数学（新高考Ⅱ卷03）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 3．已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（    ） A． B． C． D． 5．已知角满足：，则（    ） A．4 B．2 C． D． 6．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 10．已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点在动点的轨迹上 B．周长的最小值为 C．当最小时，点的横坐标为4 D．面积的最大值为 11．如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，，的中点，且，点在线段上（包含端点）运动，则（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．存在点，使得直线平面 C．点在运动的过程中，三棱锥的体积不变 D．当点为线段的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某批零件的尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与8的误差不超过4即合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则的最小值为 ． 13．函数的最小值为 ． 14．已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在中，角的对边分别为，，且． (1)当时，试判断的形状； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 16．（15分）如图，三棱柱中，，，，，. (1)求证：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 18．（17分）高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，典型症状包括头痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鸣等．最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为，大概每三位成人中就有一位是高血压患者．改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展． (1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动．下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计． 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低 （或治愈）人数 320 270 210 150 100 若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ (2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，． （ⅰ）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； （ⅱ）定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 19．（17分）在平面直角坐标系中，若，两点在直线的同一侧，则称，为“-同域点”；若，两点分别在直线的两侧，则称，为“-异域点”.已知：抛物线：，：. (1)若点，为“-异域点”，求实数的取值范围. (2)已知过的直线与抛物线交于，两点， （Ⅰ）若，为“-同域点”，比较与0的大小关系并说明理由； （Ⅱ）直线的斜率为，过原点作斜率为的直线，，，点，到直线的距离分别记为，，若，求点，为“-同域点”的概率. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 3．已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（    ） A． B． C． D． 5．已知角满足：，则（    ） A．4 B．2 C． D． 6．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 10．已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点在动点的轨迹上 B．周长的最小值为 C．当最小时，点的横坐标为4 D．面积的最大值为 11．如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，，的中点，且，点在线段上（包含端点）运动，则（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．存在点，使得直线平面 C．点在运动的过程中，三棱锥的体积不变 D．当点为线段的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某批零件的尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与8的误差不超过4即合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则的最小值为 ． 13．函数的最小值为 ． 14．已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在中，角的对边分别为，，且． (1)当时，试判断的形状； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 16．（15分）如图，三棱柱中，，，，，. (1)求证：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 18．（17分）高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，典型症状包括头痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鸣等．最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为，大概每三位成人中就有一位是高血压患者．改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展． (1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动．下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计． 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低 （或治愈）人数 320 270 210 150 100 若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ (2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，． （ⅰ）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； （ⅱ）定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 19．（17分）在平面直角坐标系中，若，两点在直线的同一侧，则称，为“-同域点”；若，两点分别在直线的两侧，则称，为“-异域点”.已知：抛物线：，：. (1)若点，为“-异域点”，求实数的取值范围. (2)已知过的直线与抛物线交于，两点， （Ⅰ）若，为“-同域点”，比较与0的大小关系并说明理由； （Ⅱ）直线的斜率为，过原点作斜率为的直线，，，点，到直线的距离分别记为，，若，求点，为“-同域点”的概率. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D C B C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．4 13．-1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）(1)为等腰三角形或直角三角形．；(2)． 【详解】（1）由正弦定理得， ， 所以， 即，又，，， 所以或． 若，则，与矛盾， 所以，此时或． 当时，，当时，， 即为等腰三角形或直角三角形． （2）由（1）得， 所以或． 当时，，而为锐角三角形， 所以，，，即． 当时，，此时为钝角，不符合题意． 由余弦定理的推论得， 由正弦定理得 ． 因为，所以， 所以， 即，所以的取值范围是． 16．（15分）(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在中，由余弦定理，可得， 则，化简得，解得， 则有，所以， 又，平面ABC，所以平面ABC， 又平面ABC，所以， 又，，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）易知，AC，BC两两相互垂直， 以为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，可得， 所以，令，则，， 设平面的法向量为， 则,可得, 令，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 则，解得， 则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（15分）(1)在上单调递增，没有单调递减区间；(2)；(3)证明见解析 【详解】（1）当时，的定义域为， 则， 令，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在时取最小值，即，所以， 所以在上单调递增，没有单调递减区间． （2）因为，， 所以要使当时，， 必须满足，即． 下面证明满足题意： ①当时，由，． 令，， 由（1）知，在上单调递增， 所以， 所以当时，，即； ②当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 又，当时，， 所以存在，使得， 所以当时，，即在上单调递减， 所以当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． （3）由（2）知，当，时，， 即，所以． 令， 则， ， 所以 令，则 ， 所以， 即． 18．（17分）(1)42人；(2)（ⅰ）分布列见解析，（ⅱ）证明见解析，． 【详解】（1）由已知可得， ． 又因为， ， 所以， 所以， 所以， 当时，， 所以预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有42人． （2）（ⅰ）由题知的所有可能取值为0，1，2， ； ； ， 所以的分布列为 0 1 2 所以． （ⅱ）设经过次挑战后，挑战权在乙、丙组的概率分别为，， 则当时，，，， 由后两个等式相加，得．  ① 因为，所以，， 代入①式得， 即， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即， 所以由，得，即， 所以对任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数（表示不超过的最大整数），使得当时，， 所以数列为“聚点数列”，聚点的值为． 19．（17分）(1)；(2)（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ） 【详解】（1）：，要使点，为“-异域点”， 则应在的下方，应在的上方， 所以，解得； （2）（Ⅰ）若，在的下方，则， 所以， 即， 若，在的上方，则，即， 所以， 综上，若，为“-同域点”，则； （Ⅱ）方程为：， 联立，得， 所以，， 直线：，即， 所以，， ， ①若，为“-同域点”，则，， 此时 ， 令，得，又， 则满足要求的为，，，，，共6组； ②若，不为“-同域点”，则， 此时 ， 令，得， 又， 则满足要求的为，，，，，共6组， 综上，满足的的样本空间有个样本点， 其中使点，为“-同域点”的样本点有6个， 故概率. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（新高考Ⅱ卷）·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，又，所以.故选：A． 2．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【详解】，，A选项错误，的虚部是，B选项错误； ，C选项错误，在复平面内对应的点为，在第一象限，D选项正确. 故选：D 3．已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，化简得， 解得或（舍去），则， 因为， ， 所以， 又，所以． 故选：D. 4．托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，得，从而计算求出得到答案. 【详解】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B， 则，，， 所以， 所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为， 故选：C． 5．已知角满足：，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：因为， 所以， 所以， ， ， ， 故选：B． 6．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，对称轴为， 因为函数是正实数集上的减函数， 所以要想函数在上为减函数， 只需函数在上为增函数，且在上恒成立， 所以，且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7．已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的左焦点为，连接，过作于， 易知，所以为的中位线， 又图中双曲线的渐近线方程为， 则，， 则为线段的中点，所以为等腰三角形，即， 又， 即， ，即，， 解得. 故选：B. 8．已知函数，，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，得当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为. 当时，，，所以在上单调递减. 又，，， 所以，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，所以，所以，故A正确； 又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 10．已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点在动点的轨迹上 B．周长的最小值为 C．当最小时，点的横坐标为4 D．面积的最大值为 【答案】BCD 【详解】由题可知，设点，则，. ，，化简得，即， 则动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 对于A，因为，所以点不在动点的轨迹上，故A错误； 对于B，抛物线的准线方程为，如图，过点作准线的垂线，垂足为， 则，当且仅当三点共线时，取得最小值，即. 又，所以周长的最小值为，故B正确； 对于C，如图，当与圆相切且点在轴上方时，最小. 连接，所以. ，，， 所以点的横坐标为，故C正确； 对于D，因为，为定值，所以若的面积取得最大值，则只需要动点到直线的距离最远即可. 直线，即，所以点到直线的距离为， 所以到直线的最大距离为， 所以面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 11．如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，，的中点，且，点在线段上（包含端点）运动，则（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．存在点，使得直线平面 C．点在运动的过程中，三棱锥的体积不变 D．当点为线段的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【详解】对于A，如图①，取的中点，连接， 由三棱柱的结构特征可得， 则或其补角为异面直线与所成的角. 由是的中点，，得，是以为斜边的直角三角形， 又，所以是等腰直角三角形， 所以，所以，又，， 所以在中，由余弦定理的推论得， 故直线与直线所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，如图②，连接交于点， 则点为的重心，即，连接交于点，连接， 若存在点，使得直线平面，则由线面平行的性质定理得， 因为点分别为线段，的中点， 所以，，由知点为线段的中点， 这与矛盾，故假设不成立， 即不存在点，使得直线平面，故B错误； 对于C，，又， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 则点到平面的距离不变， 为定值，即是定值，故C正确； 对于D，如图③，，则， 即，即， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 当点为线段的中点时，是等腰直角三角形， 把三棱锥补形为棱长为2的正方体， 则线段为三棱锥外接球的直径， 即外接球半径，外接球的表面积，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某批零件的尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与8的误差不超过4即合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】因为服从正态分布，， 所以，所以，所以， 所以，即每个零件合格的概率为． 因为合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1， 且合格零件件数为0或1的概率为， 所以，即． 令，所以，即， 所以在上单调递减，而，， 所以不等式的解集为，所以的最小值为4． 故答案为：4. 13．函数的最小值为 ． 【答案】-1 【详解】 令，则     ， 当时，，即的最小值为 本题正确结果： 14．已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【详解】，定义域为，且， 故是奇函数； 又，且，，故 恒成立， 故在上单调递增； ，即，也即， 故，也即在恒成立； 令，则； 令，则，故在单调递增； 又，故存在，使得，即； 则当，，故，此时单调递减； 当，，故，此时单调递增； 故时，取得最小值， 又满足：，两边取对数可得，也即； 故的最小值. 故，则的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在中，角的对边分别为，，且． (1)当时，试判断的形状； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)为等腰三角形或直角三角形．(2)． 【详解】（1）由正弦定理得， ， 所以，............................................................（2分） 即，又，，， 所以或．............................................................（3分） 若，则，与矛盾， 所以，此时或．............................................................（5分） 当时，，当时，， 即为等腰三角形或直角三角形．............................................................（6分） （2）由（1）得， 所以或．............................................................（7分） 当时，，而为锐角三角形， 所以，，，即． 当时，，此时为钝角，不符合题意．............................................................（9分） 由余弦定理的推论得， 由正弦定理得 ．............................................................（11分） 因为，所以， 所以， 即，所以的取值范围是．............................................................（13分） 16．（15分）如图，三棱柱中，，，，，. (1)求证：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在中，由余弦定理，可得， 则，化简得，解得，.........................................................（3分） 则有，所以， 又，平面ABC，所以平面ABC， 又平面ABC，所以，............................................................（5分） 又，，平面，平面， 所以平面.............................................................（7分） （2）由（1）易知，AC，BC两两相互垂直， 以为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，，，，..............................（8分） 设平面的法向量为， 则，可得， 所以，令，则，，............................................................（10分） 设平面的法向量为， 则,可得, 令，则，，故，............................................................（12分） 设平面与平面的夹角为， 则，解得，......................................................（14分） 则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.............................................................（15分） 17．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)在上单调递增，没有单调递减区间；(2)；(3)证明见解析 【详解】（1）当时，的定义域为，................................（1分） 则， 令，则，............................................................（2分） 令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在时取最小值，即，所以， 所以在上单调递增，没有单调递减区间．............................................................（5分） （2）因为，， 所以要使当时，， 必须满足，即．............................................................（6分） 下面证明满足题意： ①当时，由，． 令，， 由（1）知，在上单调递增， 所以， 所以当时，，即；............................................................（8分） ②当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 又，当时，， 所以存在，使得， 所以当时，，即在上单调递减， 所以当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是．............................................................（10分） （3）由（2）知，当，时，， 即，所以．............................................................（1分） 令， 则， ， 所以............................................................（13分） 令，则 ， 所以， 即．............................................................（15分） 18．高血压（也称血压升高），是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象，典型症状包括头痛、疲倦或不安、心律失常、心悸耳鸣等．最新的调查显示，中国成人高血压的患病率为，大概每三位成人中就有一位是高血压患者．改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展． (1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动．下表为开展活动后近5个季度社区高血压患者的血压情况统计． 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低 （或治愈）人数 320 270 210 150 100 若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ (2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为，；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，． （ⅰ）经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； （ⅱ）定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1)42人；(2)（ⅰ）分布列见解析，（ⅱ）证明见解析，． 【详解】（1）由已知可得， ．............................................................（2分） 又因为， ，............................................................（3分） 所以， 所以， 所以，............................................................（5分） 当时，， 所以预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有42人．............................................................（6分） （2）（ⅰ）由题知的所有可能取值为0，1，2， ； ； ， 所以的分布列为 0 1 2 所以．............................................................（10分） （ⅱ）设经过次挑战后，挑战权在乙、丙组的概率分别为，， 则当时，，，， 由后两个等式相加，得．  ① 因为，所以，， 代入①式得，............................................................（12分） 即， 所以． 因为，， 所以， 所以，............................................................（14分） 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，............................................................（15分） 所以由，得，即， 所以对任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数（表示不超过的最大整数），使得当时，， 所以数列为“聚点数列”，聚点的值为．............................................................（17分） 19．在平面直角坐标系中，若，两点在直线的同一侧，则称，为“-同域点”；若，两点分别在直线的两侧，则称，为“-异域点”.已知：抛物线：，：. (1)若点，为“-异域点”，求实数的取值范围. (2)已知过的直线与抛物线交于，两点， （Ⅰ）若，为“-同域点”，比较与0的大小关系并说明理由； （Ⅱ）直线的斜率为，过原点作斜率为的直线，，，点，到直线的距离分别记为，，若，求点，为“-同域点”的概率. 【答案】(1)；(2)（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ） 【详解】（1）：，要使点，为“-异域点”， 则应在的下方，应在的上方， 所以，解得；............................................................（3分） （2）（Ⅰ）若，在的下方，则， 所以， 即，............................................................（5分） 若，在的上方，则，即， 所以， 综上，若，为“-同域点”，则；............................................................（6分） （Ⅱ）方程为：， 联立，得， 所以，，............................................................（8分） 直线：，即， 所以，，............................................................（9分） ，............................................................（10分） ①若，为“-同域点”，则，， 此时............................................................（11分） ， 令，得，又， 则满足要求的为，，，，，共6组；..............................（13分） ②若，不为“-同域点”，则， 此时 ， 令，得， 又， 则满足要求的为，，，，，共6组，......................................（16分） 综上，满足的的样本空间有个样本点， 其中使点，为“-同域点”的样本点有6个， 故概率.............................................................（17分） 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$