第3章：一元一次不等式章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

（浙教版）八年级上册 第3章：一元一次不等式章末重点题型复习 题型一 不等式及解集的概念 1．（2024秋•绍兴期中）以下表达式：①4x+3y≥0；②a＞3；③x2+xy；④a2+b2＝c2；⑤x≠5．其中不等式有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2024春•苍梧县期末）下列各数中，能使不等式成立的是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2023•南海区一模）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中，是不等式2x+3＞0解的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024秋•西湖区校级期中）不等式x＞﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023春•薛城区月考）下列说法错误的是（　　） A．不等式5x﹣10＞0的解是3 B．3是不等式5x﹣10＞0的解 C．不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2 D．x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集 题型二 不等式的性质及应用 1．（2024秋•朝阳区校级月考）若a＞b，则下列各不等式一定成立的是（　　） A．a﹣1＜b﹣1 B．5﹣2a＞5﹣2b C．ac＜bc D． 2．（2024•长春）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则 3．（2023春•北碚区校级期中）下列判断不正确的是（　　） A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则﹣3a＜﹣3b C．若2a＞2b，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2 4．（2024秋•浙江期中）（1）已知x＜y，比较2x﹣1与2y﹣1的大小．（选择适当的不等号填空） 解：x＜y，且2＞0（已知） ∴2x 　 　2y（不等式的基本性质3） ∴2x﹣1 　 　2y﹣1（不等式的基本性质2） （2）若x＞y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由． 5．（2023春•西城区校级期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： （1）比较大小：　 　；（填“＜”，“＝”或“＞”）； （2）已知x+2y﹣2＝0，且x是正数，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小． 题型三 一元一次不等式的识别 1．（2023春•禅城区月考）下列是一元一次不等式的是（　　） A． B．3x+2 C．2x＞x﹣1 D．x2﹣2＜1 2．（2024秋•南浔区期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A．4x+5＞0 B．x+2≥x+1 C．x＝3 D．x2+x＜0 3．（2024秋•东阳市期中）下列各式：①1﹣x≥5；②x﹣3y＞1；③4x+3；④x2+x≠3；中是一元一次不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 4．（2024春•新县期末）已知（m﹣4）x|m﹣3|+2＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　． 5．（2024春•胶州市校级月考）已知（a﹣2）x|a|﹣1+3＞5是关于x的一元一次不等式，则a的值为 　 　． 题型四 解一元一次不等式 1．（2024秋•钱塘区校级期中）不等式3x+1≤2x+2的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•邱县二模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（　　） A．2x≤10 B．2x＜10 C．﹣2x≥﹣10 D．﹣2x≤﹣10 3．（2024秋•杭州期中）计算：解下列不等式： （1）5x﹣3＜1﹣3x； （2）． 4．（2024秋•绍兴期中）解不等式并把解表示到数轴上： （1）1﹣2x＜3（1﹣x）； （2）． 5．（2023春•莲池区校级月考）下面是小明解不等式的过程： ①去分母，得x+5﹣1＜3x+2，②移项、合并同类项，得﹣2x＜﹣2，③两边都除以﹣2，得x＞1．先阅读以上解题过程，然后解答下列问题． （1）小明的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 　 　； （2）用正确的方法解这个不等式． 题型五 求一元一次不等式的特殊解 1．（2023春•碑林区校级月考）不等式的负整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023春•潍城区期中）能使不等式成立的x的最大整数值是 　 　． 3．（2023•碑林区校级模拟）解不等式1，并写出它的非负整数解． 4．（2024•新城区校级二模）解不等式：，并求出最小整数解． 5．（2024春•埇桥区校级期末）解不等式：，并求出最小负整数解． 6．解不等式，并写出它的所有非负整数解的和． 题型六 不等式与绝对值的综合应用 1．已知：3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|＝　 　． 2．不等式3（x+1）≥5x﹣2，则|2x﹣5|＝　 　． 3．已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），则化简|3x+3|﹣|2﹣3x|＝　 　． 4．已知有理数x满足：，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为a，最大值为b，则ab＝　 　． 5．（2023春•靖西市期中）由不等式（a﹣1）x＞2（a﹣1）得到x＜2，试化简|a﹣1|+|2﹣a|． 题型七 利用不等式的解集解含有字母常数的不等式 1．（2024秋•西湖区期中）将已知关于x的不等式（a﹣2）x＞4﹣2a的解集为x＜﹣2，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≠2 2．（2023•丰泽区校级模拟）如果不等式ax+m＜0的解集是x＞1，那么mx+a＞0的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＞1 3．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x，则nx﹣m＜0的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3 4．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为x＜2，则关于x的不等式（m+n）x＞m﹣n的解集是（　　） A．x＞﹣3 B．x C．x＜﹣3 D．x 5．若关于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集为x，则关于x的不等式mx﹣m＞2nx﹣n的解集是（　　） A．x B．x C．x D．x 6．已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x，求关于x的不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解集． 题型八 一元一次不等式与方程（组）的综合应用 1．（2024春•招远市期末）若不等式3（x+1）﹣7＜4（x﹣1）+5的最小整数解是关于x的方程x﹣ax＝11的解，请求出代数式a2﹣2a﹣11的值． 2．已知不等式． （1）求该不等式的解集； （2）该不等式的所有负整数解的和是关于y的方程2y﹣3a＝6的解，求a的值． 3．（2024秋•西湖区校级期中）关于x的方程的解满足2x+a＞0． （1）求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式（2a+1）x﹣2a＜1的解为x＞1．求整数a的值． 4．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞﹣8． （1）用含m的代数式表示x﹣y． （2）求满足条件的m的所有正整数值． 5．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜0． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集为x＞1，求整数k的值． 6．（2024秋•宁波期中）已知关于a、b的方程组中，a为负数，b为非正数． （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1． 题型九 一元一次不等式的实际应用 1．（2024春•阳谷县期中）某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（　　） A．10件 B．11件 C．12件 D．13件 2．（2024秋•赤峰月考）某企业产品换代升级，决定购买10台新设备，现有A，B两种型号，A型每台12万元，B型每台10万元，经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．则该企业的购买方案有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 3．（2023春•南岗区校级期中）某班为了奖励进步学生，购买笔记本和笔袋两种文具共10个，已知笔记本每本12元，笔袋每个7元，总费用不超过100元．则班级最多能买　 　个笔记本． 4．（2023•长沙模拟）2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元． （1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价； （2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？ 5．（2023秋•湘西州期末）东方影院筹备举办“2024跨年晚会”，成人票售价每张120元，学生票售价每张60元．影院制定了两种团体购票优惠方案．方案1：每购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按购票总价的80%付款．育才学校将组织10名老师与x名（不少于10名）学生参加晚会． （1）则育才学校选择优惠方案1的付款金额是 　 　元（用含x的式子表示），选择优惠方案2的付款金额是 　 元（用含x的式子表示）； （2）当x取何值时，两种优惠方案的付款金额相同？ （3）当x＝40时，选择哪种优惠方案更省钱？ 6．（2023春•市中区期中）为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售． 成本价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 16 16.8 B型 28 29.4 （1）为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的3倍，则A型车至少购买多少辆？ （2）在（1）的条件下，若这20辆电动汽车全部售出，为使4S店销售的利润最大，购进A型电动汽车多少辆？最大利润是多少？ 题型十 一元一次不等式组的识别 1．（2023春•美姑县期末）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•禅城区校级月考）下列不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 4．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） ①② ③④ ⑤⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十一 解一元一次不等式组 1．（2024•西宁）不等式组的解集为（　　） A．x B．x＜1 C．x＜1 D．无解 2．（2024秋•长春月考）解不等式组，解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•西湖区校级月考）解不等式组，请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得 　 ； （2）解不等式②，得 　 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 　 ． 4．（2024秋•武汉月考）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 5．（2024秋•绿园区校级期末）解不等式组： （1）； （2）． 题型十二 求一元一次不等式组的整数解 1．（2023秋•湘潭县期末）求不等式组的正整数解． 2．（2024秋•柯桥区期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 3．（2024春•竞秀区期末）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 4．（2024秋•鹿城区期中）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． 5．（2024春•连州市期中）解不等式组，并求出其所有整数解的和． 题型十三 根据不等式组的解集求字母的范围 1．如果不等式组的解集是x＜3，那么m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m＜3 D．m≥3 2．若不等式组无解，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．无法确定 3．（2024春•蚌埠期末）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是（　　） A．a≥4 B．a＞4 C．a≤4 D．a＜4 4．（2023春•北碚区校级期中）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜3，则（a+1）（b﹣1）＝　 　． 5．（2023春•蜀山区校级期中）若关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k值的和为　 　． 题型十四 利用整数解求字母的取值范围 1．（2023春•东城区校级期中）若关于x的不等式组有2个整数解，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．0＜m≤1 D．0≤m＜1 2．（2024•东阿县模拟）关于x的不等式组有且仅有5个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣5＜a≤﹣4 B．﹣5≤a＜﹣4 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣4≤a＜﹣3 3．（2023春•包河区期中）已知关于x的不等式组仅有两个整数解，则整数a的值是 　 　． 4．（2023春•青羊区期中）如果关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是 　 　． 5．（2023春•莲湖区期中）若实数a使得关于x的不等式组有且仅有4个整数解，求实数a的取值范围． 6．（2023春•桐柏县校级月考）已知关于x的不等式组恰有5个整数解，求t的取值范围． 题型十五 方程组与不等式组的综合应用 1．已知关于x，y的方程组满足﹣2＜x﹣y＜1，求m的取值范围． 2．已知：关于x、y的方程组的解满足x＞y＞0． （1）求a的取值范围； （2）化简|8a+2|﹣|3a﹣2|． 3．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1． 4．已知关于x、y的方程组的解都为正数． （1）求a的取值范围； （2）已知a+b＝4，且b＞0，z＝2a﹣3b，求z的取值范围． 5．（2024秋•临平区月考）已知关于x的不等式组的解集为3≤x＜5， （1）求a和b的值； （2）若x+y＝3，求2x+y的取值范围． 6．已知关于x，y的方程满足方程组． （1）若x﹣y＝2，求m的值； （2）若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子|m﹣3|+|m﹣5|； （3）在（2）的条件下求s＝2x﹣3y+m的最小值及最大值． 题型十六 一元一次不等式组的实际应用 1．（2024秋•石阡县期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数．设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•通州区期中）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，如果输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，那么x的最小整数值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2023春•五华区期末）将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则有小朋友（　　） A．7位 B．6位 C．5或6位 D．37或42位 4．（2023春•安丘市期中）某学校为落实有关文件要求，决定开设篮球、足球两个社团活动，需要购进一批篮球和足球，已知购买3个篮球和4个足球共需费用720元；购买4个篮球和5个足球共需费用930元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于18个，且总费用不超过6000元，那么最多采购篮球多少个？ 5．（2024秋•长寿区校级月考）为改善校园环境，提升办学品质，重庆市鲁能巴蜀中学计划拆除网球场，新建综合大楼．已知2辆甲型除渣车和3辆乙型除渣车每天可以除渣170吨，3辆甲型除渣车和2辆乙型除渣车每天可以除渣180吨． （1）求甲、乙两种型号的除渣车每辆每天分别可以除渣多少吨？ （2）施工期间，学校决定租赁甲、乙两种型号的除渣车共20辆，已知每辆甲型除渣车租赁价格为15万元，每辆乙型除渣车租赁价格为12万元，要想使租赁除渣车的总费用不超过261万元，且每天除渣总量又不低于650吨，请你求出所有的租赁方案． 6．（2024秋•杭州月考）某摩托车专卖店购进A，B两款摩托车，购进1台A款摩托车和2台B款摩托车需要3.5万元；购进2台A款摩托车和1台B款摩托车需要2.5万元． （1）每台A，B款摩托车各多少万元？ （2）若该专卖店需购进A，B两款摩托车共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该店有哪几种购进方案？ （3）上面（2）中的哪种方案费用最低？按费用最低方案购进，需要多少钱？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）八年级上册 第3章：一元一次不等式章末重点题型复习 题型一 不等式及解集的概念 1．（2024秋•绍兴期中）以下表达式：①4x+3y≥0；②a＞3；③x2+xy；④a2+b2＝c2；⑤x≠5．其中不等式有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据不等式的概念，逐一判断各表达式，即可得到结果． 【解答】解：①4x+3y≥0是不等式， ②a＞3是不等式， ③x2+xy是整式，不是不等式， ④a2+b2＝c2是等式，不是不等式， ⑤x≠5是不等式． ∴①②⑤是不等式， 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的概念，熟练掌握不等式的概念是解题的关键． 2．（2024春•苍梧县期末）下列各数中，能使不等式成立的是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】先求解不等式，再确定满足不等式的选项． 【解答】解：解不等式x﹣2＜0， 得x＜4． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次不等式的解法．会求解一元一次不等式是解决本题的关键． 3．（2023•南海区一模）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中，是不等式2x+3＞0解的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】解不等式2x+3＞0，得x＞﹣1.5，即可判断出答案． 【解答】解：解不等式2x+3＞0，得x＞﹣1.5， ∴在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中，是不等式2x+3＞0解的有﹣1，0，1，2，共4个． 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的解集，熟练解不等式是关键． 4．（2024秋•西湖区校级期中）不等式x＞﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将已知解集表示在数轴上即可． 【解答】解：不等式x＞﹣1的解集在数轴上表示为： 故选：A． 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 5．（2023春•薛城区月考）下列说法错误的是（　　） A．不等式5x﹣10＞0的解是3 B．3是不等式5x﹣10＞0的解 C．不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2 D．x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集 【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可． 【解答】解：A、3是不等式5x﹣10＞0的解，但是不等式5x﹣10＞0的解集不是3，故本选项错误，符合题意； B、3是不等式5x﹣10＞0的解，说法正确，故本选项不符合题意； C、不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2，说法正确，故本选项不符合题意； D、x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键． 题型二 不等式的性质及应用 1．（2024秋•朝阳区校级月考）若a＞b，则下列各不等式一定成立的是（　　） A．a﹣1＜b﹣1 B．5﹣2a＞5﹣2b C．ac＜bc D． 【分析】根据不等式性质直接判断即可得到答案． 【解答】解：根据不等式性质直接判断： A、由于a＞b，则a﹣1＞b﹣1，故错误，不符合题意； B、由于a＞b，则5﹣2a＜5﹣2b，故错误，不符合题意； C、由于a＞b，若c＞0则ac＞bc，若c＜0则ac＜bc，若c＝0则ac＝bc＝0，故错误，不符合题意； D、由于a＞b，则，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 2．（2024•长春）不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【解答】解：由题意得，a＞b， ∴a+c＞b+c， ∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a+c＞b+c． 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质性质是解答本题的关键． 3．（2023春•北碚区校级期中）下列判断不正确的是（　　） A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则﹣3a＜﹣3b C．若2a＞2b，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可． 【解答】解：A．若a＞b，则a+2＞b+2，判断正确，故本选项不合题意； B．若a＞b，则﹣3a＜﹣3b，判断正确，故本选项不合题意； C．若2a＞2b，则a＞b，判断正确，故本选项不合题意； D．当c＝0时，ac2＝bc2，原判断错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 4．（2024秋•浙江期中）（1）已知x＜y，比较2x﹣1与2y﹣1的大小．（选择适当的不等号填空） 解：x＜y，且2＞0（已知） ∴2x 　 　2y（不等式的基本性质3） ∴2x﹣1 　 　2y﹣1（不等式的基本性质2） （2）若x＞y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由． 【分析】根据不等式的性质作答． 【解答】解：（1）x＜y，且2＞0（已知）， ∴2x＜2y（不等式的基本性质3）， ∴2x﹣1＜2y﹣1（不等式的基本性质2）． 故答案为：＜，＜； （2）x＞y，且﹣3＜0（已知）， ∴﹣3x＜﹣3y（不等式的基本性质3）． ∴2﹣3x＜2﹣3y（不等式的基本性质2）． 【点评】做这类题时应注意：不等式的基本性质是有条件的，如果不符合其中的条件，那么运用此性质得出的结论是不对的．不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 5．（2023春•西城区校级期中）阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： （1）比较大小：　 　；（填“＜”，“＝”或“＞”）； （2）已知x+2y﹣2＝0，且x是正数，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小． 【分析】（1）两数作差，根据可求，也可利用不等式的基本性质1，不等式的两边同时加一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案； （2）根据x+2y﹣2＝0，且x＞0，求得﹣y+1＜0，两式作差进而求解． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：＜； （2）∵x+2y﹣2＝0， ∴x＝2﹣2y， ∵x是正数，即x＞0， ∴2﹣2y＞0， ∴﹣y+1＞0， ∴A﹣B＝（5xy+y+1）﹣（5xy+2y）＝﹣y+1＞0， ∴A＞B． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，整式的加减和实数大小的比较，解题的关键是根据x+2y﹣2＝0，且x＞0确定y的取值范围． 题型三 一元一次不等式的识别 1．（2023春•禅城区月考）下列是一元一次不等式的是（　　） A． B．3x+2 C．2x＞x﹣1 D．x2﹣2＜1 【分析】根据一元一次不等式的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、中不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； B、3x+2中不含有不等号，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； C、2x＞x﹣1含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次不等式，故本选项符合题意； D、x2﹣2＜1中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于2，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2．（2024秋•南浔区期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A．4x+5＞0 B．x+2≥x+1 C．x＝3 D．x2+x＜0 【分析】根据含有一个未知数，且未知数的最高次数为1次，两边都为整式的不等式为一元一次不等式，判断即可． 【解答】解：A、4x+5＞0是一元一次不等式，符合题意； B、x+2≥x+1变形得：2≥1，不符合题意； C、x＝3是一元一次方程，不符合题意； D、x2+x＜0是一元二次不等式，不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 3．（2024秋•东阳市期中）下列各式：①1﹣x≥5；②x﹣3y＞1；③4x+3；④x2+x≠3；中是一元一次不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【分析】根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【解答】解：①原不等式是一元一次不等式，符合题意； ②x﹣3y＞1，有2未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ③4x+3，是代数式，不是一元一次不等式，不符合题意； ④原不等式未知数的次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选：D． 【点评】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 4．（2024春•新县期末）已知（m﹣4）x|m﹣3|+2＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　． 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【解答】解：∵不等式（m﹣4）x|m﹣3|+2＞6是关于x的一元一次不等式， ∴|m﹣3|＝1，且m﹣4≠0， 解得：m＝4（舍去）或m＝2， 则m的值为2， 故答案为：2． 【点评】此题考查的是一元一次不等式，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 5．（2024春•胶州市校级月考）已知（a﹣2）x|a|﹣1+3＞5是关于x的一元一次不等式，则a的值为 　 　． 【分析】根据一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0即可得出答案． 【解答】解：∵（a﹣2）x|a|﹣1+3＞5是关于x的一元一次不等式， ∴a﹣2≠0且|a|﹣1＝1， 解得a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0是解题的关键． 题型四 解一元一次不等式 1．（2024秋•钱塘区校级期中）不等式3x+1≤2x+2的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式的解集，再对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：3x+1≤2x+2， 3x﹣2x≤2﹣1， x≤1， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 2．（2024•邱县二模）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（　　） A．2x≤10 B．2x＜10 C．﹣2x≥﹣10 D．﹣2x≤﹣10 【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求． 【解答】解：A、2x≤10，解得x≤5，不符合题意； B、2x＜10，解得x＜5，不符合题意； C、﹣2x≥﹣10，解得x≤5，符合题意； D、﹣2x≤﹣10，解得x≥5，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 3．（2024秋•杭州期中）计算：解下列不等式： （1）5x﹣3＜1﹣3x； （2）． 【分析】（1）对于不等式5x﹣3＜1﹣3x，移项得5x+3x＜1+3，再合并同类项得8x＜4，然后将未知数的系数化为1即可得出该不等式的解； （2）对于不等式，不等式两边同时乘以6得3（2+x）≥2（2x+1）+6，再去括号，移项，合并同类项得﹣x≥2，然后将未知数的系数化为1即可得出该不等式的解． 【解答】解：（1）5x﹣3＜1﹣3x， 移项，得：5x+3x＜1+3， 合并同类项，得：8x＜4， 未知数的系数化为1，得：x＜0.5； （2）， 去分母，不等式两边同时乘以6，得：3（2+x）≥2（2x+1）+6， 去括号，得：6+3x≥4x+2+6， 移项，得：3x﹣4x≥2+6﹣6， 合并同类项，得：﹣x≥2， 未知数的系数化为1，得：x≤﹣2． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法与技巧是解决问题的关键． 4．（2024秋•绍兴期中）解不等式并把解表示到数轴上： （1）1﹣2x＜3（1﹣x）； （2）． 【分析】（1）先去括号，再移项得到3x﹣2x＜3﹣1，然后合并同类项得到不等式的解集，最后在数轴上表示其解集； （2）先去分母，再移项、合并得到3x≥﹣3，然后把x的系数化为1得到不等式的解集，最后在数轴上表示其解集． 【解答】解：（1）去括号，得1﹣2x＜3﹣3x， 移项，得3x﹣2x＜3﹣1， 合并同类项，得x＜2， 解集在数轴上表示为： （2）去分母，得2（x+2）≥1﹣x， 去括号，得2x+4≥1﹣x， 移项，得2x+x≥1﹣4， 合并同类项，得3x≥﹣3， 系数化为1，得x≥﹣1， 解集在数轴上表示为： 【点评】本题考查了解一元一次不等式：熟练掌握不等式的性质和解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键．也考查了在数轴上表示不等式的解集． 5．（2023春•莲池区校级月考）下面是小明解不等式的过程： ①去分母，得x+5﹣1＜3x+2，②移项、合并同类项，得﹣2x＜﹣2，③两边都除以﹣2，得x＞1．先阅读以上解题过程，然后解答下列问题． （1）小明的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 　 　； （2）用正确的方法解这个不等式． 【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可； （2）利用不等式的性质判断即可． 【解答】解：（1）小明的解题过程从第①步出现错误，误的原因是：去分母时，不等式左边第二项没有乘2； 故答案为：①； （2）正确解答为： 去分母得：x+5﹣2＜3x+2， 移项、合并得：﹣2x＜﹣1， 系数化为1得：x． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的基本步骤是解本题的关键． 题型五 求一元一次不等式的特殊解 1．（2023春•碑林区校级月考）不等式的负整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案． 【解答】解：， 去分母得：2（x﹣9）+6＜3（3x+4）， 去括号得：2x﹣18+6＜9x+12， 移项合并同类项得：﹣7x＜24， 不等式两边同除以﹣7得：， ∴不等式的负整数解有﹣3，﹣2，﹣1共3个，故C正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变． 2．（2023春•潍城区期中）能使不等式成立的x的最大整数值是 　 　． 【分析】首先解不等式，即可确定最大的整数解． 【解答】解：去分母，得：（3x﹣1）﹣2（5x+2）＞1， 去括号，得：3x﹣1﹣10x﹣4＞1， 移项，得：3x﹣10x＞1+1+4． 合并同类项，得：﹣7x＞6， 则x， 则最大整数值是：﹣1． 故答案是：﹣1． 【点评】正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 3．（2023•碑林区校级模拟）解不等式1，并写出它的非负整数解． 【分析】先解一元一次不等式，求出不等式的解集，然后确定其非负整数解． 【解答】解：去分母，得，6﹣3（x﹣2）≥2（1+x）， 去括号得，6﹣3x+6≥2+2x， 移项得，﹣3x﹣2x≥2﹣6﹣6 合并同类项得，﹣5x≥﹣10， 化系数为1得，x≤2． ∴原不等式的非负整数解为：0，1，2． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键． 4．（2024•新城区校级二模）解不等式：，并求出最小整数解． 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，再找出最小的整数解即可． 【解答】解：∵， ∴3（x+3）＜5（2x﹣5）﹣15， ∴3x+9＜10x﹣25﹣15， ∴3x﹣10x＜﹣25﹣15﹣9， ∴﹣7x＜﹣49， ∴x＞7， ∴最小整数解为8． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． 5．（2024春•埇桥区校级期末）解不等式：，并求出最小负整数解． 【分析】移项，合并同类项，系数化成1，再求出不等式的最小负整数解即可． 【解答】解：， 移项，得xx＞﹣14+3， 合并同类项，得3x＞﹣11， 系数化成1，得x， 所以不等式的最小负整数解是﹣3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键． 6．解不等式，并写出它的所有非负整数解的和． 【分析】首先去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1，求得不等式的解集，然后确定非负整数解即可． 【解答】解：去分母，得：3（2x+1）≤4（x﹣1）+12， 去括号，得：6x+3≤4x﹣4+12， 移项，得：6x﹣4x≤12﹣4﹣3， 合并同类项，得：2x≤5， 系数化成1得：x． 则非负整数解是：0，1，2． 非负整数解的和为：0+1+2＝3． 【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 题型六 不等式与绝对值的综合应用 1．已知：3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），化简：|3x+1|﹣|1﹣3x|＝　 　． 【分析】去括号出15x+6+5＜4x﹣6x﹣6，移项、合并同类项得到17x＜﹣17，求出x＜﹣1，去绝对值符号得出﹣（3x+1）﹣（1﹣3x），求出即可． 【解答】解：3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1）， ∵去括号得：15x+6+5＜4x﹣6x﹣6， 移项得：15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5， 合并同类项得：17x＜﹣17， ∴x＜﹣1， ∴|3x+1|﹣|1﹣3x|， ＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x）， ＝﹣3x﹣1﹣1+3x， ＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了绝对值和解一元一次不等式的应用，关键是根据x的范围去掉绝对值符号，当x＜﹣1时，|3x+1|﹣|1﹣3x|，＝﹣（3x+1）﹣（1﹣3x），注意：负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0． 2．不等式3（x+1）≥5x﹣2，则|2x﹣5|＝　 　． 【分析】不等式3（x+1）≥5x﹣2，是一个只含有一个未知数的不等式，可以直接求出它的解集．然后根据解集来判断2x﹣5的符号，进而求得它的绝对值． 【解答】解：3（x+1）≥5x﹣2， 去括号得，3x+3≥5x﹣2， 都移到等号左边得，﹣2x+5≥0， ∴2x﹣5≤0． ∵非正数的绝对值是它的相反数， ∴|2x﹣5|＝5﹣2x． 【点评】本题考查了求解不等式的过程，以及非负数的绝对值是它的相反数这个知识点． 3．已知3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1），则化简|3x+3|﹣|2﹣3x|＝　 　． 【分析】去括号出15x+6+5＜4x﹣6x﹣6，移项、合并同类项得到17x＜﹣17，求出x＜﹣1，去绝对值符号得出﹣（3x+3）﹣（2﹣3x），求出即可． 【解答】解：3（5x+2）+5＜4x﹣6（x+1）， ∵去括号得：15x+6+5＜4x﹣6x﹣6， 移项得：15x﹣4x+6x＜﹣6﹣6﹣5， 合并同类项得：17x＜﹣17， ∴x＜﹣1， ∴|3x+3|﹣|2﹣3x|， ＝﹣（3x+3）﹣（2﹣3x）， ＝﹣3x﹣3﹣2+3x， ＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】此题综合考查了不等式的基本性质和绝对值的运用． 4．已知有理数x满足：，若|3﹣x|﹣|x+2|的最小值为a，最大值为b，则ab＝　 　． 【分析】首先解不等式：，即可求得x的范围，即可根据x的范围去掉|3﹣x|﹣|x+2|中的绝对值符号，即可确定最大与最小值，从而求得． 【解答】解：解不等式： 不等式两边同时乘以6得：3（3x﹣1）﹣14≥6x﹣2（5+2x） 去括号得：9x﹣3﹣14≥6x﹣10﹣4x 移项得：9x﹣14﹣6x+4x≥3﹣10 即7x≥7 ∴x≥1 ∴x+2＞0， 当1≤x≤3时，x+2＞0，则|3﹣x|﹣|x+2|＝3﹣x﹣（x+2）＝﹣2x+1则最大值是﹣1，最小值是﹣5； 当x＞3时，x+2＞0，则|3﹣x|﹣|x+2|＝x﹣3﹣（x+2）＝x﹣3﹣x﹣2＝﹣5，是一定值． 总之，a＝﹣5，b＝﹣1， ∴ab＝5 故答案是：5． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的求解方法，解不等式要依据不等式的基本性质，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错． 5．（2023春•靖西市期中）由不等式（a﹣1）x＞2（a﹣1）得到x＜2，试化简|a﹣1|+|2﹣a|． 【分析】首先求出a的取值范围，然后代入化简即可． 【解答】解：由不等式（a﹣1）x＞2（a﹣1）得到x＜2， ∴a﹣1＜0，即a＜1， ∴|a﹣1|+|2﹣a|＝1﹣a+2﹣a＝3﹣2a． 【点评】此题考查了不等式的性质，绝对值的意义，整式的加减运算，解题的关键是根据题意求出a的取值范围． 题型七 利用不等式的解集解含有字母常数的不等式 1．（2024秋•西湖区期中）将已知关于x的不等式（a﹣2）x＞4﹣2a的解集为x＜﹣2，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≠2 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：∵（a﹣2）x＞4﹣2a， ∴（a﹣2）x＞﹣2（a﹣2）， ∵不等式的解集为x＜﹣2， ∴a﹣2＜0， 解得：a＜2， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 2．（2023•丰泽区校级模拟）如果不等式ax+m＜0的解集是x＞1，那么mx+a＞0的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＞1 【分析】利用一元一次不等式的解集来判断字母a、m的正负，再确定另一不等式的解集． 【解答】解：ax+m＜0 ax＜﹣m， 当a＜0时，x， 当a＞0时，x， ∵不等式ax+m＜0的解集是x＞1， ∴a＜0时，x1， ∴m＞0； mx+a＞0， 解得x， 与互为倒数， ∴x＞1， 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次不等式的解集、性质，做题关键是掌握一元一次不等式的解集和性质． 3．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x，则nx﹣m＜0的解集是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3 【分析】首先根据mx+n＞0的解集为x，得m＜0，，进一步得出n＞0，3，解出不等式nx﹣m＜0的解集，等量代换求出结果． 【解答】解：∵mx+n＞0的解集为x， ∴m＜0，且x， ∴， ∴n＞0，3， ∵nx﹣m＜0， ∴x， ∴x＜﹣3； 故选：D． 【点评】本题主要考查了不等式的解集、不等式的基本性质，熟练掌握不等式性质的熟练应用，注意在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向，这是解题关键． 4．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为x＜2，则关于x的不等式（m+n）x＞m﹣n的解集是（　　） A．x＞﹣3 B．x C．x＜﹣3 D．x 【分析】由已知不等式的解集确定出m与n的值，代入所求不等式计算即可得到结果． 【解答】解：∵关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜2， ∴2，即n＝2m，且m＜0， 代入不等式（m+n）x＞m﹣n得：3mx＞﹣m， 解得：x． 故选：D． 【点评】此题考查了解一元一次不等式．能够正确求出m、n的值是解题的关键． 5．若关于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集为x，则关于x的不等式mx﹣m＞2nx﹣n的解集是（　　） A．x B．x C．x D．x 【分析】根据不等式的性质3，可得m、n的关系，求出m，n的值，代入mx﹣m＞2nx﹣n，解不等式可得答案． 【解答】解：∵mx+m＜﹣nx+n， ∴（m+n）x＜n﹣m， ∵关于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集为x， ∴m+n＜0， ∴， ∴（k≠0）， ①+②得：2n＝﹣k， ∴nk， 把nk代入①得：k﹣m＝2k， ∴mk， ∴把nk，mk代入mx﹣m＞2nx﹣n，解得，． 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的解集，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6．已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x，求关于x的不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解集． 【分析】根据已知条件，判断出a+b＞0，a＝2b，再求得不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解集． 【解答】解：∵不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x， ∴x， ∴，解得a＝2b； 把a＝2b代入（a﹣3b）x＞2a﹣b得，﹣bx＞3b， ∵a+b＞0，a＝2b， ∴a＞0，b＞0， ∴x＜﹣3． 【点评】解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 题型八 一元一次不等式与方程（组）的综合应用 1．（2024春•招远市期末）若不等式3（x+1）﹣7＜4（x﹣1）+5的最小整数解是关于x的方程x﹣ax＝11的解，请求出代数式a2﹣2a﹣11的值． 【分析】先求出不等式3（x+1）﹣7＜4（x﹣1）+5的解集，即可得到该不等式的最小整数解，再代入方程x﹣ax＝11，求出a的值即可． 【解答】解：由不等式3（x+1）﹣7＜4（x﹣1）+5可得：x＞﹣5， ∴不等式3（x+1）﹣7＜4（x﹣1）+5的最小整数解是x＝﹣4， ∵不等式3（x+1）﹣7＜4（x﹣1）+5的最小整数解是关于x的方程x﹣ax＝11的解， ∴（﹣4）﹣a×（﹣4）＝11， 解得a＝3， ∴a2﹣2a﹣11 ＝（a﹣1）2﹣12 ＝（3﹣1）2﹣12 ＝22﹣12 ＝4﹣12 ＝﹣8． 【点评】本题考查一元一次不等式的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是明确解一元一次方程的方法和解不等式的方法． 2．已知不等式． （1）求该不等式的解集； （2）该不等式的所有负整数解的和是关于y的方程2y﹣3a＝6的解，求a的值． 【分析】（1）首先去分母，然后去括号、移项、合并同类项，最后把x的系数化为1即可； （2）首先根据不等式的解集确定不等式的解，然后可得y的值，然后再代入即可得到a的值． 【解答】解：（1）去分母得：2（2x﹣1）≤9x+8， 去括号得：4x﹣2≤9x+8， 移项得：4x﹣9x≤8+2， 合并同类项得：﹣5x≤10， 系数化为1得：x≥﹣2； （2）∵x≥﹣2， ∴不等式的所有负整数解为﹣2，﹣1， y＝﹣2+（﹣1）＝﹣3， 把y＝﹣3代入2y﹣3a＝6得：﹣6﹣3a＝6， 解得：a＝﹣4． 【点评】此题主要考查了解不等式，以及一元一次不等式的解，关键是正确确定不等式的解集． 3．（2024秋•西湖区校级期中）关于x的方程的解满足2x+a＞0． （1）求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式（2a+1）x﹣2a＜1的解为x＞1．求整数a的值． 【分析】（1）先解方程可得：x，然后把x的值代入2x+a＞0中进行计算，即可解答； （2）根据不等式的性质可得：2a+1＜0，从而可得a，然后利用（1）的结论可得：a，从而可得：a，即可解答． 【解答】解：（1）， 3x﹣（x+a）＝3， 3x﹣x﹣a＝3， 3x﹣x＝3+a， 2x＝3+a， x， ∵2x+a＞0， ∴3+a+a＞0， 3+2a＞0， 2a＞﹣3， a； （2）（2a+1）x﹣2a＜1， （2a+1）x＜2a+1， ∵不等式（2a+1）x﹣2a＜1的解为x＞1， ∴2a+1＜0， 2a＜﹣1， a， 由（1）可得：a， ∴a， ∵a是整数， ∴a＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＞﹣8． （1）用含m的代数式表示x﹣y． （2）求满足条件的m的所有正整数值． 【分析】（1）直接把两式相减即可得出结论； （2）根据（1）中x﹣y的表达式列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）， ①﹣②得，x﹣y＝﹣2m+3﹣4＝﹣2m﹣1； （2）由题意，得﹣2m﹣1＞﹣8，解得m， ∵m为正整数， ∴m＝1、2或3． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 5．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x﹣y＜0． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集为x＞1，求整数k的值． 【分析】（1）根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含k的代数式表示出x﹣y，再根据x﹣y＜0，即可求得k的取值范围，本题得以解决． （2）不不等式（2k+1）x＜2k+1的解集为x＞1，根据不等式得性质得到2k+1＜0，得到k的取值范围，再根据（1）k的范围，求得k最终的取值范围，即可得到答案． 【解答】解：， ①﹣②，得x﹣y＝﹣2﹣k， ∵x﹣y＜0， ∴﹣2﹣k＜0， 解得k＞﹣2； （2）∵不等式（2k+1）x﹣2k＜1的解集为x＞1， ∴2k+1＜0， 解得：k， 又∵k＞﹣2， ∴k的取值范围为﹣2＜k， ∴整数k的值为﹣1． 【点评】本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 6．（2024秋•宁波期中）已知关于a、b的方程组中，a为负数，b为非正数． （1）求m的取值范围； （2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1． 【分析】（1）解方程组，可求出a＝m﹣3，b＝﹣2m﹣4，结合“a为负数，b为非正数”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； （2）由不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1，可得出2m+1＜0，解之可得出m，结合﹣2≤m＜3，可得出﹣2≤m，再取其中的整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）， （①+②）÷2得：a＝m﹣3③， 将③代入②得：﹣3+m+b＝﹣7﹣m， 解得：b＝﹣2m﹣4， ∴方程组的解为． ∵a为负数，b为非正数， ∴， 解得：﹣2≤m＜3， ∴m的取值范围为﹣2≤m＜3； （2）∵2mx+x＜2m+1， ∴（2m+1）x＜2m+1． ∵不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1， ∴2m+1＜0， ∴m， ∵﹣2≤m＜3， ∴﹣2≤m， ∴m＝﹣1或m＝﹣2， ∴当m为﹣2或﹣1时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）由方程组的解及a为负数，b为非正数，列出关于m的一元一次不等式组；（2）由不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1及﹣2≤m＜3，确定m的取值范围． 题型九 一元一次不等式的实际应用 1．（2024春•阳谷县期中）某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（　　） A．10件 B．11件 C．12件 D．13件 【分析】设小颖可以购买x件该商品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过44元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【解答】解：设小颖可以购买x件该商品， 依题意得：4×5+4×0.8（x﹣5）≤44， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为12， ∴小颖最多可以购买该商品12件． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 2．（2024秋•赤峰月考）某企业产品换代升级，决定购买10台新设备，现有A，B两种型号，A型每台12万元，B型每台10万元，经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．则该企业的购买方案有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【分析】设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，根据“该企业购买设备的资金不高于105万元”，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台， 由题意得：12x+10（10﹣x）≤105， 解得：x， ∵x为非负整数， ∴x＝0或x＝1或x＝2， ∴购买方案有3种， 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 3．（2023春•南岗区校级期中）某班为了奖励进步学生，购买笔记本和笔袋两种文具共10个，已知笔记本每本12元，笔袋每个7元，总费用不超过100元．则班级最多能买　 　个笔记本． 【分析】设班级买x个笔记本，则买（10﹣x）个笔袋，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【解答】解：设班级买x个笔记本，则买（10﹣x）个笔袋， 依题意，得：12x+7（10﹣x）≤100， 解得：x≤6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 4．（2023•长沙模拟）2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；若购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元． （1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价； （2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？ 【分析】（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元，根据“购买30捆A种菜苗和10捆B种菜苗共需380元；购买50捆A种菜苗和30捆B种菜苗共需740元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设本次可购买m捆A种菜苗，则可购买（100﹣m）捆B种菜苗，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过828元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设菜苗基地A种菜苗每捆的单价为x元，B种菜苗每捆的单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：菜苗基地A种菜苗每捆的单价为10元，B种菜苗每捆的单价为8元； （2）设本次可购买m捆A种菜苗，则可购买（100﹣m）捆B种菜苗， 根据题意得：10×0.9m+8×0.9（100﹣m）≤828， 解得：m≤60， ∴m的最大值为60． 答：本次购买最多可购买60捆A种菜苗． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 5．（2023秋•湘西州期末）东方影院筹备举办“2024跨年晚会”，成人票售价每张120元，学生票售价每张60元．影院制定了两种团体购票优惠方案．方案1：每购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按购票总价的80%付款．育才学校将组织10名老师与x名（不少于10名）学生参加晚会． （1）则育才学校选择优惠方案1的付款金额是 　 　元（用含x的式子表示），选择优惠方案2的付款金额是 　 元（用含x的式子表示）； （2）当x取何值时，两种优惠方案的付款金额相同？ （3）当x＝40时，选择哪种优惠方案更省钱？ 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据（1）中代数式列方程计算即可； （3）根据（1）中代数式求值比较即可． 【解答】解：（1）方案1的付款金额为：120×10+（x﹣10）×60＝（60x+600）元； 方案2的付款金额为：60x×80%+120×10×80%＝（48x+960）元； 故答案为：（60x+600），（48x+960）； （2）当两种优惠方案的付款金额相同时， 则60x+600＝48x+960， 解得：x＝30， ∴当x＝30时，两种优惠方案的付款金额相同； （3）当x＝40时， 方案1的付款金额为：60x+600＝60×40+600＝3000（元）， 方案2的付款金额为：48x+960＝48×40+960＝2880（元）， ∵2880＜3000， ∴选择优惠方案2更省钱． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据题中等量关系列出方程是解题的关键． 6．（2023春•市中区期中）为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售． 成本价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 16 16.8 B型 28 29.4 （1）为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的3倍，则A型车至少购买多少辆？ （2）在（1）的条件下，若这20辆电动汽车全部售出，为使4S店销售的利润最大，购进A型电动汽车多少辆？最大利润是多少？ 【分析】（1）设该4S店购进A型电动汽车x辆，则购进B型电动汽车（20﹣x）辆，根据该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的3倍，可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （2）设这20辆电动汽车全部售出后4S店获得的总利润为y万元，利用总利润＝每辆电动汽车的销售利润×销售数量，可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设该4S店购进A型电动汽车x辆，则购进B型电动汽车（20﹣x）辆， 根据题意得：x≥3（20﹣x）， 解得：x≥15， ∴x的最小值为15． 答：A型车至少购买15辆； （2）设这20辆电动汽车全部售出后4S店获得的总利润为y万元， 根据题意得：y＝（16.8﹣16）x+（29.4﹣28）（20﹣x）， 即y＝﹣0.6x+28． ∵k＝﹣0.6＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵x≥15，且x为正整数， ∴当x＝15时，y取得最大值，最大值＝﹣0.6×15+28＝19． 答：当购进A型电动汽车15辆时，4S店销售的利润最大，最大利润是19万元． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式． 题型十 一元一次不等式组的识别 1．（2023春•美姑县期末）下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【解答】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解本题的关键． 2．（2023春•禅城区校级月考）下列不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【解答】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 3．下列各式中不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元一次不等式组的定义判定则可．由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组． 【解答】解：∵D选项中存在两个未知数， ∴它不是一元一次不等式组； 其它选项符合一元一次不等式组的定义． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，此题较简单，根据一元一次不等式组的定义进行解答是此题的关键，属于基础题． 4．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） ①② ③④ ⑤⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【解答】解：①②⑥是一元一次不等式，③④⑤不是一元一次不等式组， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 题型十一 解一元一次不等式组 1．（2024•西宁）不等式组的解集为（　　） A．x B．x＜1 C．x＜1 D．无解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式x+2＜3，得：x＜1， 解不等式﹣2x≤1，得：x， 则不等式组的解集为． 故选：B． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．（2024秋•长春月考）解不等式组，解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣3， 解不等式②得：x≤2， ∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤2， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 3．（2024秋•西湖区校级月考）解不等式组，请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得 　 ； （2）解不等式②，得 　 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是 　 ． 【分析】先求出每个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，最后写出其解集即可． 【解答】解：， 解不等式①，得x＜4， 解不等式②，得x≥﹣1， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集是﹣1≤x＜4， 故答案为：x＜4，x≥﹣1，﹣1≤x＜4． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 4．（2024秋•武汉月考）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分得出不等式组的解集，然后再数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 解不等式①得，x＞﹣1， 解不等式②得，x≤2， 所以，不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 将不等式组的解集在数轴上表示如下： 【点评】本题主要考查了解一元一次方程组，正确进行计算是解题关键． 5．（2024秋•绿园区校级期末）解不等式组： （1）； （2）． 【分析】（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【解答】解：（1）； 解3x＞x﹣2得：x＞﹣1， 解得：x＜1， ∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜1； （2）， 解①得：x≤1， 解②得：x＜4， ∴不等式组的解集为：x≤1． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 题型十二 求一元一次不等式组的整数解 1．（2023秋•湘潭县期末）求不等式组的正整数解． 【分析】先求出不等式组的解集，再求出正整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣2， 解不等式②得：x≤5， ∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤5， 其中正整数解是1，2，3，4，5． 【点评】本题考查了解不等式组及不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键． 2．（2024秋•柯桥区期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得：x≤1， ∴该不等式组的解集为． ∴该不等式组的整数解为：﹣1，0，1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 3．（2024春•竞秀区期末）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 【分析】先分别把每个不等式的解集求出来，再求出不等式组的解集，最后把解集在数轴上表示出了即可． 【解答】解：， 解不等式①：2（x﹣1）﹣3x＜0， 2x﹣2﹣3x＜0， ﹣x＜2， x＞﹣2， 解不等式②：， x﹣1﹣2≤0， x≤3， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3， ∴不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2，3， 解集在数轴上表示如下： 【点评】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法． 4．（2024秋•鹿城区期中）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解． 【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后求出整个不等式组的解集，最后从中筛选出非负整数解即可． 【解答】解：， 解①得：x≤1， 解②得：x＞﹣2， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1， ∴该不等式组的非负整数解为x＝0或1． 【点评】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 5．（2024春•连州市期中）解不等式组，并求出其所有整数解的和． 【分析】先分别求出每个一元一次不等式的解集，再根据找不等式组的解集的规律可得原不等式组的解集为﹣2＜x≤1，进而可得原不等式组的所有整数解为﹣1、0、1，然后求和即可． 【解答】解：， 解不等式①，得：x≤1， 解不等式②，得：x＞﹣2， ∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤1， ∴原不等式组的所有整数解为：﹣1、0、1， ∴不等式组的所有整数解的和为：﹣1+0+1＝0． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法及找不等式组的解集的规律是解题的关键． 题型十三 根据不等式组的解集求字母的范围 1．如果不等式组的解集是x＜3，那么m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m＜3 D．m≥3 【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得答案． 【解答】解：解不等式1，得：x＜3， ∵x＜m且不等式组的解集为x＜3， ∴m≥3， 故选：D． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．若不等式组无解，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．无法确定 【分析】根据不等式组无解得出不等式2m﹣1≥m+1，再求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵不等式组无解， ∴2m﹣1≥m+1， 解得：m≥2， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 3．（2024春•蚌埠期末）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是（　　） A．a≥4 B．a＞4 C．a≤4 D．a＜4 【分析】分别解不等式①②，根据不等式组有解，得出，解不等式即可求解． 【解答】解： 解不等式①得：x≥2 解不等式②得：， ∵x的一元一次不等式组有解， ∴ 解得：a＜4， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求不等式组的解集的方法是解题的关键． 4．（2023春•北碚区校级期中）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜3，则（a+1）（b﹣1）＝　 　． 【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组的解集为﹣1＜x＜3，可以求出a、b的值，从而求得（a+1）（b﹣1）的值． 【解答】解：由得， ∵不等式组的解集为﹣1＜x＜3， ∴a+1＝3，3+2b＝﹣1， 解得：a＝2，b＝﹣2， ∴（a+1）（b﹣1）＝（2+1）×（﹣2﹣1）＝﹣9， 故答案为：﹣9． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式组的方法是解题的关键． 5．（2023春•蜀山区校级期中）若关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组有解，则符合条件的整数k值的和为　 　． 【分析】根据关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数，且关于x的不等式组有解，可以求得k的取值范围，从而可以求得符合条件的整数k的值的和，本题得以解决． 【解答】解：由方程k﹣2x＝3（k﹣2），得x＝3﹣k， ∵关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负整数， ∴3﹣k≥0，得k≤3， ， 由①，得x≥﹣1， 由②，得x≤k， ∵关于x的不等式组有解， ∴﹣1≤k，得k≥﹣1， 由上可得，﹣1≤k≤3， ∴符合条件的整数k的值为：﹣1，0，1，2，3， ∴符合条件的整数k的值的和为：﹣1+0﹣1+1+2+3＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程和不等式的方法． 题型十四 利用整数解求字母的取值范围 1．（2023春•东城区校级期中）若关于x的不等式组有2个整数解，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．0＜m≤1 D．0≤m＜1 【分析】先求得每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解得到关于m的不等式组即可求解． 【解答】解：解不等式组， 得， ∴不等式组的解集为， ∵原不等式组有2个整数解， ∴﹣1＜m≤0， 故选：A． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，正确得出m的取值范围是解答的关键，注意边界值的取舍． 2．（2024•东阿县模拟）关于x的不等式组有且仅有5个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣5＜a≤﹣4 B．﹣5≤a＜﹣4 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣4≤a＜﹣3 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式有且仅有5个整数解得出答案即可． 【解答】解：， 解不等式①，得x＞a， 解不等式②，得x＜2， 所以不等式组的解集是a＜x＜2， ∵关于x的不等式组有且仅有5个整数解（是1，0，﹣1，﹣2，﹣3）， ∴﹣4≤a＜﹣3， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式（﹣4≤a＜﹣3）是解此题的关键． 3．（2023春•包河区期中）已知关于x的不等式组仅有两个整数解，则整数a的值是 　 　． 【分析】先解不等式组，得出不等式组的解集，再根据不等式组仅有两个整数解得出a的取值范围，在确定整数a的值即可． 【解答】解：由不等式2x＞3（x﹣2）+5，得x＜1， ∴不等式组的解集为a＜x＜1， ∵不等式组仅有两个整数解， ∴这两个整数解为﹣1，0， ∴﹣2≤a＜﹣1， ∴整数a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，利用不等式组的整数解得个数，确定a的取值范围是解题关键． 4．（2023春•青羊区期中）如果关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是 　 　． 【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组恰有3个整数解，确定出m的范围即可． 【解答】解：， 解①得，x≥﹣5， ∴不等式组的解集为﹣5≤x＜m， 由不等式组恰有3个整数解，得到整数解为﹣5、﹣4、﹣3， ∴﹣3＜m≤﹣2． 故答案为：﹣3＜m≤﹣2． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键． 5．（2023春•莲湖区期中）若实数a使得关于x的不等式组有且仅有4个整数解，求实数a的取值范围． 【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组有且仅有4个整数解，确定出a的范围． 【解答】解：由得x＜4， 由6x﹣5≥a得x ∵不等式组有且仅有4个整数解，即有0，1，2，3，4个整数解， ∴﹣10． ∴﹣11＜a≤﹣5． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键． 6．（2023春•桐柏县校级月考）已知关于x的不等式组恰有5个整数解，求t的取值范围． 【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出不等式组的解集，根据不等式组的整数解即可得出关于t的不等式组，求出即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜10， 解不等式②得：x＞3﹣2t， 则不等式组的解集为：3﹣2t＜x＜10， ∵不等式组有5个整数解 ∴， 解得﹣1＜t≤﹣0.5． 【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），一元一次不等式组的整数解的应用，关键是得出关于t的不等式组． 题型十五 方程组与不等式组的综合应用 1．已知关于x，y的方程组满足﹣2＜x﹣y＜1，求m的取值范围． 【分析】方程组两方程左右两边相减，表示出x﹣y，代入已知不等式求出m的范围即可． 【解答】解：， ②﹣①，得：x﹣y＝﹣2m﹣1， ∵﹣2＜x﹣y＜1， ∴， 解不等式③，得：m， 解不等式④，得：m＞﹣1， 则． 【点评】此题考查了解二元一次方程组及不等式组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 2．已知：关于x、y的方程组的解满足x＞y＞0． （1）求a的取值范围； （2）化简|8a+2|﹣|3a﹣2|． 【分析】（1）把a看作已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出a的范围即可． （2）由a的范围判断出8a+2、3a﹣2与0的大小关系，再利用绝对值的性质求解可得． 【解答】解：（1）解方程组得， ∵x＞y＞0， ∴， 解得a； （2）∵a， ∴8a+2＞0，3a﹣2＜0， 则原式＝8a+2+3a﹣2＝11a． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1． 【分析】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围，然后再化简（2），最后求得m的值． 【解答】解：（1）解原方程组得：， ∵x≤0，y＜0， ∴， 解得﹣2＜m≤3； （2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m； （3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1， ∵x＞1，∴2m+1＜0， ∴m， ∴﹣2＜m， ∴m＝﹣1． 【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 4．已知关于x、y的方程组的解都为正数． （1）求a的取值范围； （2）已知a+b＝4，且b＞0，z＝2a﹣3b，求z的取值范围． 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可求出x与y的表达式，从而可求出a的范围． （2）根据（1）问可求出b的范围，将z化为8﹣5b，从而可求出z的范围． 【解答】解：（1）∵ ∴ 由于该方程组的解都是正数， ∴ ∴a＞1 （2）∵a+b＝4， ∴a＝4﹣b， ∴ 解得：0＜b＜3， ∴z＝2（4﹣b）﹣3b＝8﹣5b ∴﹣7＜8﹣5b＜8， ∴﹣7＜z＜8 【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及不等式组的解法，本题属于中等题型． 5．（2024秋•临平区月考）已知关于x的不等式组的解集为3≤x＜5， （1）求a和b的值； （2）若x+y＝3，求2x+y的取值范围． 【分析】（1）由得a+b≤x，结合解集为3≤x＜5，得，解之即可得出答案； （2）由x+y＝3知2x+y＝x+x+y＝x+3，结合3≤x＜5可得答案． 【解答】解：（1）由得a+b≤x， ∵解集为3≤x＜5， ∴， 解得a＝﹣3，b＝6； （2）∵x+y＝3， ∴2x+y＝x+x+y＝x+3， ∵3≤x＜5， ∴6≤x+3＜8，即6≤2x+y＜8． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6．已知关于x，y的方程满足方程组． （1）若x﹣y＝2，求m的值； （2）若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子|m﹣3|+|m﹣5|； （3）在（2）的条件下求s＝2x﹣3y+m的最小值及最大值． 【分析】（1）把m看作已知数表示出方程组的解，得到x与y的值再代入x﹣y＝2求出m的值即可； （2）根据x，y为非负数求出m的范围，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （3）把表示出的x与y代入s，利用一次函数性质求出最大值与最小值即可． 【解答】解：（1）， ①﹣②×2得：﹣x＝﹣m+3，即x＝m﹣3， 把x＝m﹣3代入②得：2m﹣6+y＝m﹣1，即y＝﹣m+5， 把x＝m﹣3，y＝﹣m+5代入x﹣y＝2中，得：m﹣3+m﹣5＝2，即m＝5； （2）由题意得：， 解得：3≤m≤5， ∴m﹣3≥0，m﹣5≤0， 则原式＝m﹣3+5﹣m＝2； （3）根据题意得：s＝2x﹣3y+m＝2（m﹣3）﹣3（﹣m+5）+m＝6m﹣21， ∵3≤m≤5， ∴当m＝3时，s＝18﹣21＝﹣3；m＝5时，s＝30﹣21＝9， 则s的最小值为﹣3，最大值为9． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型十六 一元一次不等式组的实际应用 1．（2024秋•石阡县期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数．设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（　　） A． B． C． D． 【分析】设有学生x人，由于每人分4本，则还剩77本书，则共有（4x+77）本书；根据“每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本”列出不等式组即可． 【解答】解：∵每人分4本，则还剩77本书， ∴书的总本数为（4x+77）， ∵每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， ∴4x+77﹣6（x﹣1）＞0且4x+77﹣6（x﹣1）＜5， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组． 2．（2023春•通州区期中）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，如果输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，那么x的最小整数值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据运行程序仅进行了两次就停止，可得出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：， 解得：x≤8， 又∵x为整数， ∴x的最小值是5． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 3．（2023春•五华区期末）将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则有小朋友（　　） A．7位 B．6位 C．5或6位 D．37或42位 【分析】设有x位小朋友，则共有（5x+12）个苹果，根据“若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出结论． 【解答】解：设有x位小朋友，则共有（5x+12）个苹果， 依题意得：， 解得：4＜x， 又∵x为整数， ∴x＝5或6． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 4．（2023春•安丘市期中）某学校为落实有关文件要求，决定开设篮球、足球两个社团活动，需要购进一批篮球和足球，已知购买3个篮球和4个足球共需费用720元；购买4个篮球和5个足球共需费用930元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于18个，且总费用不超过6000元，那么最多采购篮球多少个？ 【分析】（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买3个篮球和4个足球共需费用720元；购买4个篮球和5个足球共需费用930元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购篮球m个，则采购足球（60﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合购买篮球的数量不少于18个且总费用不超过6000元，可得出关于m的一元一次不等式组的应用，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元； （2）设采购篮球m个，则采购足球（60﹣m）个， 根据题意得：， 解得：18≤m≤20， ∴m的最大值为20． 答：最多采购篮球20个． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 5．（2024秋•长寿区校级月考）为改善校园环境，提升办学品质，重庆市鲁能巴蜀中学计划拆除网球场，新建综合大楼．已知2辆甲型除渣车和3辆乙型除渣车每天可以除渣170吨，3辆甲型除渣车和2辆乙型除渣车每天可以除渣180吨． （1）求甲、乙两种型号的除渣车每辆每天分别可以除渣多少吨？ （2）施工期间，学校决定租赁甲、乙两种型号的除渣车共20辆，已知每辆甲型除渣车租赁价格为15万元，每辆乙型除渣车租赁价格为12万元，要想使租赁除渣车的总费用不超过261万元，且每天除渣总量又不低于650吨，请你求出所有的租赁方案． 【分析】（1）设甲型除渣车每辆每天可以除渣x吨，乙型除渣车每辆每天可以除渣y吨，根据“2辆甲型除渣车和3辆乙型除渣车每天可以除渣170吨，3辆甲型除渣车和2辆乙型除渣车每天可以除渣180吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租赁m辆甲型除渣车，则租赁（20﹣m）辆乙型除渣车，根据“租赁除渣车的总费用不超过261万元，且每天除渣总量又不低于650吨”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租赁方案． 【解答】解：（1）设甲型除渣车每辆每天可以除渣x吨，乙型除渣车每辆每天可以除渣y吨， 根据题意得：， 解得：． 答：甲型除渣车每辆每天可以除渣40吨，乙型除渣车每辆每天可以除渣30吨； （2）设租赁m辆甲型除渣车，则租赁（20﹣m）辆乙型除渣车， 根据题意得：， 解得：5≤m≤7， 又∵m为正整数， ∴m可以为5，6，7， ∴学校共有3种租赁方案， 方案1：租赁5辆甲型除渣车，15辆乙型除渣车； 方案2：租赁6辆甲型除渣车，14辆乙型除渣车； 方案3：租赁7辆甲型除渣车，13辆乙型除渣车． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 6．（2024秋•杭州月考）某摩托车专卖店购进A，B两款摩托车，购进1台A款摩托车和2台B款摩托车需要3.5万元；购进2台A款摩托车和1台B款摩托车需要2.5万元． （1）每台A，B款摩托车各多少万元？ （2）若该专卖店需购进A，B两款摩托车共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该店有哪几种购进方案？ （3）上面（2）中的哪种方案费用最低？按费用最低方案购进，需要多少钱？ 【分析】（1）设每台A款摩托车x万元，每台B款摩托车y万元，根据“购进1台A款摩托车和2台B款摩托车需要3.5万元；购进2台A款摩托车和1台B款摩托车需要2.5万元”，进行列式，即可作答； （2）设需购进A款摩托车a台，则购进B款摩托车（30﹣a）台，根据“该专卖店需购进A，B两款摩托车共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，”，列出不等式组，即可作答； （3）在（2）的基础上，得出三种方案，再把每个方案的钱数算出来，即可作答． 【解答】解：（1）设每台A款摩托车x万元，每台B款摩托车y万元， 根据题意，得 解得 答：每台A款摩托车0.5万元，每台B款摩托车1.5万元， （2）设需购进A款摩托车a台，则购进B款摩托车（30﹣a）台， 根据题意，得 解得15≤a≤17， 由于a为整数， 故a＝15，16，17， 故共有三种方案： 方案一：购进A款摩托车15台，B款摩托车15台； 方案二：购进A款摩托车16台，B款摩托车14台； 方案三：购进A款摩托车17台，B款摩托车13台， （3）解：方案一：总费用为15×0.5+1.5×15＝30（万元）； 方案二：总费用为16×0.5+1.5×14＝29（万元）； 方案三：总费用为17×0.5+1.5×13＝28（万元）， ∵28＜29＜30， ∴选择购进A款摩托车17台，B款摩托车13台费用最低，需要28万元． 【点评】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用，正确列出方程组和不等式组是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$