专项8 解直角三角形问题的热点模型&真题检测训练-【勤径学升】2024-2025学年九年级上册数学同步练测（华东师大版）

第24章 解直角三角形 专项8 解直角三角形问题的热点模型 [答案 P50] 类型“单一”型三角形 3 (广东广州越秀模拟)如图,睿智数学兴趣小组 模型展示 为了测量河对岸1.的两棵古树A、B之间的距 离,他们在河边沿着与AB平行的直线4.取C、D 两点,测得 ACB=15^*$ ACD=45^*},若1,1. 间的距离CE为50m,则古树A、B之间的距离 为___m.(结果保留根号) 图①是一辆吊车的实物图,图②是其示意图,AC 是可以伸缩的起重臂,其转动点A离地面BD的 高度A为3.4m.当起重臂AC的长度为9m. . 张角/HAC为118*时,求操作平台C离地面的 3题图 高度(结果精确到0.1m.参考数据:sin28* (广西梧州中考)去年,我国“巅峰使命”2022珠 0.47.cos28*~0.88.tan28*~0.53) 峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察,搭 建了世界最高海拔的自动气象站,还通过释放 气球方式进行了高空探测,某学校兴趣小组开 展实践活动,通过观测数据,计算气球升空的高 1题图① 1题图② 度AB.如图,在平面内,点B、C、D在同一直线 上,AB1CB.垂足为点B. ACB=52*,乙ADB= 60*.CD=200m.求AB的高度.(精确到1m.参 考数据:sin52*-0. 79,cos 52*=0. 62, tan52-1.28./3-1.73) 类型②“母子”型三角形 型展示. 地面 4题图 ................ (湖北十堰郑阳模拟)如图,为测量建筑物CD的 高度,在A点测得建筑物顶部D点的仰角为45^* 再向律筑物CD前进30米到达B点,测得建筑物 顶部D点的仰角为60*(A、B、C三点在一条直线 上),则建筑物CD的高度为 ( A.(15+15/3)米 B.(45+15/3)米 C.(15/3-15)米 D.(45-15③)来 2题图 见此图标限抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 19 九年级数学·华师版(上册) 类型③“背靠背”型三角形 (河南潦阳期末)大楼AB是某地标志性建筑,如 型展示 图,某校九年级数学社团为测量大楼AB的高度 一小组先在附近一楼房CD的底端C点,用高为 1.5米的测杆CE观测大楼AB顶端B处的仰角 是72*,另一小组到该楼房顶端D点处观测大楼 AB底部A处的俯角是30*},已知楼房CD高是45 ................ 米,根据以上观测数据,求大楼AB的高度,(结果 如图是抛物线形拱桥的示意图,A 精确到0.1米.参考数据:3~1.732,sin72*~0 P处有一照明灯,水面0A宽4 951.cos 72*-0. 309.tan 72*-3.078) m.从0、A两处观测P处,仰角 5题图 3,以0为原点,0A所在直线为x轴,过点0 且垂直于0A的直线为v轴建立平面直角坐标 系,则点P到水面OA的距离是 7题图 (四川泸州中考)如图,海中有两小岛C、D.某渔 船在海中的A处测得小岛C位于东北方向,小岛 D位于南偏东30*方向,且A、D相距10nmile.该 渔船自西向东航行一段时间后到达点B,此时测 得小岛C位于西北方向且与点B相距 (鄂州中考)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢 8/2nmile.求B、D间的距离.(计算过程中的数 纽--鄂州花湖机场,于2022年3月19日完成 据不取近似值) 首次全货运试飞,很多市民共同见证了这一历史 -__.- 北 时刻,如图,市民甲在C处看见飞机A的仰角为 45*°$同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞 机A的仰角为30。若斜坡CF的坡比=1:3.铅垂 高度DG=30米(点E、G、C、B在同一水平线上). 求: 6题图 (1)两位市民甲、乙之间的距离CD; (2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号) D30 45% 8题图 类型“拥抱”型三角形 展, ................... 80 见此图标跟抖音/微信扫码领取配套资源 稳步提升成绩 第24章 解直角三角形 真题检测训练 [答案 P51] 考点锐角三角函数 考点③三角函数的应用 已知,如图,在Rt△ABC中, ACB=90*}AC=1, 5 (四川遂宁中考)数学兴趣小组到一公园测量塔 AB=2,则sinB的值是( -. 楼的高度,如图,塔楼的剖面和台阶的剖面在同一 A.2 平面内,在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的 C 仰角/GAE=50.2*.,台阶AB长26米,台阶坡面 1题图 AB的坡度1=5:12.然后在点B处测得塔楼项端 点E的仰角/EBF=63.4,则塔顶到地面的高度 (江苏扬州中考)在△ABC中,乙C=90{}a、b、c分 EF约为多少米?(参考数据:tan50.2*~1.20.tan 别为乙A、乙B、 C的对边,若b}=ac,则sinA的 63.4=2. 00.sin 50. 2~0. 77. sin 63.4*~0.89 值为 考点②解直角三角形 3 (绍兴中考)如图,在Rt△ABC中,乙BAC=90*. G 5题图 右侧作等腰三角形ADE,使乙ADE三乙B,连结 CE. ( ){ , 3题图 B.3 D.2 (海南中考)如图,△ABC的顶点B、C的坐标分别 是(1.0)(0③),且乙ABC=90*A=30,则项点 A的坐标是 _. 301 4题图 见此图标照抖音/微信扫码须取配套诏漏 稳步提升成结 81九年级数学·华师版（上册） 2.D[解析]在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= .∠CAF=∠CMH-∠HAF 6米m∠BMC=G=m37=0.6=子AB= 3 =118°-90°=28 号C=号x6=10(来).故选D 在R△ACF中.：sin∠CAF=CE AC' .CF=9·sin28°=9×0.47=4.23(m). 3.解：设BC=x米，在Rt△ABC中， .CE=CF+EF4.23+3.4≈7.6(m). ∠CAB=180°-∠EAC=50°， :n-5C-名（米）， 答：操作平台C离地面的高度约为7.6m tan50°1.2=6 2.B[解析]由题意可得AB=30米，∠A=45°， 在Rt△EBD中，i=DB:EB=1:1,∴.BD=BE, ∠DBC=60°.在RI△BCD中，设BC=x米，则 六CD+BC=AE+AB.即2+x=4+ 6t, mL06c=m0-品：=原，解得CD 解得x=12,即BC=12米. 5x米.在R1△ACD中，AC=(30+x)米，∠A=45°， 答：水坝原来的高度BC为12米 则CD=AC,即5x=30+x,解得x=15(3+1), 题型变式 .CD=15(3+1)×3=(45+153)米，故选B. 1.解：(1)如答图，过点C作CD⊥AB于点D. 3(50-5033) [解析]在Rt△ACE中，CE=50m, ∠ACE=45°，∴AE=CE=50m.∠ACB=15°， ∴，∠BCE=30°，在Rt△BCE中，CE=50m,∴.BE= 6 1题答图 E·m30=03(m,A8=AB-B 依题意，得∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55 设CD的长为x海里， 在Rt△ACD中，m42°=C0,则AD=x·tm42°， 4.解：设AB=xm.在Rt△ABC中， 在Rt△BCD中，tan55°= BD 则BD=x·an55°， an∠ACB=AB Bc.tan 52 CD' AB=80海里，∴.AD+BD=80海里. BC=128在R△ABD中， ∴.x·tan42°+x·an55°=80，解得x≈34.4. 答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离约为 mLA0B=品m60=高 34.4海里. .BD= (2)在Rt△BCD中，cs55°=C V5173·CD=CB-DB. BC ÷BC=CD c0550≈60（海里）. 六1.281.73=200，解得x≈984. ∴.AB的高度约为984m. 答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里. 专项8解直角三角形问题的热点模型 2 [解析]如答图，过点P作PH 1.解：如答图，过点C作CE⊥BD于 ⊥OA于点H. 点E,过点A作AF⊥CE于点F. 设PH=3xm.在Rt△OHP中， 5题答图 易得四边形AHEF为矩形， B PH 1 EF=AH=3.4m.∠HAF=90° E D 'tanc议= Oi=2,0M=6xm在Rt△AHP中， 1题答图 ·50· 参考答案及解析 mg=沿-子Ah=2am六0=0+= 在Rt△MAD中，AM=CD=45米，∠MDA=30°， 88=4=7m=3x=2(m） 0=0=455米 在Rt△BNE中，EN=MD=45√3米，∠BEN=72°， 6.解：由题意，得∠CAB=∠ABC=45°，BC=82 n mile. .BN=EN·an72°=455×3.078=239.9（米）， ∴.∠C=90°，AC=BC=82 n mile. ∴.AB=AN+BN=1.5+239.9=241.4(米). ..AB =AC +BC =2BC 答：大楼AB的高度约为241.4米 =√2×82=l6(n mile). 8解：(1斜发0F的藏比=3瓷分 如答图，过点D作DH⊥AB于点H, 又：DG=30米，∴.GC=3DG=90米. 则∠AHD=∠BHD=90 在RL△DGC中， 在Rt△ADH中，∠ADH=30°，AD=10 n mile, DC=/DG+GC=√30+90=30/10（米）. Cos L ADII=DI_ 厂AD=万.sim∠AD山=4H=L AD2 答：两位市民甲、乙之间的距离CD为30√10米 HAD=5(n mile). m=号0=10×号=5,5(amio), 不458 .BH=AB-AH =16-5 =11(n mile). 在R△BDH中， 8题答图 (2)如答图，过点D作DH⊥AB,垂足为H, BD=Dm+BH=√/(53)2+112=14(n mile). 则BH=DG=30米，DH=BG 答：B,D间的距离是l4 n mile 设BC=x米，在Rt△ABC中，∠ACB=45°， 北 ∴.AB=BC·an45°=x米， .AH=AB-BH=(x-30)米， 在R△ADH中，∠ADH=30°， D m0册-动-得 6题答图 .x=605+90, 7.解：如答图，分别过点D、E作DM⊥AB,EN⊥AB,垂 经检验，x=60,5+90是原方程的根. 足分别为M,N. .AB=(603+90)米. 答：此时飞机的高度AB为(603+90)米 真题检测训练 1.B[解析]∠ACB=90°，AC=1,AB=2,.sinB M1) AC I AB=2款选B 7题答图 2.5-1 由题意可知，CD=45米，EC=AN=1.5米，MD= 2 [解析]在△ABC中，a>0,b>0,c>0,∠C NE,∠MDA=30°，∠NEB=72 =90°，c2=a2+b2.b2=ac,.e2=a2+ac,等式 ·51. 九年级数学·华师版（上册）】 两边同时除以，些理得(）+名-1=0，令日 名剥+x-1=0,解得=5- 2 (合去)…mA=4=5,故答案为5，- G H 2 2 5题答图 3.D[解析]如答图，设DE交AC .FB PH.FH PB. 于点T过，点E作EH⊥CD于点 由坡度i=5:12,可设BP=5x米，AP=12x米. H.∠BAC=90°，D是边BC的 .PB+PA =AB'. 中，点..AD=DB=DC,∠B= .(5x)2+(12x)2=262, ∠DAB.义∠B=∠ADE,B D H ∴.x1=2,x=-2(舍去)， ,∠DAB=∠ADE,.AB∥DE 3题容图 ∴.PB=FH=10米，AP=24米 ∴∠DTC=∠BAC=90.DT∥AB,BD=DC,∴.AT 设EF=a米，BF=b米. =TC.,EA=EC=ED..∠EDC=∠ECD.EHI mL8=m84品-号-2 CD,∴CH=DH.DE∥AB,.∠EDC=∠B,∴.∠ECD =∠R.cs∠ECH=esB=1,sCH-1EC」 a=2b① 4心EC=4AD mL1=m02-升-所-耶： 品2故选D ≈1.20. 4.(4,3)[解析]如答图，过，点A作AG⊥x轴，交x 2812@ 轴于点G.B、C的坐标分别是(1,0)、(0,3)， 由①②得a=47,b=23.5. 0C=5,0B=1,.BC=√2+（万）2=2 答：塔顶到地面的高度EF约为47米 第25章随机事件的概率 ∠ABC=90°，∠BAC=30°，AB=,BC=2 =an30= 5 25.1在重复试验中观察不确定现象 课时1事件的认识 25..∠ABG+∠CB0=90°，∠BC0+∠CB0= 【基础巩圈练】 90,∠ABG=∠BC0,∴△ABG∽△BC0..AG7 1.D 2.D[解析]分析如下表： BC2BC=2AG=3.BG=3.0G=1 BO 1 BG CO3 选项 分析 判断 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面可能朝 A 随机事件 3=4,顶点A的坐标是(4,3).故答案为(4,3). 上也可能朝下 随意翻到一本书的某页，这一真的页码 B 随机事件 可能是偶数也可能是奇数 30P9 打开电视机，可能在携放广告，也可能 C 随机事件 在福放电视刷、电影，新闻、综艺节目等 4题答图 从两个班级中任速三名学生，有可能三 5.解：如答图，延长EF交AG于点H,则EH⊥AG,过点 D 个人来自同一个班，也有可能两人来自 必然事件 B作BP⊥AG于点P,则四边形BFHP是矩形. 同一个班，另一人来自另一班 ·52·