专项3 根的判别式的综合应用&易错疑难集训二-【勤径学升】2024-2025学年九年级上册数学同步练测（华东师大版）

第22章一元二次方程 专项3根的判别式的综合应用 [答案PI7] 类型)根的判别式与函数的综合应用 类型②根的判别式与几何的综合应用 函数y=x+b的图象如图所示，则关于x的 4已知口ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方 元二次方程kx2+x-7b=0的根的情况是 程x2-mr+m 241 =0的两个根 (I)当m为何值时，口ABCD是菱形？请求出此 时该菱形的边长 (2)若AB的长为2，则□ABCD的周长是多少？ 1题图 A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 2(广东广州中考)直线y=x+a不经过第二象 限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个 数是 ( A.0 B.1 C.2 D.1或2 3一次函数y=x+b(k≠0)的图象如图所示，在 ⑤（四川翠枝花月考）已知△ABC的一条边BC的 长为5，另两边ABAC的长分别为关于x的一元 第一象限内的图象上是否存在一点P,使过点P 二次方程x2-(2h+3)x+k2+3+2=0的两个 所作的两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的四边 实数根。 形的面积为2？若存在，求出点P的坐标；若不 (1)求证：无论飞为何值，方程总有两个不相等 存在，请说明理由， 的实数根： (2)当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理 由： (3)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求 △ABC的周长， 3题图 见此图标眼抖音/餐信扫码领取配套资源稳步提升成绩 29 九年级数学·华师版（上册） 易错疑难集训二 [答案PI18] 圆雷题避点⑨忽略二次项系数不为0的条件 易铅题难点③解一元二次方程时漏根 关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1ml-1 ④解方程： =0,常数项为0，求m的值.下面是小莉和小轩 (1)3x(x-1)=2(x-1): 的解题过程： 小莉：由题意，得|ml-1=0,所以m=±1. 小轩：由题意，得1ml-1=0且m-1≠0，所以m =-1. 其中解题过程正确的是 (2)2(3-x)2=x-3. A.两人都正确 B.小轩正确，小莉不正确 C.小莉正确，小轩不正确 D.两人都不正确 2若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 岛留通是点④忽略分类讨论 ⑤（诗泽中考）若关于x的方程(k-1)2x2+(2k+ 圆留题避岛②公式法解方程时，未将方程化为 1)x+1=0有实数根，则k的取值范围是() 般形式 A>4且k1 Bk≥且k 3(吉林德惠期中)小明在解方程x2-5x=1时出 现了错误，解答过程如下： C>4 n≥ a=1,b=-5,c=1,(第一步) 6(盐城模拟)已知关于x的方程(m-1)x2-mx b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21,(第二步)》 +1=0.求证：不论m为何值，方程总有实数根. 5(第三判 4t,=5+②1 -5-/21 2 ,3=9 2 (第四步》 (1)小明解答过程是从第 步开始出错 的，其错误原因是 (2)写出此题正确的解答过程， 圆健题通息⑤忽视方程有实根的隐含条件 ⑦（泸州中考）关于x的一元二次方程x2+2mx+ m2-m=0的两实数根x1x2满足2=2，则(x +2)(x号+2)的值是 () A.8 B.32 C.8或32 D.16或40 306 见此图标服抖音/疑信扫码领取配套资源稳步提升成绩参考答案及解析 (2:(4+12-6=-0(4+1)2=5 x=-b±YB-4ac3±0 2a 2×1 两边直接开平方，得4+1=±3， 4 ∴，3+而3-0 2 ,2= 2 7 解得=2出=“2 (3)a=1,b=-25,c=-4 2.解：(1)原方程可化为x2-2x=3. .6-4ac=(-25)2-4×1×(-4)=36>0, 配方，得x2-2x+1=4,即(x-1)2=4. 六x=-b±yB-4c-25±3625±6 两边直接开平方，得x-1=±2， 2d 2×1 2 所以x-1=2或x-1=-2, .x,=5+3,x2=√5-3. 所以x=3,x2=-1. (4)原方程整理，得x2-2x-9=0. (2)原方程可化为x2-16x=-1. a=1,b=-2,c=-9, 配方，得x2-16x+64=-1+64, b-4c=(-2)2-4×1×(-9)=40>0, 即(x-8)2=63. x=-6±B-4c2±y402±2⑩ 2a 2×1 2 两边直接开平方，得x-8=±3,7， ∴.无=1+10，出2=1-√10 所以x-8=3万或x-8=-37, 专项3根的判别式的综合应用 所以x,=8+37,x2=8-37. 1.C 3.解：(1)3(x-2)2=x(x-2), 2.D[解析]：直线y=x+a不经过第二象限，a≤ 3(x-2)2-x(x-2)=0. 0.当a=0时，关于x的方程ax2+2x+1=0是一元 (x-2)(3x-6-x)=0. 一次方程，解为x=-宁：当a<0时，关于x的方程 (x-2)(2x-6)=0. .x1=2,2=3. ax2+2x+1=0是一元二次方程.4=22-4a>0, (2)原方程可化为(x-3+2x)(x-3-2x)=0, 方程有两个不相等的实数根.故选D. .(3x-3)(-3-x)=0, 3.解：不存在，理由如下： ∴.3x-3=0或-3-x=0, 1=1,2=-3. (3)x2-6.x-7=0,(x-7)(x+1)=0, x1=7,为=-. (4)原方程可化为(x-2)(x-5)=0, 3题答图 ,x-2=0或x-5=0, 如图，设直线y=x+b(k≠0)交x轴于点A,交y轴 六x1=22=5. 于点B, 4.解：(1)a=1,b=-1,c=-2, 过点P作PE⊥x轴于点E,PF⊥y轴于点F .-4ae=(-1)2-4×1×(-2)=9>0, 一次函数y=x+b(k≠0)的图象过点A(2,0), 六x=-b±-4ac-1±-1±3 B(0,3), 2×12· 3 2k+6=0. k=- x1=2,2=-1. 解得 2 Ib=3. (2)原方程整理，得x-3x- 4=0 b=3, 3 ·直线AB的表达式为y=-2x+3, a=16=-3.e- 假设存在满足题意的点P, 8-4ac=(-3)2-4x1x(-4)=10>0. 设点P的坐标为，-子+3) ·17· 九年级数学·华师版（上册） 则sm=0E,0F=-2x+3）=2, 的周长为16： 当BC是等腰三角形的底边时，此时方程x-(2+ 整理得3x2-6x+4=0. 3)x+2+3h+2=0有两个相等的实数根，不符合 4=36-48<0,.此方程无实数根， 题意 ∴，在第一象限内的图象上不存在点P,使过点P所 综上所述，当k=3或k=4时，△ABC为等腰三角 作的两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的四边形的 形，此时△ABC的周长为14或16. 面积为2. 易错疑难集训二 4.解：(1)当AB=AD时，口ABCD是菱形，即方程x2 1.B m+受-=0的两个实数根相等 2k>2且k≠1[解析]根据题意，得△=2'-4(k- 4=m2-4(受-)=0，解得m=1 1)x(-2)>0且k-10,所以k>2且k1. 故当m=1时，口ABCD是菱形 3.解：(1)一原方程没有化成一般形式 此时方程为2-x+}=0,解得=名= (2)原方程化成一般形式为x2-5x-1=0. a=1,b=-5,c=-1, 故此时该菱形的边长为2 .b-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29, (2)把x=2代入方程2-mx+?-} 24=0,得4 x=5±29 2 2m+受-号=0，解得m= 5 南=5+2 5-2四 2 2 六原方程为2-名+1=0 易错分析 整理，得2x2-5x+2=0, 针对这类问题一定要先将一元二次方程化为 x5±5-4x2x2.5±3 般形式，确定a、b,c的值.再利用求根公式解方 2×2 4=2=2 程就不会导致错解： 0=号 4.解：(1)移项，得3x(x-1)-2(x-1)=0 因式分解.得(x-1)(3x-2)=0. 口AD的周长是2×+2）=5. 所以x-1=0,3x-2=0, 2 5.(1)证明：4=(2k+3)2-4(2+3k+2)=1>0. 所以x=1,名= ,无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根 《易错分析 (2)解：△ABC是直角三角形.理由： 本题易出现方程两边同除以(x-1)得3x=2的 当=2时，原方程化为x2-7x+12=0, 错误，这是因为当x-1=0时，不符合等式的性 解得x=3或x=4. 质，因此方程的两边不能同除以含未知数的 32+42=52,.△ABC是直角三角形 式子 (3)解：当BC是等腰三角形的腰时，x=5是方程x2 (2)原方程可化为2(x-3)2-(x-3)=0. -(2h+3)x++3k+2=0的解， 因式分解，得(x-3)[2(x-3)-1]=0, .25-5(2h+3)++3k+2=0,h2-7k+12=0. 即(x-3)(2x-7)=0, 解得k=3或k=4. 于是得x-3=0或2x-7=0. 若k=3,则方程为x2-9x+20=0. x=4或x=5,满足三角形三边关系，此时△ABC 所以=3子 的周长为14： 5.D[解析]当-1≠0，即k≠1时，此方程为一元 若k=4.则方程为x2-11x+30=0, 二次方程.：关于x的方程(k-1)2x2+(2k+1)x+ .x=5或x=6,满足三角形三边关系，此时△ABC 1=0有实数根，4=(2k+1)2-4×(k-1)2×1= ·18 参考答案及解析 12k-3≥0，解得k≥子：当k-1=0,即k=1时，方 7.解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x 根据题意，得128(1+x)2=288. 程为3x+1=0,显然有实数根.综上所述，k的取值 解得x,=0.5=50%,2=-2.5(舍去) 范周是≥子就选D 答：进馆人次的月平均增长率为50%. 易错分析 (2)能.理由：第四个月的进馆人次为288×(1+ 50%)=432， 本题没有说明是一元二次方程，需分方程是 元。次方程和一元二次方程两种情况讨论 由于432<500，所以该市图书馆能接纳第四个月的 进馆人次， 6.证明：①当m-1=0. 即m=1时，方程为-x+1=0,解得x=1, 【能力提升练】 所以此时方程有实数根： 1.B[解析]设年平均增长率为x,根据题意，得 ②当m-1≠0时，4=m2-4(m-1)=m2-4m+4 5(1+x)2=6.05,解得x1=0.1=109%,=-2.1 =(m-2)2≥0， (不合题意，会去)，所以这两年该地区参加中考的 所以此时方程有两个实数根. 人数的年平均增长率为10%.故选B. 综上，不论m为何值，方程总有实数根。 2.A[解析]设通道的宽为xm,由题意，得(52-2x) 7.B[解析] (30-2x)=1400,解得x=40(不合题意，舍去)或x 方程有两 =1,通道的宽为1m 个实数根 Δ≥0 m≥0 3.2436[解析]设矩形的长为x步，则矩形的宽为 x=2 m2-m=2 (x-12)步，由题意，得x(x-12)=864,整理得x2 (xi+2》(8+2)-=32 12x-864=0,解得x,=36,x2=-24(不合题意，舍 层易错分析 去)，∴x=36,x-12=24,.矩形的宽为24步，长为 本题的易错之处是忽略4≥0这一条件，从而得 36步. 4.解：矩形DGMN和矩形CNMH全等. 到m三-1或m=2,进而误选C .MN CH DG =60 cm. 22.3实践与探索 若AB=xcm, 课时1面积问题、变化率问题 则AE=BF=EF=CD=GH=xcm 【基础巩固练】 1.C[解析]由题意可得工具箱底面的长为(80 ÷EG=700-6AB-3DG_700-6x-3×60 2 2 2x)cm,宽为(70-2x)em,所以可列方程为(80- =(260-3x)cm. 2x)(70-2x)=3000. (1)35[解析]当x=75时，EG=260-3x=260-3 2.C3.120 ×75=260-225=35(cm. 4.解：(1)设矩形的长为xcm,则宽为(28-x)cm 故答案为35. 因为x>28-x,所以x>14 依题意，得x(28-x)=180. (2)(320-2x)[解析]依题意得AD=70-44B-N 2 解得x1=10(不合题意，舍去)，x2=18, _70-4t-60=(320-2x)cm.故答案为(320-2x). 所以28-x=28-18=10. 2 故长为18cm、宽为10cm (3)依题意，得x(320-2x)=12750, (2)假设能围成面积为200m2的矩形，则依题意，得 整理，得x2-160x+6375=0, x(28-x)=200,即x2-28.x+200=0, 解得x1=75,x1=85. 所以△=282-4×1×200=-16<0， EG的高度不小于26cm, 所以原方程无实数根 即260-3x≥26，.x≤78， 故不能围成一个面积为200cm的矩形. .2=85不合题意，舍去 5.D6.D 答：x的值为75. ·19