16.1 分式及其基本性质（2大知识点+6大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

16.1 分式及其基本性质 课程标准 学习目标 ①分式 ②分式的基本性质 1. 掌握分式的定义，了解分式有意义、无意义、值为零的条件； 2. 掌握分式的基本性质，会通分与约会，并把分式最终化为最简分式． 知识点01 分式 1． 分式的定义： 形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子，叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母；整式和分式统称为有理式； 知识点02 分式的基本性质 1． 分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变； 2． 最简分式 约分后，分子与分母不再有公因式，分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。 题型01 判断有理式 【典例1】下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式，根据分式的定义：形如，中含有字母，且，这样的式子叫做分式，据此进行判断即可求解，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、中分母不含字母，不是分式，是单项式，该选项不合题意； 、是分式，该选项符合题意； 、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、中分母不含字母，不是分式，是多项式，该选项不合题意； 故选：． 【变式1】在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 【变式2】以下代数式①；②；③；④；⑤中，分式的是 （填序号） 【答案】①⑤ 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：①；②；③；④；⑤中， 分式有①；⑤共2个， 故答案为：①⑤． 【点睛】本题考查了分式的定义，能熟记分式定义的内容是解此题的关键，注意：判断一个式子是否是分式，看分母中是否含有字母． 【变式3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有 ，是整式的有 ．（只填序号） 【答案】 ①③⑤⑥ ②④⑦ 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则是整式． 【详解】解：是分式的有：，，，， 是整式的有：，，． 故答案为：①③⑤⑥，②④⑦． 【点睛】本题主要考查分式和整式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 【变式4】下列式子中，，哪些是整式？哪些是分式？ 【答案】整式：；分式： 【分析】形如（f，g是整式，且g中含有字母，）的式子叫做分式．分母中含有字母，但表示一个常数，故不是分式；和显然是整式；分母中不含字母，故不是分式． 【解】整式：． 分式：． 题型02 分式有无意义 【典例1】若分式有意义．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选D． 【变式1】根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答． 【详解】解：当时，分式无意义， 分式的分母可能是． 当时，分式的值为0， 分式的分子可能是． 分式可能是． 故选：C． 【变式2】若分式无意义，则的取值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分式的分母等于0是解题的关键．根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得∶， 解得：． 故答案为： 【变式3】如果式子有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握方式有意义的条件即“当分母不为零时，分式有意义”是解本题的关键．根据分式的分母不为零，即即可解答． 【详解】解：有意义， ． 故答案为：． 【变式4】x取何值时，下列分式有意义： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零时分式有意义是解题的关键． （1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 【详解】（1）解：要使有意义， 得． 解得， 当时，有意义； （2）解：要使有意义，得． 解得， 当时，有意义； （3）解：要使有意义，得． 而对任意实数，， 所以，x为任意实数，有意义． 题型03 分式值为0 【典例1】若分式的值为零，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为的条件，分式的值为的条件是分子为且分母不为． 先根据分式的值为的条件，列出关于的不等式组，求出的值即可． 【详解】解：∵分式的值为， ， 解得， 故选：C． 【变式1】根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … … … * * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时分式无意义， ∴不合题意； ∵当时，分式的值为， ∴不符合题意，符合题意， 故选：． 【变式2】当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，理解“分式且”是解题的关键． 根据题意令分子为零，即，解得；将代入，结果不为零，即可得出． 【详解】解：要使分式的值为0， ， 解得：， 当时，； 故答案：． 【变式3】若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：分式的值为， 且， 解得：， 故答案为：． 【变式4】已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 题型04 约分 【典例1】约分的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了约分，直接把分子分母同时除以即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1】对下列分式约分，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了约分，掌握约分的方法是解题的关键．对分子、分母进行因式分解，约去公因式，再逐一判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、不能约分，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】把约分后，分母是，分子是 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质的应用，分式的约分找到分子分母的公因式是关键，是基础题．根据分式的基本性质，分子分母同时除以公因式即可． 【详解】解：分子分母同时除以公因式， 即， 则分子是， 故答案为：． 【变式3】将分式约分结果是 ． 【答案】 【分析】先找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式的约分，找出分式分子和分母的最大公因式是解题的关键． 【变式4】约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的性质，分子分母同时除以即可； （2）先将分子分母进行因式分解，再进行约分即可； （3）先将分子分母进行因式分解，再进行约分即可； （4）先将分子分母进行因式分解，再进行约分即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了根据分式的基本性质约分，解题的关键是掌握分式的基本性质：分子分母同时除以一个不为0是数或式子，分式的值不变． 题型05 通分 【典例1】把通分，下列计算正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分子和分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变是解题关键．先找出最简公分母，再根据分式的性质通分即可． 【详解】解：两分式的最简公分母为， ，， 故选：B． 【变式1】嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（    ） 化简： 解：原式 ………………①通分 ……………………②合并同类项 ……………………③提公因式 ………………………………④约分 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据分式的加减运算法则即可得出结论． 【详解】①不是通分，而是同分母分式的加减法，故说法错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的加减运算，分清楚同分母分式的加减法和通分的区别是解题的关键． 【变式2】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为 ． 【答案】 【分析】分式与分式的公分母是，据此即可求解． 【详解】解：因为分式与分式的公分母是，所以分式的分母变为，则分式的分子应变为． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 【变式3】①约分：＝ ； ②与的最简公分母是 ； ③分式通分和约分的依据是 ． 【答案】 y（a﹣x） 分式的基本性质 【分析】①先将分子、分母因式分解，再约分即可得； ②最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，据此求解可得； ③根据分式的基本性质求解可得． 【详解】①＝＝， 故答案为：． ②与的最简公分母是y（a﹣x）， 故答案为：y（a﹣x）； ③分式通分和约分的依据是分式的基本性质， 故答案为：分式的基本性质． 【点睛】本题主要考查最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的确定方法和分式的约分步骤及分式的基本性质． 【变式4】把下列各式通分： (1)x−y与； (2) , 与. 【答案】(1) x−y=，； (2) ;；； 【分析】（1）先找到最简公分母，再通分即可； （2）先对分母因式分解，再找到最简公分母，通分即可． 【详解】(1)最简公分母：x+y， x−y=； ； (2)最简公分母：3(a+3)(a−3)2； ， ， . 【点睛】此题考查通分，解题关键在于掌握运算法则. 题型06 最简分式 【典例1】下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此即可判断求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、分子分母中含有公因数，不是最简分式，该选项不合题意； 、，分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 、是最简分式，该选项符合题意； 、分子分母中含有公因式，不是最简分式，该选项不合题意； 故选：． 【变式1】分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，最简分式的定义，理解并掌握分式的性质化简及最简分式的定义是解题的关键． 根据分式的性质化简分式，最简分式的定义“分子和分母没有公因式，或者只含有公因式1的分式称为最简分式”，进行判定即可求解． 【详解】解：①，是最简分式； ②，原分式不是最简分式； ③，原分式不是最简分式； ④，是最简分式； ∴是最简分式的有：①④，共2个， 故选：B ． 【变式2】从代数式：，，中任选两个，组成一个最简分式 ．（写出一个即可） 【答案】（答案为不唯一） 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式为或， 故答案为：．（答案为不唯一） 【变式3】琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 【变式4】把下列分式化为最简分式． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）分子分母同除以即可得； （2）先分别利用平方差公式和十字相乘法对分子分母进行因式分解，再分子分母同除以即可得； （3）分子分母同除以即可得． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了分式的基本性质、因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 1．下列各式变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了分式的性质．根据分式的基本性质（把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0）解答即可． 【详解】解：A、等式两边应同时平方，故本选项变形错误，故不符合题意； B、 的分子、分母应该同时乘以，分式的值才不改变．故不符合题意； C、 变形正确，故本选项符合题意； D、分式的分子、分母同时除以同一个数3，分式的值不变，即是错误的．故本选项不符合题意； 故选：C． 2．如果把分式中的都扩大3倍，则分式的值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，用代替分式中的即可运算求解，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 即原分式的值为扩大了3倍， 故选：B． 3．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、 是单项式，故该选项不符合题意；     B 、是分式，故该选项符合题意；     C、 是多项式，故该选项不符合题意；     D 、是单项式，故该选项不符合题意． 故选B． 4．要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A． B． C． D．x≠1 【答案】B 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 即． 故选：B． 5．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 6．在，，，，中，属于分式的有 个． 【答案】2 【分析】仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关． 本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键． 【详解】解：根据题意，得是分式的是，共有2个， 故答案为：2． 7．分式的值是正整数，则整数x＝ ． 【答案】3或9 【分析】本题考查分式的值，根据题意得出的值求解即可． 【详解】由题意可知：或7 当时， ∴，符合题意 当时， ∴； 综上所述，或9； 故答案为：3或9． 8．已知时，多项式的值为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，得出是解题的关键． 根据已知条件得出，又，进而得出，,，进而即可求解． 【详解】解：∵时，多项式的值为， ∴， ∴ 即 ∴ 即， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为0的条件．根据分式值为0的条件得出，，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解得：， 故答案为：． 10．已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 【答案】1或3或5 【分析】本题考查了分式的值，先化简得到原式，再根据为整数，从而得到x的值． 【详解】解：∵， ∴为，时，的值为整数， ∴解得或3或5或， ∵， ∴，， ∴x可取的值是1，3，5． 故答案为：1或3或5． 11．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“ “号． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． （1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可； （3）根据分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 12．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）对分式的分子分母均乘以即可； （2）将分式的分子部分提取即可． 【详解】（1）解：原式 ; （2）解: 原式 ． 13．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，根据已知条件可得，再把的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式=， 故答案为： 15．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)整数的值为0，1，3 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【详解】（1）解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1 分式及其基本性质 课程标准 学习目标 ①分式 ②分式的基本性质 1. 掌握分式的定义，了解分式有意义、无意义、值为零的条件； 2. 掌握分式的基本性质，会通分与约会，并把分式最终化为最简分式． 知识点01 分式 1． 分式的定义： 形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子，叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母；整式和分式统称为有理式； 知识点02 分式的基本性质 1． 分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变； 2． 最简分式 约分后，分子与分母不再有公因式，分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。 题型01 判断有理式 【典例1】下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】以下代数式①；②；③；④；⑤中，分式的是 （填序号） 【变式3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有 ，是整式的有 ．（只填序号） 【变式4】下列式子中，，哪些是整式？哪些是分式？ 题型02 分式有无意义 【典例1】若分式有意义．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A． B． C． D． 【变式2】若分式无意义，则的取值为 ． 【变式3】如果式子有意义，则x的取值范围为 ． 【变式4】x取何值时，下列分式有意义： (1) (2) (3)． 题型03 分式值为0 【典例1】若分式的值为零，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … … … * * 无意义 * … A． B． C． D． 【变式2】当 时，分式的值为0． 【变式3】若分式的值为，则的值为 ． 【变式4】已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 题型04 约分 【典例1】约分的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】对下列分式约分，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】把约分后，分母是，分子是 【变式3】将分式约分结果是 ． 【变式4】约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05 通分 【典例1】把通分，下列计算正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式1】嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（    ） 化简： 解：原式 ………………①通分 ……………………②合并同类项 ……………………③提公因式 ………………………………④约分 A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为 ． 【变式3】①约分：＝ ； ②与的最简公分母是 ； ③分式通分和约分的依据是 ． 【变式4】把下列各式通分： (1)x−y与； (2) , 与. 题型06 最简分式 【典例1】下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】分式：①；②；③；④中，最简分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】从代数式：，，中任选两个，组成一个最简分式 ．（写出一个即可） 【变式3】琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是 ． 【变式4】把下列分式化为最简分式． （1）； （2）； （3）． 1．下列各式变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如果把分式中的都扩大3倍，则分式的值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小到原来的 3．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 4．要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A． B． C． D．x≠1 5．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 6．在，，，，中，属于分式的有 个． 7．分式的值是正整数，则整数x＝ ． 8．已知时，多项式的值为，则 ． 9．若分式的值为0，则的值为 ． 10．已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 11．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“ “号． (1)； (2)； (3)． 12．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 13．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 14．已知，求的值． 15．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$