重难点03指对幂函数综合应用讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

重难点03指对幂函数 1． 题型梳理 题型1：指对数运算 题型2： 指对数比较大小 题型3：指对幂函数的定义 题型4：指对函数图像以及性质 题型5： 指对幂函数与实际问题结合 题型6： 指对函数方程 题型7：指对不等式 题型8：指对函数综合问题 二．知识点回顾 1.指对数运算：; ； ; ; ； 以下 ; ; 对数恒等式：; 换底公式： 注意：由换底公式可得的倒数是，即； 2．指数函数定义、图像以及性质 （1）定义：一般地，形如函数叫做指数函数，其中指数是自变量，是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是，值域 为. （2）图像： 如图,作一条直线与各函数相交，交点的纵坐标分别,则由图像可知. （3）指数函数过定点,指数型函数过定点，一个核心就是消掉参数，例如,为了消掉参数的影响，我们需要令此时,过定点. 3.对数函数定义、图像以及性质 （1）定义：一般地，形如函数叫做对数函数，其中是自变量，是因变量，定义域是，值域为. （2）图像 如图,作一条直线与各函数相交，交点的横坐标分别,则由图像可知. （3）对数函数过定点。对数型函数过定点，核心是消掉参数，例如，为了消掉参数的影响，令,则,过定点（0,1）. 4.幂函数定义、图像以及性质 （1）定义：一般地，形如叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）图像：在同一平面直角坐标系中，我们给出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=，y=的图象如图所示： （3）性质：所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)点．当α>0时，在区间[0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减 例题精讲精练 题型1：指对数运算 例1-1. （23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）计算： . 例1-2. （24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则___________. 例1-3（24-25高一上·江苏南通·期中）已知，，用含a、b的式子表示 ． 例1-4（24-25高一上·吉林·期中）【多选题】若，则（   ） A． B． C． D． 练1-1（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）（1）计算 （2）计算； 练1-2（24-25高一上·江苏淮安·期中）计算下列各式的值： (1) (2) 练1-3（24-25高一上·广东深圳·期中）若，且，则 . 练1-4（23-24高一上·上海虹口·期中）已知，，则 （用，表示） 练1-5（24-25高一上·天津·阶段练习）设a，b，c都是正数，且，那么（    ） A． B． C． D． 题型2：指对数比较大小 例2-1（根据单调性直接比较）（2023-2024学年高一·重庆·阶段练习）已知,则（     ） A． B． C． D． 例2-2（判断整数区间）（2022·全国·高一课时练习）已知，则a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 例2-3（取中间值比较大小）已知，，，则有（       ） A． B． C． D． 例2-4（图像法比较大小）23-24高一上·重庆·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 例2-5（取倒数法）（22-23高一上·重庆·期末）设,则三者的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例2-6（二分法）（2023-2024学年高一·全国·阶段练习）已知，，，则（       ）． A． B． C． D． 练2-1（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则a、b、c的大小顺序为（       ） A． B． C． D． 练2-2，则a、b、c的大小顺序为（       ） A． B． C． D． 练2-3（23-24高一上·重庆巴南·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 练2-4（2022·陕西汉中·高一期末）已知，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 练2-5（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知，，，则有（       ） A． B． C． D． 练2-6（23-24高一·重庆阶段练习）已知,则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 练2-7（2022·全国·高三专题练习）设a=log32，b=ln2，c，则a､b､c三个数的大小关系是（       ） A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a 练2-8（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设，，则（       ） A． B． C． D． 练2-9（2022·全国·高一课时练习多选题）【多选题】已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（       ） A． B． C． D． 题型3：指对幂函数的定义 例3-1（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）“”是“幂函数在上单调递减”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 例3-2（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断正确的是（    ） A．是幂函数，且是指数函数 B．是幂函数，且不是指数函数 C．不是幂函数，且是指数函数 D．不是幂函数，且不是指数函数 例3-3（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则 ． 练3-1（24-25高一上·江苏无锡·期中）“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 练3-2（19-20高一上·江西抚州·阶段练习）已知函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则 A．2 B．3 C．4 D．5 练3-3（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 练3-4（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．y=（且） B． C． D．（且） 题型4：指对函数图像以及性质 例4-1（指数函数图像识别）（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数（其中a，b为常数，且），若的图象如图所示，则函数的图象是（   ） A． B． C． D． 例4-2（对数函数图像识别） （24-25高一上·全国·课后作业）【多选】已知，且，则函数与的图象可能为（    ） A． B． C． D． 例4-3（幂函数图像识别）（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（   ）    A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 例4-4（指对幂函数综合）（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（    ） A． B． C． D． 例4-5（指数函数过定点问题）（24-25高一上·浙江·期中）已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例4-6（对数函数过定点问题）（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）函数（，且）的图象经过定点P，则点P的坐标为（   ）． A． B． C． D． 练4-1（24-25·高一上·重庆期末复习）【多选题】，则函数图像可能是 A． B． C． D． 练4-2（24-25高一上·全国·课后作业）函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 练4-3．（2024高一·全国·专题练习）设且，，函数，，则函数，在同一平面直角坐标系内的图象可能为（    ） A． B． C． D． 练4-4（24-25高一上·广东深圳·期中）已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（   ） A． B． C．1 D．3 题型5： 指对幂函数与实际问题结合 例5-1（24-25高一上·江苏·阶段练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为 . 例5-2（24-25高一上·江苏·阶段练习）为了应对美国可能对华贸易的不当竞争，到2034年，某外贸玩具公司计划将生产成本控制在80万元，要比2024年下降20%，假设这期间每一年生产成本降低的百分比都相等，记2024年后第年的成本支出为万元. (1)求2024年的生产成本为多少万元 (2)求的解析式； (3)按此计划，到哪一年，可以将该工厂的成本控制在45万元以内？（参考数据：，） 练5-1（23-24高一上·辽宁·期末）碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代．设生物体内的碳14的含量为，死亡年数为． (1)试将表示为的函数； (2)不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的20%，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：） 练5-2（23-24高一·成都·阶段练习）声强级，是指声强x（单位：W/m²）和定值α（单位：W/m²）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）．已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为109，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．135dB B．140dB C．145dB D．150dB 题型6： 指对函数方程 例6-1．（2022·全国·高一专题练习）方程的解________． 例6-2.（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的方程，有一个正实数根和一个负实数根，则实数的取值范围为________. 练6-1（2024·江苏·高一专题练习）方程的解是（       ） A． B． C． D． 练6-2（2022·辽宁·辽师大附中高一阶段练习）若方程有解，则的最小值为（       ） A．2 B．1 C． D． 题型7：指对不等式 例7-1．（2024·江苏高一开学考试）函数的定义域是___. 例7-2.（2022·上海杨浦·高一期末）不等式的解集是_____________. 练7-1.（2022·全国·高一专题练习）解关于的不等式. 练7-2.（2022·全国·高一专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数的取值范围是_____． 练7-3（23-24高一上·四川资阳·期中）已知函数 (1)求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性； (2)求不等式的解集． 题型8：指对函数综合问题 例8-1（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数.若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 例8-2（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值是7，则 . 例8-3（21-22高一上·重庆·期末）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)设函数，若对任意的，总存在使得成立 练8-1（2022高一上·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数．在时，． (1)试求的表达式； (2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围． 练8-2（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数（且）的图像与函数的图像关于直线对称. (1)若在区间上的值域为，求的值； (2)在（1）的条件下，解关于的不等式. 练8-3（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数是偶函数，其中为实数. (1)求的值； (2)若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 练8-4（22-23高一上·江苏南通·期末）已知函数. (1)解关于的不等式； (2)求函数的最小值. 练8-5（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 练8-6（24-25高一上·浙江·期中）已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 4． 通关练习 1. （16-17高一上·云南曲靖·期中）幂函数在上单调递减，则等于（   ） A． B．3 C．或3 D． 2. （24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 3. （24-25高一上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形的三个顶点、、分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（   ） A． B． C． D． 5.（2024高一·全国·专题练习）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（    ）（参考数据：，） A．12 B．13 C．14 D．15 6．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）若函数且的图象恒过点，则 ，函数的值域为 7. （2024高一·全国·专题练习）航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（    ）倍. A． B． C． D． 8．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 9. （2022·陕西·长安一中高二期末（文））若关于的方程有解，则实数的取值范围为(       ) A． B． C． D． 10. （21-22高一上·重庆沙坪坝·期末）若幂函数是偶函数，则 . 11. （23-24高一上·安徽·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（    ） A．   B．   C．   D．   12．（23-24高一上·重庆北碚·期末）【多选题】函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）【多选题】下列四组图象中，每组分别都是两个函数的图象，其中两个函数图象与解析式对应可能正确的是（   ） A．   B．   C．     D．   14．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，矩形的三个顶点分别在矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为 ． 15. （23-24高一上·重庆北碚·阶段练习）已知. (1)求函数的表达式； (2)判断并证明函数的单调性； (3)若对恒成立，求的取值范围. 试卷第4页，共5页 2 学科网（北京）股份有限公司 16. （22-23高一上·河北保定·期末）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； (3)若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由． 17. （23-24高一上·辽宁·期末）已知是定义在上的奇函数． (1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）； (2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域； (3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围． 18. （20-21高一上·浙江宁波·期末）函数(其中为实数)的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 19. （24-25高一上·浙江·阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 20. （2023-2024高一上·陕西·期末）若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是 A．（，b） B．(10a,1b) C．(,b+1) D．(a2,2b) 21. （24-25高一上·浙江·期中）【多选题】若，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D．． 22. （23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）（1）求的值； （2）化简 23. （23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知指数函数的图像经过点. (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域. 24. （24-25高一上·江苏·期中）已知幂函数经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是减函数 25. （24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案 例题精讲精练 例1-1.【答案】 【详解】; 故答案为： 例1-2【答案】 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故答案为： 例1-3【答案】 【详解】因为，. 由,可得，将其代入中， 得到. 对进行化简，所以.. 因为. 把代入可得： . 故答案为：. 例1-4【答案】ABD 【详解】由，得， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于CD，，，C错误，D正确. 故选：ABD 练1-1【答案】（1）；（2） 【详解】（1） ． （2），， . 练1-2【答案】(1) (2) 【详解】（1） . （2） . 练1-3【答案】 【详解】∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∵，∴. 故答案为：6. 练1-4【答案】 【详解】依题意，， 所以， ， 所以. 故答案为： 练1-5【答案】B 【详解】解：由a，b，c都是正数，令， 则，，所以，，， 对于A：，故A错误； 对于B：，， 所以，故B正确； 对于C：， 所以，故C错误； 对于D：， 所以，故D错误； 故选：B. 例2-1【答案】B 【详解】根据函数单调递减，自变量0.3，所以，所以,选B. 例2-2【答案】D 【详解】因为为减函数，所以，即； 因为为增函数，所以，即； 因为为增函数，所以，即； 所以. 故选：D 例2-3【答案】D 【详解】以为中间值，,,我们只需比较，对于两个数同时4次方，,显然，所以a,同理,显然，所以b,所以b,选D. 例2-4【答案】D 【详解】法一：如图与，我们可以轻易的画出与的图像，通过对数函数的图像知道黑色图像是，红色图像是，而显然在这个区间，红色图像永远在黑色图像之上，所以，而又因为，，所以. 法二：，，， ，，因为对数函数在上单调递增， 则，所以，所以. 故选：D. 例2-5 【答案】D 【详解】首先判断整数区间，均,而，再比较,对取倒数，，所以显然根据单调性，所以 例2-6【答案】B 【详解】,接下来可以取倒数，也可以直接根据图像判断，根据图象明显可得,所以,选B. 练2-1【答案】C 【详解】，又，因为，单调递增，所以. 故选：C 练2-2【答案】B 【详解】所以,所以选B. 练2-3【答案】A 【详解】因为在上为增函数，故即， 而在上为减函数，故，故， 因为在上为减函数，故，故， 故. 故选：A. 练2-4【答案】C 【详解】由于， 故， 故选：C 练2-5【答案】B 【详解】依题意，， ， 是单调递增，，， ，， 是单调递增，，， ， ， 是单调递增，，， ，， 是单调递增，， 练2-6【答案】D 【详解】,取中间值，先比较再根据，所以;再比较,再根据，所以,故,故选D. 练2-7【答案】D 【详解】∵0<ln2<lne=1，ln3>1， ∴log32ln2， ∴a<b<1， ∵c50=1， ∴c>b>a， 练2-8【答案】B 【详解】由，因为， 所以，由，因为， 所以，因此， 由，， 于是有：，因为， 所以，因为，所以， 即， 故选：B 练2-9【答案】ACD 【详解】正数x，y，z满足，设， 则，，． 对于A，，故A正确； 对于B，，，， ∵，∴， ∵，∴，∴，故B错误； 对于C，由（），两边平方，可得，故C正确； 对于D，由，可得（），故D正确． 故选：ACD. 例3-1 【答案】D 【详解】解：因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 所以“”是“幂函数在上单调递减”的充要条件. 故选：D 例3-2【答案】C 【详解】解：由幂函数的定义可知，不是幂函数， 因为，所以是指数函数. 故选：C. 例3-3【答案】 【详解】由对数函数的定义可知，解得. 故答案为：. 练3-1 【答案】C 【详解】由是幂函数可得，解得或； 当时，在上是减函数， 当时，在上是增函数,不合题意， 即可得“幂函数在上是减函数”的等价条件为“”； 而“”仅是“或”的一部分， 因此“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：C 练3-2 【答案】A 【详解】因为函数为幂函数,所以,所以, 又因为函数在上是单调递增函数,所以, 所以, 因为,所以. 当 时,函数 为奇函数,不合题意,舍去. 当 时.为偶函数,符合题意. 所以. 故选 . 练3-3【答案】C 【详解】由指数函数的定义可知，带有常数项，A错误； 与的系数都不为1，B错误，D错误； ，符合题意，C正确. 故选：C 练3-4【答案】B 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 例4-1【答案】A 【详解】由图可得， 则有，且该函数为单调递减函数. 故选：A. 例4-2【答案】ABD 【详解】当时，和的图象如A项所示，A正确； 当时，和的图象如B项所示，B正确； 当时，和的图象如D项所示，C错误，D正确． 故选：ABD 例4-3【答案】D 【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增， 且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线， 是曲线；综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 故选：D. 例4-4【答案】C 【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反， 且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知， 所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确. 故选：C. 例4-5【答案】D 【详解】函数恒过定点， ，解得，， 在上为递增的奇函数，其图象经过第一第三象限及坐标原点， 的图象不经过第四象限． 故选：D． 例4-6【答案】．A 【详解】令，则，此时， 所以图象经过定点P，则点P的坐标为， 故选：A. 练4-1【答案】AC 【详解】讨论，若则则函数单调递增，且过定点; 若则，则函数单调递减，且过定点，则选AC选项. 练4-2【答案】D 【详解】时，与均单调递减， 又过点，时，； 又由可知，时，，A，B错误； 时，过点，且时，， 又由可知，时，，C错误，D正确． 故选：D. 练4-3【答案】B 【详解】函数，单调性相同，同增或者同减，故A错. ①若，，在定义域内单调递减，， 令时，. 如选项C，若，则，此时的渐近线为， 由图，解得，但此时，这与与y轴交点矛盾，故C错. 如选项D，，解得，无意义，故D错. ②若时，，在定义域内单调递增， 当时，，， 且时，，此时选项B符合， 故选：B. 练4-4【答案】C 【详解】由题得：点，，， 所以，，分别代入，， 因为，， 所以. 故选：C. 例5-1【答案】 【详解】由题得， ，代入得，解得， 所以，当时，解得， 即降温到，需要的时长为. 故答案为：. 例5-2【答案】(1)100万元； (2)，； (3)2058年. 【详解】（1）设2024年的生产成本为万元，则，解得（万元）， 所以2024年的生产成本为100万元. （2）设每一年生产成本降低的百分比都为，则，解得， 所以，. （3）依题意，，即，则， 两边取对数得，解得， 而，因此， 所以按此计划，到2058年，可以将该工厂的成本控制在45万元以内. 练5-1【答案】(1) (2)13370年 【详解】（1）已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设， 由经过5730年衰减为原来的一半，可得，所以， 故碳14的含量P与死亡年数的函数关系式为； （2）由已知， 所以， 即， 所以推算该生物死亡的年代距今13370年． 练5-2【答案】A 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，则 火箭发射时的声强约为 W/m²，则 故选：A． 例6-1【答案】0 【详解】由方程：化简可得.故答案为0. 例6-2【答案】 【详解】令，， 设关于的方程有一个正实数根和一个负实数根， 故有两个根，其中， 令，则，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 练6-1【答案】A 【详解】由题得. 练6-2【答案】B 【详解】若方程有解，则有解， 即有解． ∵， 当且仅当， 即时，等号成立， ∴的最小值为1， 故选：B． 例7-1【答案】 【详解】因为函数， 所以 ，即， 解得 ， 所以函数的定义域是， 故答案为： 例7-2【答案】 【详解】由，得， 所以，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 练7-1【答案】. 【详解】，即， 因为，所以，即，解得， 故不等式的解集为. 练7-2【答案】（﹣∞，﹣2] 【详解】设， 若函数的值域为，， 则等价于，是值域的子集， ， 设，则， 则， ， 当对称轴，即时，不满足条件． 当，即时，则判别式△， 即，则， 即实数的取值范围是，. 故答案为：， 练7-3【答案】(1);奇函数，证明见解析 (2) 【详解】（1），所以， 即，故定义域为. 判断为奇函数， ， 所以为奇函数. （2）, 即， 且定义域为， 故. 所以不等式的解集为. 例8-1【答案】C 【详解】因为， 当且仅当，且即时等号成立， 所以， 又函数在上单调递增， 所以， 由题意可知， 即，所以， 故选：C. 例8-2【答案】或 【详解】设，又， 若，则， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 若时，， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 故答案为：或. 例8-3【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) 【详解】（1）为偶函数 证明：， 故，解得 的定义域为，关于原点对称 ， 为偶函数 （2）若对任意的，总存在，使得成立 则 又，当且仅当，即取等号 所以 所求实数m的取值范围为 练8-1【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，， 因为在时，， 设，则， 则， 故 . （2）解：由题意，可化为 化简可得， 令，， 因为在定义域上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， ， 故． 练8-2【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知，是的反函数，，故. 当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递减，于是在上单调递减，故，此时不成立； 当时，根据指数函数，对数函数的单调性，均在单调递增，在上单调递增，故，此时成立. 综上可知： （2）由（1）知，，为定义在的增函数， 根据，定义域满足：，解得. 由单调性和可得，，整理得，结合可知， 练8-3【答案】(1)； (2)存在. 【详解】（1）因函数（）是偶函数， 故 ， 因且不恒为0，故，得. （2）由（1），得， 则， 设，因，则，，其对称轴为， ①当时，在区间上单调递减，则，解得，不符题意，舍去； ②当时，在区间上先减后增，故，解得，故； ③当时，在区间上单调递增，则，解得，不符题意，舍去. 故存在，使得的最小值为0. 练8-4【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）不等式可化为：, 所以0， 即, 解得或， 所以不等式的解集为. （2） 当时， 则. ①若，则在单调递减，则的最小值为. ②， 当，即时，在单调递增，则的最小值为. 当，即时，在单调递减，在单调递增，则的最小值为. 综上：当时，; 当时，; 当时，. 练8-5【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由， 设，则， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以函数的值域为. （2）由， 令，则 又，能成立， 设，函数在上单调递减，在上单调递增. 又，，所以， 由不等式在上有解，得， 因此，的取值范围是. 练8-6【答案】(1)3； (2)在上单调递减，证明见解答； (3)． 【详解】（1）根据题意，因为是奇函数，其定义域为， 所以， 解得； （2）由（1）的结论，， 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 所以， 由，可得， 所以， 所以，即， 所以在上单调递减． （3）方程等价于， 因为方程在上恰有两个不相等的实数根， 且在上单调递减， 所以在上恰有两个不相等的实数根， 令，则方程转化为在上恰有两个不相等的实数根， 由二次函数的图象与性质可得，解得， 所以的取值范围是． 通关练习 1.【答案】A 【详解】因为为幂函数， 所以，解得或， 当时，在上单调递减，符合题意， 当时，在上单调递增，不符合题意， 所以. 故选：. 2. 【答案】A 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 3. 【答案】A 【详解】由图可知，点在函数的图象上，所以， 即，故， 则点在函数的图象上，所以，即，故， 则点在函数的图象上，所以，故， 又，，故点的坐标为， 故选：A 4．【答案】B 【详解】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得， 所以， 故选：B. 5. 【答案】D 【详解】由题意知，， 当时，，故，解得， 所以． 由，得，即， 得，又， 所以， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次． 故选：D 6．【答案】 8 【详解】当时，得， 所以过定点，即，所以； 函数， 令，解得，函数在上递减，在上递增， 又在单调递增， 所以在为增函数，在为减函数， 所以函数的最大值． 所以值域为 故答案为：；． 7. 【答案】A 【详解】由题意可知：，， 代入可得， 所以，可得， 可得，即， 所以， 所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍， 故选：A. 8．【答案】2 【详解】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 9.【答案】C 【详解】， ， 当且仅当时取等号， 故． 故选：C． 10. 【答案】 【详解】解：因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，为奇函数，不满足，舍； 当时，，为偶函数，满足条件. 所以. 故答案为： 11. 【答案】B 【详解】，当时，二次函数对称轴为， 对选项A：根据确定，二次函数开口向下，对称轴在轴右边，满足； 对选项B：根据确定，二次函数开口向下，不满足； 对选项C：根据确定，二次函数开口向上，对称轴在轴左边，满足； 对选项D：取，则，，满足图像； 故选：B 12．【答案】BD 【详解】因为，， 对于A，当时，，其图象开口向下，对称轴为， ，其图象关于原点对称，且在上单调递减，故A满足要求； 对于B，当开口向上时，， 此时在上单调递增，故B不满足要求； 对于C，当时，，其图象开口向上，对称轴为， ，其图象在上单调递增，且越来越缓，故C满足要求； 对于D，当开口向上时，， 此时其对称轴为，故D不满足要求. 故选：BD. 13．【答案】ABD 【详解】对于A选项，指数函数在上单调递减，则，可得， 对数函数在上为增函数，则，A满足条件； 对于B选项，对数函数在上为减函数，则， 由幂函数在第一象限内的图象可知，， 取，令，该函数的定义域为， ，此时函数为奇函数，B满足条件； 对于C选项，函数为减函数，且该函数的图象交轴于点， 由图可得，解得， 函数的图象在第二、四象限，则，C不满足条件； 对于D选项，函数为减函数，且该函数的图象交轴于点， 由图可得，解得， 由幂函数在第一象限的图象可知，，取， 令，该函数的定义域为， ，此时，函数为偶函数，合乎题意，D满足条件. 故选：ABD. 14．【答案】 【详解】由题中图象可知，点在函数的图象上， 所以，即． 因为点在函数的图象上， 所以． 因为点在函数的图象上，所以． 又因为，所以点的坐标为． 故答案为：． 15. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）令，则，故，所以； （2）单调递增，理由如下： 任取且， 故， 因为，在R上单调递增，所以， 又，故，， 单调递增； （3）变形为 ， 即，， 令，显然在上单调递增， 故， 原不等式为，， 故在上恒成立， 其中，当时等号成立， 故，解得， 所以的取值范围为. 16. 【答案】(1) (2) 或 (3)是定值，1 【详解】（1）由得， 得，， 所以不等式的解集为； （2）在上有实数解， 在上有实数解， 因为在上是单调递增函数， 故， 则，即， 解得或； （3）由知，在区间上是增函数， 对任意划分， 均有， ++ ， 所以此和式为定值1. 17. 【答案】(1)，在上单调递增， (2) (3) 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 所以，即， 所以，整理得，得， 所以， 所以在上单调递增； （2）由（1）得， ， 因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为； （3）由（1）得， 令，则在上递增， 因为函数在上的值域为， 所以，所以， 因为， 所以关于的方程有两个不相等的正实根， 所以，解得， 即t的取值范围为． 18. 【答案】C 【详解】若，则，故D中图象符合，排除D. AC中对应的函数的定义域为，故，故， 此时，而，故为奇函数， 且当时，为增函数，故在上为减函数，故A中图象符合，排除A，C中图象不符合. B中对应的函数的定义域为，且为偶函数，故， 因为，故，故， 此时， 当时，，故为上的增函数， 所以为上的减函数，B中图象符合，排除B. 故选：C. 19. 【答案】D 【详解】因为，所以，， 设， 则是与的图象交点的横坐标，是与的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中，作出、与的大致图象，如图， 结合图象可知，. 故选：D. 20【答案】D 【详解】此题考查函数的方程知识 因为(a,b)在 图像上，所以．然后将A,B,C,D中的四点分别带入函数，只要能满足的点也在函数的图像上．显然只有D满足， 答案  D 21【答案】AD 【详解】由，可得，利用换底公式可得，A项正确； 因为，且， 所以，则， 所以，选项B错误， 因为，所以，C项错误； ，所以，D项正确． 故选：AD． 22. 【答案】（1）1  （2） 【详解】（1）原式. （2）原式 23. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵函数的图像经过点， ∴，得，（舍）， ，， 在上单调递减，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间是. （2） 令，，则， 则， 所以在上单调递减， 故当时，， 当时，， 故当时，的值域为. 24. 【答案】A 【详解】依题意，设，将点代入上式，得到，即， 所以该函数为偶函数，且在上是增函数． 故选: 25. 【答案】C 【详解】因为，， 所以，而，， 故我们构造指数函数，得到， 由指数函数性质得在上单调递减， 因为，所以，综上可得，故C正确. 故选：C 学科网（北京）股份有限公司 $$