训练七 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教B版2019）

训练七二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用 8.已知(1-3x)”=a十a1x十a2x2十a3x3+…+ 基储练 现固应周 awx"(n为正整数). 1.(2022·重庆高二期未)1-) 的展开 (1)若a=15a。一13a1,求n的值： (2)若n=2022,A=a十a2十a,+…十a22,B 式中二项式系数最大的项的系数是( =a1十a十a+…+a21,求A十B和A2-B A.-160 B.-20 的值（结果用指数幂的形式表示）. C.20 D.160 2.已知(1十x)”的展开式中，第3项与第11 项的二项式系数相等，则二项式系数和是 A.22 B.2 C.2 D.2 3.若二项式（合- 的展开式中所有项的 9.在①展开式中所有项的系数之和与二项式系 系数和为，则展开式中二项式系数最大 数之和的比为64：1：②展开式中前三项的二 的项为 项式系数之和为22.这两个条件中任选一个 A多 a只 条件，补充在下面问题中的横线上，并完成 解答 C.-20x D.15x 问题：已知二项式(1十3x)”, 4.已知(2十x)221=a。+十a,(x+1)十a2(x+ (1)求展开式中系数最大的项； 1)2+…十ag(x十1)2021，则a1十a2+… (2)求(1十3x)(1一x)中含x项的系数. 十a221= () 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解 A.202+1 B.22021-1 答计分 C.2202 D.2221+1 5.(2022·苏州高二月考)在(x一y)"的展开 式中，第3项与第8项的二项式系数相等， 则展开式中系数最大的项是 () A.第6项 B.第5项 C.第5,6项 D.第4,5项 6.(2022·浙江卷)已知多项式(x十2)(x一 1)'=a十a1x十a2x2十ax3十a4x十ax,则 a2= ,a1+a2十a3+a1十a= 7.已知(x一m)=ao十a1x十a2x十…十a,:x的 展开式中x的系数是一35，则各项系数最大 的是 13 ◆高中数学·选择性必修第二册(RJB) 13.(2022·杭州高二期中)设函数f(x,y)= 能力练/凝移运用 (1+my)'(m>0,y>0). 10.(多选)(202·宁德高二期末)在(x-)】 (1)当m=2时，求f(8,y)的展开式中二 项式系数最大的项； 的展开式中，下列说法正确的有 (2)已知f(2n,y)的展开式中各项的二项 A.第3项为15.x 式系数和比f(n,y)的展开式中各项的二 B.常数项为20 项式系数和大992，若f(n,y)=a。十a1y C.系数最大的项为第4项 +…+ay”,且a2=90,求a1+a2十aa十 D.二项式系数最大的项为第4项 11.(多选)(2022·苏州高二月考)我国南宋 数学家杨辉1261年所著的《详解九章算 术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见 我国古代数学的成就是非常值得中华民 族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正 确的有 () 第一行 11 第二行 121 第三行 1331 创新练/素能路优 第四行 14641 14.早在南宋时期，我国数学家杨辉在1261 第五行 15101051 年所著《详解九章算术》一书里，就记载着 第六行 1615201561 下表： A,由“与首末两端·等距离’的两个二项 式系数相等”猜想：C=Cm B.由“在相邻的两行中，除1以外的每一 个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜 想：C%+1=C。1+C 今四（六四 C.由“第n行所有数之和为2"”猜想：C +C+C%+…+C=2 D.由“11=11,112=121,113=1331”猜想： 这个表称杨辉三角 11°=15101051 通过观察杨辉三角数表你能发现它有哪 12.（多选)已知(5x- 31” 的展开式中，二项 些基本规律？它反映了组合数的哪些基 本性质？ 式系数之和为64，下列说法正确的是 A.2,n,10成等差数列 B.各项系数之和为64 C.展开式中二项式系数最大的项是第 3项 D.展开式中第5项为常数项 1410.A(--)=[(-）-1],展开式的道项 3.A 令x=1可得（合-）=（仁)=高 公x为T=C(e-)'(-1y=（-ICC ()）广，所以题=6，展开式有7项，所以二项式 x(-）=(-10CCx“r=0…,4 (分一)展开式中二项式系最大的项为第4项， k:k=0,1.….4. 令4-k-2r=0,则k=0,r=2:k=2,r=1:k=4,r=0 工=(-1C(合）厂=-多，故选A 时为常数项，即常数项为CC-CC十C=一5， 4,B令x=-1,得an=1,令x=0,得a,十a,十a十…十 1山.D周为二项式(2-x)'展开式的通项为T+,=C× a1=2,所以41十a,十…十amm=220-1,故选B. 2-×(一x),所以含x3的项为x×C号×（一x)×2+ 5.B由题知C=C,则n=9,(x-y)”的展开式中，二项 (（仁）×C×(-)X2=70,藏选D 式系数最大为第5项和第6项.即C=C,但第6项系 12.解析由题意可得，(x十2y-)的展开式中含x的 数为C(一1)<0，故展开式中系数最大的项是第5项. 项为Cx(2y-x)=10x(2y-g),而(2y-)3的展 6.解析含x的项为：x·C·x·(-1)+2·C·x2· 开式中含yz的项为C2y(-z)=6y,所以xy (-1)=-4x2+12x=8x2,故42=8： 的系数为60. 令x=0,即2=a。, 答案60 令x=1.即0=au十a1十a:十a1十a十4 13.解T,=C(F)2x+=16Ccx, ∴.a,+a,十a+a,+a=-2. T=C()2 答案8一2 16C_56」 7.解析(.x一m)=a十ax十ar十…十ax, 由题意知，C-了·解得1=10， .a,=Cg(-m)'. T4,=C(E)"-2xw=2Cx一 又二项展开式中x的系数是一35，可得C(一m)=一35， 令5-专-0，每得表=2. m=1二项展开式的通项公式为T+1=C·x4· (-1)”,系数为T=C(-1). ,.展开式中的常数项为C2=180 当k=4时，系数最大为a,=C=35. 14.解 二项晟开式的通项为T,=C(侵)厂。 答案a 8.解(1)二项式(1一3x)”展开式的通项公式为 ()--()C T+1=C(-3x)=C(-3)x. )国为第9项为常数项，即当k=8时，2n一2=0， 则a。=C(-3)”,a,=C(-3)',a=C(-3) 因为4=15d。一13a1, 解得n=10. 所以C(-3)=15-13C(-3), (2)令2n- 2=5,得=号(2m-5)=6,所以的系 化简得3m一29m一10=0，(n一10)(3n十1)=0. 为(-1r(合)C-1g 解得1=10或用=一}〔会去). (2)当n=2022时，(1-3x)中=4十ax+4x2+a4x （3)要使2a一号，即02必为整数，只需长为%数，由 十…十aex2, 于k=0,1,2,3,…,9,10,故特合要求的有6项，分别为 令，x=1,得a,十a,十a十…十a1m=(-2)2=22u 展开式的第1,3,5,7,9,11项 令x=一1，得a一a十a:-…-a十am=4吧 因为A=a。十a十a,十…十a:mm· 训练七 二项式系数的性质、杨辉三角 B=a,+a,+a,+…+a: 及二项式定理的应用 所以A十B=a十a,十a十…十aa=22m。 A-B=4一4十a,-…-a:1十a:a=4吧， L.A因为n=6,为偶数，展开共有7项，故C为二项式 所以A一B=(A十B)(A一B)=2m·42四=2“ 9.解选条件①. 系载最大的，故(-二）厂的展开式中的二项式系藏最 令x=1,得展开式中所有项的系数和为4”，又展开式中 大的项为C×P×(-是)广=-160.其系数 所有项的二项式系数之和为2”， 为-160. 所以号-2”=6，年得=6 2.A因为(1十x)”的展开式中，第3项与第11项的二项 所以（十3x)”的展开式的通项为T+1=C3x(k=0, 式系数相等，即C。=C,所以n=12,所以二项式系数 1,2,3,4.5,6). 和是2“. 设展开式中系数最大的项为第十1项， 35 1 3 又a=Cm=90,且m>0, /C%3≥C3 6-rr+1' 即 所以m=3, Cw3≥C3, 3、1 .f(m,y)=f(5y)=(1+3y)'=a,+a1y+…+ay2, 又0≤≤6，r∈N,所以r=5, 令y=0,则(1+3y)=a。十ay十…+ay=a。=1, 故展开式中系数最大的项为T=C(3x)°=1458x 令y=1,则(1十3)°=a。十a,+…+a6=4, (2)由(1)，得(1+3x)*(1-x)=(1+3.x)(1-x), 所以a十a十a1十…十a,=(a十a1十a:十a十…十a.) 故含x2项的系数为C+C×3+CX3×C×(-1) -a。=4-1=1023. =55. 14.解杨辉三角如合数形式数表为 1 选条件②， (1)由前三项的二项式系数之和为22，得C+C十C=22, CC 即1++”"21D-22.可得n=6. CCC 2 CCC C 所以(1十3x)°的展开式的通项为T=C3x(k=0, C CCCC 1,2,3,4,5,6). CCCCCC 设展开式中系数最大的项为第十1项， CC CCCCC Cw3≥C3, [13 … 则 即 6-rr+1' 1CC…CC…C+CC C43≥C13-1, 31 r7- 由观察杨辉三角知这张数表有如下基本性质(m,m∈N, 又0≤≤6，r∈N,所以r=5, n≥m,n≠0)： 故展开式中系数最大的项为T.=C(3x)=1458.x, (1)機行中与首末两端等距离的两个数相等，即 (2)解析同方案一中的(2). C.=C.". (2)除1以外的任何一个数都等于它肩上的两个数之 10,AD(x-）广的展开式的通项公式为T=Ct 和，即C,=C+C, (-)广=(-10Cx.A令k=2,得T,= (3)任何一横行所有数之和等于2的行数的乘方，即C侧 +C。+C+…+C=2. (-1)Cx2=15x2.故正确：B.令6-2k=0,得k=3, 以上三个性质就是组合数的性质一、性质二和二项式 所以常数项为T,=(一1)C=一20，故错误：C.因为 系数总和公式 T,=(-1)C=一20<0，故错误：D.图为二项式的次 (4)同一行上的奇、偶数位上各数之和分别相等，即 致=6，所以展开式共有？项，所以二项式系数最大的 C+C+C+…=C+C+C+… 项为第4项，故正确，故选AD. (5)n阶杨辉三角共有1十2十3十…十n+(n+1)= 11.ABC11'=161051,所以D错误 (n+1)(n十2个数. 2ABD由（红一）广的二孩式系款之为为”=6，得 (6)n阶杨辉三角所有数之和为2”十2十2+…+2" n=6,得2,6,10成等差数列，A正确：令x=1, 2+1-1. (7)杨辉三角第1.3,7.15，…行，即第2一1行(k是正 整数)各个数字都是奇数，即C-(k=0,1,2,…,2 为61，B正痛：(6缸一)广的展开式共有7项，到二项 1,n∈N)是奇数. (8)杨辉三角中斜线指示数字和组成一个数列：1,1,2， 式系数最大的项是第4项，C不正确：（缸一后）的展 3,5,8,13,21,34,…. 开式中的第5项为C(5.r) =15×25×81为 1 常数项，D正确. 13.解(1)当m=2时，图为f(8,y)=(1+2y),故展开 12 式中二项式系数最大的项是第5项，T,=C(2y)'= 13 3 3 1120y. 21 4 641 34 (2)由题意知f(2n,y=(1+my),/n,y)=(1+my)°， f(2n,y)的展开式中各项的二项式系数和比f(n,y) 510105 的展开式中各项的二项式系数和大992， 1615201561 .2-2"=992,即(2-32)(2+31)=0， L72135352171 所以2"=32，解得n=5. 则由f(n,y)=f(5,y)=(1十my)°=a十ay+ 18285670562881 Fa;y. 此数列{a,:a,=1,d=1,且4+a=a+t十a,(n∈N). 36