数分别为， 故选：B 8．（22-23高一上·上海浦东新·期末）关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是（    ） A．幂函数的图象一定经过和 B．幂函数的图象一定关于y轴或原点对称 C．幂函数的图象一定不经过第四象限 D．两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点 【答案】C 【分析】由幂函数的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，函数的图象不经过点，所以A不正确； 对于B，是非奇非偶函数，所以B不正确； 对于C，对于幂函数，当时，一定成立， 所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以C正确； 对于D，，则令，解得：或或， 所以幂函数和有三个交点，所以D不正确. 故选：C. 9．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 题型四：幂函数的单调性问题 10．（23-24高一上·重庆·期末）是幂函数在上单调递减的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要件 【答案】C 【分析】利用幂函数的定义及性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由幂函数在上单调递减，得，解得， 反之，，幂函数在上单调递减， 所以是幂函数在上单调递减的充要条件. 故选：C 11．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 A选项，不满足在上单调递增；BCD选项，结合函数解析式可直接判断出函数单调性，得到答案. 【详解】A选项，在上单调递增， 而的定义域为，故不满足在定义域上单调递增，A错误； B选项，在上单调递减，在上单调递增，故B错误； C选项，的定义域为R，且， 故在R上单调递增，满足要求，C正确； D选项，在R上单调递减，D错误. 故选：C 12．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数（    ） A．-1 B．-1或2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数得到定义，求得或，再结合幂函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数，可得，解得或， 当时，函数在上单调递增，符合题意； 当时，函数在上单调递减，不符合题意， 所以实数的值为. 故选：C. 题型五：幂函数单选性解不等式 13．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件求得的值，即得函数；分别判断该函数的奇偶性和在区间上的单调性；最后将抽象不等式转化成，再通过两边平方化成一元二次不等式求解即得. 【详解】把代入可得：，易得：，则， 显然函数的定义域为R，由知为偶函数. 且，由， 因故，即，故函数在上为增函数. 由，将两边平方整理可得：， 解得：或. 故选：C. 14．（21-22高一上·宁夏·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，进而利用性质解抽象不等式即可. 【详解】∵，均为奇函数，且为R上的增函数， ∴函数为奇函数，在R上为增函数， 由，可得， ∴，即， ∴， 故选：B 15．（21-22高一上·浙江·期末）设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别在和的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果. 【详解】当时，，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 题型六：幂函数比较大小问题 16．（23-24高一上·福建厦门·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为指数函数为上的增函数，则， 又因为幂函数在上为增函数，则，故. 故选：D. 17．（23-24高一上·湖北武汉·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性分别判断出的范围，然后可得到结果. 【详解】由对数函数单调性可知：， 由指数函数单调性可知：， 由幂函数单调性可知：， 所以， 故选：D. 18．（23-24高一上·湖南郴州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质比较，再根据与1的大小关系进行比较即可. 【详解】因为幂函数是上的单调递增函数， 且，所以， 又，故， 故选：B. 题型七：幂函数的奇偶性问题 19．（2022高三·全国·专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（    ） A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6 【答案】B 【分析】由题意可得， ，且为偶数，由此求得m的值． 【详解】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数， ∴，且为偶数 或 当时，满足条件；当时，，舍去 因此：m＝1 故选：B 20．（21-22高一上·广东广州·期中）已知幂函数图像经过点．则下列命题正确的有（    ） A．函数在上为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】设，代入可求得；由定义域知AB错误；根据幂函数单调性可知C正确；作差法可证得，由此知D错误. 【详解】设，则，解得：，； 对于AB，定义域为，定义域不关于原点对称，AB错误； 对于C，在上单调递增，当时，，C正确； 对于D，当时，， ，又， ，D错误. 故选：C. 21．（23-24高一上·辽宁大连·期末）写出一个幂函数的解析式，使之同时具有以下三个性质：①定义域为；②是偶函数；③当时，．则函数的解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意①定义域为；②是偶函数；故不妨取，是正整数，且容易验证，此时满足③当时，，故令，即可得满足题意的一个幂函数的解析式. 【详解】由题意当时，定义域为，且是偶函数（直接由解析式看出）， 当时，，，故满足题意. 故答案为：（答案不唯一）. 题型八：幂函数的综合问题 22．（23-24高一上·湖北·期末）已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减． (1)求和的值； (2)求满足的实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数以及奇偶性等知识求得. （2）根据函数的单调性以及对分类讨论来求得的取值范围. 【详解】（1）由函数为幂函数， 则，解得； 由()在上单调递减， 得，解得，而，故或， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意. 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故. （2）由（1）得，则，即. 故或或， 解得或或，. 故实数的取值范围为. 23．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知幂函数是定义在R上的偶函数． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值． 【答案】(1) (2)当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为7 【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出的值，得函数解析式； （2）求出函数的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值. 【详解】（1）根据题意可得，即， 所以，解得， 又函数是定义在R上的偶函数， 所以，即函数的解析式为． （2）由（1）可知 因，所以， 所以当，即，函数的最小值为； 当时，，函数的最大值为7． 24．（23-24高一上·天津·期末）若函数为幂函数，且在单调递减． (1)求实数的值； (2)若函数，且， （ⅰ）写出函数的单调性，无需证明； （ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)（ⅰ）在区间单调递增；（ⅱ） 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍； （2）（ⅰ）根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得； （ⅱ）利用（ⅰ）的结论求解抽象不等式即得. 【详解】（1）由题意知，解得：或， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意； 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以实数的值为1． （2）（ⅰ），在区间单调递增.证明如下： 任取，则， 由可得：，，则，即， 故在区间单调递增. （ⅱ）由（ⅰ）知，在区间单调递增，又由可得： 则，解得. 【强化精练】 一、单选题 25．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数单调性和充要条件的判定即可得到答案. 【详解】当“ ”时，根据幂函数性质知在上单调递增，则充分性成立； 反之，若“在上单调递增”则“”，必要性也成立， 故“”是“在上单调递增”的充分必要条件， 故选：C. 26．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案. 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. 27．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数，指数函数，对数函数的单调性求出的范围，从而判断大小. 【详解】由在上单调递增，又，所以， 由在R上单调递减，又，所以， 由是上的减函数，又，所以. 所以. 故选：A. 28．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 29．（23-24高一上·云南昭通·期末）（且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质可求得定点，由幂函数的概念设，由条件列式求出，进而可得答案. 【详解】，令，得，， 则（且）恒过定点， 设，则，即，即，∴， 故选：D. 30．（23-24高一上·四川宜宾·期末）已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】幂函数为偶函数，解得，函数在区间上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数a的取值范围. 【详解】为幂函数，则，解得或， 时，；时，. 为偶函数，则. 函数在区间上为单调函数， 则或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故选：D. 31．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用幂函数和偶函数定义确定，再用二次函数对称轴与单调区间的关系讨论即可. 【详解】因为函数为幂函数，则，得或． 当时，为偶函数，符合题意； 当时，为非奇非偶函数，不合题意， 所以，， 则，对称轴为直线． ①若函数在上为增函数，则，解得； ②若函数在上为减函数，则，解得． 综上所述，实数a的取值范围是 故选：B． 32．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】先通过函数是幂函数以及单调性求出的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为对任意，且，满足， 即对任意，都有， 故函数是幂函数且在上单调递增， 所以， 所以， 则，明显为上的奇函数， 由得， 所以， 所以. 故选：A. 二、多选题 33．（22-23高一上·宁夏银川·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】根据幂函数定义和性质，函数值求解，偶函数的判定即可逐个选项判断. 【详解】因为是幂函数，且， 所以，可得，则，A正确； 又定义域为，，B正确； 又，，C错误； 由，可知D正确. 故选：ABD 34．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ）． A．函数为增函数 B．当时， C．函数为偶函数 D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数的性质逐项判断即得. 【详解】设幂函数，则，解得，， 对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，函数的定义域为，，函数为偶函数，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：CD 35．（21-22高一上·广西玉林·期末）已知函数的图象经过点则（   ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．在内的值域为 【答案】CD 【分析】由已知求得函数解析式，再根据幂函数的性质判断． 【详解】由题意，则，∴， ∴是奇函数，图象关于原点对称，在上是减函数，值域为， ， 故选：CD 36．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．的解集为 D． 【答案】BCD 【分析】根据点的坐标确定，函数为奇函数得到A错误，函数为增函数得到B正确，计算得到CD正确，得到答案. 【详解】设幂函数，函数过点，即，解得，即， 对选项A：函数定义域为，，函数为奇函数，错误； 对选项B：函数是增函数，正确； 对选项C：，解得，正确； 对选项D：，正确； 故选：BCD. 37．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（    ） A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由已知点的坐标先求出函数解析式，然后结合幂函数的性质检验各选项即可判断． 【详解】设幂函数，由于图象经过点， 所以，即， 所以， 故在定义域,上单调递增，B正确； 为非奇非偶函数，A不符合题意； 当，解得，故C正确； 当时， ， 故，即成立，D正确． 故选：BD 三、填空题 38．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义以及单调性即可列关系求解. 【详解】由题意可得，解得， 故答案为：3 39．（23-24高一上·江苏常州·期末）写出一个在区间上单调递增且为奇函数的幂函数： . 【答案】（答案不唯一，写一个即可） 【分析】由幂函数的性质求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增且为奇函数，所以幂函数可以为， 故答案为：（答案不唯一，写一个即可） 40．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由幂函数的概念和性质确定的值，再根据单调性求解不等式. 【详解】因为为幂函数， 则，解得，或， 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意， 且在上单调递减，在上单调递增， 若，则， 解得或，即不等式的解集为. 故答案为：. 41．（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用幂函数过的点求出的解析式，再利用单调性解不等式即可. 【详解】设幂函数，依题意，，即，因此，解得， 所以函数的解析式为； 显然函数在上单调递减，且， 于是不等式为：，解得，即或， 所以不等式的解集为. 故答案为：； 42．（23-24高一上·江西九江·期末）若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，根据指数函数的性质求得定点坐标，代入幂函数解析式可得． 【详解】是幂函数，则，∴， 中，令，得，，∴定点为， ∴，又，∴． 故答案为：． 43．（23-24高一上·上海·期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数在时的值域，根据给定条件确定当时的取值集合，再分类讨论求解即得. 【详解】函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为，得函数在时的取值集合包含 当时，在上单调递减，函数值集合为，不符合题意， 当时，，函数值集合为，不符合题意， 当时，在上单调递增，函数值集合为， 由，得，解得，由，得，因此， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 44．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知幂函数的图象关于原点对称． (1)求实数m的值； (2)设，（且），若不等式对任意恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据幂函数定义得到方程，求出或2，由奇偶性舍去不合要求的解； （2）方法一：换元后得到，分和两种情况，变形后，结合对勾函数的单调性，求出答案；方法二：换元后得到，分和两种情况，结合二次函数的对称轴和最值，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）由幂函数的定义可知，所以或2， 当时，为偶函数，不关于原点对称，舍去， 当时，关于原点对称， 所以； （2）方法一：由（1）得，， 令，，，记， 若函数在上恒成立， ①若时，则函数，即恒成立， 令，， 由对勾函数性质得在上单调递增，故， 则，所以，故． ②若时，则需在恒成立， 所以，，由对勾函数性质可得，故． 综上所述：函数在上恒成立时． 方法二：由（1）得，， 令，，，记， 若函数在上恒成立， ①若时，则函数， 由于对称轴，函数在区间上为增函数， 恒成立，所以，故符合题意． ②若时，则需在恒成立， 则：或， 或，解得， 综上所述：函数在上恒成立．则． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法： 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 45．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数的图象经过点 (1)求函数的解析式； (2)设函数，求恒成立的的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）直接解二次不等式即可. 【详解】（1）由已知得，所以， 所以函数的解析式为； （2）由（1）得， 则恒成立，即恒成立，解得. 所以的取值范围为. 46．（23-24高一上·安徽六安·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义求参数m，然后利用偶函数即可求解解析式. （2）利用幂函数单调性解不等式即可，注意定义域的限制. 【详解】（1）由于函数是幂函数，故， 解得或， 当时，不是偶函数，不合题意； 当时，是偶函数，符合题意.故. （2）由（1）知，则原不等式化为， 结合幂函数在上为增函数，得， 解得，即实数的取值范围为. 47．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求； (2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断. 【详解】（1）由幂函数的概念可知，解得或， 又因为幂函数在单调递增，故，即； （2）为偶函数， 证明如下：定义域为R，， 故为偶函数. 48．（23-24高一上·湖南·期中）已知幂函数既不是奇函数，也不是偶函数. (1)求的值； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先根据函数是幂函数求参，再结合奇函数定义判断即可确定参数； （2）应用换元法转化为已知二次函数最值求出参数. 【详解】（1）令，整理为，解得或， ①当时，，可得， 由，知函数为奇函数，不合题意； ②当时，，可得，由函数的定义域为，满足题意. 由①②知，的值为； （2）由（1）有，可得， 令（），有，可得，可化为， 令（）， ①当时，， 又由的最小值为，有，解得； ②当时，， 又由的最小值为，有，解得（舍去）或， 由①②知或. 49．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知函数为幂函数，且在上单调递增. (1)求的值，并写出的解析式； (2)解关于的不等式 ，其中. 【答案】(1)3， (2)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解； （2）由（1）可得原不等式变形为，分类讨论含参一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）因为为幂函数，且在上单调递增， 则，解得，所以； （2）不等式0，即 当，，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为， 当，或，即不等式解集为. 所以，当，不等式解集为， 当，不等式解集为， 当，不等式解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$