第02讲 分式的基本性质（2个知识点+9大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

第02讲 分式的基本性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握分式的基本性质； 2．掌握分式的通分、约分、最简分式的概念。 知识点01 分式的基本性质 1）分数的性质（特点）如下： ①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）. 2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）： ①分式分母也不能为零 ②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即： 用式子表示为或，其中A，B，C均为整式． ③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解. 知识点02 分式的约分与通分 1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）. 注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。 2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。 步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数. 4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 考点一：判断分式变形是否正确 例题：（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）下列各式从左向右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列分式变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东日照·期末）下列式子的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二：求使分式变形成立的条件 例题：（2024八年级下·全国·专题练习）（1），括号内应填入 ； （2），括号内应填入 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）当取何值时，等式成立？ 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）填空 （1），； （2），． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 考点三：利用分式的基本性质判断分式值的变化 例题：（23-24八年级上·山东烟台·期中）如果把分式中的，都扩大到原来的10倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）若的值均扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大9倍 C．扩大3倍 D．缩小3倍 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ） A．扩大10倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 考点四：将分式的分子分母的最高次项化为正数 例题：（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 2．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 3．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数． (1)； (2) (3)． 考点五：将分式的分子分母各项系数化为整数 例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）将方程中分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 考点六：最简分式 例题：（23-24八年级上·云南玉溪·期末）下列分式中，是最简分式的是 （   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 考点七：约分 例题：（2023秋·八年级课时练习）约分：（1）_____________；（2）_____________． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式约分后的结果是 . 2．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）将分式化为最简分式，所得结果是 ． 3．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）约分：（1） ；（2） ． 考点八：最简公分母 例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习）分式的最简公分母为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京通州·期中）分式，，的最简公分母是 ． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）分式，，的最简公分母是 ． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）的最简公分母是 ． 考点九：通分 例题：（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)与； (2)与． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)，，； (2)，． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，，． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 一、单选题 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列式子中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 3．（24-25八年级上·全国·期末）下列分式从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）将分式中与的值同时扩大为原来的2倍，分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定 5．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在括号里填上适当的整式： （1）； ． （2）； ． （3）． ． 7．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）分式、的最简公分母是 ，通分为 ． 8．（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）若成立，则的取值范围是 ． 9．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）分式的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为 ． 三、解答题 11．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）（1）约分：； （2）通分：． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 14．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 15．（23-24八年级上·全国·课堂例题）通分： (1)； (2)与； (3)与． 16．（23-24八年级上·山东威海·期中）材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是__________分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：__________． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 分式的基本性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握分式的基本性质； 2．掌握分式的通分、约分、最简分式的概念。 知识点01 分式的基本性质 1）分数的性质（特点）如下： ①分母不能为零;②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变;③分数的通分与约分（短除法）. 2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）： ①分式分母也不能为零 ②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即： 用式子表示为或，其中A，B，C均为整式． ③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解. 知识点02 分式的约分与通分 1）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数）. 注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。 2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。 步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数. 4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 考点一：判断分式变形是否正确 例题：（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）下列各式从左向右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式．熟练掌握分式的基本性质，平方差公式是解题的关键． 根据分式的基本性质，平方差公式，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，故A不符合要求； ，故B符合要求； ，故C不符合要求； ，故D不符合要求； 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列分式变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式变形正确，符合题意； B、，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级上·山东日照·期末）下列式子的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了约分，以及分式的基本性质．根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，原变形正确，故此选项符合题意； C、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意； D、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 考点二：求使分式变形成立的条件 例题：（2024八年级下·全国·专题练习）（1），括号内应填入 ； （2），括号内应填入 ． 【答案】 / 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查分式的性质． （1）观察分母的变化情况，分子作同样的运算，即可作答； （2）观察分母的变化情况，分子作同样的运算，即可作答． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）当取何值时，等式成立？ 【答案】1 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到，且，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以，且， 所以， 所以当时，等式成立． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）填空 （1），； （2），． 【答案】（1），；（2）a， 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：（1）因为的分母除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即 ． 同样地，因为的分子除以才能化为，所以分母也需除以，即． 所以，括号中应分别填：和． （2）因为的分母乘a才能化为，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即 ． 同样地，因为的分母乘b才能化为，所以分子也需乘b，即 ． 所以，括号中应分别填：a和． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （2）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （3）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都除以即可． 【详解】（1）解：， 等式中所缺的分子是； （2）解：， 等式中所缺的分子是； （3）解：， 等式中所缺的分母是． 考点三：利用分式的基本性质判断分式值的变化 例题：（23-24八年级上·山东烟台·期中）如果把分式中的，都扩大到原来的10倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 把分式中的和都扩大为原来的10倍，求出比值，然后与之前分式的值对比，即可得出答案． 【详解】解：分式中的和都扩大为原来的10倍， 得到的新分式为：， 即分式的值缩小为原来的． 故选B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）若的值均扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大9倍 C．扩大3倍 D．缩小3倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．将原式中的、分别用、代替，化简，再与原分式进行比较． 【详解】解：把分式中的与同时扩大为原来的3倍， 原式变为：， 这个分式的值扩大3倍． 故选：． 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ） A．扩大10倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键，把分式中的与分别换为与，计算得到结果，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， 则分式的值缩小为原来的． 故选：C． 考点四：将分式的分子分母的最高次项化为正数 例题：（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 2．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 3．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数． (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 考点五：将分式的分子分母各项系数化为整数 例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，因此令分子分母同乘5即可． 【详解】解：， 故选A． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）将方程中分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查将分母化为整数，分子分母各自乘一个不为零的数，或等式左右两边同乘一个不为零的数，根据上述两种方式逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，整理得，故C正确，A错误； 或，整理得，故B和D错误． 故选：C． 考点六：最简分式 例题：（23-24八年级上·云南玉溪·期末）下列分式中，是最简分式的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、，原分式不是最简分式，不符合题意； 故选：B. 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式．根据最简分式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是最简分式，符合题意； B．不是最简分式，不合题意； C．不是最简分式，不合题意； D．不是最简分式，不合题意， 故选：A． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、，是最简分式，故本选项符合题意； C、，不是最简分式，故本选项不符合题意； D、，不是最简分式，故本选项不符合题意； 故选：B． 考点七：约分 例题：（2023秋·八年级课时练习）约分：（1）_____________；（2）_____________． 【答案】 【分析】先把分子分母因式分解，然后约分即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的约分化简，首先把分式的分子和分母分解因式，约分化简即可求解． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式约分后的结果是 . 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可．找出分式分子和分母的最大公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为： 2．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）将分式化为最简分式，所得结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的化简．根据分式的性质，进行约分化简即可．掌握分式的性质，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）约分：（1） ；（2） ． 【答案】 / 【分析】本题考查分式的约分，涉及提公因式、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）约去公因式即可解题； （2）先利用平方差公式分解因式，再约去公因式，即可解题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 考点八：最简公分母 例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习）分式的最简公分母为 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题主要考查了最简公分母，解题的关键是要能根据最简公分母的概念求出几个分式的最简公分母．根据最简公分母的概念，即可求出答案． 【详解】解：分式的最简公分母是：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京通州·期中）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】此题考查了最简公分母，解题的关键是理解取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 按照求最简公分母的方法求解即可． 【详解】解：∵的最小公倍数为的最高次幂为的最高次幂为2， ∴最简公分母为， 故答案为：． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了求最简公分母．根据最简公分母就是各分母所有因式的最高次幂的积，进行作答即可． 【详解】解：因为，，， 所以它们的最简公分母是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：∵分式的分母分别是，，， ∴最简公分母是． 故答案为：． 考点九：通分 例题：（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，； (2)，； 【知识点】通分 【分析】（1）本题考查分式的通分，根据最简公分母确定分母，再根据分式的性质分子分母同时乘以同一个不为0的式子即可得到答案； （2）本题考查分式的通分，根据最简公分母确定分母，再根据分式的性质分子分母同时乘以同一个不为0的式子即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得，，最简公分母是， ∴， ， ∴答案为：，； （2）解：由题意可得，，的最简公分母是， ∴， ， ∴答案为：，． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)，，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)， 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分，准确熟练地找出最简公分母是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以； ； ； （2）解：最简公分母是， 所以； ． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【知识点】通分 【分析】本题考查了分式的通分，确定各分式的最简公分母即可． （1）最简公分母为，据此即可求解； （2）最简公分母为，据此即可求解； 【详解】（1）解：， （2）解： 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)，，． 【知识点】通分 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （3）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以，，； （2）解：最简公分母是， 所以，； （3）解：最简公分母是， 所以，，． 一、单选题 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列式子中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】本题考查最简分式，解题的关键是熟知一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．根据最简分式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意， 故选：B． 2．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【知识点】求使分式变形成立的条件、分式有意义的条件 【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：当时，分子与分母同时除以，分式的值不变，即， ， 又分式的分母不能为0， ， x应满足的条件是且， 故选C． 【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为0． 3．（24-25八年级上·全国·期末）下列分式从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、假设，所以，，则此项不一定正确，不符合题意； B、当时，，则此项不一定正确，不符合题意； C、，所以只有当时，，则此项不一定正确，不符合题意； D、，则此项一定正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）将分式中与的值同时扩大为原来的2倍，分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，用，分别替换m，n，求出替换后的分式的值，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：用，分别替换m，n，分式的值为：， ∴将分式中与的值同时扩大为原来的2倍，分式的值缩小为原来的， 故选：B． 5．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 二、填空题 6．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在括号里填上适当的整式： （1）； ． （2）； ． （3）． ． 【答案】 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的性质．根据分式的性质计算即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）分式、的最简公分母是 ，通分为 ． 【答案】 、 【知识点】通分、最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 8．（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）分式的值为m，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 【答案】 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子，分母变化的倍数．解此类题目首先把字母变化后的值带入式子中，然后约分，再与原式比较最终得出结论．将原分式中的x、y用、代替，化简，再与原分式进行比较即可． 【详解】解：将分式中x、y都扩大2倍后所得式子为： ， 若分式的值为m， 则所得分式的值是m． 故答案为：m． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．把分子、分母都乘以1000即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题 11．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、约分 【分析】本题考查分式的约分； （1）分子分母提取公因式后约分即可； （2）分子分母提取公因式后约分即可； （3）分子分母因式分解后约分即可； （4）分子分母因式分解后约分即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 12．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）（1）约分：； （2）通分：． 【答案】（1）．（2）， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、约分、通分 【分析】本题考查了分式的性质，分式化简，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式，完全平方公式整理，再结合分式的性质进行化简，即可作答． （2）先得，故它们的最简公分母是，再结合分式的性质进行整理，即可作答． 【详解】解：（1）． （2）依题意，， 则它们的最简公分母是， ∴，． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）对分式的分子分母均乘以即可； （2）将分式的分子部分提取即可． 【详解】（1）解：原式 ; （2）解: 原式 ． 14．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分子、分母的最小公倍数都为6，分式的分子分母都乘6即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（23-24八年级上·全国·课堂例题）通分： (1)； (2)与； (3)与． 【答案】(1)，， (2)， (3)，， 【知识点】通分、运用完全平方公式进行运算 【分析】先确定分式的最简公分母，再通分即可． 【详解】（1）， ， （2）， （3）， ， 【点睛】本题考查的是分式的通分以及公分母确定的方法，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 16．（23-24八年级上·山东威海·期中）材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是__________分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：__________． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】(1)①真；② (2)或或或 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值； 【详解】（1）解：①分式中，分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式； ②， 故答案为：①真；②； （2）解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$