第04讲 分式的加减（2个知识点+9大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

第04讲 分式的加减 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.熟练掌握同分母的分式加减运算； 2.会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的加减法则； 3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值. 知识点01 同分母分式的加减 同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：． 知识点02 异分母分式的加减 异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． 注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似. 考点一：同分母分式加减法 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）化简下列式子： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母分式的加减法． （1）根据同分母分式的运算法则计算即可； （2）根据同分母分式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【知识点】同分母分式加减法、整式与分式相加减 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果； （2）将分式变形后利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3.（24-25八年级上·广西来宾·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减． （1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加，再结合因式分解化简即可； （2）先通分，再进行同分母分式的加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点二：异分母分式加减法 例题：（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算：． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法，解题的关键是掌握分式的减法法则．先将原式进行通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解： 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先通分，化为同分母分式，再计算即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）根据同分母分式的减法进行计算即可求解； （2）先计算括号里面的异分母分式减法，再计算分式的除法即可； （3）利用分式的除法法则先将除法转化为乘法，再利用分式的乘法法则约分计算即可得解； （4）先化简，然后根据同分母分式的加法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】分式加减乘除混合运算、同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】（）原式两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果； （）原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结； 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 考点三：整式与分式相加减 例题：（23-24八年级下·全国·假期作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通分，然后根据分式的加法进行计算即可求解； （2）根据分式的加法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据分式的加法法则相加，再约分即可； （2）先通分，再根据分式的加法法则相加，即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题考查了分式的加法，熟知计算法则是解题的关键． 考点四：分式加减混合运算 例题：（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可； （2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可； （3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可； （4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解： 故答案为：． （4）解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键需要熟练掌握分式加减法则，平方差公式的运用． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减； （2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式； （3）通分，最简公分母为； （4）把看成是一项，为，再通分； （5）前两项先通分，再依次计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式； （5）解：原式． 【点睛】本题考查了平方差公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键． 考点五：分式加减的实际应用 例题：（2024八年级·全国·竞赛）某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前 小时完成生产任务． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算的应用，根据题意正确列出分式即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）甲乙两地相距千米，提速前火车从甲地到乙地要用小时，提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了 千米/小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减法的实际应用，根据速度路程时间分别求出提速前后火车的速度，再用提速后的速度减去提速前的速度即可得到答案， 【详解】解：千米/小时， ∴提速后火车的速度比提速前的快了千米/小时， 故答案为：． 2．（20-21八年级上·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 ．（用含a、b、m的最简分式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了异分母分式减法的实际应用，根据题意可知，原计划每天读页，实际每天读页，用实际每天读的页数减去原计划每天读的页数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴平均每天比原计划要多读的页数为， 故答案为：． 考点六：分式加减乘除混合运算 例题：（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，约分后根据同分母分式的减法法则进行计算； （2）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的减法，同时将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，约分后计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式，分式混合运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式减法则计算，即可求出答案； （2）根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案； （3）先用完全平方公式和平方差公式分解分子分母，将除法转化为乘法，根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案； （4）先计算括号内异分母分式减法，再将除法转化为乘法，根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 2．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则； （1）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． （2）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】（1） （2）． 考点七：分式混合运算中的化简求值 例题：（甘肃省武威市2023-2024学年九年级下学期数学第一次模拟测试题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值和二次根式的计算，解题的关键是掌握分式和二次根式的运算方法． 先化简小括号内的分式，再将除法化为乘法，最后再代入求值． 【详解】解：原式， 当时，． 【变式训练】 1．（2023·四川乐山·模拟预测）先化简，再求值：，再从，0， 中选取适合的数字求这个代数式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条件得到，，据此得到，最后代值计算即可． 【详解】解： 由题得，，， 当时，原式． 2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）先化简: ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查分式的运算、二次根式，根据分式的运算法则即可进行化简，同时可知且且，根据，，可知，则的整数值可取． 【详解】原式 根据题意可知且且． ∵，， ∴，． ∴． ∴的整数值可取． 将代入，得 原式 考点八：分式混合运算错解复原问题 例题：（2024·江西九江·一模）先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程： 解：原式① ② ③… (1)上面的运算过程中第__________步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)③ (2)见详解 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：第③步出现错误，原因是分子相减时未变号． （2）解：原式 ＝ ＝． ∵x是满足条件的非负整数 ∴， ∵由于分母不为0， ∴， ∴ ∴原式或． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是_____． ②任务二：请写出完整的解答过程． 【答案】①三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；②，过程见解析 【分析】 本题主要考查了分式的混合计算：①根据分式通分的步骤和去括号法则解答即可；②按照分式的化简步骤重新计算即可． 【详解】解：①观察解题过程可知，第三步是进行分式的通分，依据是分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变），第四步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号； 故答案为：三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号； ② ． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题： 解：． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 (1)以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； 第         步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 请写出正确的化简结果： ． (2)先化简再求值：，已知． 【答案】(1)①一，分式的基本性质；②三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；③ (2)， 【分析】本题考查了分式的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；②根据去括号的法则即可得出答案；③根据分式的混合运算法则计算即可得出答案； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，由题意得出，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 故答案为：一，分式的基本性质； 第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； 故答案为：三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； ． ， 故答案为：； （2）解： ， ， ， 原式． 考点九：已知分式恒等式，确定分子或分母 例题：（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键． 2．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值； （3）由，，，利用裂项相消，即可求解． 【详解】（1）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； （2）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； 故答案为：，； （3）解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算的结果为（      ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母分式减法，根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： 故选：B． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用分式的加法的法则对式子进行运算，从而可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， ． 故选：C． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（   ） A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 【答案】C 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】平均速度总路程总时间，题中没有单程，可设从家到学校的路程为千米，那么总路程为千米．本题考查了分式的混合运算；解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1． 【详解】解：依题意得：设从家到学校的路程为千米，那么总路程为千米． ∵通常上学时走上坡路，途中平均速度为千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为千米/时， ∴为总时间 ∴（千米/时）． 故选：C． 4．（22-23八年级下·广东梅州·期中）设，，则，的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． 把两个式子进行相加运算，从而可得结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 即， 故选：C． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）要使式子的值为负整数，则整数的取值为（    ） A．1或2 B．2或3 C． D． 【答案】B 【知识点】分式加减乘除混合运算、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值；先计算分式的减法运算，再计算分式的除法运算，再由分式的值为负整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解： ； ∵分式的值为负整数， 或， 则或3． 故选：B 二、填空题 6．（24-25八年级上·广西桂林·期中）计算 ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查的是分式的加法运算，先通分，化为同分母分数，再计算即可. 【详解】解： . 故答案为： 7．（2024·山东聊城·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了分式的异分母加法运算以及已知式子的值求代数式的值，先整理，再把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解： ∵，， ∴ 故答案为： 8．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若（其中，为常数），则 ， ． 【答案】 【知识点】加减消元法、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减，计算，根据，为常数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：，． 9．（2024·福建龙岩·模拟预测）已知，化简求值： ． 【答案】2024 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，先化简，把变成，整体代入即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知，，，，……，，根据规律，请计算 （用含x的式子表示） 【答案】 【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查数字类规律探究、分式的混合运算，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．根据题意，先求得、、、、，……，进而得到变化规律即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， ， ， ……， 发现结果以、、为一组循环出现， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法、同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （ 1）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案； （ 2）根据互为相反数的偶次幂相等，可得同分母分式的加减，根据分子相加减，可得答案； （ 3）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式加减混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式乘法、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将分子分母分解因式，再进行分式的约分即可求解； （2）先通分再进行分式的加减运算即可求解； （3）先将分子分母分解因式化简后再进行通分计算即可求解； （4）先将分式通分再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）（）化简：； （）化简：． 【答案】（）；（） 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算 【分析】（）根据分式的性质和运算法则计算即可； （）根据分式的性质和运算法则计算即可； 本题考查了分式的混合运算，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 15．（24-25八年级上·山东·期末）（1）化简：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的混合运算及化简求值，正确进行化简是解答本题的关键． （1）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，进行约分运算即可得到答案； （2）先计算括号内的，再把除法转换为乘法，进行约分得到最简结果，再把的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） 将代入，得 原式 16．（24-25八年级下·全国·期末）下面是小赣同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)①以上化简步骤中，变形的依据是分式的基本性质和 ； ②从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，请你从，，1中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)①分式的除法法则　②二；应用分式的基本性质时，第二个分式的分子没乘（x－1） (2) 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题目中的解答过程可得出结论； （2）利用分式的混合运算的法则解答即可． 【详解】（1）解：①以上化简步骤中，第一步变形的依据是分式的基本性质和分式的除法法则， ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是应用分式的基本性质通分时，第二个分式的分子没乘， 故答案为：①分式的基本性质和分式的除法法则；②二；应用分式的基本性质通分时，第二个分式的分子没乘； （2）解： ； ∵ ∴， ∴当时，原式． 17．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，求，，的值． 【答案】，，的值分别为，，． 【知识点】异分母分式加减法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查异分母分式的加减法及解三元一次方程组，首先通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方法计算．已知等式右边两项通分并利用异分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件构造方程组，求解方程组即可． 【详解】解： ， 解得 即，，的值分别为，，． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）先化简：，然后从的解集中选一个x的整数值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了分式的化简求值，解不等式组．先根据完全平方公式、平方差公式以及分式的乘法运算化简分式，然后解不等式，将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 由， 解得． 时，原式无意义， 可以取的整数值为，2， 当时，原式； 当时，原式． 19．（24-25八年级上·山东青岛·期中）解决下面问题 (1)先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； (2)先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】(1)，当时，原式； (2)，． 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键 （1）首先通分算括号里面的，之后再利用分式的除法运算即可，最后再选取分式有意义的值代入计算即可； （2）首先根据完全平方公式以及平方差公式因式分解，之后算分式的除法运算，最后通分计算分式的减法，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ，即 当时，原式； （2）解：原式= ， 原式 ． 20．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是；请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且P的值也为整数． ①求E所代表的代数式； ②求所有符合条件的x的值； 【答案】(1)是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1 (2)①；②所有符合条件的的值为0，2，4，6 【知识点】约分、分式加减的实际应用 【分析】本题主要考查了分式减法的应用、分式的约分，熟练掌握分式的减法法则是解题关键． （1）根据分式的减法法则计算，由此即可得； （2）①先得出，据此化简计算即可得； ②求出，从而可得是3的因式，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1． （2）解：①由题意得：， ∵ ， ∴， ∴， ∴． ②由（2）①可知，， ∵为整数，且的值也为整数， ∴或或或， ∴或或或， 综上，所有符合条件的的值为0，2，4，6． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 分式的加减 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.熟练掌握同分母的分式加减运算； 2.会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的加减法则； 3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值. 知识点01 同分母分式的加减 同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：． 知识点02 异分母分式的加减 异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 用式子表示为：． 注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似. 考点一：同分母分式加减法 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）化简下列式子： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 3.（24-25八年级上·广西来宾·期中）计算： (1)； (2)． 考点二：异分母分式加减法 例题：（24-25八年级上·全国·课堂例题）计算：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算． (1)； (2)． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（23-24八年级上·山东聊城·单元测试）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点三：整式与分式相加减 例题：（23-24八年级下·全国·假期作业）计算：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： (1) (2) 2．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)． 考点四：分式加减混合运算 例题：（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 考点五：分式加减的实际应用 例题：（2024八年级·全国·竞赛）某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前 小时完成生产任务． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）甲乙两地相距千米，提速前火车从甲地到乙地要用小时，提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了 千米/小时． 2．（20-21八年级上·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 ．（用含a、b、m的最简分式表示）． 考点六：分式加减乘除混合运算 例题：（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 2．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算： (1)； (2)． 考点七：分式混合运算中的化简求值 例题：（甘肃省武威市2023-2024学年九年级下学期数学第一次模拟测试题）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】 1．（2023·四川乐山·模拟预测）先化简，再求值：，再从，0， 中选取适合的数字求这个代数式的值． 2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）先化简: ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值． 考点八：分式混合运算错解复原问题 例题：（2024·江西九江·一模）先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程： 解：原式① ② ③… (1)上面的运算过程中第__________步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是_____． ②任务二：请写出完整的解答过程． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题： 解：． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 (1)以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； 第         步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 请写出正确的化简结果： ． (2)先化简再求值：，已知． 考点九：已知分式恒等式，确定分子或分母 例题：（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算的结果为（      ） A． B．1 C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（   ） A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时 4．（22-23八年级下·广东梅州·期中）设，，则，的关系是（　　） A． B． C． D． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）要使式子的值为负整数，则整数的取值为（    ） A．1或2 B．2或3 C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·广西桂林·期中）计算 ． 7．（2024·山东聊城·模拟预测）已知，，则 ． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若（其中，为常数），则 ， ． 9．（2024·福建龙岩·模拟预测）已知，化简求值： ． 10．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知，，，，……，，根据规律，请计算 （用含x的式子表示） 三、解答题 11．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 14．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）（）化简：； （）化简：． 15．（24-25八年级上·山东·期末）（1）化简：． （2）先化简，再求值：，其中． 16．（24-25八年级下·全国·期末）下面是小赣同学化简的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 ．第四步 (1)①以上化简步骤中，变形的依据是分式的基本性质和 ； ②从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； (2)请直接写出该式子化简后的正确结果，请你从，，1中选择一个合适的数代入求值． 17．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，求，，的值． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）先化简：，然后从的解集中选一个x的整数值代入求值． 19．（24-25八年级上·山东青岛·期中）解决下面问题 (1)先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； (2)先化简，再求值：，其中，满足． 20．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是；请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且P的值也为整数． ①求E所代表的代数式； ②求所有符合条件的x的值； ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$