16.3 可化为一元一次方程的分式方程（2大知识点+4大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（华东师大版）

16.3 可化为一元一次方程的分式方程 课程标准 学习目标 ①解分式方程 ②分式方程的应用 1. 掌握分式方程的定义，会解分式方程； 2. 掌握分式方程的实际应用． 知识点01 分式方程的定义 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程 知识点02 分式方程的增根 将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解，这种根通常称为增根。因此，在解分式方程时必须进行检验。 题型01 分式方程的定义 【典例1】下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【变式2】在方程中，分式方程有 个． 【变式3】下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【变式4】判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 题型02 列分式方程 【典例1】某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶12千米，若设甲车的速度为千米/时，依题意列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】张老师和李老师同时从学校出发，乘车去距学校35千米的新华书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走2千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？ 设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是 ． 【变式3】某施工队要铺设一段全长2000米的管道，中考期间需停工两天，实际施工时，每天需比原来计划多铺设50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米，设原计划每天施工x米，则根据题意可列方程为 ． 【变式4】某开发公司生产的1920件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙厂单独加工完这批产品比甲厂单独加工完这批产品多用20天，而乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的，公司需付甲厂加工费用每天120元，需付乙厂加工费用每天80元． (1)设甲每天加工的数量为x个，则乙每天加工的数量为_________个； (2)求甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？ (3)公司制定产品加工方案如下：方案一：由甲单独完成；方案二：由乙单独完成；方案三：由甲、乙两个厂家合作完成；无论哪种方案，在加工过程中公司都将派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天20元的午餐补助费．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 题型03 解分式方程 【典例1】分式方程的解是（　　） A． B． C． D．无解 【变式1】解分式方程，去分母后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】分式方程的解是 ． 【变式3】分式方程有增根，则的值为 ． 【变式4】解下列分式方程： (1)； (2)． 题型04 分式方程的应用 【典例1】已知某工程由甲、乙两队合做12天可完成，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成所需时间的2倍少10天．甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？设甲队单独完成需x天，根据题意列出的方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】“五•一”期间，几名同学共同包租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每位同学少分摊3元，则原来旅游同学的人数为（　　） A．8人 B．10人 C．12人 D．30人 【变式2】 轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中的速度为 ． 【变式3】随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为 ． 【变式4】为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A，B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 1．把分式方程化为整式方程，则方程两边需同时乘（    ） A． B． C． D． 2．在下列各式中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 3．若是分式方程的根，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 4．[传统文化]（襄阳中考）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，则所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 5．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．3 B．1 C．0 D．1 6．已知分式方程的解为，则a的值为 ． 7．方程的解为 ． 8．对于实数，，定义一种新运算“*”：，等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 10．如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口．    11．解分式方程：． 12．解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第__________步开始出现错误的，错误的原因是__________________________________； 任务二：请直接写出分式方程正确的解． 13．已知关于x的分式方程． (1)当时，解分式方程； (2)若这个分式方程无解，求m的值． 14．哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 15．如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对为关于的分式方程的“关联数对”的有________（填序号）； ；； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.3 可化为一元一次方程的分式方程 课程标准 学习目标 ①解分式方程 ②分式方程的应用 1. 掌握分式方程的定义，会解分式方程； 2. 掌握分式方程的实际应用． 知识点01 分式方程的定义 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程 知识点02 分式方程的增根 将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解，这种根通常称为增根。因此，在解分式方程时必须进行检验。 题型01 分式方程的定义 【典例1】下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； B、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； C、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； D、，分母不含有未知数，不是分式方程，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 【变式2】在方程中，分式方程有 个． 【答案】3 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：在方程中，分式方程有，一共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【变式3】下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】④⑤⑥⑦⑨ 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】①是整式方程，故①不符合题意； ②是整式方程，故②不符合题意； ③是整式方程，故③不符合题意； ④是分式方程，故④符合题意； ⑤是分式方程，故⑤符合题意； ⑥是分式方程，故⑥符合题意； ⑦是分式方程，故⑦符合题意； ⑧是整式方程，故⑧不符合题意； ⑨是分式方程，故⑨符合题意； 故答案为：④⑤⑥⑦⑨． 【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键． 【变式4】判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【答案】（）（）（）（）（）是分式方程；（）（）是整式方程． 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】（1）是分式方程； （2）是整式方程； （3）是分式方程； （4）是分式方程； （5）是分式方程； （6）是整式方程； （7）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键． 题型02 列分式方程 【典例1】某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树，甲班植70棵树所用的时间与乙班植50棵树所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项． 【详解】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树，根据题意，得： ， 故选：A 【变式1】已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶12千米，若设甲车的速度为千米/时，依题意列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用：列分式方程，关键是正确理解题意、列出分式方程即可．首先根据甲车的速度为千米/时，表示出乙车的速度为千米/小时，再根据关键语句：甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，列出方程即可． 【详解】解∶ 设甲车的速度为千米/时，则乙车的速度为千米/小时， 根据题意，得， 故选：A． 【变式2】张老师和李老师同时从学校出发，乘车去距学校35千米的新华书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走2千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？ 设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的应用．李老师每小时走x千米，张老师每小时走千米，利用张老师比李老师早到半小时，再建立分式方程求解即可． 【详解】解：李老师每小时走x千米，张老师每小时走千米， 根据时间的关系可列方程为：， 故答案为：． 【变式3】某施工队要铺设一段全长2000米的管道，中考期间需停工两天，实际施工时，每天需比原来计划多铺设50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米，设原计划每天施工x米，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天施工x米，则实际每天施工米，再根据实际比原计划少施工两天列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工米， 由题意得，， 故答案为：． 【变式4】某开发公司生产的1920件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙厂单独加工完这批产品比甲厂单独加工完这批产品多用20天，而乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的，公司需付甲厂加工费用每天120元，需付乙厂加工费用每天80元． (1)设甲每天加工的数量为x个，则乙每天加工的数量为_________个； (2)求甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？ (3)公司制定产品加工方案如下：方案一：由甲单独完成；方案二：由乙单独完成；方案三：由甲、乙两个厂家合作完成；无论哪种方案，在加工过程中公司都将派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天20元的午餐补助费．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 【答案】(1) (2)甲每天加工的数量为48个，则乙每天加工的数量为32个 (3)既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作完成，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，有理数混合运算的应用，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲每天加工新产品件，根据乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的求解即可； （2）根据题意列分式方程求解即可； （3）分三种情况分别计算后比较即可． 【详解】（1）解：设甲每天加工新产品件， ∵乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的 ∴乙每天加工的数量为个； （2）解：根据题意得： 解得： 检验：把代入，符合题意 则 答：甲每天加工的数量为48个，则乙每天加工的数量为32个； （3）解：方案一：甲单独加工完成需要（天） 费用为：元 方案二：乙单独加工完成需要（天） 费用为：元 方案三：乙合作完成需要（天） 费用为：元 所以既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作完成． 题型03 解分式方程 【典例1】分式方程的解是（　　） A． B． C． D．无解 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程的解法．首先等式两边同乘以最简公分母进行去分母化为整式方程，然后根据整式方程的求解方法进行求解，最后把解代入最简公分母进行验根即可. 【详解】解： 两边乘，得，解得； 检验：当时，最简公分母； ∴是方程的解. 故选：B 【变式1】解分式方程，去分母后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．方程两边都乘以去分母即可判断． 【详解】解：分式两边同时乘以得：， 故选：C． 【变式2】分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法．先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解， 故答案为：． 【变式3】分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，理解分式方程的增根是解题的关键，方程两边都乘以最简公分母把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解． 【详解】解： 方程两边都乘以得， ， ， ， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，，此时原分式方程无解，不符合题意． 所以的值为， 故答案为：． 【变式4】解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：可化为， 方程两边都乘，得， 去括号移项得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． （2）解：可化为， 去分母，得， 去括号得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 题型04 分式方程的应用 【典例1】已知某工程由甲、乙两队合做12天可完成，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成所需时间的2倍少10天．甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？设甲队单独完成需x天，根据题意列出的方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系． 设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天，根据两队合作12天完成，可得出方程，解出即可． 【详解】解：设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天， 依题意得， 故选：A． 【变式1】“五•一”期间，几名同学共同包租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每位同学少分摊3元，则原来旅游同学的人数为（　　） A．8人 B．10人 C．12人 D．30人 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，准确理解题意是解题的关键．设原来人数为x人，根据结果每位同学少分摊3元列分式方程，求解即可． 【详解】解：设原来人数为x人，由题意得 ， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：原来旅游同学有8人， 故选：A． 【变式2】 轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．解决本题的关键是根据顺水速度静水速度水流的速度、逆水速度静水速度水流的速度把轮船的顺水速度和逆水速度用含的代数式表示出来，再根据轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同列方程求解，求出解后一定要把求出的解代入原分式方程的最简公分母检验是否增根． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的根， 答：轮船在静水中的速度为． 故答案为： ． 【变式3】随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘刚购买的新能源车，去相距的古镇旅行，原计划以速度匀速前行，因急事以计划速度的倍匀速行殃，结果就比原计划提前了到达，则原计划的速度v为 ． 【答案】60 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 根据比原计划提前了到达列方程，即可解得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，并符合题意， ∴原计划的速度为； 故答案为：60． 【变式4】为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A，B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 【答案】(1)A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； (2)最多购买了A文具30件． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，设恰当未知数，列出方程和不等式． （1）设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元，利用数量=总价÷单价，结合用900元购买B文具的数量是用600元购买A文具数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B文具的单价，再将其代入中即可求出A文具的单价； （2）设购买A文具m件，则购买B文具件，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； （2）解：设购买A文具m件，则购买B文具件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买了A文具30件． 1．把分式方程化为整式方程，则方程两边需同时乘（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程的第一步：化分式方程为整式方程，需要两边乘各分母的最简公分母；找出最简公分母即可． 【详解】解：由题意知，分式方程的最简公分母为，分式方程两边乘这个最简公分母，便可化为整式方程； 故选：B． 2．在下列各式中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 【详解】解：A、是整式方程，不是分式方程，不符合题意； B、是整式方程，不是分式方程，不符合题意； C、不是方程，不是分式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 3．若是分式方程的根，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，根据是分式方程的根，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵是分式方程的根， ∴把代入， 得， 解得， 故选：A． 4．[传统文化]（襄阳中考）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，则所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，则慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，根据“快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里”，列出方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天， 快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里， ， 故选：B． 5．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．3 B．1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，掌握分式方程无解的条件是使分式方程无意义的未知数的值成为解题的关键． 先通过去分母后将分式方程化成整式方程，由分式方程无解，则增根为，然后把代入关于k的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程无解， ∴该分式方程的增根为， 方程去分母得：， 把代入可得：，解得：． 故选A． 6．已知分式方程的解为，则a的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了分式方程解的意义，将代入分式方程即可得出答案． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：7． 7．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，再解一元一次方程，最后再检验． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 8．对于实数，，定义一种新运算“*”：，等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 去分母得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程可得，结合题意得出，，求解即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，， ∴且， 故答案为：且． 10．如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口．    【答案】琳琳 【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解答本题的关键． 设琳琳从到的速度为，则从到的速度为，根据从到的时间为从到时间的一半可列分式方程，求出的值，再分别计算出琳琳和华华到达出口的时间进行比较即可得出答案． 【详解】解：设琳琳从到的速度为，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 琳琳所用的时间为：， 华华所用的时间为：， ， 琳琳先到达出口， 故答案为：琳琳． 11．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是通分，然后移项，合并同类项，最后系数化为“”，即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以得：， 去分母得：， 去小括号得：， 合并同类项得：， 系数化为“”得：， 检验：把代入得：， ∴原方程的解． 12．解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第__________步开始出现错误的，错误的原因是__________________________________； 任务二：请直接写出分式方程正确的解． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二，利用完全平方公式展开错误；任务二：． 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可；②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可；任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ． 经检验，是原分式方程的解． 13．已知关于x的分式方程． (1)当时，解分式方程； (2)若这个分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法． 对于（1），代入数值求出解即可； 对于（2），先去分母，再根据分式方程无解时x的值代入计算即可． 【详解】（1）解：把代入分式方程，得 ， 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：去分母，得． 整理，得． 当，即时，方程无解，则原分式方程无解； 当时，由分式方程无解，得到，即， 把代入整式方程，得， 解得． 综上所述，m的值为1或． 14．哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 【答案】(1)180元 (2)440元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据件数作为等量关系列出方程， （1）设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元，分别计算出第一批和第二批哈密瓜的件数，根据件数建立方程，解方程即可得到答案； （2）先计算出第二批哈密瓜的进价和件数，再分别计算两次销售的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元， 根据题意得：第一批哈密瓜的件数为，第二批哈密瓜的件数为， ∴， 解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴第一批哈密瓜每件进价是180元； （2）解：根据（1）得第二批哈密瓜的售价为元， 则第二批哈密瓜的件数为：件， ∴第二批哈密瓜的利润为：元． 15．如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对为关于的分式方程的“关联数对”的有________（填序号）； ；； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1) (2)； (3)或． 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义计算即可； （）根据“关联数对”定义计算即可； 本题考查了新定义，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：若，分式方程的解为无解，不符合“关联数对”的定义，故不正确； 若，，分式方程的解为，符合“关联数对”的定义，故正确； 若，，分式方程的解为不符合 “关联数对”的定义，故不正确. 故答案为：； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵可化为， 解得：， ∵方程有整数解， ∴整数，，即，，，， 又∵，， ∴， ∴或． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$