16.4 零指数幂与负整数指数幂（2大知识点+4大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

16.4 零指数幂与负整数指数幂 课程标准 学习目标 ①零指数幂与负整数指数幂 ②科学记数法 1. 掌握零指数幂与负整数指数幂的定义，并对其进行计算； 2. 熟练的用科学记数法表示高位数字． 知识点01 零指数幂与负整数指数幂 我们规定：. 这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1. 零的零次幂没有意义。 我们规定：. 这就是说，任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数. 知识点02 科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，； 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 题型01 零指数幂 【典例1】计算：（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式1】若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．且 【变式2】已知无意义，则 ． 【变式3】若有意义，则a应满足的条件是 ． 【变式4】计算： 题型02 负整数指数幂 【典例1】若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1】的相反数是（　　） A． B．6 C． D． 【变式2】计算： ． 【变式3】计算的结果为 ． 【变式4】计算：． 题型03 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例1】（跨学科）某种细胞的直径是厘米，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】4月的字库山绽放着美丽的玫瑰花，玫瑰花粉的直径约为，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为 ． 【变式3】（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为 m； （2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为 m． 【变式4】新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 题型04 还原用科学记数法表示的小数 【典例1】某种电子元件的面积大约为，将这个数据写成小数的形式为：，这个小数中0的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】空气的密度是，数据用小数表示为（    ） A．0.1293 B．0.0001293 C．0.001293 D．1293 【变式2】一种细菌的半径是米，用小数表示为 米． 【变式3】将下列用科学记数法表示的数还原： （1） ；      （2） ； （3） ；      （4） ． 【变式4】将下列用科学记数法表示的数还原． (1)； (2)； (3)． 1．等于（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D．3 4．在、、、四数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 5．新考法定义一种新的运算：若，则有，那么的值是（　　） A． B．5 C． D． 6．微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 7．若，则 ． 8．已知，那么 ． 9．将写成只含正整数指数幂的形式： ． 10．已知，则 ． 11．计算： (1) (2) 12．计算： 13．计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 14．阅读材料： ①1的任何次幂都等于1； ②的奇数次幂都等于； ③的偶数次幂都等于1； ④任何不等于零的数的零次幂都等于1． 试根据以上材料探索使等式成立的的值． 15．（1）基本活动：______；______；______；______；______；_______． （2）结论总结：若n表示整数，分别求出和的值． （3）综合应用：求满足等式的x的值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.4 零指数幂与负整数指数幂 课程标准 学习目标 ①零指数幂与负整数指数幂 ②科学记数法 1. 掌握零指数幂与负整数指数幂的定义，并对其进行计算； 2. 熟练的用科学记数法表示高位数字． 知识点01 零指数幂与负整数指数幂 我们规定：. 这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1. 零的零次幂没有意义。 我们规定：. 这就是说，任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数. 知识点02 科学记数法 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数指数幂，把一个绝对值较大的数表示成a×10n的形式，其中n是正整数，； 类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 题型01 零指数幂 【典例1】计算：（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查整数指数幂，熟练掌握零指数幂的性质是解题的关键，根据任何非零数的零次幂都等于1，即可得到答案． 【详解】解：∵任何非零数的零次幂都等于1， ∴， 故选：B． 【变式1】若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的意义，根据底数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且， ∴或． 故选D． 【变式2】已知无意义，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了零指数幂的意义，代数式求值，先根据零指数幂的意义求出x的值，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式3】若有意义，则a应满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了负整数指数幂和0指数幂，0指数幂和负整数指数的底数不能为0， 根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则列不等式求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且． 故答案为：且． 【变式4】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、乘方、零指数幂、绝对值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先按照乘方、零指数幂、绝对值化简，最后再计算即可． 【详解】解： ． 题型02 负整数指数幂 【典例1】若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1】的相反数是（　　） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，根据负整数指数幂和相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：C． 【变式2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂进行计算，即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【变式3】计算的结果为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了负整数指数幂．先计算负整数指数幂，再计算减法即可． 【详解】 ． 故答案为：0． 【变式4】计算：． 【答案】 【分析】该题主要考查了负整数指数幂以及简便运算，解题的关键是找到简便方法． 设，再算出，两式作差即可求解． 【详解】解：设①， 则 ②． ，得， 即． 题型03 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例1】（跨学科）某种细胞的直径是厘米，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选A． 【变式1】4月的字库山绽放着美丽的玫瑰花，玫瑰花粉的直径约为，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键，绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式3】（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为 m； （2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为 m． 【答案】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． （1）根据科学记数法表示方法将小数点向左移动5个单位即可． （2）根据科学记数法表示方法解答即可． 【详解】解：（1）用小数表示为． 故答案为：． （2）用科学记数法表示为． 故答案为：． 【变式4】新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意即可直接列出代数式； （2）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可； （3）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ； （2）解：当，时， ； （3）解：，， ． 【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值，科学记数法—表示较大的数，科学记数法—表示较小的数等知识点，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数，据此确定的值以及的值即可． 题型04 还原用科学记数法表示的小数 【典例1】某种电子元件的面积大约为，将这个数据写成小数的形式为：，这个小数中0的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据科学记数法还原原数，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．根据科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，即，则小数点向右移动了为，由此还原原数，即可求解． 【详解】解：， ∴这个小数中0的个数为7个， 故选：C ． 【变式1】空气的密度是，数据用小数表示为（    ） A．0.1293 B．0.0001293 C．0.001293 D．1293 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向左移几位．把1.293的小数点向左移3位即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2】一种细菌的半径是米，用小数表示为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：米米， 故答案为：． 【变式3】将下列用科学记数法表示的数还原： （1） ；      （2） ； （3） ；      （4） ． 【答案】 6200000 【分析】本题主要考查了将用科学记数法表示的数还原．将科学记数法表示绝对值大于1或小于1的数还原的方法：将中，当为正数，将小数点向右移动n为移动的位数即可还原；当为负数，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：6200000；；；． 【变式4】将下列用科学记数法表示的数还原． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将小数点向左移动4位即可； （2）将小数点向左移动5为即可； （3）将小数点向左移动6为即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查了将用科学记数法表示绝对值小于1的数还原，解题的关键是掌握用还原科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原． 1．等于（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是零指数幂，根据任何非零数的零次幂都等于1解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，当绝对值小于1时，n为负整数，由第一个非零数字前零的个数决定；确定a、n的值成为解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 3．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查积的乘方，零指数幂，解答的关键是积的乘方法则的逆用． 逆用积的乘方法则和零指数幂计算，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 4．在、、、四数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查负整数指数幂，零指数幂，将四个数分别进行计算然后与1进行比较，即可求出． 【详解】解： 最大的数是 故选：D． 5．新考法定义一种新的运算：若，则有，那么的值是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，但其计算中容易出现符号错误，根据题意列出算式，求解即可． 【详解】解： ． 故选B． 6．微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 7．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，绝对值和平方的运算，解题的关键是掌握非负数的性质，求出，的值，根据，进行计算，即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．已知，那么 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法和零指数幂，解题关键是熟练掌握运算法则的逆用． 逆用积的乘方法则，把分子写成两个幂相乘，，分母逆用同底数幂相乘法则，写成两个同底数幂相乘，然后化简，求出的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：1． 9．将写成只含正整数指数幂的形式： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂．根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，负整数指数幂的意义，根据同底数幂的乘法法则把变形得，，由幂的乘方得，从而可得，代入所给代数式求解即可． 【详解】解：因为， 所以，， 所以，， 所以，即， 所以， 所以． 故答案为：． 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，有理数的乘方和加法运算，负整数指数幂，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法，幂的乘方计算即可； （2）先计算有理数的乘方，再进行加法计算． 【详解】（1）解： （2）解： 12．计算： 【答案】1 【分析】本题主要考查实数的混合运算，先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】 ． 13．计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据算术平方根定义和立方根定义，零指数幂运算法则，负整数指数幂和零指数幂运算法则，进行计算即可； （2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根． 14．阅读材料： ①1的任何次幂都等于1； ②的奇数次幂都等于； ③的偶数次幂都等于1； ④任何不等于零的数的零次幂都等于1． 试根据以上材料探索使等式成立的的值． 【答案】的值为1或0或 【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂．分别根据①②③④进行讨论即可． 【详解】①当时，； ②当时，，指数为偶数，所以符合题意； ③当时，，且，所以符合题意； 综上所述：的值为1或0或． 15．（1）基本活动：______；______；______；______；______；_______． （2）结论总结：若n表示整数，分别求出和的值． （3）综合应用：求满足等式的x的值． 【答案】（1）1，1，1，，1，1；（2）．当n为奇数时，；当n为偶数时，；（3）x的值为或或． 【分析】本题考查了乘方的意义，零指数幂的意义． （1）根据乘方的意义计算即可； （2）根据（1）中的计算结果总结即可； （3）分3种情况求解：当指数为0且底数不为0时；当底数是1时；当底数是且指数是偶数时． 【详解】解：（1）；；；；；． 故答案为：1，1，1，，1，1； （2）由（1）可知，．当n为奇数时，；当n为偶数时，； （3）当指数为0且底数不为0时， ，∴，此时，符合题意； 当底数是1时； ，∴； 当底数是且指数是偶数时． ，∴，此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$