训练一 基本计数原理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步练测（人教B版2019）

训练一 基本计数原理 基础练 见周应周 5.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是 1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方 华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万 法证明，有5位同学只会用综合法证明，有 物皆由金、木、水、火、 3位同学只会用分析法证明，现任选1名 土五类元素组成，如 同学证明这个问题，不同的选法种数有 图，分别是金、木、水、 ( 火、土彼此之间存在的 水 A.8种 B.15种 相生相克的关系.若从 C.18种 D.30种 5类元素中任选2类元素，则2类元素相 生的选取方案共有 2.小王有70元钱，现有面值分别为20元和 A.10种 30元的两种IC电话卡，若他至少买一张， B.15种 则不同的买法共有 ( C.4种 A.7种 B.8种 D.5种 C.6种 D.9种 6.(2022·天津高一月考)满足条件的集合 3.(2022·广东高三月考)中国有十二生肖， {1,2,3}M二{1,2,3,4,5,6}，则M的个 又叫十二属相，每一个人的出生年份对应 数为 了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、 7.某公司招聘5名员工，分给下属的甲乙两 羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖 个部门，其中2名英语翻译人员不能分给 的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和 同一部门，另3名电脑编程人员不能都分 猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的 给同一部门，则不同的分配方案种数有 吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次 种 从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取 8.计算： 的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有 (1)用1,2,3,4,5,6可以排成多少个数字 不重复的两位数？ A.50种 B.60种 (2)用1,2,3,4,5,6可以排成多少个数字 C.70种 D.80种 可以重复的两位数？ 4.数学中有回文数，如：343,12521等.两位 数的回文数有11,22,33，…，99，共9个， 则在三位数的回文数中偶数的个数是 A.40个 B.30个 C.20个 D.10个 高中数学·选择性必修第二册(RJB) 9.(2022·九江高二期中)现有高二四个班学 :12.(2022·汪清高二月考)如图，一个地区分 生34人，其中一、二、三、四班各7人、 为5个行政区域，现给地图着色，要求相 8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外 邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色 小组 可供选择，则不同的着色方法共有() (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的 选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的 选法？ A.24种 B.48种 (3)推选二人作中心发言，这二人需来自不 C.72种 D.96种 同的班级，有多少种不同的选法？ 13.用0,1，…，9这十个数字可以组成多少个 满足下列条件的整数， (1)三位整数？ (2)无重复数字的三位整数？ (3)小于500的无重复数字的三位整数？ 能力练了赶移运周 创新练了素能培优 10.已知C60分子是一种 14.用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如 由60个碳原子构成的 ● 图，要求在①，②，③，④四个区域中相邻 分子，它形似足球，因 (有公共边界)的区域不用同一种颜色. 此又名足球烯，C60是 3 单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它 ② 具有60个顶点和若干个面.各个面的形 甲 状为正五边形或正六边形，结构如图.已 (1)若n=6,为甲着色时共有多少种不同 知其中正六边形的面为20个，则正五边 的方法？ 形的面为 (2)若为乙着色时共有120种不同的方 A.10个 B.12个 法，求n的值。 C.16个 D.20个 11.(2022·南京高二期末)用数字0,1,2,3 组成没有重复数字的3位数，其中比200 大的有 ( A.24个 B.12个 C.18个 D.6个 2素能提升训练 训练一 基本计数原理 (2)根据题意,分析可得,从一班选一名组长,有7种情 况,从二班选一名组长,有8种情况,从三班选一名组 1.A 由题意知本题是一个分类计数问题,解决问题分成 长,有9种情况,从四班选一名组长,有10种情况, 两个种类,一是可以用综合法证明,有5种方法;二是可 所以每班选一名组长,不同的选法共有 以用分析法来证明,有3种方法,根据分类计数原理知 7×8×9×10-5040(种). 共有3十5一8种结果,故选A. (3)根据题意,分六种情况讨论, 2.A 要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”,分三 ①从一、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法; 类完成:买1张IC卡,买2张1C卡,买3张IC卡,而每 ②从一、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法, 一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事,买 ③从一、四班学生中各选1人,有7×10种不同的选法; 1张IC卡有2种方法,即买一张20元面值的或买一张 ④从二、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选法; 30元面值的;买2张IC卡有3种方法,即买两张20元 从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法; 面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面 从三、四班学生中各选1人,有9X10种不同的选法, 值的各买一张;买3张1C卡有2种方法,即买两张20元 所以不同的选法共有 面值的和一张30元面值的或3张20元面值的,故共有 7$8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10-431(种). 2十3十2一7种不同的买法. 10.B 由结构图知,每个顶点同时在3个面内,所以五边 3.D 根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论: 若甲选择牛,此时乙的选择有2种,丙的选择有10种, 此时有2X10一20种不同的选法;若甲选择马或猴,此 11.B 由题意可知,首位数字为2或3,其他数位在剩余 时甲的选法有2种,乙的选择有3种,丙的选择有10种, 3个数字中选择2个数字排序即可,由分步乘法计数 此时有2×3×10-60种不同的选法,则共有20+60 原理可知,比200大的3位数的个数为2×3×2 80种不同的选法. 12(个). 4.A 由题意,若三位数的回文数是偶数,则末(首)位可 12.C 首先涂区域1有4种,其次区域2有3种,再次区 能为2,4,6,8.如果末(首)位为2,中间一位数有10种 域3有2种, 可能,同理可得,如果末(首)位为4或6或8.中间一位 若区域4与区域2同色有1种,则区域5有2种, 数均有10种可能,所以在三位数的回文数总偶数的个 若区域4与区域2不同色有1种,则区域5有1种, 数是4×10-40(个). 所以不同的着色方法共有4×3×2×1×2+4×3×2 5.D 从5类元素中任选2类元素,它们相生的选取有火 X1X1-48+24-72(种),故选C. 土,土金,金水,水木,木火,共5种,故选D. 13.解 由于0不可在最高位,因此应对它进行单独考虑. 6.解析 由题意,元素1,2,3一定在集合M中,而元素 (1)百位的数字有9种选择,十位和个位的数字都各有 4.5.6是否在集合M中各有两个选择,且由于(1,2,3 10种选择,由分步乘法计数原理知,符合题意的三位 二M,元素4,5,6不可同时不在集合M中,由分步计数 数共有9×10×10-900(个). 原理,集合M的个数为2-1-7. (2)由于数字不可重复,可知百位的数字有9种选择, 答案7 十位的数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择, 7.解析 由题意可得, 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有9×9 ①若甲部门要2名电脑编程人员,则有3种情况;2名英 ×8-648(个). 语翻译人员的分配方法有2种,根据分步乘法计数原 (3)百位只有4种选择,十位可有9种选择,个位数字 理,分配方案共有3×2一6(种). 有8种选择,由分步乘法计数原理知,符合题意的三位 ②若甲部门要1名电脑编程人员,则有3种情况;2名英 数共有4×9×8-288(个). 语翻译人员的分配方法有2种,根据分步乘法计数原 14.解 完成着色这件事,共分为四个步骤, 理,分配方案有3X2一6(种).由分类加法计数原理,可 可以依次考虑为①,②,③,④这四个区域着色时各自 得不同的分配方案共有6十6一12(种). 的方法数, 答案 12 再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数。 8.解 (1)第一步十位数字有6种选择,然后第二步个位 于是有(1)为①区域着色时有6种方法, 数字在剩下的5个数字中选择有5种方法,运用乘法原 为②区域着色时有5种方法, 理得6×5一30.所以可以排成30个不重复的两位数。 为③区域着色时有4种方法 (2)第一步十位数字有6种选择,然后第二步个位数字 为④区域着色时有4种方法 有6种选择,运用乘法原理得6X6一36.所以可以排成 依据分步乘法计数原理,不同的着色方法为6×5× 36个可以重复的两位数. ×4-480(种). 9.解(1)根据题意,四个班共34人,要求从34人中,选 (2)由题意知,为①区域着色时有n种方法, 其中一人为负责人,即有34种选法, 为②区域着色时有(n一1)种方法, 30 为③区域着色时有(n一2)种方法 42,解得n-7或n一 为④区域着色时有(n一3)种方法, 答案(1)6(2)8(3)7 由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n一1) 8! s! (-2)(n-3). 12.D '.n(n-1)(n-2)(n-3)-120. '.(n*-3n)(-3n+2)-120-0. 7<<12.又<8且x-2>0.7x<8.xEN,即 即(-3n)+2(n-3n)-120-0. 1-8. '.n-3n-10-0或n-3n+12-0(舍去). 13.解(1)原方程可化为(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)= .n-5. 140.r(x-1)(r-2). 化简得(4x-35x+69)(x-1)x-0,解得x-3或= 训练二 排列与排列数 1.D 由排列数的定义,得 {2+leN·得x→>3且xeN. (2x十1>4, 2021×2020×2019×...×1981×1980 2021X2 020×2 019X..x1 981X1 980X1 979X..-×2X1 1979×1978X...×2×1 3. -2021! 2021! CN. 1979! (2021-42)!-A1. 所以原方程的解为x-3. 2.B A-A=n(n+1)-n(n-1)-10,化简得2n 9! (2)原不等式可化为-()!.共中2< 6×9! 10.所以n-5. 3.D A.从10个人中选出2人去劳动,与顺序无关,故错 <9.xN,整理得*-21r+1040.即(r-8) 误;B.从10个人中选出2人去参加数学竞赛,与顺序无 (r-13)0,所以x~8或x>13. 关,故错误;C.从班级内30名男生中选出5人组成一个 因为2<r9.rN,所以2<x8.xN. 篮球队,与顺序无关,故错误;D.从数字5,6,7,8中任取 所以原不等式的解集为/2,3,4,5,6,7). 2个不同的数做log力中的底数与真数,底数与真数位 14.解(1)A.-(-15)X(-16)X(-17)=-4080. 置不同,即与顺序有关,故正确,故选D (2)性质①,②均可推广,推广的形式分别是 4.C .A-n(n-1).(n-m+1)-15×14×13x12$ ①A"-xA,②A"+mA-A(xéR,m是正整 11×10...n-15,n-6 数). 5.C 由A-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,整理得 事实上,在①中,当m-1时,左边一A=r,右边一 n-4n-5<0,解得-1<n<5,由题可知,n-1>2且 xA一x,等式成立; nN,则n-3或n-4,即原不等式的解集为[3,4). 当m2时,左边=x(r-1)(x-2)..(x-m+1) 6.解析 5A+4A-5X5X4X3+4X4X3-348$ x((x-1)(r-2).[(x-1)-(n-1)+1])-xA 答案 348 一右边, 7.解析 ·A-10A.2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1) 因此A“一xA(xR,m是正整数)成立. (n-2),2(2n-1)-5(n-2),解得n-8 在②中,当m=l时,左边-A+A=十1-A =右$ 答案 8 边,等式成立: 8.解 (1)以其中任意两个点为端点的有向线段为一个排 当m2时,左边=x(x-1)(x-2)...(x-n+1)+ 列,共有有向线段;AB,AC,AD,BC.BD.CD.BA.CA. mx(x-1)(x-2)..(x-m+2)=x(x-1)(x-2).. DA.CB.DB.DC (-m+2[(-n+1)+m]=(x+1)x(x-1)(-2) (2)以其中任意两个点为端点的线段为一个组合问题, ...[(r+1)-m+1]一A=右边, 共有线段:AB,AC.AD,BC,BD.CD. 因此A”+mA”一A”(xR,m是正整数)成立. (3)以其中任意三点为项点的三角形共有△ABC, 训练三 排列数的应用 △ABD,△BCD.△ACD. 9.解 (1)A-2A-8$7$6$5$4-2$8$7-6608 1.A 从1,3,5,7,9中任取3个数字,组成没有重复数字 (2)A +A+A+A-4+4X3+4X3X2+4X3X2$ 的三位数,共有A种. 1-64. 2.C 当甲排在第一位时,共有AA一4种发言顺序,当 甲排在第二位时,共有A一2种发言顺序,所以一共有 4十2一6种不同的发言顺序。 $0.C A-100$99t.*$t(100-12+1)-100$99$ 3.B “数”和“乐”两门课程相邻的方法数为A·A-240 ...X89. (种),“射”排在第一节,“数”和“乐”两门课程相邻的方 11.解析(1)由A-10×9×...×5.则10×9×8x..x 法数为A·A一48(种),所以“射”不排在第一节,“数” ($10-n+1)-10×9x..×5,即11-n-5,解得 和“乐”两门课程相邻的方法数为A·A一A·A n-6. 240-48-192(种),故选B. (2)由A-56,刻n(n-1)-56,解得n-8 4.C 因为节目甲、乙、丙必须一个排在第一位,一个排在 (3)由A-7A,则n(n-1)-7(n-4)(n-5),且n- 第三位,一个排在第五位,所以节目甲、乙、丙有A一6 31