第01讲 锐角三角函数（3个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（人教版）

第01讲 锐角三角函数 课程标准 学习目标 ①正弦函数 ②余弦函数 ③正切函数 1. 掌握正弦函数、余弦函数以及正切函数的概念以及求法，并能够熟练的求出已知锐角的三角函数值或者根据锐角三角函数值求相应的边长。 知识点01 正弦函数 1. 正弦函数的概念： 如图，在中，∠C＝90°，当锐角A的大小确定时，∠A的对边与斜边的比，∠A的邻边与斜边的比以及∠A的对边与∠A的邻边的比都是确定的。 我们把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作sinA。 sinA＝ 。 【即学即练1】 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．7.5 知识点02 余弦函数 1．余弦函数的概念： ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的 ，记作cosA。cosA＝ 。 【即学即练1】 3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则∠B的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 4．Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于（　　） A．8cm B．cm C．cm D．cm 知识点03 正切函数 1．正切函数的概念： ∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的 ，记作tanA。tanA＝ 。 【即学即练1】 5．在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知AB＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 6．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝　 　． 题型01 求锐角三角函数值 【典例1】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，sinB＝　 　． 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cosA的值是（　　） A． B．2 C． D． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则tanA的值是 　 　． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求sinA，cosA，tanA的值． 题型02 根据三角函数求三角形的边 【典例1】在Rt△ABC中，，则AB＝　 　． 【变式1】在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（　　） A． B． C．60 D．80 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B＝，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．15 【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则AB的长为 　　 ． 题型03 已知三角函数值求其他三角函数值 【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA的值为（　　） A． B． C． D．8 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝ 　 　． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，cosA＝　 　． 【变式3】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求cosA，tanB的值． 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小 D．不能确定 4．在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函数正确的是（　　） A．sinB＝ B．cosA＝ C．tanB＝ D．cosB＝ 6．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，那么AC边的长是（　　） A．6 B． C． D． 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　） A． B． C． D．3 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，sinA＝，则BC＝　 ． 12．一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为　 　． 13．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA+cosA＝　 　． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，若3a＝4b，则sinB的值是　 　． 15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为 　 　． 16．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosB，tanA的值． 17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件分别求出tanA的值． （1）BC＝6，AB＝10； （2）AC：BC＝2：5． 18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cosA的值． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．求： （1）sinA，cosB． （2）cosA，sinB． （3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由． 20．在如图的直角三角形中，我们知道sinα＝，cosα＝，tanα＝，∴sin2α+cos2α＝+＝＝＝1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． （1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系； （2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα＝，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 锐角三角函数 课程标准 学习目标 ①正弦函数 ②余弦函数 ③正切函数 1. 掌握正弦函数、余弦函数以及正切函数的概念以及求法，并能够熟练的求出已知锐角的三角函数值或者根据锐角三角函数值求相应的边长。 知识点01 正弦函数 1. 正弦函数的概念： 如图，在中，∠C＝90°，当锐角A的大小确定时，∠A的对边与斜边的比，∠A的邻边与斜边的比以及∠A的对边与∠A的邻边的比都是确定的。 我们把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的 正弦 ，记作sinA。 sinA＝ 。 【即学即练1】 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，则sinA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正弦的定义计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4， 则sinA＝＝， 故选：A． 【即学即练2】 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．7.5 【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解． 【解答】解：∵sinA＝＝， 设BC＝4x，AB＝5x， ∴AC＝3x， ∴3x＝6， 解得x＝2， ∴AB＝10． 故选：C． 知识点02 余弦函数 1．余弦函数的概念： ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的 余弦 ，记作cosA。cosA＝ 。 【即学即练1】 3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则∠B的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据角的余弦等于角的邻边比斜边，可得答案． 【解答】解；由勾股定理得BC＝， COS∠B＝， 故选：B． 【即学即练2】 4．Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于（　　） A．8cm B．cm C．cm D．cm 【分析】首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝＝，AC＝6cm， ∴AB＝10cm， ∴BC＝＝8cm． 故选：A． 知识点03 正切函数 1．正切函数的概念： ∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的 正切 ，记作tanA。tanA＝ 。 【即学即练1】 5．在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知AB＝3，BC＝4，则tanA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可． 【解答】解：如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴tanA＝＝． 故选：C． 【即学即练2】 6．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝，则AB＝　17　． 【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝15， ∴， 解得AC＝8， 根据勾股定理得，AB＝＝＝17． 故答案为：17． 题型01 求锐角三角函数值 【典例1】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，sinB＝　　． 【分析】首先根据勾股定理求得AB的长，然后根据正弦的定义即可求解． 【解答】解：根据勾股定理可得：AB＝＝， ∴sinB＝＝＝． 故答案为：． 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cosA的值是（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据余弦函数的定义，可得答案． 【解答】解：由勾股定理，得 AB＝BC． 由余弦函数的定义，得 cosA＝＝＝， 故选：D． 【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则tanA的值是 　　． 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13， ∴AC＝＝＝12， ∴tanA＝＝． 故答案为：． 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求sinA，cosA，tanA的值． 【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据锐角三角函数的定义求锐角三角函数值即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝2， ∴AB＝ ＝ ＝2， sinA＝＝＝， cosA＝＝＝， tanA＝＝＝． 题型02 根据三角函数求三角形的边 【典例1】在Rt△ABC中，，则AB＝　12　． 【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵， 又∵BC＝3， ∴AB＝12， 故答案为：12． 【变式1】在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（　　） A． B． C．60 D．80 【分析】利用三角函数定义计算出BC的长，然后再利用勾股定理计算出AB长即可． 【解答】解：在直角三角ABC中， ∵AC＝100，sinA＝， ∴BC＝60， ∴AB＝＝80， 故选：D． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B＝，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．15 【分析】由锐角三角函数定义知：cos∠B＝，代入相关数值解答即可． 【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B＝，cos∠B＝， 则BC＝AB•cos∠B＝10×＝8． 故选：B． 【变式3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝8，则AB的长为 　10　． 【分析】根据锐角三角函数的定义求出AC，根据勾股定理求出AB即可． 【解答】解：如图： ∵∠C＝90°，BC＝8，tanA＝＝， ∴AC＝6， ∵AB2＝AC2+BC2， ∴AB2＝62+82＝100， ∴AB＝10． 故答案为：10． 题型03 已知三角函数值求其他三角函数值 【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA的值为（　　） A． B． C． D．8 【分析】根据一个角的正弦等于它余角的余弦，可得sinA，根据同角三角函数关系，可得答案 【解答】解：由题意，得cosA＝， sinA＝＝＝， tanA＝＝＝2． 故选：A． 【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝ 　　． 【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答． 【解答】解：由sinA＝知，可设a＝4x，则c＝5x，b＝3x． ∴tanA＝． 故答案为：． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，cosA＝　　． 【分析】先根据tanA＝设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosA的值． 【解答】解：∵tanA＝＝，AC＝8， ∴BC＝6，AB＝＝10． ∴cosA＝＝． 【变式3】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求cosA，tanB的值． 【分析】根据sinA和BC的值可以求出斜边AB的值，再由勾股定理即可求得AC的值，知道了直角三角形的三边即可求得cosA、tanB的值． 【解答】解：∵sinA＝＝， ∴设AB＝3k．BC＝k， ∴AC＝＝k， ∴cosA＝＝， tanB＝＝． 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanA＝，再代入求出答案即可． 【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°， ∴tanA＝＝， 故选：D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用正弦的定义求解． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴sinA＝＝． 故选：C． 3．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小 D．不能确定 【分析】在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，其相应边长的比值不变，因此锐角A的正切函数值也不会改变． 【解答】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角A的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：A． 4．在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 【分析】根据正弦、正切的定义计算，判断即可． 【解答】解：A、sinB＝， 则b＝csinB，本选项说法错误； B、b＝csinB，本选项说法正确； C、tanB＝， 则b＝atanB，本选项说法错误； D、b＝atanB，本选项说法错误； 故选：B． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函数正确的是（　　） A．sinB＝ B．cosA＝ C．tanB＝ D．cosB＝ 【分析】根据勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数得出答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，由勾股定理得， AC＝＝＝5， 所以sinB＝＝，cosA＝＝，tanB＝＝，cosB＝＝， 故选：C． 6．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，那么AC边的长是（　　） A．6 B． C． D． 【分析】先利用正弦的定义求出AB的长，然后根据勾股定理计算出AC的长． 【解答】解：如图，∵∠C＝90°， ∴sinA＝＝， ∴AB＝BC＝×4＝6， ∴AC＝＝＝2． 故选：C． 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】作出图形，根据∠A的余弦设AC＝5k，AB＝13k，利用勾股定理列式求出BC＝12k，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可． 【解答】解：如图，∵∠C＝90°，cosA＝， ∴设AC＝5k，AB＝13k， 根据勾股定理得，BC＝＝＝12k， 所以，sinA＝＝＝． 故选：D． 8．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义直接得出cos∠ABC等于，再求出即可． 【解答】解：作AE⊥BC， ∵BE＝4，AE＝2， ∴AB＝2， ∴cos∠ABC＝＝＝， 故选：B． 9．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 【分析】先由sinα＝＝求得PQ＝4，OP＝5，再根据正切函数的定义求解可得． 【解答】解：如图， 由sinα＝＝可设PQ＝4a，OP＝5a， ∵OQ＝3， ∴由OQ2+PQ2＝OP2可得32+（4a）2＝（5a）2， 解得：a＝1（负值舍去）， ∴PQ＝4，OP＝5， 则tanα＝＝， 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值． 【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q， ∵OP∥AB， ∴△OCP∽△BCA， ∴CP：AC＝OC：BC＝1：2， ∵∠AOC＝∠AQP＝90°， ∴CO∥PQ， ∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2， ∵P（1，1）， ∴PQ＝OQ＝1， ∴AO＝2， ∴tan∠OAP＝＝＝． 故选：C． 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，sinA＝，则BC＝　3　． 【分析】根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，可以求得BC的长，根据勾股定理可以求得AC的长． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，sinA＝，sinA＝， ∴BC＝3． 故答案为：3． 12．一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为　或　． 【分析】可分4cm为腰长和底边长两种情况，求得直角三角形中底角的邻边与斜边之比即可． 【解答】解：①4cm为腰长时， 作AD⊥BC于D． ∴BD＝CD＝3cm， ∴cosB＝； ②4cm为底边时， 同理可得BD＝CD＝2cm， ∴cosB＝＝， 故答案为或． 13．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA+cosA＝　　． 【分析】根据tanA＝2和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的值． 【解答】解：如图， ∵tanA＝2， ∴设AB＝x，则BC＝2x， AC＝＝x 则有：sinA+cosA＝+＝+＝． 故答案为：． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，若3a＝4b，则sinB的值是　　． 【分析】令b＝3x，则a＝4x，由勾股定理可得c＝5x，依据正弦的定义即可得到sinB的值． 【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边， 令b＝3x，则a＝4x， 由勾股定理可得c＝5x， 所以sinB＝＝＝， 故答案为：． 15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为 　2　． 【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案． 【解答】解：如图，连接BE， ∵四边形BCED是正方形， ∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD， ∴BF＝CF， 根据题意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP＝BD：AC＝1：3， ∴DP：DF＝1：2， ∴DP＝PF＝CF＝BF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝2． 故答案为：2 16．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosB，tanA的值． 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5， 根据勾股定理可得：AC＝4， ∴sinA＝，cosB＝＝，tanA＝＝． 17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件分别求出tanA的值． （1）BC＝6，AB＝10； （2）AC：BC＝2：5． 【分析】（1）根据BC和AB的值可以求得AC的值，进而得到tanA的值； （2）根据定义解答即可． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°， ∴， ∴tanA＝； （2）∵∠C＝90°， ∴tanA＝． 18．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cosA的值． 【分析】（1）连接AD、OD，根据AC是圆的直径，即可得到AD⊥BC，再根据三角形中位线定理即可得到OD∥AB，这得到OD⊥DE，从而求证，DE是圆的切线． （2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF，根据余弦的定义即可求解． 【解答】（1）证明：法一、连接AD、OD， ∵AC是直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴D是BC的中点， 又∵O是AC的中点， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． 法二、连接OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵AB＝AC， ∴∠OCD＝∠B， ∴∠B＝∠ODC， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：由（1）知OD∥AE， ∴∠FOD＝∠FAE，∠FDO＝∠FEA， ∴△FOD∽△FAE， ∴， ∴， ∴， 解得FC＝2， ∴AF＝6， ∴Rt△AEF中，cos∠FAE＝＝＝＝． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．求： （1）sinA，cosB． （2）cosA，sinB． （3）观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由． 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案． （2）根据锐角三角函数的定义即可求出答案． （3）根据（1）与（2）问的结果即可得出答案． 【解答】解：（1）根据勾股定理可知：AB＝， ∴sinA＝＝，cosB＝＝． （2）cosA＝＝，sinB＝＝． （3）由（1）、（2）可知：sinA＝cosB，cosA＝sinB． 20．在如图的直角三角形中，我们知道sinα＝，cosα＝，tanα＝，∴sin2α+cos2α＝+＝＝＝1．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． （1）请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与tanα之间的关系； （2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα＝，求的值． 【分析】（1）利用sinα＝，cosα＝，tanα＝，即可得出sinα，cosα与tanα之间的关系； （2）利用（1）中所求得出2sinα＝cosα，进而代入原式求出即可． 【解答】解：（1）∵sinα＝，cosα＝，tanα＝， ∴＝＝，则tanα＝； （2）∵tanα＝， ∴＝， ∴2sinα＝cosα， ∴＝＝﹣． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$