2.相似三角形的判定-【勤径学升】2024-2025学年九年级上册数学同步练测（华东师大版）

九年级数学·华师版（上册） 2.相似三角形的判定 课时1相似三角形的判定定理1 《基础巩固练>，- [答案P25] 包恩恩○两角分别相等的两个三角形相似 ⑤（贵州铜仁期末）如图，在△ABC中，∠C=90, T(上海宝山模拟)如图，已知△ABC与△BDE都 点D是边AB外一点，过点D分别作边AB、BC 是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重 的垂线，垂足分别为点E,F,DF与AB交于点H, 合)，DE与AB相交于点F,那么与△BFD相似 延长DE交BC于点G.求证：△DFG∽△BCA. 的三角形是 () 0 A.△BFEB.△BDAC.△BDCD.△AFD 5题图 1题图 2题图 3题图 2(教村P75T1变式)如图，D、E分别是△ABC边 AB,AC上的点，∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB= 6,AC=4,则AE的长是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 3(邵阳期*)如图，已知AC、BD相交于点O,若补 充一个条件后，便可得到△AOB△DOC,则要 补充的条件可以是 4如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40° 6在△ABC中，∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC 交AC于点D. AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E,连 (1)如图①，若AB=3,AC=5,求AD的长： 结BD.求证：△ABC∽△BDC. (2)如图②，过点A分别作AC、BD的垂线，分别 交BC、BD于点E、F.求证：∠ABC=∠EAF 4题图 6题图① 6题图2 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩 第23章 图形的相似 《能力提升练 [鉴案26] ①（河南郑州校级期未）如图，在三角形纸片中，⑤[核素养]如图，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠A=80°，AB=6,AC=8.将△ABC沿图示中的 AC与BD交于点E,∠ADB=∠ACB. 虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似 的有 （)求证治品 (2)若AB⊥AC,AE:EC=1:2,F是BC中点，求 证：四边形ABFD是菱形. 80 1题图 5题图 A.①②3 B.①②④ C.①3④ D.①X②3④ ☑（广西贵港罩塘区期来）如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，D是AB边的中点，AF⊥CD于点 E,交BC边于点F,连结DF,则图中与△ACE相 似的三角形共有 A.2个B.3个 C.4个 D.5个 )题型变式 讲本23爸案26 2题图 3题图 3(扬州帮江区期中)如图，点A,B,C,D为⊙0上 ①（题型1·典例1变式）如图，在等边三角形ABC 的四个点，AC平分∠BAD交BD于点E,CE=4, 中，点D,E分别在BC、AB上，且∠ADE=60°.求 CD=6,则AE的长是 证：△ADC∽△DEB. ④如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连结 DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,求CF 的长 1题图 4题图 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 a45 九年级数学·华师版（上册） 课时2相似三角形的判定定理2,3 《基础巩固练→ [客案26] 细圆息①两边成比例且夹角相等的两个三角形 知跟点②三边成比例的两个三角形相似 相似 ④如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形 ①（教村P67探索变式）如图，下列四个三角形中， 的是 与△ABC相似的是 75 e 4题图 A.①和② B.②和③ C.①和③ D.无法确定 5甲三角形的三边长分别为1,2,5，乙三角形的 三边长分别为5,5，√10，则甲、乙两个三角形 1题图 2题图 () 2(北京石景山区二模)如图，为估算某鱼塘的长 A.一定相似 B.一定不相似 度AB,在陆地上取点C,D、E,使A、C、D在一条 C.不一定相似 D.无法判断是否相似 直线上，B.C,E在一条直线上，且CD=4C. 日如图，已知45=BC-AC AD DE AE ∠BAD=20°，∠DAE= 60°，则∠DAC的度数为 CB=)BC.若测得ED的长为10m,则AB的长 为 m. 3如图，△ABD∽△ACE. 求证：(1)∠DAE=∠BAC: 6题图 (2)△DAE∽△BAC. ⑦（福建泉州南安模拟）如图，A、B、C三点均在边 长为1的小正方形组成的网格的格点上， (1)请在图中标出点D,连结AD、BD,使得 △ABD与△CBA相似； (2)试证明上述结论. 3题图 7题图 46 见此图标跟抖音/縱信扫码领取配套资源稳步是升成绩 第23章 图形的相似 《能力提升练 [鉴案27] ①（辽宁沈阳期*）如图，在5×6的方格中，画有6[核心素养]如图，在平面直角坐标系中，B(12, 格点△EFG,以下列选项中的格点与E、G两点 10),过点B作x轴的垂线，垂足为A,过点B作 为顶点的三角形中，和△EFG相似的是() y轴的垂线，垂足为G.点D从点O出发，沿y轴 A.点AB.点B C.点C D.点D 正方向以每秒1个单位长度的速度运动；点E 从点O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度 的速度运动：点F从点B出发，沿BA方向以每 秒2个单位长度的速度运动.当点E运动到点A D 时，其余三点随之停止运动，设运动时间为1秒. B (1)用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标： (2)若△ODE与以点A、E,F为顶点的三角形相 1题图 2题图 似，求1的值. ②如图，网格中相似的两个三角形是 A.①与④ B.②与③ C.①与⑤ D.②与⑤ 3(山西期州期城期末)在△ABC中，AB=6,AC= 8,BC=9,将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的 6题图 阴影三角形与原三角形不相似的是 4 C ○题型变式 讲本24答案27 4将三角形纸片（△ABC)按如图的方式折叠，使点 ①（题型1·典例2变式）如图，已知在正方形 B落在边AC上，记为点B',折痕为EF已知AB =AC=3,BC=4,若以点B'、F、C为顶点的三角 ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC,Q是 形与△ABC相似，则BF= CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP 4题图 1题图 5如图，已知在△ABC中，AB=5,AC=25,BC= 3,M为AB边的中点，在线段AC上取点N,使 △AMN与△ABC相似，求线段MN的长. 2(题型1·典例3支式)如阁，在平面直角坐标系 中，已知A(3,0)、B(0,4)、C(4,2),作CD⊥x 轴，垂足为点D,连结AB、BC,AC.求证：△ABC 5题图 △ACD. 2题图 见此图标限抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 4参考答案及解析 子…品青0E/c…品瓷品京 AB=3,BC=4,∠ABC=90°.∴.AC=5. .BD=9.故选B 0平分∠c…指-品略品 8.解：设菱形BEDF的边长为xcm ∴BD= hc= 3 :四边形BEDF是菱形，∴.DE∥BC, △4BD△4c指-2告 .AD=BD +AB √+ 2 AB =15 cm,BC=12 cm, .AE=(15 -x)cm, 六△40的周长为+3+359+5 2 2 5行言解得 2.相似三角形的判定 3 课时1相似三角形的判定定理1 六菱形BDF的边长为程m 【基础巩固练】 1.B[解析]，△ABC与△BDE都是等边三角形. 【能力提升练】 .∴.∠A=∠BDF=60.∠ABD=∠DBF,∴.△BFD 1.D【解折1△4C△40E,花-0-能故 △BDA,∴，与△BFD相似的三角形是△BDA.故选B. 选D. 2.C[解析]：∠ADE=∠ACB,∠A=∠A,∴△ADE 2.D[解析]EG∥BC,∴.△AEG∽△ABC,△AEF∽ △40把-能即子-普解释=8 △4B0能盖船怨-能分故 3.∠A=∠D(答案不唯一) 选D. 4.证明：：DE是AB的垂直平分线， 39〔解折：DE/6-能即号5 ∴.AD=BD,,∠BAC=∠ABD. .∠BAC=40°，∴.∠ABD=40 9E/Bc…品-总即号-品c=9 39 :∠ABC=80°， ·∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°=∠BAC. 4.解：BD为∠ABC的平分线， ∠C=∠C,∴.△ABC∽△BDC ∠ABD=∠CBD 5.证明：DF⊥BC于F,∠C=90°， AB∥CD,∠D=∠ABD, ∴.∠DFG=∠C=90. .∠D=∠CBD.,BC=CD. ·DE⊥AB于点E,∴.∠DGB+∠B=90 BC=4,.CD=4. 又∠DGB+∠D=90°，.∠B=∠D, AB∥CD.△ABE∽△CDE, .△DFG△BCA. …8治登品 6.(1)解：：∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC, .∠ABD=∠ACB. ∴AE=2CE. 又：∠BAD=∠CAB,∴.△ABD△ACB, AC=6=AE+CE,∴.AE=4. 5.解：(1)CE∥AD, 0粮9号0=号 ÷80-2=∠0.1=∠E (2)证明：：AE⊥AC,AF⊥BD, ·.∠AFB=∠EAC=90. ∠1=∠2，∴，∠ACE=∠E,∴AE=AC. 又：∠ABF=∠C,∴.△ABF∽△ECA, 把品 ·∠BAF=∠CEA. (2)9+35 :∠BAF=∠BAE+∠EAF,∠AEC=∠ABC+ 2 ∠BAE, ·25· 九年级数学·华师版（上册） .∠ABC=∠EAF ∴，设AE=x,则EC=2x,AC=3x 【能力提升练】 由(I)知AB=AE·AC,,AB=3x 1.B[解析]①中阴影部分的三角形与原三角形有 又AB⊥AC,∴.BC=25x,∴，∠ACB=30 两个角相等，所以两个三角形相似：②中阴影部分 F是BC的中点，，BF=3x,BF=AB=AD. 的三角形与原三角形有两个角相等，所以两个三角 又.∠ADB=∠ACB=∠ABD=30°，∠BAC=90°， 形相似；③中两三角形的对应边不成比例，所以两 ∴.∠ADB=∠CBD=30°，AD∥BF. 个三角形不相似：④中两三角形对应边成比例且夹 .四边形ABFD是平行四边形 角相等，所以两个三角形相似.故选B, 又：AB=AD,四边形ABFD是菱形. 2.B[解析]：∠ACB=90°，D是AB边的中点，∴.CD 题型变式 =AD,.∠ACD=∠CAD.又：AF⊥CD于点E, 1.证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠B=∠C= .∠AEC=90°，∴.∠AEC=∠BCA,.△ACE ∠ADE=60°. △BAC.CE⊥AF,.∠CEF=90°.：∠ACB=90°， 所以∠ADB=∠CAD+∠C=∠CAD+60 ∴.∠ECF+∠ACE=∠ECF+∠AFC=90°，∴.∠ACE 因为∠ADB=∠BDE+60°，所以∠CAD=∠BDE, =∠AFC,.△ACE∽△AFC.∠ECF+∠ACE= 又因为∠B=∠C=60°，所以∠ADC∽∠DEB. ∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ECF=∠EAG. 课时2相似三角形的判定定理2,3 又：∠AEC=∠CEF,∴.△ACE∽△CFE,∴.图中与 【基础巩圈练】 △ACE相似的三角形共有3个，分别为△BAC 1.C[解析]由题图，知AB=AC=6,∠B=75°， △AFC、△CFE.故选B. ∴∠C=∠B=75°，∴.∠A=30°，根据两边成比例且 3.5[解析]：AC平分∠BAD,∴.∠BAC=∠CAD,又 夹角相等的两个三角形相似，知与△ABC相似的是 ·∠BAC=∠BDC.∴.∠CAD=∠BDC.∠ECD= C项中的三角形 ∠△C△B0n.瓷-0g-会 220[解折1：GD=4c.0B=c-器 ∴.CA=9,∴.AE=AC-CE=9-4=5. 4.解：在矩形ABCD中，AB=CD=4,AB∥CD,∠ADC =又LDCE=∠ACB△DCEn△ACB, =90° ED CD I 在Rt△ADC中，AC=VAD+CD=5. 六B所=CA=2ED=10m,AB=20m. 3.证明：(1)△ABD∽△ACE. :E为AB的中点AE=子AB=2 ∴.∠BAD=∠CAE, :AB∥CD.∠ACD=∠BAC,∠CDF=∠AEF ∴.∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE. CF_CD=2. ÷△AEF∽△CDF,AFAE .∠DAE=∠BAC. P=2r=号4c=号x5-9 2△4B0a4cE2-20-光 而∠DAE=∠BAC,'.△DAE△BAC 5.证明：(1)：AD=AB,∠ABD=∠ADB. 4.C[解析]设网格中每个小正方形的边长为1.由 :∠ADB=∠ACB,.∠ABD=∠ACB. 题图得，①中的三角形的各边长分别为2,2,10】 又，∠BAE=∠CAB. ③中的三角形的各边长分别为22,2,25. △40E△40R.e-6 -号得这两个三角彩约三边时度成 0=服投-品 比例.∴.①中的三角形和③中的三角形相似，故选C (2)AE:EC=1:2, 5.A ·26· 参考答案及解析 640【解折]周为侣-能-长所以△C M为B边的中点4=N=1 AB=2…BC=2 △ADE,所以∠BAC=∠DAE=60°，又∠BAD=20°， yBC=3=行，解得N=号 所以∠DAC=40. 7.(1)解：如答图，点D是所求 当△4NM△AC时，化-器 作的点（答案不唯一），此时 △ABD∽△BCA. :AB=√5，AC=25,BC=3,M为AB的中点， 7题答图 (2)证明：AB=√个+2= 5 2 5,BC=5,AC=3+1下=10，BD=+1= AC25 解得N=是 2,0=1,0=1=5m.2-5B】 BA-55'CA-105'BC 综上可知，N的长为或子 6.解：(1)BA⊥x轴，BC⊥y轴，B(12,10), S心MC=△ABD△BCL 5.AD BD AB AB=10. 【能力捉升练】 根据题意，得OD=t,OE=3,BF=21,其中0≤t≤4， 1.D[解析]设每个小正方形的边长为1.在△EFG AF=10-24, 中两条直商边的比为行宁观零各选项形 ∴.E(3t,0),F(12,10-21). (2)由(1)知，0D=1,0E=31,AF=10-21. 252只有以点D尽F为顶点的三角形与 51 0A=12,.AE=12-3t ,BA⊥x轴，.∠0AB=90°=∠AOC △EFG相似.故选D. :△ODE与以点A、E、F为顶点的三角形相似， 2.D[解析]由题图知，图形①的三边长为2,4,25， .△DOE△EAF或△DOE△FAE. 图形②的三边长为22,22,4，图形③的三边长为 ①当△D0E△EF时.2-9S. 13,13,4,图形④的三边长为2,3，/13，图形⑤ 3t 的三边长为3,3,32.22_22.4 六12-31=10-2解得4=0（不符合题意，舍去）， 3 332心国形 26 ②与图形⑤相似. =7 3B【解折]选项A~合=音，∠A=∠A阴影三 2当△0E△FE时，器-。 角形与原三角形相似，故A不合题意：选项B:子 31 六10-212-31，解得4=0（不符合题意，舍去）， 一号且号食阴影三肩彩与原三角形不相似， 4=6(不符合题意，舍去) 故当△ODE与以点A、E、F为顶点的三角形相似 故B符合题意：选项C8-3.5=45,45=6 681 时1 ∠A=∠A,∴阴影三角形与原三角形相似，故C不 合随意：选项D名号∠B=乙B期影三角 题型变式 1.证明：设正方形ABCD的边长为a, 形与原三角形相似，故D不合题意.故选B 则AD=BC=CD=a. 4.号或2 Q是CD的中点，D0=0C=4 5解：当△4W△C时，出C BP=3PC,PC= 40, ·27· 九年级数学·华师版（上册） 1 、A00三2.一1 AD DQ 6.C[解析]解法-r△MBC∽△DEFAnC的周长 △DEF的周长 0c=1 -=2, OC CP 4 2+3+4 2心△DEF的周长=3心△DEF的周长是27 又，∠D=∠C=90°， 解法二：设△DEF的三边长按从小到大依次为x,y,12 ,△ADQ△QCP. 2.证明：如答图，过点C作CH⊥OB,交OB于点H. △MBC∽△DEF2.3=4 ￥2x=6,y=9, 由A、B、C三点的坐标可以得到OA=3,OB=4,AD= ·.△DEF的周长是12+6+9=27. 1,CD=2,OH=CD=2,BH=0B-0H=2,CH=4. 7.100cm,40cm[解析]由题意，得两三角形的周长 ..AB =OA+OB 比为5：2，设两三角形的周长分别为5kcm,2hcm, =√3+4=5， 由题意，得5k-2k=60,解得k=20,所以5k=5×20 =100,2k=2×20=40,即这两个三角形的周长分别 AC=√/AD+CD H 为100em,40cm. =√1+2=5. 8.解：设较小三角形的周长为Cm,则较大三角形的 BC=√Bn+CT 2题答图 3 =√/2+4=25. 张为C+501cm,则c45-0c=20.c+ 在△ABC和△ACD中， 560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm. 9.证明：点D,E、F分别是OA、OBOC的三等分点， 58%550后5 ·AC5 8版-80号 .AC =BC AB AD=CD-AC 又.∠DOE=∠AOB,∴，△ODE△OAB. .△ABC∽△ACD. E、1 AB=3,∠0DE=∠OAB 3.相似三角形的性质 1 【基础巩囿练】 同理可证E=3,∠0DF=∠04C 1.B[解析]两个相似三角形，其中一组对应边上 的高分别是2和6，∴，这两个三角形的相似比为 ABAC∠EDF=∠BMC. DE DF 1:3.故选B. .∴△ABC△DEF 2.C[解析]△ABC∽△A,B,C,BD和B,D分别 102 [解析]在口ABCD中，AB∥CD,∴.△AEF∽ BD AC 3,BD 是它们的对应中线心B0G=2心4 △DBC:Saw=4Sam,即=1，E 4CE= 是BD=6故选C ),.EF=.在口ABCD中AD∥BC△AEE 3.4:3[解析]AD=8,A'D'=6,.AD:A'D= 4:3.△ABC∽△A'B'C,AD和A'D'是它们的对 ∽△BCF,. S△AE EF 1 CF) 应高线，△ABC与△A'B'C'的相似比是AD:A'D =4:3. 4.解：：△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是BC和 BC'边上的高，且BE和B'E是对应的中线， 1.解：E,F是CD的三等分点EF=CD 物器即后 在口ABCD中，AB=CD.AB∥CD, 解得B'E”=7.5cm. EF=3AB,LEFA=∠PAB,LGEF=∠GBA, 5.B ∴△EFGn△BAG ·28·