第07讲：对数运算和对数函数期末高频考点题型讲与练【10大题型】-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

第07讲：对数运算和对数函数期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 考点01：对数的运算 · 考点02：换底公式 · 考点03：对数函数的定义域（复合型对数函数） · 考点04：对数函数的值域问题 · 考点05：对数函数的图像问题 · 考点06：对数函数的单调性问题（复合函数、求参数） · 考点07：对数函数的单调性比较大小 · 考点08：对数函数的单调性解不等式 · 考点00：对数函数的最值 · 考点10：对数函数的综合问题 【知识梳理】 知识点01：对数：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 知识点02：对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (2)对数的性质 ①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1)． (3)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 知识点03三：对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1,0) (4)当x>1时，y>0; 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0; 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 技巧归纳： 1、换底公式的两个重要结论 (1)logab＝；其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 【题型归纳】 题型一：对数的运算 1．（23-24高一上·浙江·期末）的值为 ． 2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）计算 ． 3．（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算： (1)+； (2). 题型二：换底公式 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·天津·期末）化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 6．（22-23高一上·山东菏泽·期末）（    ） A． B． C．15 D．12 题型三：对数函数的定义域（复合型对数函数） 7．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖北·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·广东·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型四：对数函数的值域问题 10．（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 11．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型五：对数函数的图像问题 13．（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 14．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   15．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，则，且与，且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 题型六：对数函数的单调性问题（复合函数、求参数） 16．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·广东·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 18．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详题型七：对数函数的单调性比较大小 19．（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·河南·期末）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高一下·甘肃·期末）设，，，，则这四个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型八：对数函数的单调性解不等式 22．（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式的解集为 . 23．（23-24高一上·安徽·期末）已知偶函数在单调递减，，若，则实数的取值范围是 . 24．（23-24高一上·四川广安·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，都有恒成立.则不等式的解集为 . 题型九：对数函数的最值 25．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 26．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 27．（22-23高一上·云南昆明·期末）函数的最大值为 . 题型十：对数函数的综合问题 28．（23-24高一上·吉林延边·期末）设函数，且. (1)求实数的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最小值. 29．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 30．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数； (2)若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【强化精练】 一、单选题 31．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·江西宜春·期末）“函数在区间上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·广东深圳·期末）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·全国·期末）已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 36．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   37．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 39．（24-25高一上·江苏南通·期中）下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．若，则. 40．（23-24高一下·江西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数 41．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．若的定义域为，则的取值范围是 B．若的值域为，则的取值范围是 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则的取值范围是 42．（23-24高一上·浙江杭州·期末）养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（    ） A．函数的定义域为，且是奇函数 B．对于任意的，都有 C．对于任意的，都有 D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 三、填空题 43．（23-24高一上·北京延庆·期末） 44．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）函数的单调递增区间为 . 45．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 46．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 47．（23-24高一上·湖南常德·期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 48．（24-25高一上·江苏盐城·期中）化简求值 (1)已知，求的值； (2). 49．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数且． (1)若，求的值； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 50．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数． (1)用定义法证明：函数在是单调递增函数； (2)若，求函数的最小值． 51．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于x的不等式． 52．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 53．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数且的图象过点. (1)求不等式的解集； (2)已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值. 54．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，． (1)若函数在为增函数，求实数的取值范围； (2)当时，，函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲：对数运算和对数函数期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 考点01：对数的运算 · 考点02：换底公式 · 考点03：对数函数的定义域（复合型对数函数） · 考点04：对数函数的值域问题 · 考点05：对数函数的图像问题 · 考点06：对数函数的单调性问题（复合函数、求参数） · 考点07：对数函数的单调性比较大小 · 考点08：对数函数的单调性解不等式 · 考点00：对数函数的最值 · 考点10：对数函数的综合问题 【知识梳理】 知识点01：对数：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 知识点02：对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (2)对数的性质 ①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1)． (3)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 知识点03三：对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1,0) (4)当x>1时，y>0; 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0; 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 技巧归纳： 1、换底公式的两个重要结论 (1)logab＝；其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 【题型归纳】 题型一：对数的运算 1．（23-24高一上·浙江·期末）的值为 ． 【答案】10 【分析】根据对数和幂的运算法则进行计算可得结果. 【详解】原式. 故答案为： 2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）计算 ． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 3．（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算： (1)+； (2). 【答案】(1)0 (2)6 【分析】（1）由对数的运算性质和分数指数幂的运算性质可得答案 （2）由对数的运算法则和性质可得出答案. 【详解】（1）原式= （2）原式=3+log23⋅log32+lg100=3+1+2=6． 题型二：换底公式 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知，，用a，b表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指对互化得，再把利用换底公式计算可得答案. 【详解】因为，所以， . 故选：C. 5．（23-24高一上·天津·期末）化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据换底公式结合运算性质运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 6．（22-23高一上·山东菏泽·期末）（    ） A． B． C．15 D．12 【答案】A 【分析】运用对数的运算性质进行求解即可. 【详解】 故选：A 题型三：对数函数的定义域（复合型对数函数） 7．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组可得函数的定义域. 【详解】由. 所以函数的定义域为 故选：B 8．（23-24高一上·湖北·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式，结合对数函数的单调性解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可得，∴， ∴，即的定义域为， 故选：B 9．（23-24高一上·广东·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列出使函数有意义的不等式组，求解即可. 【详解】由解得，即的定义域为. 故选：A. 题型四：对数函数的值域问题 10．（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据对数函数的单调性求出函数的值域，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或. 故选：A. 11．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则函数在上的值域为等价于在上，结合基本不等式求解即可. 【详解】设， 因为的值域为，所以， 又，，所以， 即，解得：且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 12．（22-23高一上·山西朔州·期末）已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质化简，从而得出值域． 【详解】．故的值域为． 故选：B． 题型五：对数函数的图像问题 13．（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的性质与函数值排除BCD，再利用函数的平移与对称变换判断A，从而得解. 【详解】对于，必有，故CD错误； 又，故B错误； 将函数在轴下方图象翻折到上方可得函数的图象， 再将其在轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象， 进而将得到的函数图象向右平移1个单位， 可得函数的图象，故A正确. 故选：A. 14．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意求出a的值，可得的具体表达式，判断其图象性质，结合选项，即可得答案. 【详解】由于函数，且的图象过点， 故， 则， 该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且上单调递减，在上单调递增， 只有B中图象符合该函数图象特点， 故选：B 15．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，则，且与，且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数运算得到，再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项. 【详解】因为， 所以，， 若，则，排除C， 若，则，排除AB. 故选：D 题型六：对数函数的单调性问题（复合函数、求参数） 16．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得. 【详解】由可得，，解得， 故的定义域为， 由为增函数， 令，对称轴为， 故其单调递减区间为， 所以的单调递减区间为. 故选：D. 17．（23-24高一下·广东·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案 【详解】令，， 当在上单调递增时， 因为是上的增函数， 则需使是上的增函数且，则且， 解得，必有，故必要性成立； 当时，取，可知在上有小于零的情况， 此时无意义，即充分性不成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：C． 18．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可. 【详解】因为在R上是减函数， 所以，解得，即. 故选：D. 题型七：对数函数的单调性比较大小 19．（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数,指数函数单调性，引入中间值，比较，根据指数,对数函数单调性，引入中间值，比较即可. 【详解】根据函数在单调递增，知道， 根据函数在单调递减，知道， 根据函数在单调递减，知道， 综上所得，. 故选：C. 20．（23-24高一上·河南·期末）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 21．（22-23高一下·甘肃·期末）设，，，，则这四个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数以及指数函数的性质求解. 【详解】因为函数单调递减，所以，即； 又因为，，所以， 所以． 故选：A． 题型八：对数函数的单调性解不等式 22．（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性可求解. 【详解】因为，则， ，即，故解集为. 故答案为：. 23．（23-24高一上·安徽·期末）已知偶函数在单调递减，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数单调性和奇偶性得到，利用对数函数单调性求解即可. 【详解】因为偶函数在单调递减，，所以在上单调递增，， 所以等价于，所以， 所以，解得.所以实数的取值范围是. 故答案为：. 24．（23-24高一上·四川广安·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，都有恒成立.则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题目条件得到在上单调递增，结合函数奇偶性得到或，求出答案. 【详解】因为，所以在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，， 所以在上单调递减，， 或，解得或. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型九：对数函数的最值 25．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 26．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】解：因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，， 则问题转化为在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图象， 要想满足在上恒成立，只需，即，解得． 综上：实数的取值范围是. 故答案为： 27．（22-23高一上·云南昆明·期末）函数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据对数的运算可得,配方，根据二次函数的性质即可求最大值. 【详解】 ， 故当时，. 故答案为:. 题型十：对数函数的综合问题 28．（23-24高一上·吉林延边·期末）设函数，且. (1)求实数的值及函数的定义域； (2)求函数在区间上的最小值. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据题意直接代入可求得，再利用对数函数的真数大于零，求得的定义域； （2）先化简函数的解析式，再根据二次函数与对数函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， 由，得，则，解得； 又，解得， 所以的定义域为； （2）由（1）得， 因为，令， 令，则函数在单调递增， 故，即时，取最小值， 故的最小值为0. 29．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式得到，从而求出的解集； （2）换元后得到对于能成立，利用函数单调性求出，得到答案. 【详解】（1），令， 则原不等式可化为，解得，即 所以，不等式的解集． （2）当时，令，可得， 原不等式可化为对于能成立， 即可得对于能成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增，所以， 因此只需即可，得； 即的取值范围是． 30．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并根据定义证明函数是增函数； (2)若对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为，证明见解析 (2) 【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）分析可知，，由可得出，结合参变量分离法可得出，利用指数函数的单调性可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：对于函数，则，可得， 所以，函数的定义域为， 证明单调性：设， 则有， ， 由于，所以，，， 并且 ，则， 于是， 所以，即：， 所以函数在定义域上单调递增． （2）解：当时，， 所以不等式恒成立等价于对任意的恒成立， 等价于在恒成立． 由可得，所以，， 则， 于是实数的取值范围是． 【强化精练】 一、单选题 31．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算性质即可得解. 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D. 32．（23-24高一上·江西宜春·期末）“函数在区间上单调递增”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数及复合函数的单调性，结合充要条件定义判断即可. 【详解】设，因为外层函数在上为减函数， 且函数在区间上单调递增， 所以内层函数在上单调递减，则， 且对任意的，恒成立，即恒成立，则，所以. 即“函数在区间上单调递增”的充要条件是. 故选：D 33．（23-24高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调区间的求法，即可求出结果. 【详解】由得到或， 令，则， 因为在定义域上是减函数， 又的开口向上且对称轴为， 易知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的单调递增区间为， 故选：B. 34．（23-24高一上·广东深圳·期末）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合对数函数的单调性即可比较大小． 【详解】因为， 所以，即， 所以， 因为， 所以，即， 所以， 同时， 所以， 而， 所以． 故选：D． 35．（23-24高一上·全国·期末）已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合对数函数单调性列式求解即得. 【详解】函数是上的增函数， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 36．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数的定义域和单调性进行排除即可. 【详解】对函数得，故函数的图象应该在轴的左侧，排除BC选项； 对D：由的图象看，函数单调递减，所以，但从的图象看：，所以有矛盾，D选项错误； 对A：当时，与的图象都吻合，故A正确. 故选：A 37．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：A 38．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解. 【详解】令，且在单调递减，所以的最小值为， 可得，且， 所以在上单调递增，所以 因为存在，满足， 则， 所以 解得：， 故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 二、多选题 39．（24-25高一上·江苏南通·期中）下列结论正确的有（   ） A． B． C． D．若，则. 【答案】AC 【分析】根据对数的运算法则及换底公式一一计算可得. 【详解】对于A：， ， 所以，故A正确； 对于B：， ， 所以，故B错误； 对于C： ，故C正确； 对于D：因为， 所以，， 所以，故D错误. 故选：AC 40．（23-24高一下·江西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数 【答案】AC 【分析】利用对数函数真数大于0建立方程判断A，利用复合函数单调性的性质得到的单调性，再求值域判断B，利用函数奇偶性的定义判断C，D即可. 【详解】对于函数， 令，解得， 函数的定义域为，故A正确； 因为在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 同理可得在上单调递增， 所以为上的增函数， 又， 其中， 因为，所以，所以，所以， 则，所以，即，又的值域为， 函数的值域为，故B错误； 又， 函数是定义域上的奇函数，C正确，D错误． 故选：AC． 41．（23-24高一上·江西九江·期末）已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．若的定义域为，则的取值范围是 B．若的值域为，则的取值范围是 C．若，则的单调减区间为 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由恒成立判断A，由有解判断B，结合对数函数的单调性求减区间判断C，由对数函数性质判断D． 【详解】选项A，恒成立，，解得，A正确； 选项B，有解，因此，解得或，B正确； 选项C，时，，由得或，因此其减区间是，C错； 选项D，在上单调递减，则，解得，D正确． 故选：ABD． 42．（23-24高一上·浙江杭州·期末）养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（    ） A．函数的定义域为，且是奇函数 B．对于任意的，都有 C．对于任意的，都有 D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 【答案】ABC 【分析】根据真数大于0求定义域，利用奇偶性定义判断奇偶性可判断A，根据对数运算化简即可判断BC，取特殊值判断D. 【详解】由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数，故A正确； 任意的，，故B正确； 因为，， 所以，故C正确； 取，则，，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 43．（23-24高一上·北京延庆·期末） 【答案】15 【分析】根据指数运算和对数运算法则计算. 【详解】 . 故答案为：15 44．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再根据复合函数单调性的求解方法，即可求解. 【详解】由题得或. 函数在定义域的单调递增区间为，单调递减区间为， 又函数是减函数，所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 45．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】由，解得， ， 当时，取得最大值. 故答案为：. 46．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知可得对任意的，，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，，则，解得. 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 47．（23-24高一上·湖南常德·期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定法，以及一次函数与对数函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为是上的减函数， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 48．（24-25高一上·江苏盐城·期中）化简求值 (1)已知，求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系求出的值，进而可求出的，代值计算可得出的值； （2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值. 【详解】（1）由，则有， ， 故. （2）原式 . 49．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数且． (1)若，求的值； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由，结合对数运算即可求解. （2）结合题意，根据对数函数的单调性分类讨论求解. 【详解】（1）， ，即， 解得或（舍）． （2）当时，在上单调递增， 则， 由题意得，，解得． 当时，在上单调递减， 则， 由题意得，，解得． 综上，或． 50．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数． (1)用定义法证明：函数在是单调递增函数； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用单调性的定义直接证明即可； （2）通过换元法将原问题等级转换为二次函数动轴定区间的最小值问题，对对称轴的位置分类讨论即可求解. 【详解】（1）不妨设，所以， 因为，所以，即， 所以函数在是单调递增函数. （2）若，则， 所以 ， ， 若，则单调递减， 所以此时， 若，则， 若，则单调递增， 所以此时， 综上所述，. 【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减. 51．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）由奇函数的定义即可证明； （2）利用对数有意义的条件和对数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）证明：由题意，解得，所以函数的定义域为． 因为对任意都有，， 所以是奇函数. （2）原不等式可化为， 又函数在内单调递增， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为． 52．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【详解】（1） ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. （2）由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 53．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数且的图象过点. (1)求不等式的解集； (2)已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）根据给定条件，求出值及函数，再解对数不等式即得. （2）利用函数的单调性脱去法则并变形，转化为一元二次不等式恒成立求解即得. 【详解】（1）依题意，，解得，则， ， 不等式，即，解得， 则有，即， 所以原不等式的解集为. （2）当时，，又在上单调递增， 则当时，不等式恒成立，等价于恒成立， 即恒成立，当时，，得， 设函数，其图象开口向上，对称轴方程为， 而，即， 又对任意恒成立，则， 于是在上的最小值为， 原问题转化为：存在，使得，即， 由于，则，要使成立，只需， 解得，又，所以的最小值为6. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则. 54．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，． (1)若函数在为增函数，求实数的取值范围； (2)当时，，函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）任取，则，依题意可得可得，参变分离可得，从而求出的取值范围； （2）令，由复合函数的单调性说明在上单调递减，从而得到，令（），则关于的方程在上有两个不等实数根，等价于关于的方程在有两个不等实数根，结合一元二次方程根的分布得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）任取，则 ， 因为函数在上为增函数，且时，， 所以由可得，即， ，，则，所以， 因此实数的取值范围是. （2）当时，. 令， 因为在上单调递减，又在定义域上单调递增，所以在上单调递减， 因为在区间上的值域为， 所以 即. 令（因为，所以）， 易知，关于的方程在上有两个不等实数根， 等价于关于的方程在有两个不等实数根， （时，，） 令， 则，解得， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的关键是由复合函数的单调性得到的单调性，从而得到，再换元，将问题转化为关于的方程在有两个不等实数根的问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$