16.2 分式的运算（2大知识点+9大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

16.2 分式的运算 课程标准 学习目标 ①分式的乘除 ②分式的加减 1. 掌握分式的乘除运算，学会将分子、分母分别分解因式，并及时约分； 2. 掌握分式的加减运算学会同分母和异分母加减． 知识点01 1.分式的乘除法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。 知识点02 1.分式的加减法则： 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 题型01 分式的乘法 【典例1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法，理解并掌握分式的性质，及乘法运算法则是解题的关键． 根据分式乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：C ． 【变式1】化简的结果为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先将各分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，直接根据分式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．根据分式的乘法运算，可得答案． 【详解】解： 故答案为：． 【变式4】计算 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘法运算，将分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母，能约分的进行约分即可． （1）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （3）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （4）直接根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ＝； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型02 分式的除法 【典例1】化简的结果是，则“？”的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的除法，根据题意列式计算即可 【详解】解：根据题意得： ∴， ∴， ∴， 解得，， 故选：B 【变式1】计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，直接根据分式的除法计算法则求解即可． 【详解】解： 故选 D． 【变式2】若÷的运算结果是整式，写出一个“（　　）”内可能的式子： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，要使运算结果结果为整式，需在分式的运算中约去分母，因此得到分母中含有因式，即可得到结果． 【详解】解： ， ∵是整式， ∴（　　）内可能的式子是． 故答案为：． 【变式3】定义两种运算：，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键． 先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4】计算 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把除法转化为乘法，把分子、分母约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （3）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （4）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型03 分式的乘除混合运算 【典例1】化简的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，根据分式的运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用除法法则变形，因式分解，约分解答即可． 本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 故选A． 【变式2】如果（   ），那么括号内应填写的分式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据除式=被除式÷商列式，再进行运算即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式3】计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分式的乘除运算，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式4】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键掌握分式运算的法则． （1）根据平方差公式和完全平方公式把分子、分母因式分解，把除法转化成乘法，然后约分，即可得出答案． （2）原式先把除法变为乘法，约分即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型04 分式的乘方 【典例1】计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘方，熟知分式的乘方运算是解题的关键．根据分式的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘方及分式的乘法，先算乘方，再算乘法即可． 【详解】解：． 故选C． 【变式2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘方及乘法运算，原式先计算乘方，再进行约分计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方运算，先确定其运算结果的符号为负号，再化简，最后进行乘方运算． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式4】（1）计算：. （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法； （2）先计算分式的乘方，再计算分式的乘除. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】本题考查了分式的运算，涉及分式的乘方和乘除，熟练掌握运算法则是解题关键. 题型05 分式的加法 【典例1】若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用分式的加法的法则对式子进行运算，从而可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， ． 故选：C． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查异分母分式加减法，原式先通分，再根据同分母分式加减法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式2】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加法运算，先通分，化为同分母分数，再计算即可. 【详解】解： . 故答案为： 【变式3】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法运算，先约分再相加即可．本题也可以先通分再约分，但相比先约分再计算要麻烦些，因此在有多种方法可解的情况，寻找最简捷的方法． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式4】计算： 【答案】 【分析】本题考查异分母分式的加法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．将异分母通分为同分母分式相加求解，即可解题． 【详解】解：原式 ． 题型06 分式的减法 【典例1】化简的结果是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，先把减法变成加法，再合并，然后把分子分解因式后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，按照分式加减运算法则计算即可．解题关键是对各项分式进行通分，找到所有分母的最简公分母，通分后即可进行运算． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减．先将原式转化为同分母的分式加减，再进行计算，最后约分即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，通分是解答的关键．首先通分，然后进行分式的减法运算即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果； （2）将分式变形后利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型07 分式的加减混合运算 【典例1】已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】计算分式加法可得，当a大于5时，，从而可得P与Q的大小关系． 【详解】解： 当a大于5时， 故选：A 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握是解题的关键． 【变式1】已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知等式两边除以，求出的值，再代入即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的混合运算，化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是利用了等式的两边同时除以不为零的数，等式仍然成立． 【变式2】化简的结果是 【答案】 【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 【变式3】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得出，代入分式进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减以及分式的求值，得出是解题的关键． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型08 分式的四则运算 【典例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把分子分母分解因式约分化简 【详解】解： ． 故选A． 【变式1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的运算，解决本题的关键是根据分式的运算法则进行计算，根据计算的结果判断即可． 【详解】解：A选项：，故A选项不符合题意； B选项：，故B选项符合题意； C选项：，故C选项不符合题意； D选项：，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算， 先通分计算括号内的，再将除法变为乘法，最后分式的计算加减即可． 【详解】解： = = = = 故答案为：． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算； （1）先计算乘方，再计算单项式除以多项式，最后合并同类项，即可求解； （2）先计算括号内的，根据平方差公式与完全平方公式进行计算，然后合并同类项，最后计算单项式除以单项式即可求解． （3）先计算乘方，再计算单项式除以单项式，最后将负整数指数化为正整数指数； （4）先将除法化为乘法，计算乘法，再计算异分母分式减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： （4）解： • ． 题型09 分式的化简求值 【典例1】已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值．根据，然后整体代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式1】已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化解求值，整体代入是解题的关键．将代数式的分子分母同时除以，然后将已知等式代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故选：D． 【变式2】已知，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的性质，关键是把原式利用完全平方公式进行整理．根据题意，得到，将已知等式变形为，再利用完全平方公式变形，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴ 故答案为：． 【变式3】若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式基本性质运用．熟练运用分式基本性质是关键．根据分式基本性质，分子和分母同时除以可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【变式4】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 1．分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 先变形得到，然后根据最简公分母的定义进行判断即可． 【详解】解：， 的最简公分母为， 故选：D ． 2．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（    ） A． B．a C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的加减，由题意得，被盖住的部分是，进而可得答案． 【详解】解：由题意得，被盖住的部分是． 故选：D． 3．化简结果正确的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简，掌握同分母的分式求和及约分是解决问题的关键． 根据同分母的分式加法运算法则求解后约分即可得到结论． 【详解】 ． 故选：D． 4．A、B两地相距m米，通讯员原计划用t时从A地到达B地，现需提前n小时到达，则每小时要多走（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】每小时应多走的路程若提前小时到达的速度原计划的速度，把相关数值代入化简即可． 本题考查了列代数式，分式减法等知识． 【详解】解：计划的速度为，提速后的速度为， ∴每小时应比原计划多走米．     故选：D． 5．对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解新定义的运算方法是解题的关键．根据，可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 7．的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：∵分式的分母分别是，，， ∴最简公分母是． 故答案为：． 8．计算： （1） ．            （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式利用分式的分子分母分别平方即可得到结果； （2）原式利用分式的分子分母分别求立方即可得到结果． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 故答案为：；． 9．若都是整数，且，，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查分式的运算及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式的运算及一元一次不等式的解法是解题的关键；设，则，由题意易得，则有，然后可得可取，进而问题可求解 【详解】解：设，则，即， 所以，且为正整数， 所以，即可取． 若，则，解得，不符合题意． 若，则，显然为偶数，为奇数，不符合题意． 若，则或， 解得或， 因此； 故答案为8． 10．已知，其中为常数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，将等式的右边先通分，再与左式比较，根据分子对应项的系数相等即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、分式的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得； （2）先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算和分式的混合运算．解题的关键是掌握整式和分式混合运算顺序和运算法则． （1）利用完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查整式的化简、分式的化简，正确使用公式及法则进行计算是关键． （1）根据完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则即可求出答案． （2）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．先化简，然后从，2，1，3中选择一个你喜欢的值代入求值． 【答案】，取，原式 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时,分式无意义， 当时,原式． 15．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是；请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且P的值也为整数． ①求E所代表的代数式； ②求所有符合条件的x的值； 【答案】(1)是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1 (2)①；②所有符合条件的的值为0，2，4，6 【分析】本题主要考查了分式减法的应用、分式的约分，熟练掌握分式的减法法则是解题关键． （1）根据分式的减法法则计算，由此即可得； （2）①先得出，据此化简计算即可得； ②求出，从而可得是3的因式，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1． （2）解：①由题意得：， ∵ ， ∴， ∴， ∴． ②由（2）①可知，， ∵为整数，且的值也为整数， ∴或或或， ∴或或或， 综上，所有符合条件的的值为0，2，4，6． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.2 分式的运算 课程标准 学习目标 ①分式的乘除 ②分式的加减 1. 掌握分式的乘除运算，学会将分子、分母分别分解因式，并及时约分； 2. 掌握分式的加减运算学会同分母和异分母加减． 知识点01 1.分式的乘除法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。 知识点02 1.分式的加减法则： 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 题型01 分式的乘法 【典例1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】化简的结果为（   ） A．3 B． C． D． 【变式2】计算： ． 【变式3】计算： ． 【变式4】计算 (1) (2) (3) (4)． 题型02 分式的除法 【典例1】化简的结果是，则“？”的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若÷的运算结果是整式，写出一个“（　　）”内可能的式子： ． 【变式3】定义两种运算：，，则 ． 【变式4】计算 (1) (2) (3) (4)． 题型03 分式的乘除混合运算 【典例1】化简的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如果（   ），那么括号内应填写的分式是 ． 【变式3】计算的结果等于 ． 【变式4】计算： (1)． (2)． 题型04 分式的乘方 【典例1】计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算的结果是 ． 【变式3】 ． 【变式4】（1）计算：. （2）化简：. 题型05 分式的加法 【典例1】若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（    ） A． B． C． D． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算 ． 【变式3】化简： ． 【变式4】计算： 题型06 分式的减法 【典例1】化简的结果是（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算： ． 【变式3】计算的结果是 ． 【变式4】计算： (1)； (2)． 题型07 分式的加减混合运算 【典例1】已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】化简的结果是 【变式3】已知，则的值为 ． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)． 题型08 分式的四则运算 【典例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算的结果是 ． 【变式3】计算： ． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型09 分式的化简求值 【典例1】已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，求的值为 ． 【变式3】若，则分式的值为 ． 【变式4】先化简，再求值：，其中． 1．分式的最简公分母是（　） A． B． C． D． 2．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（    ） A． B．a C． D．1 3．化简结果正确的是（   ） A．1 B． C． D． 4．A、B两地相距m米，通讯员原计划用t时从A地到达B地，现需提前n小时到达，则每小时要多走（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 6．计算： ． 7．的最简公分母是 ． 8．计算： （1） ．            （2） ． 9．若都是整数，且，，则的值是 ． 10．已知，其中为常数，则 ． 11．计算： (1) (2) 12．化简： (1) (2) 13．计算： (1)； (2)． 14．先化简，然后从，2，1，3中选择一个你喜欢的值代入求值． 15．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是；请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且P的值也为整数． ①求E所代表的代数式； ②求所有符合条件的x的值； 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$