第01讲 分式（2个知识点+7大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（华东师大版）

第01讲 分式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解分式的概念，能求出使分式有意义、无意义、分式值为零； 2．理解分式值为正（负）、分式值为整数的条件。 知识点01 分式的概念及意义 1.分式的意义 知识点02 分式的值为正或为负 （1）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0 （2）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0 考点一：分式的判断 例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，，其中分式的个数有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）在式子中，分式有（ ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列各式，，，，，，，中，分式共有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 考点二：分式有意义的条件 例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）如果分式有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列分式中，无论为何值，一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 考点三：分式无意义的条件 例题：（23-24八年级上·湖南永州·期末）若分式无意义，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东汕头·期末）当时，下列分式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 2．若分式无意义，则x的值为（    ） A．2 B． C． D．0 考点四：分式值为零的条件 例题：（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）若分式的值为，则的值为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为0，则 ． 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）当 时，分式的值为零． 考点五：求分式的值 例题：（23-24八年级上·河南信阳·期末）当时，分式的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知则 ． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）当时，分式的值为 ． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 考点六：求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 例题：（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若的值为非负数，则的取值范围是 ． 2．（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ． 考点七：求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知值为正整数，则整数值为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若分式的值为整数，请写出一个符合条件的m的值： ． 2．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）①若成立，则的取值范围是 ． ②若分式的值为0，则 ． ③已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 一、单选题 1．（22-23八年级下·四川成都·期中）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在，，，，，中，分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024七年级上·上海·专题练习）如果当时，分式的值为0，那么可以是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（   ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 5．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式无意义，则的取值为 ． 7．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）已知，那么 ． 8．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）分式的值是正整数，则整数x＝ ． 9．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式的值为，则的值为 ． 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 三、解答题 11．（2024八年级上·全国·专题练习）x取何值时，下列分式有意义： (1) (2) (3)． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）当时，分式的值不存在，则当时，求分式的值． 13．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）回答下列问题： (1)已知分式 ，当时，分式无意义；当时，分式的值为零，求的值； (2)当为何整数时，分式的值是整数？ 15．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 16．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 分式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解分式的概念，能求出使分式有意义、无意义、分式值为零； 2．理解分式值为正（负）、分式值为整数的条件。 知识点01 分式的概念及意义 1.分式的意义 知识点02 分式的值为正或为负 （1）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0 （2）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0 考点一：分式的判断 例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，，其中分式的个数有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，逐一分析判断即可求解，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：，，是整式，不是分式，不符合题意；，是分式，符合题意； ∴分式的个数有个， 故选：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）在式子中，分式有（ ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意不是字母，是常数．根据分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此即可得到答案． 【详解】解：式子中，分式有，共2个， 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列各式，，，，，，，中，分式共有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，，，，是分式，共6个， 故选：B． 考点二：分式有意义的条件 例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）如果分式有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列分式中，无论为何值，一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零逐项排除即可，解题的关键是分式有意义的条件分母不为零． 【详解】解：、当时，无意义，不符合题意； 、当时，无意义，不符合题意； 、当时，无意义，不符合题意； 、无论为何值时，，一定有意义，符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不等于0． 由分式有意义的条件进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵分式有意义， ∴， ∴且． 故选：B． 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有无意义的条件的应用，解题的关键是熟练掌握分式以及二次根式有无意义的条件． 根据式子有意义的条件，构建不等式求解； 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 考点三：分式无意义的条件 例题：（23-24八年级上·湖南永州·期末）若分式无意义，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母等于零即可解答． 【详解】解：若分式无意义，则， ∴， ∴当时，分式无意义． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东汕头·期末）当时，下列分式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为零即为分式无意义的条件． 【详解】解：当时，， ∴当时，分式没有意义， 故选：． 2．若分式无意义，则x的值为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】直接利用分式无意义的条件，即分母等于零可得答案． 【详解】解：若分式无意义，则， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键． 考点四：分式值为零的条件 例题：（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为0，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式的值为0，即根据分子为零分母不为零建立式子求解，即可解题． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得且， 综上可知，， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为可得，求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵时，分式 无意义， ∴， ∴， ∵时，分式 的值为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）当 时，分式的值为零． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出的值． 【详解】解：由题意可得且， 解得． 故当时，分式的值为零． 故答案为：． 考点五：求分式的值 例题：（23-24八年级上·河南信阳·期末）当时，分式的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求分式的值．把代入计算即可． 【详解】解：把代入得， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值，设()，求出、代入分式，即可求解；设辅助未知数进行求解是解题的关键． 【详解】解：， 可设()， 解得：， 原式 ； 故答案：． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）当时，分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算． 先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案． 【详解】解： 把代入上式中 原式 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件、分式的求值 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 考点六：求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 例题：（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的值，解不等式组；根据题意得出（1）或（2），解不等式组，即可求解． 【详解】解：若分式的值为正数，则（1）或（2）， 解不等式组（1）得： 解不等式组（2）得： 所以的取值范围是或， 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若的值为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】 根据题意，列出不等式组，即可求解， 本题考查了，解一元一次不等式组，解题的关键是：根据题意列出不等式组． 【详解】解：根据题意得：或， 解得：或， 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据分式的值为负数，得到关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案，此题考查了分式的值、解一元一次不等式组等知识，根据题意得到关于x的两个不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 考点七：求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知值为正整数，则整数值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了分式的值，正整数的定义，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键； 根据题意列出关于m的方程，求出方程的解即可 【详解】解：值为正整数， 或， 解得：或， 故答案为：1或 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若分式的值为整数，请写出一个符合条件的m的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了分式的值，令，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为整数， 当，则， 经检验，是方程的解 故答案为：（答案不唯一）． 2．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）①若成立，则的取值范围是 ． ②若分式的值为0，则 ． ③已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 5 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，以及分式值为零的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． ①根据分式有意义的条件求解即可； ②根据分式为零的条件求解即可； ③首先将化简为，然后根据题意求出或或或，然后由分式有意义得到，求出a所有可能的值，然后求和即可． 【详解】①∵成立， ∴ ∴， 故答案为：； ②∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：； ③ ∵分式的值是整数， ∴或或或 ∴或或或 ∵ ∴ ∴或或 ∴ ∴满足条件的所有整数的和为5， 故答案为：5． 一、单选题 1．（22-23八年级下·四川成都·期中）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零．根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； B、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； C、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； D、无论x取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在，，，，，中，分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，正确理解分式定义是解题的关键，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式。 【详解】解：由此可得，，不是分式，，，是分式，共3个， 故选B 3．（2024七年级上·上海·专题练习）如果当时，分式的值为0，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式值为零的条件 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案． 【详解】解：A．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； B．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； C．当时，分式的值为0，故本选项符合题意； D．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（   ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件、分式的判断、分式有意义的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的定义，分式的值，根据与分式相关的概念与性质逐一分析判断即可. 【详解】解：A. 是整式，故不符合题意， B. ∵， ∴对于任意实数，总有意义，故符合题意； C. 将式子写成分式的形式是，故不符合题意； D. 分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0，故不符合题意； 故选：B 5．（24-25八年级上·全国·期末）根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答． 【详解】解：当时，分式无意义， 分式的分母可能是． 当时，分式的值为0， 分式的分子可能是． 分式可能是． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式无意义，则的取值为 ． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分式的分母等于0是解题的关键．根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得∶， 解得：． 故答案为： 7．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的求值，由得，代入计算即可． 【详解】解：由，得， ∴原式 ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）分式的值是正整数，则整数x＝ ． 【答案】3或9 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查分式的值，根据题意得出的值求解即可． 【详解】由题意可知：或7 当时， ∴，符合题意 当时， ∴； 综上所述，或9； 故答案为：3或9． 9．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：分式的值为， 且， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 【答案】1或3或5 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，先化简得到原式，再根据为整数，从而得到x的值． 【详解】解：∵， ∴为，时，的值为整数， ∴解得或3或5或， ∵， ∴，， ∴x可取的值是1，3，5． 故答案为：1或3或5． 三、解答题 11．（2024八年级上·全国·专题练习）x取何值时，下列分式有意义： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3)x为任意实数 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零时分式有意义是解题的关键． （1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 【详解】（1）解：要使有意义， 得． 解得， 当时，有意义； （2）解：要使有意义，得． 解得， 当时，有意义； （3）解：要使有意义，得． 而对任意实数，， 所以，x为任意实数，有意义． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）当时，分式的值不存在，则当时，求分式的值． 【答案】 【知识点】分式的求值、分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件：分母等于0、分式代入求值，掌握知识点并正确计算是解题的关键．根据分式无意义的条件列出关于m的等式，求出m的值，再把代入分式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，当时，， ， ， 把代入，得． 13．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式的解集、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查的是分式的值为正数或负数时，字母的取值范围，一元一次不等式组的应用，理解题意是关键； （1）由分式的值为负数可得，再解不等式即可； （2）由分式的值为正数可得或，再解不等式组即可； （3）结合（2）的结论可得分式的值为负数时的范围． 【详解】（1）解：，， ， ， 时，分式值为负数． （2）∵分式的值为正数， ∴或， 当时， 解得：， 当时， 不等式组无解， 综上：当时；分式的值为正数， （3）∵由（2）得：当时；分式的值为正数， ∴分式的值为负数时，则或； 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）回答下列问题： (1)已知分式 ，当时，分式无意义；当时，分式的值为零，求的值； (2)当为何整数时，分式的值是整数？ 【答案】(1) (2)，，，，，，， 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、分式无意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查分式无意义，分式的值为0，分式的求值： （1）根据分式的分母为0时，分式无意义，分式的分子为零，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可； （2）根据为整数，得到求解即可． 【详解】（1）当 时，分式 无意义， ， 解得 ； 当 时，分式的值为零， ， 解得 ， ． （2）要使分式 的值是整数， 则 ． 15．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或或或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、约分 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①，②；③，④， ∴①③④的分式是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵的值为整数， ∴当x为整数时，的值为整数 当或或时，分式的值为整数， ∴或或或或或． 16．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【知识点】倒数、分式的求值 【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键． 类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解； 拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可． 【详解】解：类比探究：由，知， ，即， ， ， ． 拓展延伸：∵，，， ，且， ． ， ． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$